勾股定理的应用2

勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。

发展学生的分析问题能力和表达能力。

3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。

积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。

重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。

（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。

如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。

（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业D CBA图6图9D CBA。

勾股定理的应用举例2篇勾股定理的应用举例勾股定理是数学中的一个基本定理。

它描述了直角三角形中的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的应用非常广泛，涉及到很多领域，例如建筑、导航和物理等。

本文将为大家介绍勾股定理的两个具体应用举例。

应用举例一：建筑工程在建筑工程中，勾股定理可以用来计算建筑物的高度、角度和距离等关键参数。

例如，在施工一个高楼大厦时，我们需要测量建筑物的高度。

我们可以选择一根足够长的棍子，然后将其竖直地插入地面，并用一个测量仪器测量其与地面的距离。

接下来，我们选择一个合适的位置，利用勾股定理计算出建筑物的高度。

具体步骤如下：首先，我们选择一个较平坦的地面作为测量点，然后找到一个较高的地点，例如楼顶、山峰或者其他高出地面的位置。

在测量点上，我们放置一个测量仪器，并将其竖直朝上。

然后，我们利用一根棍子或者其他辅助工具，使其与测量仪器的光线相交。

此时，我们可以通过测量棍子与地面的距离，再通过勾股定理计算出建筑物的高度。

应用举例二：导航系统勾股定理在导航系统中也有广泛应用。

通过勾股定理，我们可以确定两个位置之间的距离和方向。

例如，在使用GPS导航时，勾股定理被用来计算两个坐标点之间的直线距离。

具体步骤如下：首先，我们获取起点的坐标和终点的坐标。

然后，利用勾股定理计算出两个坐标点之间的距离。

接下来，我们可以利用导航系统提供的方向指引，沿着距离最短的路径前往目的地。

勾股定理在导航系统中的应用不仅仅限于计算直线距离。

通过结合导航系统提供的地图数据，我们可以利用勾股定理计算出实际路径的长度。

在实际的导航过程中，我们需要考虑道路的弯曲程度和交通状况等因素，以确定最优的路径。

总结：勾股定理作为一项基本的数学原理，被广泛应用于各个领域。

本文介绍了勾股定理在建筑工程和导航系统中的应用举例。

在建筑工程中，我们可以通过勾股定理计算建筑物的高度；在导航系统中，我们可以利用勾股定理计算两个坐标点之间的距离和实际路径的长度。

学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。

2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。

3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。

学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。

教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。

活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。

活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。

a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。

（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。

设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。

2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。

活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。

活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。

2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。

沭阳县广宇学校初二数学教案课题：2.7勾股定理的应用（2） 课型：新授 主备人：杨兴亚 集体备课时间： 10月16日 审核：葛恒良 教学目标：能运用勾股定理解决实际问题,在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力。

教学重点：解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题,从而进行勾股定理及直角三角形的判定条件的应用。

教学难点：“转化”思想的应用及进行勾股定理及直角三角形的判定条件的应用的区别． 教学过程：一.概念探究1、（1）图1中的x 等于多少?（2）图2中的x,y,z 分别是多少?（3）如果沿着图2按逆时针方向继续画直角 三角形,还能得到那些无理数?（4）利用图2你们能在数轴上画出表示5的点吗? （5）怎样在数轴上画出表示5 的点吗?（6）如图3，求四边形ABCD 周长和面积？请你算一算.二．例题分析例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。

（保留三个有效数字） 问题：等边三角形的高是多少？例2、（1）如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？（2）如图8，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边的中线AD=24， 求AC. 问题1：BD=______ DC=________ 问题2：三角形ABC 是什么三角形？图2图1x 11151612D CBA图3D C BA 图4CB A图7D CBA 图8三．展示交流变题1：如图4，等边三角形ABC 的角平分线AD 是6cm ，求△ABC 的面积。

变题2：如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。

变题3：如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。

四、提炼总结：从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略． 五、课堂小结本堂课学习了什么？你有哪些收获？六、练习巩固：作业纸：勾股定理应用（2）七、教后反思：D C BA 图4DCB A 图5D CB A图6沭阳县广宇学校初二数学作业纸课题：2.7勾股定理的应用（2） 主备人：杨兴亚姓名_____________ 班级____________ 学号____________ 课前练习：1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）． （A ）4 （B ）4或34 （C ）16或34 （D ）42．以下列各组数线段a 、b 、c 为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）． （A ）a=1．5，b=2，c=3 （B ）a=7，b=24，c=25 （C ）a=6，b=8，c=10 （D ）a=3，b=4，c=53．若三角形的三边长a 、b 、c 满足（a+b ）2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ）． （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）直角三角形 （D ）何类三角形不能确定4.如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？课后作业:1．如图 ，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90º，AB=3m ，BC=4m ，CD=12m ，AD=13m ，求这块草坪的面积。

勾股定理的应用勾股定理是数学中的一条基本定理，也是数学与实际问题相结合的重要工具。

它被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域，为解决各种问题提供了简洁而有效的方法。

本文将从几个具体的应用角度，探讨勾股定理在实际问题中的作用。

1. 三角形问题勾股定理最常见的应用就是解决三角形问题。

在解析几何中，确定三角形的各个边长、角度、面积等问题，都可以通过勾股定理得到解决。

例如，已知一个直角三角形的两条边长，可以利用勾股定理计算出第三条边长。

在真实的测量和建模中，准确地计算三角形的属性是极为重要的，而勾股定理则是最常用的计算工具之一。

2. 导弹轨迹预测在导弹的制导与轨迹控制中，勾股定理被广泛用于预测导弹的飞行轨迹。

在给定导弹的出发点和目标点的坐标后，通过勾股定理可以计算出最短路径，并且确定导弹需调整的角度和加速度，以达到命中目标的效果。

勾股定理在空间导航中的应用，在军事和航天领域具有重要的意义。

3. 平面定位和测量勾股定理在平面定位和测量领域也发挥着重要的作用。

通过勾股定理，可以精确计算出两点之间的距离。

例如，现代的GPS技术就是基于勾股定理来确定接收器与卫星之间的距离，并基于此推算出接收器的位置坐标。

此外，测量工程中常用的三角测量法也离不开勾股定理的应用。

4. 建筑设计在建筑设计中，勾股定理被用于确定建筑物各个部分之间的位置关系和角度。

例如，设计一个房间的内角度，可以利用勾股定理来确定墙壁之间的直角，并确保结构的稳定性和准确性。

同时，勾股定理也可以用于计算墙壁的斜长、屋顶的高度等参数，为建筑设计提供便利和精确性。

5. 数字图像处理在数字图像处理中，利用勾股定理可以计算图像中两个像素点之间的距离。

这一应用广泛用于图像重建、边缘检测等算法中。

通过测量图像上的像素点之间的距离，可以准确还原出图像中的形状和结构，为图像处理提供了基础工具。

总结：勾股定理作为数学中的基本定理，在实际问题中有着广泛的应用。

本文从三角形问题、导弹轨迹预测、平面定位和测量、建筑设计以及数字图像处理等角度，阐述了勾股定理在各个领域中的重要性和应用方法。

17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。

14.2章勾股定理的应用（2）
教学目标：
１.在特殊三角形中要会找出直角三角形或构建直角三角形。

２.当三角形的三边是整式时，要会判断大小，从而判断三角形的形状。

思维激活：
以△ABC 三边a,b,c 为边向外
作正方形，以三边为直径作半圆，
若S 1+S 2=S 3成立，则△ABC 是直角
三角形吗？
问题研讨：
问题1：已知：等边△ ABC 的边长是6cm
(1)求高AD 的长.
(2)求S △ ABC.
解：（1）∵ △ ABC 是等边三角形，AD 是高，
在Rt △ ABD 中，AB=6，BD=3，根据勾股定理，
∵ AD 2=AB 2-BD 2
∴
＝
练一练：
1．等腰△ABC 的腰长为10cm ，底边长为16cm ，则底边上的高为 ，面积为__________．
2．等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2cm ，那么它的斜边上的高为 ．
问题2：
32
1==∴BC BD
知识拓展：
问题3：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积。

解：作∆ABC的高AD，设BD为X，则AB为（16-X），由勾股定理得：
∴ S∆ABC＝
试一试：
等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
AC=BC=1.
求：斜边的一半.
课堂小结：
和同学们交流一下这节课你学到了什么？
课堂作业：
课本60页，习题第１、５题
课后反思：。

第10课时勾股定理的应用(2)预学目标l．初步了解在研究等腰三角形、梯形等问题时，通常通过作底边上的高等辅助线转化为直角三角形，利用勾股定理解决．2．尝试探索解决立体图形中两点间最短路线的问题，体会将立体图形展开转化为平面图形的数学思想方法．3．熟悉利用勾股定理解决拼接、折叠问题的方法：设未知数构造方程求解．知识梳理1．勾股定理在研究等腰三角形问题中的应用如图1，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且ADBD＝______(三线合一)．设BD＝x，则DC＝_______，AB＝BC＝______．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＋AD2＝AB2，即______2＋______2＝______2，解得x＝______，则BC＝2BD＝______，所以S△ABC＝12·BC·AD＝12×______×______＝______．2．勾股定理在研究折叠问题中的应用如图2，有一张直角三角形纸片，两直角边分别为AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，由题意，得△ACD≌_______，则AE＝_______＝_______cm，DE＝_______．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝_______cm，则BE＝______cm．设DE＝x，则DC＝_______，BD＝_______．在Rt△BDE中，由勾股定理，得_______2＋_______2＝_______2，解得x＝_______，所以DE＝_______，BD＝______．例题精讲例1 如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．(1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．提示：第(1)题需展开成平面图形，分三类讨论蚂蚁行走的路线，第(2)题即求AG的长度．锯答：(1)蚂蚁从点A爬到点G可能经过长方体的前面和右面，也可能经过长方体的前面和上面，还可能经过长方体的下面和右面，展开成平面图形如图②．由勾股定理计算出AG55；12(2)如图③，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2．在Rt △ACG 中，由勾股定理，得AG 2＝AC 2＋CG 2＝AB 2＋BC 2＋CG 2＝42＋22＋12＝21，则AG点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为例2 如图，在△ABC 中，若AB>AC ，AE 为BC 边上的中线，AF 为BC 边上的高，试说明AB 2－AC 2＝2BC ·EF ．提示：利用勾股定理将AB 2和AC 2分别表示为另两条线段的平方和．解答：∵AF ⊥BC ，∴在Rt △AFB 中，由勾股定理，得AB 2＝AF 2＋BF 2．在Rt △AFC 中，由勾股定理，得AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AB 2－AC 2＝BF 2－FC 2＝(BF ＋FC)(BF －FC)＝BC ·(BF －FC)．∵BF ＝BE ＋EF ，FC ＝EC －EF ，BE ＝EC ，∴BF －FC ＝2EF ．∴AB 2－AC 2＝B C ·2EF ＝2BC ·EF ．点评：此题是勾股定理和乘法公式的综合，当题目中出现线段的平方时，要有主动运用勾股定理的意识，题目中若没有垂直条件，则应尝试作垂线构造直角三角形．热身练习1．一个直角三角形的斜边长比一直角边长长2，另一直角边长为6，则斜边长为 ( )A ．6B ．8C ．10D ．122．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 ( )A ．42B ．32C ．42或32D ．37或333．如图，AB ＝BC ＝DC ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，CD ⊥AC ，DE ⊥AD ，则AE 的长为_______．4．如图，在高5米、长13米的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少为______米．5．在棱长为1的正方体木箱中放入一根细长的直钢管，则钢管的最大长度是______．6．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )A．5 B．25C．15 D．357．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽，它是由如图②所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…，OA25这些线段中，有______条线段的长度为正整数．8．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AD＝10 cm，AB＝8 cm．求：(1)FC的长．(2)EF的长．参考答案1．C 2．C 3．2 4．17 56．B 7．5 8．(1) FC=4 cm (2) EF =5 cm3。

14．2勾股定理的应用（二）知识与基础1.在 Rt ΔABC 与 Rt ΔA`B`C`中∠C ＝∠C`＝90°，有下列几组条件（ ）.①AC ＝B`C`，BC ＝A`C`；②AC ＝A`C`，BC ＝B`C`；③AC ＝A`B`，∠A ＝∠A`；④BC ＝A`C`，AB ＝A`B`.其中能判定这两个直角三角形全等的有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个2.下面是直角三角形具备的几条性质：（ ）.①两个较小的内角之和等于较大的内角；②三个内角的和等于180°；③面积等于较短的两边的乘积的一半；④有斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等.其中一般三角形不具备的有（ ）.A.4条B.3条C.2条D.1条3.在下列语句中，不正确的是（ ）.A.有两条边对应相等的两个直角三角形全等；B.一般三角形所具备的性质，直角三角形都具备；C.直角三角形没有稳定性；D.两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等4.如图，0A ＝0B ，AD ⊥0B ，BC ⊥0A ，D 、C 为垂足，AD 、BC 相交于点P.下面给出的四个结论：①△A0D ≌△B0C ；②∠1＝∠2；③PC ＝PD ；④0P 平分∠A0B.其中，一定成立的有（ ）.A.4个B.3个C.2个D.1个5.如图，AB 是∠CAD 的平分线2，BC ⊥AC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 上任意一点，下面给出的四个结论：①BC ＝BD ，②EC ＝ED ，③∠CAE ＝∠ADE ，④点B 在∠CED 的平分线上，其中，正确的结论有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝20㎝，AD 是角平分线，且BD ：CD ＝2：3，则点D 到AC 边上的距离是 ㎝。

7.如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，∠1≠∠4，∠2≠∠3。

如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙HL ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙HL ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙AAS ﹚如果补充一个条件 ，那么△ABC ≌△ABD ﹙AAS ﹚O A A B C D E D CPD C CA8.如图，已知，AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，说明∠BAE ＝∠CAF 。

例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？
例3：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
例5:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.
1．在Rt△ABC中, ∠C=90°,
(1)已知: a=5, b=12, 求c.
(2)已知: b=6,•c=10 , 求a.
(3)已知: a=7, c=25, 求b.
2.一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长．
4.一架长为5的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距离墙的底端为3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移_____.
5.如图，要在高为3m,斜坡为5m的楼梯表面铺
地毯，地毯的长度至少需________m
6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来
的3倍，则其斜边（）
A.不变
B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍
D.减小到原来的1/3
7．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。

8.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？。