*点击以上标题可直接前往对应内容幂级数的一般形式为2010200()()()nnn a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-∑为方便起见, 下面将重点讨论 00x =的情形. ∞==+++++∑20120.(2)nnnn n ax a a x a x a x 0,x x -因为只要把(2)中的 x 换成 就得到(1). 幂级数的收敛区间后退 前进 目录 退出++-+0()(1)nn a x x 即首先讨论幂级数(2)的收敛性.除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？定理14.1（阿贝尔定理）若幂级数(2)在收敛, 0x x =≠则对满足不等式 ||||x x >的任何x , 幂级数(2)发散.20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑的任何x , ||||x x <则对满足不等式 x x =时发散, 若幂级数(2)在 幂级数(2)收敛而且绝对收敛;即存在某正数 M , 使得||(0,1,2,).nn a x Mn <=||||,x x x <对任意一个满足不等式的设1,x r x=<则有 ||n n a x 由于级数 0nn Mr ∞=∑收敛,证 0,nn n a x 设级数收敛∞=∑(2)当 ||||x x <时绝对收敛.且有界, {}nn a x 从而数列收敛于零故由优级数判别法知幂级数 ||n nn n n n n x x a x a x x x =⋅=.n Mr <设幂级数(2)在 x x =时 0x 0||||x x >如果存在一个, 满足不等式 , 且使 级数 0nn n a x ∞=∑收敛, (2)应该在 x x =时绝对收敛, 与假设矛盾. 切满足不等式 ||||,x x x 的>幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！ 间的长度, 发散, 则由定理得第一部分知, 所以对一 下面证明定理的第二部分. 幂级数这是非常好的性质. 若以2R 表示区 则称R 为幂级数的收敛半径.事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点 的绝对值的上确界. 0R =0x =(i) 当 时, 幂级数(2)仅在 处收敛; (ii) ,(2)(,);R 当时幂级数在上收敛=+∞-∞+∞(iii) 0,(2)(,);R R R 当时幂级数在内收敛<<+∞-x R >x 对一切满足不等式 的 , 幂级数(2)都发散; x R =±至于 , (2)可能收敛也可能发散. 为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?20120(2)n nnn n ax a a x a x a x ∞==+++++∑所以有因此称(,)R R -定理14.2对于幂级数(2), 若lim ,(3)nn n a ρ→∞=则当1(i)0,(2);R ρρ<<+∞=时幂级数的收敛半径(ii)0,(2);R ρ==+∞时幂级数的收敛半径(iii),(2)0.R ρ=+∞=时幂级数的收敛半径0ρ<<+∞(i) 当 时, 幂级数(2)收敛半径 1;R ρ=0,||1,x x ρρ=<当时对任何都有(ii) ||1x ρ>当 时, 级数发散. ,0||1,x x x ρρ当时除外的任何都有=+∞=>(iii) 证∞=∑0||,nn n a x 对于幂级数lim ||lim ||||||,nnn n n n n a x a x x ρ→∞→∞==于是 由于 根据级数的根式判别法, ||1x ρ<当时，收敛； 级数 0||nn n a x ∞=∑所以 R= 0.;R =+∞所以注 由定理14.2可知, 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.究竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.在第十二章§2第二段曾经指出: 1||lim,||n n na a ρ若+→∞=则有 lim ||.nn n a ρ→∞= 因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径. 一个幂级数的收敛域等于它的2,nx n∑级数由于2121(),(1)n n a n n a n +=→→∞+例1 1R =(1,1)-所以其收敛半径 , 即收敛区间为; ∑21,n 由于级数收敛 所 21nxx n在时也收敛.=±∑以级数 的收敛域为 [1,1].-而当 于是级数 2nx n ∑±=±=22(1)11,,nx n n 时有因此幂级数(4)的收敛区间是 (1,1)-.1x =时发散, 1x =-时收敛, 敛域是半开区间 [1,1)-. !!n n x n xn ∑∑与R =+∞0R =的收敛半径分别为 与 .例2 设有级数2,(4)2nx x x n ++++11lim lim 1,n n n n a n R a n →∞→∞++===由于但级数 (4) 当 照此方法, 容易验证级数 从而得到级数(4)的收*定理14. 3（柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理）对于幂级数(2), 设lim ||,(5)nn n a ρ→∞=则有1(i)0,;R ρρ<<+∞=当时收敛半径(ii)0,;R ρ==+∞当时(iii),0.R ρ=+∞=当时注 由于上极限(5)总是存在, (5)式得到它的收敛半径.因而任一幂级数总能由*例3 设有级数2342122242121,323232n nn n x x x x x x--+++++++1lim ||,2n n n a →∞=2R =由于 所以收敛半径 . 时, 级数都发散, 因 2x =±(2,2).-故此级数的收敛域为例4 求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.解 (i)先求收敛半径.2z x =方法1 设 , 21lim |3|nnn R n ρ→∞==-29x z =<29x z =>从而 时原级数收敛, 原级数发 2213nn n xn ∞=-∑ 3.R =散, 所以 的收敛半径为幂级数 213nn n zn ∞=-∑的收敛半径为2=9lim 19,3nn n n→∞-=方法2 应用柯西-阿达玛定理 (,0),n n a 奇数时==由于 221lim ||lim 3n n n n n n a n ρ→∞→∞==-22111lim ,3313nn n n →∞==-所以, 收敛半径为3.R =3x =±(ii) 再求收敛域. 当 时, 相应的级数都是 所以原级数的收敛域为 (3,3)-.求幂级数 2213nn n xn ∞=-∑的收敛半径和收敛域.223lim 13nn n n →∞=-, 因此该级数发散, 由于 , 22133nn n n ∞=-∑定理14. 4若幂级数(2)的收敛半径为 0R >, (,)R R -[,](,)a b R R ⊂-区间内任一闭区间 上, 级数(2)都一致收敛.证=∈-max{||,||}(,),x a b R R 设任一点 x , ||||.n nn n a x a x ≤由于级数(2)在点 x 绝对收敛, 数(2)在 [,]a b 上一致收敛.则在它的收敛 [,]a b 那么对于上由优级数判别法得级 都有定理14. 5[0,]R 则级数(2)在 ([,0])R -或上一致收敛.x R =证 设级数(2)在 时收敛, (){}[0,]n x nn Ra R R 已知级数收敛,函数列在上∑ 若幂级数 (2) 的收敛半径为R > 0, )x R =-时收敛, ().nx n n n n R a x a R =∑∑对于 [0,]x R ∈有递减且一致有界,()21x xRR≥≥≥≥即 且在x R =(或 ()n x R≥≥故由函数项级数的阿贝尔判别法, [0,]R 级数(2)在 上一致收敛.例5 级数22(1)1(1)(1),(6)22222n nn nx x x x n n----=++++⋅∑由于1112(1)(),12(1)22n n n n n n n++=→→∞+所以级数(6)的收敛半径2R =, |1|2x -<(1,3).-从而级数(6)的收敛区间为即(2)1111(1).223nnn n n-=-+-++-+∑当 x = 3 时, 级数(6)为发散级数211111.223nn n n n==+++++∑∑于是级数(6)的收敛域为[1,3).-1x =- 当 时, 级数(6)为收敛级数定理14. 6根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的 (i) 幂级数(2)的和函数是 (,)R R 内的连续函数; (ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.幂级数的性质一系列性质. 由定理14.4、14.5和13.12立刻可得2112323(7)n n a a x a x na x -+++++231120(8)231n n a a a a x x x x n +++++++的收敛区间.定理14. 7幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间. 证 只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间即可， 先来确定幂级数(2) 逐项求积后得到的幂级数在收敛区间(,)R R -内逐项求导与 因为 对(8)逐项求导就得到(2).由阿贝耳定理(定理14.1)的 证明知道, 都有||.n nn a x Mr <于是100||||n nn n n na xa x x -=0.nn nr 根据比式判别法可知级数收敛∞=∑较原则及上述不等式, 就推出幂级数(7)在点 0x 绝对 0x (,)R R -由于 为 中任一点, 这就证明了幂级数(7) 在(,)R R -上收敛. 由级数的比收敛(当然也是收敛的!). 设 00(,),0x R R x ∈-≠, 存在正数 M 与 r (r <1), 对一切正整数 n , 0,||n M nr x <>>0,||||.x x x R 使得=x x 时绝对收敛.1||||||,||n n nn n n n na x a x a x x -=≥根据比较原则得幂级数(2)在 x x =处绝对收敛.与所设幂级数(2)的收敛区间为 (,)R R -相矛盾. 幂级数(7)的收敛区间也是(,).R R -其次证明幂级数(7)对一切满足||x R >的x 都不收敛. 如若不然, 幂级数(7)在点 00(||)x x R >收敛, 幂级数(7)在,由阿贝尔定理≥||,n x 但是,取时就有这 于是 则存在2112323(7)n n a a x a x na x-+++++定理14. 8(i) f 在 x 可导, 且11();n n n f x na x ∞-='=∑(ii) f 在区间 [0,]x 上可积, 证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半径 R .(,)x R R ∈-，设幂级数(2)在收敛区间(,)R R -上的和函数为 f , 若 x 为(,)R R -内任意一点, 因此,对任意一个则 10()d .1xn n n a f t t x n ∞+==+∑⎰且 总存在正数 r , 使得 |x | < r < R , 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r , r ]上一致收敛. 再由逐项求导与逐项求积定理, 就得到所要的结论.推论1nn n a x ∞=∑(,)R R -设 f 为幂级数 在收敛区间上的和 则在(,)R R -上 f 具有任意阶导数, 意次逐项求导, 21123()23,n n f x a a x a x na x-'=+++++223()232(1),n n f x a a x n n a x-''=+⋅++-+()1()!(1)(1)2,n n n fx n a n n n a x +=++-+.函数, 即且可任 由本定理立可得幂级数在其收敛区间上可以逐项求导 和逐项求积.推论2(0,1,2,)n a n =0f x =与在处的则级数(2)的系数各阶导数有如下关系:()0(0)(0),(1,2,).!n n fa f a n n ===注 推论2表明, 若幂级数(2)在 (,)R R -上有和函数 f , 则级数(2)由 f 在0x =处的各阶导数所惟一确定. 这是一个重要的结论, 在讨论幂级数展开时要用到.设 f 为幂级数 某邻域内的和函数,0nn a x x =∑在定理14. 9nn n a x ∞=∑0nn n b x ∞=∑0x =若幂级数 与 在 的某邻域内有相同的和函数, (1,2,).n na b n ==这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论2得到. 根据这个推论还可推得: 若幂级数(2)的和函数为奇 (偶)函数, 则(2)式不出现偶(奇)次幂的项.幂级数的运算则它们同次幂项的系数相等, 即定理14. 10nn n a x 与∞=∑0n n n b x∞=∑若 的收敛半径分别为R a 和R b ,00,||,n nn n a n n a x a x x R λλ∞∞===<∑∑0(),||,nnnnn n n n n n ax b x a b x x R ∞∞∞===±=±<∑∑∑000,||,n n nn n n n n n a x b x c x x R ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑0,min{,},.na b n k n k k R R R c a b λ式中为常数-===∑定理的证明可由数项级数的相应性质推出.则例6 几何级数在收敛域 (1,1)-内有 21()1.(10)1nf x x x x x==+++++-对级数(10)在 (1,1)-内逐项求导得 2121()123,(11)(1)n f x x x nx x -'==+++++--''==+⋅++-+-232!()232(1),(12)(1)n f x x n n x x 将级数(10)在[0,](1)x x <上逐项求积得到 00d d ,1-xx nn t t t t ∞==∑⎰⎰所以2311ln (||1).(13)1231n x x x x x x n +=++++<-+上式对也成立(参见本节习题3). 1x =-111(1)ln 1,223nn-=-+-++111(1)ln21.23n n--=-+++从这个例子可以看到: 由已知级数(10)的和函数, 于是有 逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12)或通过 (13)的和函数.例7 求幂级数 121(1)n nn n x ∞-=-∑的和函数.2lim 1nx n →∞=，21n n ∞=∑因为 且级数 121(1)n n n ∞-=-∑与 都发散, 121()(1)n nn S x n x ∞-==-∑()(1,1).x g x x =⋅∈-解 首先求出收敛域. (1,1).-所以收敛域为 设 1211(1)n n n x n x∞--==-∑1211()d (1)d xx n n n g t t ntt ∞--==-∑⎰⎰11(1)n nn nx ∞-==-∑因为 111=(1)n n n x nx∞--=-∑().xh x =所以()1()x x h x +'=2()(())(1)x g x xh x x '⎡⎤'==⎢⎥+⎣⎦23()()(1,1).(1)x xS x xg x x x -==∈-+本题还可以用逐项求导的方法求和函数, 请自行练习.对 ()h x 逐项积分, 111()d (1)d x xn n n h t t n tt ∞--==-∑⎰⎰=∈-+,(1,1).1x x x 得11(1)n nn x∞-==-∑111()=(1)n n n h t nx∞--=-∑21(1);x +=3;(1)xx 1-=+于是复习思考题,nn n a x ∞=∑1,n n n na x∞-=∑101n n n a x n ∞+=+∑1. 幂级数 有相同收敛 试问它们的收敛域之间有什么关系?2. 一个幂级数有无限多个项的系数为零,3.为什么在幂级数逐项求导中没有要求在收敛区间上4. 逐项求导和逐项求积是求幂级数和函数的一个有效 半径, 例4 给出了求缺项幂级数收敛半径的方法, 称为缺项幂级 数. 还有其他方法吗? 除此以外 请读者总结.一致收敛？请总结出求和函数的常规方法.的方法,。
