勾股定理的应用
一、知识框架
1、勾股定理的猜想
2、勾股定理的验证
3、勾股定理的应用
二、目标点击
1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。
2、能够利用定理解决一些简单的实际问题
3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程
三、重难点预见
学习重点：经历探索勾股定理的过程。
学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。
四、学法指导
1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。
2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。
五、自主探究
情境导入：
2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。
学法指导：
通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。
（一）猜一猜
测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺直角边a 直角边b 斜边
c 关系
1
2
根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。。
（二）想一想
1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？
解后感悟：
通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。
方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。
2、观察图
3、并填下表：
正方形A的面积=_______平方单位。正方形B的面积=_______平方单位。正方形C的面积=_______平方单位。
你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。
解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。
预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。
预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。
（三）议一议
三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。
学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。
（四）记一记
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c，则a^2+b^2=C^2.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（五）想一想
运用勾股定理的前提条件是什么？钝角三角形和锐三角形三边的平方是否也具有这样的关系？
规律总结：
运用勾股定理的前提是应该直角三角形，知道直角三角形的任意两边都可以求出第三边。
六、基础在线
（1）如图，字母B所代表的正方形的面积是（）
A、12
B、13
C、144
D、194
设计意图：
设计本题主要是考察学生对勾股定理探究过程的理解。新课程标准明确提出：“在教学中，我们不仅要关注结论，更要关注过程。”因此，通过考察本题，达到对勾股定理探究过程的考察目的。
拓展延伸：
如果说把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为以直角三角形三边为边长的正方形的面积。那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广。比如：把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为三边为直径的半圆，结论仍然成立。即以斜边直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之各。
如果将上图斜边上的半圆沿斜边翻一个身，不难证明：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积。”
这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形。”
一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一根木条加固，求这根木条的长。
关键点剖析：
解答这道题关键是将实际问题转化为数学问题，弄清题目告诉的条件是直角三角形的两条直角边，所求问题是直角三角形的斜边。从实际问题中构建出数学模型。
（3）已知直角三角形两边的长分别是3cm和5cm,则第三边的长是_____________。
易错点剖析：
学生在解答时，大部分同学把5cm误认为是直角三角形的斜边，从而中人是求出第三条边4cm，忽略了5cm 可以是三角形的直角边这一种情况。
问题设计：
在这道题目中，5cm一定是直角三角形的一条斜边吗？5cm可以是斜边吗？本题有几种情况？
七、能力升级
（1）将长为13cm的梯子AC斜靠在墙上，BC长为5cm，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
变式训练：
若将梯子的顶端A沿墙向下滑动1cm，则梯子的底端C是否也向外滑动1cm，你能否通过计算证明你的猜想？
（2）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=45°，CD=2cm .求BC 的长。
思路点击：本题要求BC的长度，应先在RT△ADC中利用勾股定理求出AC的长度，再在RT△ABC中利用勾股定理求出BC的长度。
关键点剖析：通过利用两次勾股定理求出BC的长度。
八、经典分析：
如图：为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰为直角三角形。通过测量，得到AC长160cm，BC长为128cm。问从点A穿过湖到点B有多远？
思路分析：
要求点A穿过湖到点B有多远，重点是弄清线段AC在直角三角形中是斜边还是直角边。本题实际是已知直角三形的一条直角边和一条斜边，求它的另一条直角边的长度。
拓展延伸：
日常生活中，求两点之间的距离问题，通常用到的知识点有：直角三角形的勾股定理、全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等知识。
解后反思：
