九年级数学游戏公平吗

章节测试题1.【题文】如图，假设可以随机在图中取点，（1）这个点取在阴影部分的概率是_______；（2）在保留原阴影部分情况下，请你重新设计图案（直接在图上涂阴影），使得这个点取在阴影部分的概率为.【答案】(1) ；（2）见解答，答案不唯一【分析】（1）用阴影部分的面积除以图形总面积即可；（1）使所设计图案阴影部分的面积占整个图案面积的即可.【解答】(1)1÷7=（2）如图所示（红色部分），答案不唯一2.【题文】游戏者同时转动如图的两个转盘进行“配紫色游戏”，若要使游戏者获胜的概率为，转盘B不动，转盘A应该如何设计？并写出解答过程说明理由．【答案】将转盘A平均分成10分，一份是蓝色，一份是红色，其他是绿色．说明理由见解答【分析】B转盘有2种情况，A转盘有3种情况，要想获胜的概率为，则应让转盘A 分成10份，使配成紫色的情况数有2种即可．【解答】将转盘A平均分成10分，一份是蓝色，一份是红色，其他是绿色．则共有20种，能配成紫色的情况有两种，∴P（配成紫色）＝3.【题文】在不透明的袋子中装有5个红球和8个黄球，每个球除颜色外都相同．（1）从中任意摸出一个球，摸到球的可能性大．（2）如果再放入若干个黄球并摇匀，随机摸出一个球是红球的概率是，请问放入了多少个黄球？【答案】（1）黄；（2）2．【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大；（2）由红球所占的份数可求出总数目，进而可求出放入黄球的个数．【解答】（1）摸到红球的概率为=，摸到黄球的概率为：，所以摸到黄球的可能性大．故答案为：黄；（2）∵随机摸出一个球是红球的概率是，∴总的小球数=5÷=15（个），∴放入黄球的个数=15-13=2．4.【题文】学生甲与乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：甲手中有6、8、10 三张扑克牌，乙手中有 5、8、9 三张扑克牌，每局比赛时，两人从各自手中随机取一张牌进行比较，数字大的则本局获胜．（1）若每人随机取出手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况；（2）求学生乙一局比赛获胜的概率．【答案】（1）详见解答；（2）．【分析】(1)根据题意可以写出所有的可能性；(2)根据(1)中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：(1)由题意可得，每人随机取出手中的一张牌进行比较的所有情况是：，，，，，，，，．(2)由()知共有9种等可能的情况，学生乙获胜的情况有：，，，所以学生乙一局比赛获胜的概率是：．故答案为：(1)见解答；(2)．5.【题文】小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．【答案】（1）；（2）该游戏公平．【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平．【解答】解：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率= ；（2）该游戏公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为4，所以小王胜的概率= ；两次的数字都是偶数的结果数为4，所以小张胜的概率= ，因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，所以该游戏公平．6.【题文】某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据动转盘的次数n100 150 200 500 800 1000落在“铅笔”的次数m68 111 136 345 546 701落在“铅笔”的频率0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70（结果保留小数点后两位）（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为______；（结果保留小数点后一位）（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．【答案】（1）0.7；（2）该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）36【分析】（1）利用频率估计概率求解；（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）=3000，然后解方程即可．【解答】（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；故答案为: 0.7（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000，所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）＝3000，解得n＝36，所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．故答案为36．7.【答题】下列事件是必然事件的是（）A. 乘坐公共汽车恰好有空座B. 同位角相等C. 打开手机就有未接电话D. 三角形内角和等于180°【答案】D【分析】本题考查了必然事件。

2021-2022学年浙教新版九年级上册数学《第2章简单事件的概率》单元测试卷一．选择题1．甲、乙两人投掷两个普通的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，掷出“和为8”算乙赢，这个游戏是否公平？（）A．公平B．对甲有利C．对乙公平D．不能判断2．在一个不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出：一个球，可能性最大的是（）A．白球B．红球C．黄球D．黑球3．若气象部门预报明天下雨的概率是80%，下列说法正确的是（）A．明天有80%的地方下雨B．明天一定会下雨C．明天有80%的时间下雨D．明天下雨的可能性比较大4．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（）A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大5．小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为（）A．B．C．D．16．在六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．B．C．D．7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点8．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（）A．瓜熟蒂落B．旭日东升C．守株待兔D．夕阳西下9．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（）A．0.95B．0.90C．0.85D．0.8010．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A．红球比白球多B．白球比红球多C．红球，白球一样多D．无法估计二．填空题11．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率稳定在．12．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为．（结果要求保留两位小数）13．某班有男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是0.4，则抽到女生的概率是．14．小丽与小华做硬币游戏，任意掷一枚均匀的硬币两次，游戏规定：如果两次朝上的面不同，那么小丽获胜；如果两次朝上的面相同，那么小华获胜．你认为这样的游戏公平吗（填“公平”，“不公平”）．15．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子六个面上分别标以1，2，3，4，5，6六个点数），则骰子面朝上的点数大于4的可能性大小是．16．一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球，按发生的可能性大小从小到大依次排序为（只填写序号）．17．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每5000次事件A发生的次数是．18．甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子（每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字），如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是．19．同时掷两个质地均匀的骰子，则两个骰子的点数和是10的概率为．20．哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方（填“公平”或“不公平”）．三．解答题21．随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9：00～10：00统计的收件情况：重量G（千克）0＜G≤11＜G≤22＜G≤33＜G≤44＜G≤5G＞5件数13514011065500试根据以上所提供的信息，解决下列问题：（1）求包裹重量为1＜G≤2的概率；（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费．问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．22．一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球．（1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性；（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？23．口袋里有除颜色外都相同的4个球，其中有红球、白球和蓝球．甲乙两名同学玩摸球游戏．规定：无论谁从口袋里随意摸出一个球，摸到红球，算甲赢；摸到白球，算乙赢；摸到蓝球，不分输赢．每一次摸球，根据球的颜色决定输赢后，将球放回口袋里搅匀后下次再摸球．设计下列游戏：（1）要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？（2）要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红球、白球和蓝球各多少个？24．某商店在四个月的试销期内，只销售A、B两个品牌的电视机，共售出400台．如图1和图2为经销人员正在绘制的两幅统计图，请根据图中信息回答下列问题．（1）第四个月两品牌电视机的销售量是多少台？（2）先通过计算，再在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线：（3）为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，抽到A品牌和抽到B品牌电视机的可能性哪个大？请说明理由．25．如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面三种中选一种：（1）猜“是奇数”或“是偶数”；（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；（3）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由！26．甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元．（1）请将两家公司各一名推销员的日工资y（单位：元）分别表示为日销售件数n的函数关系式；（2）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图、若记甲公司该推销员的日工资为y1，乙公司该推销员的日工资为y2（单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．27．盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：摸棋的次数n1002003005008001000摸到黑棋的次数m2451761242012500.2400.2550.2530.2480.2510.250摸到黑棋的频率（精确到0.001）（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是；（精确到0.01）（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由参考答案与试题解析一．选择题1．解：两骰子上的数字之和是7的有3+4＝7；4+3＝7，2+5＝7；5+2＝7，1+6＝7；6+1＝7共6种情况，和为8的有2+6＝8；6+2＝8，3+5＝8；5+3＝8；4+4＝8共5种情况，甲赢的概率大，故选：B．2．解：∵不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，共有8个球，∴摸出白球的概率是，摸出红球的概率是＝，摸出黄球的概率是＝，摸出黑球的概率是，∵＜＝＜，∴从袋中任意摸出：一个球，可能性最大的是黑球；故选：D．3．解：气象部门预报明天下雨的概率是80%，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D 合题意．故选：D．4．解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是，摸出白球的概率是，摸出红球的概率是，∵＜＜，∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D．5．解：∵掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，∴她第11次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：．故选：B．6．解：∵六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，六个数，无理数的是π，，∴从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：．故选：B．7．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：B．8．解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；C．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．故选：C．9．解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．故选：B．10．解：需要大量重复实验，才能得出结论．本题无法估计盒中红球和白球的个数．故选：D．二．填空题11．解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是．故答案为：．12．解：∵抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，∴依此我们可以估计该产品合格的概率为0.99，故答案为：0.99．13．解：抽到女生的概率是1﹣0.4＝0.6．14．解：任意掷一枚均匀的硬币两次，朝上的情况有正正、反反、正反、反正四种情况，所以两次朝上的面不同或两次朝上的面相同的概率相等，即游戏公平．15．解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，掷得面朝上的点数大于4的概率是：＝；故答案为：．16．解：∵共有10+20+30＝60（个）球，∴①摸到白球的概率是＝，②摸到黄球的概率是＝，③摸到红球的概率是＝，∴发生的可能性大小从小到大依次排序为①②③，故答案为①②③．17．解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：5000×＝200．故答案为：200．18．解：∵1，2，3，4，5，6这六个数字中大于3的数字有3个：4、5、6，∴P（甲获胜）＝；∵1，2，3，4，5，6这六个数字中小于3的数字有2个：1、2，∴P（乙获胜）＝；∵，∴获胜的可能性比较大的是甲．故答案为：甲．19．解：易得有6×6＝36种可能，两个骰子的点数和是10的有4，6；5，5；6，4共3种，所以概率是．20．解：列树状图得：共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以该游戏对双方不公平．三．解答题21．解：（1）1＜G≤2的概率记为P，则P＝，∴包裹重量为1＜G≤2的概率为28%；（2）①按公司收费标准付费，则费用S1＝10+2×（3﹣1）＝10+4＝14（元）；②按平均费用付费，则费用S2＝＝；∵13.02＜14，∴选择平均费用付费合算．22．解：（1）∵从中随意摸出一个球的所有可能的结果个数是5，随意摸出一个球是红球的结果个数是2，∴从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是；（2）设需再加入x个红球．依题意可列：，解得x＝4，经检验x＝4是原方程的解，∴要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入4个红球．23．解：（1）要使甲、乙两人赢的可能性相等，口袋里应放红球1个，白球1个，蓝球2个；（2）要使甲赢的可能性比乙赢的可能性大，口袋里应放红球2个，白球1个，蓝球1个．24．解：（1）根据题意得：400×（1﹣15%﹣30%﹣25%）＝120（台），答：第四个月两品牌电视机的销售量是120台；（2）三月份的销售额是：400×25%＝100（台），则三月份B品牌电视机销量是100﹣50＝50（台），四月份B品牌电视机销量是400×30%﹣40＝80（台），补图如下：（3）∵第四个月售出的电视机共有120台，其中销售A品牌有40台，B品牌有80台，∴抽到A品牌的概率是＝，抽到B品牌电视机的概率是＝，∴抽到B品牌电视机的可能性大．25．解：（1）共有10种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有5种，“是偶数”的也有5种，因此“是奇数”“是偶数”的可能性都是50%，（2）共有10种等可能出现的结果数，其中“是3的倍数”的有3种，“不是3的倍数”的7种，因此“是3的倍数”可能性是30%，“不是3的倍数”的可能性是70%，（3）共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于6的数”的有4种，“不是大于6的数”的有6种，因此“是大于6的数”可能性是40%，“不是大于6的数”的可能性是60%，因此，猜数者选择“不是3的倍数”，这样获胜的可能性为70%，获胜的可能性最大．26．解：（1）y甲＝80+n，当n≤45时，y乙＝120，当n＞45时，y乙＝120+8（n﹣45）＝8n﹣240，所以y乙＝，答：两家公司的推销员日工资y与日销售件数n的函数关系式分别为y甲＝80+n，y乙＝；（2）选择乙公司，理由如下：从条形统计图所反映的数据可计算：甲公司销售员的日销售工资为y1＝80+＝125（元），乙公司销售员的日销售工资为y2＝＝136（元），因为125＜136，所以选择乙公司，27．解：（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，故答案为：0.25；（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25＝1，则白棋子的个数为3，画树状图如下：由表可知，所有等可能结果共有12种情况，其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，所以这两枚棋颜色不同的概率为．。

九年级数学解码专训一：利用概率判断游戏规则的公平性名师点金：通过计算概率判断游戏是否公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．利用概率判断摸球游戏的公平性1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率；(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．利用概率判断转盘游戏的公平性2．如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．(第2题)利用概率判断掷骰子游戏的公平性3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平？(第3题)解码专训二：概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式(组)中的应用1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________． 2．甲、乙两名同学投掷一枚均匀的正六面体骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________． (2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，求点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记数字为x ，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记数字为y.(1)计算由x ，y 确定的点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率； (2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x ，y 满足xy>6，则小明胜；若x ，y 满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)解码专训三：几种常见热门考点名师点金：概率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查．判断事件类型1．下列事件中，是必然事件的为( ) A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B ．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃ C ．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾 D ．打开电视，正在播放节目《中国好声音》 2．下列事件，是随机事件的是( ) A ．四边形的内角和为180°B ．袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球C ．2016年巴西举办奥运会D ．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限求事件的概率3．(2015·河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( )A .12B .13C .15D .164．有七张正面分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a(a －3)＝0有两个不相等的实数根的概率是________．5．(2015·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有________名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第5题)用频率估计概率6．一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个，它们除颜色不同外其余均相同．小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可知盒中大约有白球________个．游戏的公平性问题7．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)童童和乐乐想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变公平．(第7题)答案解码专训一1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为24＝12.(2)画树状图如图：(第1题)∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，∴两个球上的数字之和为偶数的概率为412＝13.(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，∴P(甲胜)＝612＝12，P(乙胜)＝612＝12，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．2．解：(1)列表如下：(2)由表格可知，S＝x＋y的值有12种等可能的结果，其中S＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝412＝13，所以乙获胜的概率为23，因为13＜23，所以这个游戏不公平，对乙有利．3．解：(1)设D 地车票有x 张，则x ＝(x ＋20＋40＋30)×10%，解得x ＝10，即去D 地的车票有10张，补全统计图如图所示：(第3题(1))(2)小胡抽到去A 地的概率为2020＋40＋30＋10＝15.(3)列表如下：(第3题(3))或画树状图如图：可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38；则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－38＝58，因为38≠58， 所以这个规则对双方不公平．解码专训二1.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴使不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)1183．解：画树状图如图所示：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14. 4．解：(1)方法一：列表如下：4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13. 方法二：画树状图如图所示：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(答案不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.解码专训三1．C 2.D 3.B4.475．解：(1)60(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为1－25%－20%－20%－15%2＝10%， 所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.(3)画树状图如图：(第5题)或列表如图：由树状图(况有2种，故P(恰好选中甲和乙)＝26＝13.6．247．解：(1)P(随机抽取一张卡片，恰好得到数字2)＝12.(2)画树状图如下：(第7题)从树状图中可以看出所有等可能的结果共有16种，组成的两位数不超过32的有10种，∴P(组成的两位数不超过32)＝1016＝58，∴P(童童胜)≠P(乐乐胜)，∴游戏规则不公平．将游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，则童童胜，反之乐乐胜．(答案不唯一)。

公平不公平概率来评评在解决等可能事件的概率计算问题时，常常与“游戏公平与否”不期而遇.其实，这类问题实质上就是分别求两者在等可能事件中的概率，再进行比较大小.例1 如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A 为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．解析：（1）1 4（2）这个游戏规则不公平．理由：画树状图如图所示：由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果有5种，所以P（甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A）＝5 16.因为14＜516，所以这个游戏规则不公平．例2小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．解析：（1）用表格表示所有可能出现的结果如下：由表格知，总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中“差的绝对值”为0，1，2的结果有24种，“差的绝对值”为3，4，5的结果有12种，所以，P（小伟胜）=2436=23，P（小梅胜）=1236=13.（2）因为23≠13，所以上述游戏不公平.根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，可将游戏规则修改为：两次掷的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜. （答案不唯一）。

专题2 简单事件的概率题型一 事件的分类例 1 下列事件为必然事件的是( D ) A ．打开电视机，它正在播广告B ．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖C ．抛掷一枚硬币，一定正面朝上D ．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7【解析】 打开电视机，它正在播广告是随机事件，A 错误；某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖是随机事件，B 错误；抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件，C 错误；投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7是必然事件，D 正确．变式跟进1．下列说法不正确的是( C )A ．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件B ．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件C ．“在标准大气压下，当温度降到－5 ℃时，水结成冰”属于随机事件D ．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件题型二 概率的意义及计算例 2 将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3的差不大于2的概率是( D ) A.12 B.13 C.23 D.56【点悟】 利用P (A )＝mn求事件A 的概率时，要注意正确计算所有可能的结果数n 和事件A 包含的可能的结果数m ，对于几何型的概率问题，要注意各部分面积的关系，抓住“概率等于相应的面积与总面积比”，这是解决几何类型概率问题的关键．变式跟进2．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( C ) A ．每2次必有1次正面向上 B ．必有5次正面向上 C ．可能有7次正面向上 D ．不可能有10次正面向上3．[2017·高邮二模]平面直角坐标系xOy 中有四点A (－2，0)，B (－1，0)，C (0，1)，D (0，2)，在A ，B ，C ，D 中取两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰直角三角形的概率是__12__．第3题答图【解析】 如答图，在A ，B ，C ，D 中取两点与点O 为顶点作三角形一共可作4个三角形，其中所作三角形是等腰直角三角形的有2个，∴P (所作三角形是等腰直角三角形)＝24＝12.题型三 用画树状图或列表法求概率例 3 将如图1所示的牌面数字1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．图1(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是__12__；(2)从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是__16__；(3)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率． 解：(1)1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为奇数的概率为24＝12；(2)只有2＋4＝6，一种可能但组合一共有3＋2＋1＝6(种)，故概率为16；(3)列表如下：其中恰好是3的倍数的有12，21，24，33，42五种结果．∴P (3的倍数)＝16.【点悟】 一般地，涉及两步的随机事件的概率，既可以用列表法也可以用画树形图法，涉及三步以上的随机事件的概率，通常用画树形图法求．值得注意是，在利用列表法、画树形图法求概率时，各种情况出现的可能性必须相等，否则会产生错误．变式跟进4．[2017·垫江校级月考]已知四张卡片上分别写有四个数－1，0，1，2，它们除数字不同外其余全部相同，先从中随机抽取一张，将抽到的卡片上的数字记为x ，不放回再随机抽取一张记为y ，则点(x ，y )落在y ＝x 2－x ＋1的图象上的概率为 __112__． 【解析】 画树状图如答图，第4题答图共有12种等可能的结果数，其中点(x ，y )落在y ＝x 2－x ＋1的图象上的只有(0，1)一种，故概率为112.5．[2017·泰兴校级二模]某校“文化氧吧”有A ，B ，C ，D 四本书是小明想读的，但他现阶段只打算选读两本． (1)若小明已选A 书，再从其余三本书中随机选一款，恰好选中C 的概率是__13__；(2)小明随机选取两本书，请用树状图或列表法求出他恰好选中A ，C 两本的概率． 解：(1)∵小明已选A 书，再从其余三本书中随机选一款， ∴恰好选中C 的概率是13；(2)画树状图如答图，第5题答图共12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P (选中A ，C )＝212＝16.题型四 用频率估计概率例 4 小明和小亮两位同学做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，他们共做了100次实验，实验的结果如下：(1)计算“2(2)小明说：“根据实验，一次实验中出现3点朝上的概率最大”．小亮说：“如果投掷1 000次，那么出现5点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明投掷一枚骰子，计算小明投掷点数不小于3的概率． 解：(1)“2点朝上”的频率为15100＝0.15；“4点朝上”的频率为16100＝0.16；(2)小明的说法错误，因为只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近； 小亮的说法是错误的，因为事件发生具有随机性； (3)P (点数不小于3)＝46＝23.变式跟进6．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．(1)若先从盒子里拿走m 个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”，则m 的最大值为__5__；(2)若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，问 n 的值大约是多少？ 解：(1)根据题意得，拿走m 个黄球后，不透明的盒子中至少还有一个黄球， 则m 的最大值为6－1＝5；(2)根据题意，得2＋6n ＋2＝0.4，解得n ＝18.题型五 判断游戏公平性问题例 5 小明和小刚用如图2所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜． (1)请用列表或树状图法求出小明胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由．图2解：(1)画树状图如答图，例5答图共有9种等可能的结果数，其中不能配成紫色的结果数为7，∴小明胜的概率＝79；(2)这个游戏不公平．理由如下： ∵能配成紫色的结果数为2， ∴小刚胜的概率＝29，而小明胜的概率＝79，79＞29，∴这个游戏不公平．变式跟进7．小王和小明玩一个游戏，规则如下：把分别写有1，2，3，4的四张卡片全都放入一个暗盒中，每次摇匀后每人摸出一张，算出这两张上的数字之“和”，当“和”为奇数时，小王胜，当“和”为偶数时，小明胜，玩了一会，小王对小明说：“好像这个游戏不公平，但我说不清道理．” (1)这个游戏真的不公平吗？对谁有利？请你说明道理；(2)若真的不公平，能否只改动一张卡片上的数字，使该游戏公平？请把你的改动方案表述在下面，供同学们分享．解：(1)不公平．理由：∵两张卡片上的数字之和有以下几种情况：2＋1＝3；3＋1＝4；3＋2＝5；2＋4＝6；1＋4＝5；3＋4＝7，共6种情况，其中2个偶数，4个奇数，即出现偶数的概率为13，而出现奇数的概率为23，23＞13，小王划算，此规则不公平；(2)把分别写有1，2，3，4的四张卡片，换成分别写有0，2，3，4的四张卡片即可．过关训练1．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队； ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上； ③任取两个整数，其和大于1；④长分别为2，4，8 cm 的三条线段能围成一个三角形． 其中不确定事件的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．[2016·金华]小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A ) A.14 B.13 C.12 D.34 【解析】 列表如下：1种，则所求概率P ＝14.3．[2017·曹县模拟]“服务他人，提升自我”，某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(3男2女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是( D ) A.16 B.15 C.25 D.35【解析】 根据题意画树状图如答图：第3题答图一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，∴P (恰好是一男一女)＝1220＝35.4．[2017·垫江校级月考]小杰和爸爸妈妈一起去奥体看球赛，他们买了3张连号的票，小杰挨着爸爸坐的概率是( C )A.12B.13C.23D.34【解析】 设小明为A ，爸爸为B ，妈妈为C ，则所有的可能性是(ABC )，(ACB )，(BAC )，(BCA )，(CAB )，(CBA )，∴小杰挨着爸爸坐的概率是46＝23.5．[2017·杭州模拟]2017年参加杭州市体育中考的学生需从耐力类(游泳和男生1 000 m 或女生800 m)、力量类(实心球和男生引体向上或女生仰卧起坐)、跳跃类(立定跳远和一分钟跳绳)三大类中各选一项作为考试项目，小明已经选了耐力类游泳，则他在力量类和跳跃类中，选“实心球和立定跳远”这两项的概率是__14__．【解析】 画树状图如答图：第5题答图∴选“实心球和立定跳远”这两项的概率是14.6．一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球． 解：(1)∵红、黄、蓝、白的球各一个，∴搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为14；(2)列表：∴两次都是红球的概率为116.7．在一个布袋中装有只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1个，甲、乙两人进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球． (1)试用树状图(或列表)的方法表示摸球游戏所有可能的结果；(2)如果规定：乙摸到与甲颜色相同的球为乙胜，否则甲胜，你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 解：(1)所有可能的结果如表所示；(2)不公平，理由如下：∵摸球游戏所有可能出现的结果共有9种情况，每种结果出现的可能性相同， 乙摸到与甲颜色相同的球有3种情况，乙摸到与甲颜色不相同的球有6种情况， ∴乙在游戏中获胜的概率是39＝13，甲在游戏中获胜的概率是69＝23，∵13≠23，∴这个游戏对双方不公平． 8．《中国足球改革总体方案》提出足球要进校园，为了解某校学生对校园足球喜爱的情况，随机对该校部分学生进行了调查，将调查结果分为“很喜欢”、“较喜欢”、“一般”、“不喜欢”四个等级，并根据调查结果绘制成了如图1的两幅不完整的统计图；(1)一共调查了__30__名学生，请补全条形统计图；(2)在此次调查活动中，选择“一般”的学生中只有两人来自九年级，现在要从选择“一般”的同学中随机抽取两人来谈谈各自对校园足球的感想，请用画树状图或列表法求选中的两人刚好都来自九年级的概率．图1解：(1)根据题意得一共调查的学生有3÷10%＝30(名)； 调查结果为“一般”的人数为30－13－10－3＝4(名)． 补全统计图如答图①；第8题答图①(2)用A ，B 分别表示来自九年级的学生，C ，D 表示其他两个学生，画树状图如如答图②，第8题答图②∵共有12种等可能的结果，选中的两人刚好都来自九年级的有2种情况， ∴选中的两人刚好都来自九年级的概率为212＝16.。

游戏公平吗(导学案)
一、教学目标：
1.通过具体问题情境，让学生进一步体会如何评判一些游戏活动的公平性，对于不公平的游戏能够修改规则使其公平.
2.经历游戏实验、过程分析、结果探究等学习过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题.
3.让学生体会数学与生活的密切联系，使学生在学习活动中感受数学的价值，体验成功的愉悦，激发学生学习数学的兴趣.
二、重点：利用概率和获胜时的得分值评判游戏的公平性和制定公平的游戏规则.难点：利用列举法（列表或树状图）求一些较复杂事件发生的概率.
关键：把某一实验过程中所有可能发生的情况全部列举出来.
三、教学过程
1.前置补偿
2.学法指导
3.自主学习
4.合作探究
5.知识运用
6.网络构建
7.布置作业
色不同的小球，其中两个红球，三个黄球
，第二次再从盒子中摸出一个，
摸到红球的概率是多少
分，否则小
注重学习方
当两枚骰子的点数之积为奇数时，小
你认为小刚应当接受
搅匀后随机从袋中摸出
分，
其中一个转盘转动两次做游戏，你教师通
决较
个游戏公平吗？
双黑。

第2课时 利用概率判断游戏的公平性教学目标：1.进一步经历用树状图、列表法计算随机事件发生的概率.2.经历计算理论概率的过程,在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯.3.鼓励学生思维的多样性,发展学生的创新意识.教学重难点：重点:进一步经历用树状图或列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率. 难点:利用树状图或列表法求随机事件发生的概率.教学方法：讲授法、练习法教学课时：1教学过程：课堂导入利用树状图或表格,我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能性相同的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率.用画树状图和列表的方法求概率时,应注意各种结果出现的可能性务必相同.讲授新知问题 小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”:由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗?解:因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果:总共有9种可能的结果,每种结果出现的可能性相同.其中,两人手势相同的结果有3种:(石头,石头),(剪刀,剪刀),(布,布),所以小凡获胜的概率为39=13; 小明胜小颖的结果有3种:(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),所以小明获胜的概率为39 = 13; 小颖胜小明的结果有3种:(剪刀,石头),(布,剪刀),(石头,布),所以小颖获胜的概率为39=13.所以这个游戏对三人是公平的.[方法归纳]当一次试验涉及三个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图.范例应用例题:每人从1,2,…,6中任意选择一个数,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数字等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,,你会选择哪个数?解:因为小明和小军掷骰子出现的可能性相同,所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果:总共有36种可能的结果,,和为7出现的次数最多.所以得到点数之和是7的概率最大,即一般来说,选择7这个数获胜的可能性最大.[方法归纳]树状图或列表法都可以求两步完成的随机事件的概率.课堂练习1.小明和小亮做游戏,先是各自背着对方在纸上写一个不大于100的正整数,:若两人所写的数都是奇数或都是偶数,则小明获胜;若两个人所写的数一个是奇数,另一个是偶数,(C)A.对小明有利B.对小亮有利C.是公平的D.无法确定对谁有利2.一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均匀相同的乒乓球,每个球上面分别标有1,2,3,4,先从布袋中随机抽取一个球(不放回),再随机抽取第二个球.(1)请你列出所有可能的结果;(2)求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率.解:(1)画树状图列出所有可能出现的结果:共有12种结果.(2)积有2,3,4,2,6,8,3,6,12,4,8,12,共12种等可能的结果,其中,两次取得乒乓球数字之积为奇数的有2种.所以P (两次取得乒乓球的数字之积为奇数)=212=16.3.如图所示,如果有两组牌,它们的牌面数字分别是A(代表数学“1”),2,3,那么从每组牌中各摸出一张牌.(1)摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少?(2)摸出为两张牌数字相等的概率为多少?解:根据题意,表格列出所有可能出现的结果:解:(1)P(数字之和为4)=13.(2)P(数字相等)=13.4.现有A,B,C三盘包子,已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包,B盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包,C,如果老师从每个盘中各选一个包子(馒头除外),那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少?解:根据题意,画出树状图如图所示.由树状图,得所有可能出现的结果有18,它们出现的可能性相等,其中,选的包子全部是酸菜包有2(全部是酸菜包)=218=1 9 .5.把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组,每组3张,分别标上数字1,2,3,将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀,再从中各随机抽取一张.(1)试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率;(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数,则甲胜;若取出的两张卡片数字之和为偶数,则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.解:(1)用树状图列出所有可能出现的结果:从树状图可看出一共有9种可能的结果,,和为奇数有4种结果,所以P(和为奇数)=49.(2):因为P (和为偶数)=59,59≠49,所以这个游戏不公平.课堂小结1.当一次试验涉及两个因素时,用列表法较简便;当一次试验涉及3个或更多的因素时,用画树状图法较简便.2.在求概率时要正确区分“放回”和“不放回”事件.3.判断游戏的公平性.板书设计第2课时 利用概率判断游戏的公平性判断游戏的公平性:若游戏双方获胜的概率相等,则游戏公平;若双方获胜的概率不相等,则游戏不公平.教学反思本节是上一节课的升华,是继续学习用列表法或画树状图法求随机事件的概率的问题,,则表示公平,否则就不公平.但需要注意放回还是不放回的问题.。

一、选择题1．现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（）A．14B．12C．18D．1162．下列说法中正确的是（）A．通过多次试验得到某事件发生的频率等于这一事件发生的概率B．某人前9次掷出的硬币都是正面朝上，那么第10次掷出的硬币反面朝上的概率一定大于正面朝上的概率C．不确定事件的概率可能等于1D．试验估计结果与理论概率不一定一致3．下列事件中，必然事件是（）A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．366人中至少有2人的生日相同D．实数的绝对值是非负数4．下列事件中，属于必然事件的是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．三角形任意两边之差小于第三边C．一个三角形三个内角之和大于180°D．在只有红球的盒子里摸到白球5．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（）A．15B．310C．13D．126．某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是（）A．12B．13C．23D．167．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件8．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有()A．6个B．16个C．18个D．24个9．下列语句所描述的事件是随机事件的是（）A．经过任意两点画一条直线B．任意画一个五边形，其外角和为360°C．过平面内任意三个点画一个圆D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形10．某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为（）A．13B．23C．49D．5911．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃12．在四边形ABCD中，从以下四个条件中：①//AB CD②//AD BC③AD BC=④B D∠=∠，其中任选两个能判定四边形ABCD为平行四边形的概率为（）A．13B．12C．23D．56二、填空题13．从﹣2，﹣1，0，13，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程213axx+=-的解为非负数，且满足关于x的不等式组12321x ax⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩只有三个整数解的概率是_____．14．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2．15．同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是____________16．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有平行四边形、矩形、等腰三角形、菱形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为___________________．17．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色球共20只．其中，黑球6只试估算口袋中再加入黑球______只，才能使摸出黑球的概率是13？18．在一个不透明的盒子中，装有红、黄、绿三种只有颜色不同、其余均相同的小球各2个，从中任取一个球，取出的球为红色的概率为_____．19．一只小鸟自由自在在空中飞翔，然后随意落在下图中，则落在阴影部分的概率是______。

2022学年九年级数学上册第25章《概率初步》期末复习练一、选择题(每题3分，共30分)1．已知事件A:小明刚到教室，上课铃声就响了；事件B:掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别刻有1到6的点数）．向上一面的点数不大于6．下列说法正确的是()A．只有事件A是随机事件B．只有事件B是随机事件C．都是随机事件D．都是确定性事件2．春天园游会有一个摊位的游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置（落在分界线上重转），那么玩的人就可以从袋子中抽出一个弹珠．转盘和袋子里的弹珠如图25-4-1所示，抽到黑色的弹珠就能得到奖品，小刚玩了这个游戏，小刚得到奖品的可能性为()图25-4-1A．不可能B．非常有可能C．不太可能D．大约有50%的可能3．下列说法正确的是()A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天降雨的概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，lal≥0”是不可能事件4．关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是（）①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近．A．①③B．①④C．②③D．②④5．在一个不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，其中白球有2个，黄球有1个．已知从中任意摸出一个是蓝球的概率为，则袋中蓝球有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是（）A ．小强赢的概率最小B ．小文赢的概率最小C ．小亮赢的概率最小D ．三人赢的概率都相等7．正方形ABCD 的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为A ．π－22B ．π－24C ．π－28D ．π－2168．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为A .1325B ．1225C ．425D ．129．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a ，b.那么方程x 2＋ax ＋b ＝0有解的概率是A ．12B ．13C ．815D ．193610．如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB 剪下的图形，一质点P 由A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P 由A 点运动到B 点的不同路径共有A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条二、填空题(每题3分，共24分)11．海枯石烂，这是事件．（填“必然事件”“随机事件”“不可能事件”）12．有四张不透明卡片，分别写有实数，﹣1，，，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是．13．小华抛一枚质地均匀的硬币10次，只有2次正面朝上，当他抛第11次时，正面朝上的概率是．14．有四张背面完全相同的不透明的卡片，正面分别写有4，-l-2l ，（2）0，（-1）²ᴼ¹⁹，把卡片背面朝上洗匀后，先随机抽取一张记下数字后放回，洗匀后再抽取一张，则两次抽到的数字互为相反数的概率是______________．15．（2017四川成都武侯模拟）在一个不透明的盒子中装有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是52，将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是41，那么原来盒子中的白色棋子有________颗．16.一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球约有_____个．17．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6， 连续抛掷两次，朝上的数字分别是m、n，若把m、n作为点A的横、纵坐标，那么点A（m，n）在函数y＝2x的图像上的概率是。

游戏公平吗游戏的公平性一直是广大玩家关注的焦点之一、作为一种娱乐方式，游戏公平性的重要性不言而喻。

对于游戏公平性的讨论涉及到多个层面，包括游戏规则、游戏设计以及游戏运营等方面。

在本文中，将从这三个方面探讨游戏的公平性。

首先，游戏规则对于游戏公平性起着至关重要的作用。

游戏规则是游戏进行的基础，它们决定了玩家在游戏中所能够做的事情以及获得的回报。

如果游戏规则缺乏公正性和平衡性，那么游戏就很难被人接受。

因此，游戏开发者在设计游戏规则时应该尽量避免任何可能导致不公平的因素，比如无限刷怪、物品掉落概率过低等。

同时，游戏规则也应该能够给予每个玩家相同的机会，尽量减少外部因素对游戏结果的影响。

只有这样，才能保证游戏的公平性。

其次，游戏设计对于游戏公平性同样具有重要影响。

游戏设计包括游戏玩法、关卡设计以及角色能力设定等方面。

合理的游戏设计应该考虑到不同玩家的需求和水平，给予玩家足够的自由度和挑战性。

此外，游戏设计还要注重平衡性，避免一些角色或策略过于强势，导致游戏的不公平性。

例如在多人竞技游戏中，设计一个好的匹配系统可以保证玩家能够与相对水平的对手进行比赛，避免出现强弱不对称的情况。

游戏设计也需要严格把控游戏的进程和发展，在多人游戏中避免出现关键道具仅限付费玩家获得的情况，从而保证公平竞争。

最后，游戏运营也是影响游戏公平性的重要因素之一、游戏运营要保持公平的态度，秉持公正的原则对待所有玩家。

在游戏运营过程中，要尽量避免任何利用游戏规则漏洞或外挂程序获得不正当好处的行为。

此外，游戏运营还需要保持与玩家的良好沟通，及时听取玩家的反馈和建议，修复游戏中可能存在的问题，从而提升游戏的公平性。

需要指出的是，尽管游戏开发者可能会尽力保证游戏的公平性，但是由于游戏的复杂性和无法预测性，完全做到绝对的公平可能是不实际的。

因此，玩家在参与游戏时也应该保持理性和公正的态度，不过分追求胜利，以避免由于对游戏公平性的要求过高而产生的不满和不公平感。