初一数学绝对值知识点与例题

初一数学绝对值经典例题初一数学的绝对值问题，可能很多同学一开始都觉得有点迷糊，感觉好像是个“虚无缥缈”的概念，听起来就是不太懂，做起来也糊里糊涂的。

但是，别急，今天我们就来好好聊聊这个“绝对值”，让大家能轻松搞定，保证你以后遇到这类题目，头都不会疼了！咱们就像在讲故事一样，把它从头到尾讲明白，绝对不让你有半点疑问。

绝对值到底是什么？简单来说，绝对值就是“数值的大小”，不管这个数是正数还是负数，它的绝对值永远都是正数。

比如说，数轴上的0就是“起点”，正数向右走，负数向左走。

那绝对值其实就像一个量尺，量的是距离，无论是向右还是向左，都是正的。

你看看，正3的绝对值是3，负3的绝对值也是3，咱们把它说的简单点，绝对值就是“数值本身的大小”，不管它是不是带有负号，都会把负号给去掉，变成正数。

明白了吧？这就是绝对值的秘密。

举个例子，你平时如果走路，也许有时候走得很远，走到负数位置了，哈哈，没错，就像走到某个地方特别远，可能是负数的意思，但不管你怎么走，最终你走的这段距离，都是一个正的长度。

比如说你离家出走，走了5步，最后的绝对值就是5，说明你离家的距离就是5步。

再看一个例子：假设有一个小朋友站在0点上，他往前走了4步，那么4的绝对值就是4。

假如他转个弯走回去了，走了4步，负号表示他是往回走的，但他到底走了多少步，还是4步。

所以4和4的绝对值一样，都是4！你看，这不就是很简单嘛。

这时候可能有人会问了：那如果我碰到一个像7这样的负数，绝对值不是应该还是7吗？哈哈，这就是个误会啦！负数的绝对值肯定是正数，7的绝对值就是7，不管它长得多么“凶猛”，都得变得温顺，像个小猫一样，变成正7才对！所以说，绝对值永远都不带负号，大家记住了没有？有个小窍门，帮助你记住绝对值：它就像是一个“魔术师”，它能让所有的负数都“变脸”，让它们看起来都像正数一样。

它的工作就是消除负号，保留数值的大小。

有同学可能会觉得，这些数的绝对值，怎么看都是比较简单的，可是要是碰到像“|x5|”这种看起来有点复杂的东西怎么办？哈哈，别怕！其实这就像是一个谜题，看看它前面是什么，弄清楚它的“心思”就行了。

核心知识点一：形如 ax + b = c (a ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①当c < 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；
②当c = 0 时，原方程变为 ax + b = 0 ，即ax + b = 0 ，解得 x =- b ；
a ③当c > 0 时，原方程变为ax +
b =
c 或ax + b = -c ，解得 x = c - b 或 x = -c - b ．
a a
核心知识点二：形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d )； ②分别解方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d )；
③将求得的解代入原方程检验，舍去不满足原方程的解．
核心知识点三：形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d )； ②分别解方程ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ).
绝对值方程の重点梳理
一、基础知识梳理
二、知识体系梳理。

什么是绝对值，以及绝对值例题的讲解。

绝对值：某个数到原点的距离。

绝对值最小为0，是非负数。

正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。

数轴上任何两个数之间的距离可以表示成：①已知两个数大小情况的，距离=大数-小数。

②不知道两个数的大小情况的，距离=两数差。

X-：表达是意思就是：数x到数a的距离。

a-=X+表示：数x到数-a的距离。

+，所以：aa)X-(aX1、如图，如果a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在（）点或者（）点。

（填A或者B或者C或者D）分析：绝对值指的是：这个数到原点的距离。

本题，我们可以验证四个点，比如：（1）原点在A点时，那么a离原点的距离比b离原点距离还要近，不可能是3倍，所以不行。

（2）原点在B点时，那么a离原点距离比b离原点更近，不行。

（3）原点在c点时，a离原点距离为3个单位长度，b离原点为1个单位长度，所以满足3倍关系。

正确。

（4）原点在D 点时，a 离原点距离是6个单位长度，b 离原点距离是2个单位长度，所以是3倍关系，所以正确。

2、如果a 和b 和c 是非零实数，且a+b+c=0，那么abcabc c c b b a a +++的所有可能值是（ ）。

A.0B. 1或-1C. 2或-2D.0或-2E.0或±4分析：因为非0，且a+b+c=0，所以一定是有正数也有负数，而且可以是2正1负或者是2负1正。

（1）2正1负时，因为a 、b 、c 的地位和作用都是一致的，所以不妨设a 和b 是正数，c 是负数。

再根据我们说到的绝对值化简的方法，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0，得到：当a 是正数时，1==a a a a ，同理，1=b b ，因为c 是负数，所以：1-=-=cc c c ，因为abc 为2正1负，所以积为负数，所以：1-=-=abc abc abc abc 所以原式=1+1-1-1=0。

（2）2负1正时，不放设a 、b 为负数，c 为正数。

第三道 千万于值之阳早格格创做基础思维及数教要收是初中数教教习的基石，期视共教们通过教习、坚韧对付千万于值的相闭知识不妨掌握办法. 千万于值的定义及本量千万于值 简朴的千万于值圆程化简千万于值式，分类计划（整面分段法） 千万于值几许意思的使用千万于值的定义：正在数轴上，一个数所对付应的面与本面的距离称为该数的千万于值，记做|a|.千万于值的本量：（1） 千万于值的非背性，不妨用下式表示：|a|≥0，那是千万于值非常要害的本量；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意思）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 所有一个数的千万于值皆没有小于那个数，也没有小于那个数的差异数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 大概a=-b ；（几许意思）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b≠0）； （7）|a|2=|a 2|=a 2； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a -b|[例1]（1）千万于值大于2.1而小于4.2的整数有几个？ （2）若ab<|ab|，则下列论断精确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3）下列各组推断中，精确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2 （4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值仍旧最大值？其值是几？ 分解： （1）分离数轴绘图分解.千万于值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）问案C 没有完备，采用D.正在此注意复习坚韧知识面3.（3）采用D. （4） 根据千万于值的非背性不妨了解|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[坚韧] 千万于值小于3.1的整数有哪些？它们的战为几？ <分解>：千万于值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，战为0.[坚韧] 有理数a 与b 谦脚|a|>|b|，则底下哪个问案精确（ ） 分解：采用D.[坚韧] 若|x-3|=3-x ，则x 的与值范畴是____________分解：若|x-3|=3-x ，则x-3≤0，即x≤3.对付知识面3的复习坚韧[坚韧] 若a ＞b ，且|a|<|b|，则底下推断精确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞0分解：采用C[坚韧] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值仍旧最小值？其值是几？分解：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8[例2]（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是几？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，供n xy )4(--的值 分解：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，x y =23-（2）由|x+3|+（y-1）2=0，可得x=-3，y=1.x y --4=314+-=-1 n 为奇数时，本式=1；n 为奇数时，本式=-1 小知识面汇总：（基础 |a|≥0 b 2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；天然各项前里存留正系数时仍旧创造，非背项减少到多项时，每一项均为0，二个非背数互为差异数时，二者均为0（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿ （2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ （4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 谦脚条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是几？分解：（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x ，x-y≤0；当x=5，y=2时没有谦脚题意；当x=5，y=-2时没有谦脚题意；当x=-5，y=2时谦脚题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时谦脚题意，x+y=-7.【坚韧】坚韧|x|=4，|y|=6，供代数式|x+y|的值分解：果为|x|=4，所以x=±4，果为|y|=6，所以y=±6当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10【例4】解圆程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12（3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为差异数，供y xy x 4312--的值 分解：（1）本圆程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，从而可得：x=-35，-325； （2）4x+8=±12，x=1，x=-5（3）此圆程无解（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x与y 互为差异数，所以x=3，y=-3，244312=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为差异数，且|a-b|=4，供12+++-ab a b ab a 的值分解：a 与b 互为差异数，那么a+b=0.12+++-ab a b ab a =,4,4||,1001)(±=-=--=+⨯-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4； 当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得12+++-ab a b ab a =4（1） 已知a=-21，b=-31，供||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a ba 的值（2）若|a|=b ，供|a+b|的值 （3） 化简：|a-b|分解：（1）本式=718||31|334|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- （2）|a|=b ，咱们不妨了解b≥0，当a<0时，a=-b ，|a+b|=0；当a≥0时，a=b ，|a+b|=2b（3）分类计划.当a-b ＞0时，即a ＞b ，|a-b|=a-b ；当a-b=0时，即a=b ，|a-b|=0；当a-b ＜0时，即a ＜b ，|a-b|=b-a.【坚韧】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x≥8）分解：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14（2）x≥8，8-x≤0，|8-x|=x-8.【例7】有理数a ，b ，c 正在数轴上对付应面如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|分解：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c ）-（c-b ）=2b-2c【坚韧】已知a ，b ，c 正在数轴上的位子如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|分解：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【坚韧】数a ，b 正在数轴上对付应的面如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||分解：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b ）+（b-a ）+b-（-2a ）=b【例8】（1）若a<-b 且0>ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,供|x+z|+|y+z|-|x-y|的值 分解：（1）若a<-b 且0>ba ，a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a(2)果为-2≤a≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4(3)由x<0<z,xy>0可得：y<0<z,又|y|>|z|>|x|,可得：y<x<z;本式=x+z-y-z-x+y=0【坚韧】如果0<m<10而且m≤x≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分解：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-xC B 0A【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a -- 分解：（1）当x<-3时，|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x（2）||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=aa 45-=-45 【例10】若abc≠0，则||||||c c b b a a ++的所有大概值 分解：从完齐思量：（1）a ，b ，c 齐正，则||||||c c b b a a ++=3； （2）a ，b ，c 二正一背，则||||||c c b b a a ++=1； （3）a ，b ，c 一正二背，则||||||c c b b a a ++=-1； （4）a ，b ，c 齐背，则||||||c c b b a a ++=-3 【坚韧】有理数a ，b ，c ，d ，谦脚1||-=abcd abcd，供d d c c b b a a ||||||||+++的值 分解：有1||-=abcd abcd知abcd<0，所以a ，b ，c ，d 里含有1个背数大概3个背数：（1）若含有1个背数，则d d c c b b a a ||||||||+++=2； （2） 若含有3个背数，则dd c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3|3，整面不妨将分解：先找整面.x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=2数轴分成几段.3，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2；当x≥23，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x；当-5≤x＜2当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【坚韧】化简：|2x-1|1，依次整面不妨将数轴分成分解：先找整面.2x-1=0，x=2几段1,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x；（1）x<21，2x-1=0，|2x-1|=0（2）x=21，2x-1>0，|2x-1|=2x-1.也可将（2）与（1）合（3）x>2并写出截止【例12】供|m|+|m-1+|m-2|的值分解：先找整面，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2依那三个整面将数轴分为四段：m＜0,0≤m＜1,1≤m＜2，m≥2.当m<0时，本式=﹣m﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3当0≤m＜1时，本式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3当1≤m＜2时，本式=m+（m-1）-（m-2）=m+1当m≥2时，本式m+(m-1)+（m-2）=3m-3|a|的几许意思：正在数轴上，表示那个数的面离启本面的距离|a-b|的几许意思：正在数轴上，表示数a，b对付应数轴上二面间的距离【例13】供|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分解：由上题可知，本题中的式子值应为x所对付应的面分别到3,5,2，-1，-7所对付应的面距离战.通过数轴不妨瞅到，当x=2时，五段距离的战有最小值16.那里咱们不妨把小教奥数中的相闭知识通联到所有道解：【小教奥数相闭题目】如图，正在交到上有A、B、C、D、E五栋住户楼，当前创造一个邮筒，为使五栋楼的住户到邮筒的便齐力之战最短，邮局应坐于那边？A B C D E分解：咱们去分解以下A、E二个面，没有管那个邮筒搁正在AE之间的哪一面，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离便是AE的少度.也便是道邮筒搁正在哪没有会做用那二个面到邮筒的距离之战.那么咱们便使其余的3个面到邮筒的距离之战最短，再瞅为了使B、D二个到邮筒的距离之战也是没有变的，等于BD.末尾，只需要思量C面到邮筒的距离迩去便止了.那么天然也便是把邮筒搁正在C面了.那里便体现了一个“背核心靠拢的思维”题后小论断：供|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小.当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x与最中间二个数值之间的数（包罗最中间的数）时，该式子的值最小.【坚韧】商量|a|与|a-b|的几许意思分解：|a|即为表示a的面A与本面之间的距离，也即为线段AO的少度.闭于|a-b|，咱们不妨引进简直数值加以分解：当a=3，b=2时，|a-b|=1；当a=3，b=-2时，|a-b|=5；当a=3，b=0时，|a-b|=3；当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；从上述四种情况分别正在数轴上标注出去，咱们没有克没有及易创造：|a-b|对付应的是面A与面B之间的距离，即线段AB的少度.【坚韧】设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，谦脚a1<a2<a3<a4<a5,供|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x-a4|+|x-a5|的最小值分解：当x=a3时有最小值，a4+a5-a1-a2【例14】设a<b<c<d,供y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并供出此时x的与值分解：根据几许意思不妨得到，当b≤x≤c时，y有最小值为c+d-a-b【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿分解：根据题意可得：a=±1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0大概2【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿分解：果为(a+b)2+|b+5|=b+5,咱们不妨了解b+5>0，所以本式不妨表示为：(a+b)2+b+5=b+5，(a+b)2=0，a=-b ，又果为|2a-b-1|=0，从而2a-b-1=0，从而2a-b-1=0,3a=1，a=31，b=-31，ab=-91【例3】对付于|m-1|，下列论断精确的是（ ）A.|m-1|≥|m|B.|m -1|≤|m|C.|m -1|≥|m|-1D.|m-1|≤|m|-1分解：咱们不妨分类计划，但是那样对付于干采用题皆过于贫苦了.咱们不妨用特殊值法代进考验，对付于千万于值的题目咱们普遍需要戴进正数、背数、0,3种数助闲找到准确问案.易得问案为C.【例4】设a ，b ，c 为真数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分解：|a|+a=0，|a|=-a ，a≤0；|ab|=ab ，ab≥0；|c|-c=0，|c|=c ，c≥0.所以不妨得到a≤0，b≤0，c≥0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b ）-（c-b ）-（a-c ）=b【例5】化简：||x-1|-2|+|x+1|分解：先找整面.x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2大概x-1=-2，可得x=3大概者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得整面有1.，-1,3，依次整面不妨将数轴分成几段.（1） x≥3，x-1>0，|x-1|-2≥0，x+1>0,||x-1|-2|+|x+1|=2x-2； （2） 1≤x<3，x-1≥0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4； （3）-1≤x≤1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1≥0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2；（4） x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0,||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2 【例6】已知有理数a ，b ，c 谦脚1||||||=++cc bb aa ，供abcabc ||的值分解：对付于任性的整数a ，有1||±=aa ，若1||||||=++cc b b a a ，则a ，b ，c 中必是二正一背，则abc<0，abcabc ||=-1【例7】若a ，b ，c ，d 为互没有相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，供|a-d|分解：从|a-c|=|b-c|咱们不妨了解，c 到a ，b 的距离皆是1，且三者没有相等，那么正在数轴上便有：(b)(a)果为|d-b|=1，且a ，b ，c ，d 为互没有相等的有理数，则有：隐然易得|a-d|=32供p+2m+3n 的值分解：千万于值为非背数，|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-27=0，2p-1=0，即得m=-3，n=27，p=21，所以p+2m+3n=21-6+3×27=52、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为几？ （2）解圆程：|4x-5|=8 分解：（1）x=±2，y=±3，当x=2，y=3时，没有谦脚x-y ＞0；x=2，y=-3时，谦脚x-y ＞0，那么x+y=-1； x=-2，y=3时，没有谦脚x-y ＞0；x=-2，y=-3时，谦脚x-y ＞0，那么x+y=-5. 综上可得x+y 的值为-1，-5（2）4x-5=±8，x=413，x=-433、（1）有理数a ，b ，c 正在数轴上对付应面如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，供|b-a+1|-|a-b-5|的值 （3）若a ＜0，化简|a-|-a||(b)(a)分解：（1）a-b ＜0，b-c ＞0，a+b ＜0|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b ）+（a+b ）+（b-c ）+c=3b （2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4 （3）|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a 4、已知a 利害整有理数，供||||||3322a a a a a a ++的值分解：若a ＞0，那么||||||3322a a a a a a ++=1+1+1=3；若a ＜0，那么||||||3322a a a a a a ++=-1+1-1=-15、化简|x-1|-|x-3|分解：先找整面.x-1=0,，x=1；x-3=0，x=3，依照整面不妨将数轴分成几段.（1） x≥3，x-1＞0，x-3≥0，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2； （2） 1≤x ＜3，x-1≥0，x-3＜0 ，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4； （3）x ＜1，x-1＜0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-26、设a ＜b ＜c ，供当x 与何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值 分解：|x-a|+|x-b|+|x-c|本量表示x 到a ，b ，c 三面距离战，绘图可知当x=b 时，本式有最小值c-a。

初一数学中的绝对值概念和性质经常出现在各类题目中，通过运用这些性质，我们可以解决一些实际问题。

以下是一些初一去绝对值的例题：
1. 如果|a|=3，那么a的值是多少？
解：根据绝对值的定义，|a|表示a与0之间的距离，所以a可能是正数3或负数-3，即a=±3。

2. 如果a的绝对值是5，那么-a的绝对值是多少？
解：根据绝对值的性质，-a的绝对值也是5，即|-a|=5。

3. 如果|x-3|=2，那么x的值是多少？
解：根据绝对值的定义，|x-3|表示x与3之间的距离，所以x-3可能是正数2或负数-2。

解得x=1或x=5。

4. 如果|x+2|=x+2，那么x的取值范围是多少？
解：由于绝对值的结果非负，所以x+2≥0，解得x≥-2。

5. 化简下列式子：|a+3|+|a-5|。

解：根据绝对值的性质，当a≥-3时，|a+3|=a+3；当a＜-3时，|a+3|=-(a+3)。

同理，当a≥5时，|a-5|=a-5；当a＜5时，|a-5|=-(a-5)。

综合讨论可得：
当a≥5时，原式=a+3+a-5=2a-2；
当-3≤a＜5时，原式=a+3-(a-5)=8；
当a＜-3时，原式=-(a+3)-(a-5)=-2a+2。

这些例题主要考察了初一数学中绝对值的基本概念、性质以及应用。

在解题过程中，我们需要灵活运用这些性质，并注意分类讨论。

第一章有理数知识梳理】1．数轴：数轴三要素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的。

2．2．相反数实数a 的相反数是－a；若a 与b 互为相反数，则有a+b=0，反之亦然；几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

3．3．倒数：若两个数的积等于1，则这两个数互为倒数。

4．绝对值：代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0；几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离5．科学记数法：，其中。

6．实数大小的比较：利用法则比较大小；利用数轴比较大小。

7．在实数范围内，加、减、乘、除、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能行，如负数不能开偶次方。

实数的运算基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算。

正确的确定运算结果的符号和灵活的使用运算律是掌握好实数运算的关键。

、选择题。

2． a,b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示：把 a,-a,b,-b 按照从小到大的顺序排列A -b < -a < a < bB -a < -b <a <bC -b < a < -a < bD -b <b < 1． 下列说法正确的个数是①一个有理数不是整数就是分数 ③一个整数不是正的，就是负的 A 1B 2C 3D 4( )②一个有理数不是正数就是负数 ④一个分数不是正的，就是负的-a <a3． 下列说法正确的是①0 是绝对值最小的有理数 ③数轴上原点两侧的数互为相反数 小A ①②B ①③C ①②③ 4.下列运算正确的是C 3÷( )②相反数大于本身的数是负数 ④两个数比较，绝对值大的反而D ①②③④ ( )B －7－ 2×5=－9× 5=－45 D － (-3)2=-95.若a+b< 0,ab<0,则( )A a>0,b>0B a<0,b< 0C a,b 两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值D a,b 两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg,（25 ±0.2）kg, （25±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A 0.8kgB 0.6kgC 0.5kgD 0.4kg7.一根1m 长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（）A ( )5mB [1－( )5]mC ( )5mD [1 －( )5]m8．若ab≠ 0,则的取值不可能是A 0B 1C 2D -2二、填空题。

初一数学绝对值难题解析Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a|＝a（当a≥0）,|a|＝－a（当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0∴a－b＜0c＜0，b＞0∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||。

解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6|。

初一数学绝对值知识点总结归纳在初一数学中，绝对值是一个重要的概念，它常常用于解决数轴上的问题以及计算各种数值的差值。

下面我将对初一数学中的绝对值知识点进行总结归纳，以便我们更好地理解和应用这一概念。

一、绝对值的定义及性质绝对值是一个非负数，表示一个数与零之间的距离。

用符号表示，即|a|，其中a表示任意实数。

1. 绝对值的定义：- 当a大于或等于零时，|a|等于a本身，即|a| = a。

- 当a小于零时，|a|等于a的相反数，即|a| = -a。

2. 绝对值的性质：- 非负性质：对于任意实数a，|a|大于或等于零，即|a| >= 0。

- 正负性质：对于任意实数a，当a大于零时，|a|等于a本身；当a小于零时，|a|等于a的相反数。

- 同值性质：对于任意实数a，如果a的绝对值等于b的绝对值，那么a和b相互等于或相互取相反数。

二、绝对值的运算法则绝对值在数学运算中有一些特殊的法则，这些法则可以帮助我们简化计算过程。

1. 绝对值与加法的法则：- |a + b|小于或等于|a| + |b|，即 |a + b| <= |a| + |b|；- 当且仅当a和b同号时，等号成立，即|a + b| = |a| + |b|。

2. 绝对值与减法的法则：- |a - b|小于或等于|a| + |b|，即 |a - b| <= |a| + |b|；- 当且仅当a和b同号时，等号成立，即|a - b| = |a| - |b|。

3. 绝对值与乘法的法则：- |a * b|等于|a| * |b|，即 |a * b| = |a| * |b|。

4. 绝对值与除法的法则：- |a / b|等于|a| / |b|，即 |a / b| = |a| / |b|（当b不等于0时）。

三、绝对值的应用举例绝对值在解决数轴上的问题和计算数值差值时非常常见。

下面我们用几个例子来说明绝对值的具体应用。

1. 数轴上的问题：- 某人从家出发向右行走5千米，然后又向左行走3千米，最后停在哪个位置？解：我们将向右行走的距离设为正，向左行走的距离设为负。

初一绝对值知识点总结归纳绝对值是数学中的一个重要概念，它用来表示一个数与零之间的距离。

在初一阶段的数学学习中，我们会遇到一些关于绝对值的基本概念和应用问题。

本文将对初一绝对值的知识点进行总结归纳，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、绝对值的定义绝对值的定义是：对于任意实数x，记为|x|，它的值有两种可能：1. 当x≥0时，|x| = x；2. 当x<0时，|x| = -x。

二、绝对值的性质1. |x| ≥ 0，绝对值大于等于零；2. |x| = 0 当且仅当 x = 0；3. |-x| = |x|，绝对值的绝对值等于它本身；4. |xy| = |x|⋅|y|，绝对值的乘积等于各个绝对值的乘积；5. |x/y| = |x|/|y|，绝对值的商等于被除数绝对值与除数绝对值的商。

三、绝对值的应用问题1. 判断一个数的相对大小：对于两个不同的数a和b，可以比较它们的绝对值大小来判断它们的相对大小。

若|a| > |b|，则a的绝对值大于b的绝对值，可以得出a的值较大。

2. 求两个数之差的绝对值：若两个数a和b的差为d，可以用|a - b|来表示它们之间的距离，无论a和b的大小关系，d的绝对值都是相同的。

3. 解绝对值方程：绝对值方程是指含有绝对值的方程，解绝对值方程时需要考虑绝对值的两种情况:(1) 当|x| = a时，可能有两种情况：x = a 或 x = -a。

(2) 当|x| = b时，可能有两种情况：x = b 或 x = -b。

四、简单练习题1. 求下列各数的绝对值：(1) |-6| = 6(2) |7| = 7(3) |0| = 0(4) |-3.5| = 3.52. 比较下列各组数的大小并用括号标出较大的数：(1) -5和2，答案：|-5| = 5，|2| = 2，所以|-5| > |2|，即-5 > 2。

(2) -3和-8，答案：|-3| = 3，|-8| = 8，所以|-3| < |-8|，即-3 < -8。

课题绝对值的概念及求解授课时间2小时教学背景试用教材：人教版试用对象：新升入初一的学生，数学成绩中等水平，讲解绝对值的相关概念时通过举例发现的方式引导学生自己发现和总结规律；对于绝对值的求解则重点注意求解过程中的易错点，比如变号等。

整堂课的知识点讲解和习题以基础为主，侧重于培养学生对数学的兴趣和信心，掌握学习方法和思维。

教学目的1、理解绝对值的意义，会求某个数的绝对值；2、会根据要求把给出的负责的绝对值进行化简，了解“分类讨论”在初中数学中的应用。

教学内容观察问题1：两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处。

问：1、他们行驶的路线相同吗？2、他们行驶的路程（线段OA、OB的长度）相等吗？问题2：在数轴上找到-5、5、-、、0问：1、-5在数轴上对应的点到原点的距离为（）；5在数轴上对应的点到原点的距离为（）2、-在数轴上对应的点到原点的距离为（）；在数轴上对应的点到原点的距离为（）3、0到原点的距离是（ ）由上述两问题我们得到什么启发？在实际生活中，有时存在这样的情况，无需考虑数的正负性质，比如在计算车所跑的路程中，与车跑的方向无关，这时所走的路程只需用正数，这样就引进了一个新的概念——绝对值。

一、绝对值◆数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|，读作“a 的绝对值”。

例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3。

【注意】：1、一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离，由于距离总是正数和零，所以一个数的绝对值是正数或零，即是一个非负数，这就是绝对值的一个重要性质——非负性。

● 绝对值的意义1、几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。

离原点的距离越远，绝对值越大；反之离原点距离越近，绝对值越小。

2、代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

第二讲相反数和绝对值一、知识梳理1.相反数的概念2.相反数的表示方法以及性质判定3.有理数多重符号的化简4.绝对值的概念5.绝对值的性质6.利用绝对值比较大小二、课堂例题精讲与随堂演练知识点1：相反数的概念（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如－1999与1999互为相反数。

（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。

如5与－5是互为相反数。

（3）0的相反数是0。

也只有0的相反数是它的本身。

（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。

例1 5的相反数是( )A. -5B. 5C.D.例2 下列判断不正确的有（）①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有的有理数都有相反数；④相反数是符号相反的两个点．A.1个B.2个C.3个D.4个【分析与解答】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本【随堂演练】【A类】1．写出下列各数的相反数：526,8, 3.9,,,100,0211---【B类】2. -7的相反数的倒数是（）知识点2：相反数的表示在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数。

若表示一个有理数，则的相反数表示为－。

在一个数的前面添上“+”号仍与原数相同。

例如，＋7=7，特别地，＋0=0，－0=0。

若互为相反数，则，反之若，则互为相反数。

例3下面说法中正确的是（）C ．-a 的相反数是正数；D ．两个表示相反意义的数是相反数．【分析与解答】 互为相反的数应是数字相同，符号不同的数．A 中的两个数是互为倒数，它们不是互为相反数，要注意区别相反数与倒数；B 中的两个数的符号不同，数字相同，81=0.125，所以它们是互为相反数；C 中的-a 不一定是负数，若a 是负数，则-a 是正数，正数的相反数是负数；D 中要注意区别相反数和相反意义的量，在数轴上互为相反数是在原点两旁，并且与原点距离相等的两个数，相反意义的量则不同，如向东行40米和向西行50米是相反意义的量，不是相反数．根据分析，A.C.D 均错，只有B 对， ∴选B【随堂演练】【A 类】3.填空【B 类】4.若4-=a ，则________=-a ．若3.2+=a ，则_________=-a ；若1=-a ，则_____=a ；若2-=-a ，则_____=a ；如果a a =-，那么_____=a ．知识点3：多重符号化简（1）相反数的意义是简化多重符号的依据。

初一数学绝对值难题解析考验它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，绝对值是初一数学的一个重要知识点，的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

（0）（当a＜0）, |a|＝－a 即|a|＝a（当a≥2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

（灵活应用绝对值的基本性质：0)≠|a/b|＝|a|/|b|(b＝|a|·|b|；（3）（1）|a|≥0；（2）|ab| ；|a|＋|b|≤|a－b|≤b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|＋（4）|a|－|b|≤|a ，在什么条件下成立？|a|＋|b|思考：|a＋b|＝，在什么条件下成立？－|b||a－b|＝|a| 常用解题方法：）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（1 ）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（2 ）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

（3 例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用的点在原点左侧，请化简下cb两个数的点如图所示，并且已知表示1、在数轴上表示a、列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0c＜0，b＞0 ∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。

解：∵x＜－1 ∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。

解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6) ＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；1，＋bb－a＝aa，由已知|a－b|＝a＋b，得－当ab＜0时，a＜b，|a－b|＝b－；＞0a＝0，这时b解得）是正确的。

初一数学绝对值经典练习题绝对值是数学中常见的概念之一，初一阶段学生学习绝对值也是很重要的一部分。

下面我将给你提供一些初一数学中关于绝对值的经典练习题，并解答每个题目。

1.计算以下绝对值：a) |3| b) |-5| c) |0| d) |-3| e) |10|解答：a) |3| = 3b) |-5| = 5c) |0| = 0d) |-3| = 3e) |10| = 102.计算下列绝对值：a) |7 - 9|b) |12 - 7|c) |5 - 5|d) |-9 + 9|e) |11 - 17|解答：a) |7 - 9| = |-2| = 2b) |12 - 7| = |5| = 5c) |5 - 5| = |0| = 0d) |-9 + 9| = |0| = 0e) |11 - 17| = |-6| = 63.解方程：a) |x - 5| = 3b) |2x + 1| = 7c) |7 - x| = 4d) |5x - 3| = 0e) |x + 1| = |x - 1|解答：a) |x - 5| = 3当x - 5 > 0时，x - 5 = 3，解得x = 8；当x - 5 < 0时，-(x - 5) = 3，解得x = 2；所以方程的解为x = 8或x = 2。

b) |2x + 1| = 7当2x + 1 > 0时，2x + 1 = 7，解得x = 3；当2x + 1 < 0时，-(2x + 1) = 7，解得x = -4；所以方程的解为x = 3或x = -4。

c) |7 - x| = 4当7 - x > 0时，7 - x = 4，解得x = 3；当7 - x < 0时，-(7 - x) = 4，解得x = 11；所以方程的解为x = 3或x = 11。

d) |5x - 3| = 0当5x - 3 > 0时，5x - 3 = 0，解得x = 0.6；当5x - 3 < 0时，-(5x - 3) = 0，解得x = 0.6；所以方程的解为x = 0.6。

第三讲 绝对值通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）＜0)（3）若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b≠0）； （7）|a|2=|a 2|=a 2； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b| [例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2 （4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。

绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值小于 3.1的整数有哪些？它们的和为多少？<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。

2018长沙初一数学绝对值知识点梳理
绝对值
(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.
①互为相反数的两个数绝对值相等;
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，
没有绝对值等于负数的数.
③有理数的绝对值都是非负数.
(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取
值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a;
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a;
③当a是零时，a的绝对值是零.
即|a|={a(a>0)0(a=0)﹣a(a<0)