中考数学分类讨论题（含答案）

1 第8课时 分类讨论题

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法

是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，

领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐

级进行．级进行．

类型之一 直线型中的分类讨论

直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问

题尤为重要.

1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）

A．50° B．80° C．65°或50°50° D D．50°或80°

2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（，则它的周长为（ ）

A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm

3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，处，点点A落在点A′处，

(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

2 类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖

全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．

4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900

，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，点为圆心， r为半径为半径 所作的圆与斜

边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．

5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3

cos

5B=．如果圆

O的半径为10

，且经

过点B、C，那么线段AO的长等于的长等于 ．

6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均

为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）

与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？出发后多少秒两圆相切？

3 类型之三 方程、函数中的分类讨论

方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.

7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点

B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．的长．

4 8.（福州市)如图，以矩形OABC

的顶点O

为原点，OA

所在的直线为x

轴，OC

所在的直线为y

轴，建

立平面直角坐标系．已知OA

＝3，OC

＝2，点E

是AB

的中点，在OA

上取一点D

，将△BDA

沿BD

翻折，

使点A

落在BC

边上的点F

处．

（1）直接写出点E

、F

的坐标；的坐标；

（2）设顶点为F

的抛物线交y

轴正半轴

．．．于点P

，且以点E

、F

、P

为顶点的三角形是等腰三角形，求该

抛物线的解析式；抛物线的解析式；

（3）在x

轴、y

轴上是否分别存在点M

、N

，使得四边形MNFE

的周长最小？如果存在，求出周长的最

小值；如果不存在，请说明理由．小值；如果不存在，请说明理由．

5 参考答案

1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－

50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°50°××2=80°，所以顶角为80°。

故顶角可能是50°或80°80°. . 

【答案】D . 

2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，

由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形．时能组成三角形．

【答案】D 

3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，BFBF¢=，BFEBFE¢Ð=Ð，从而可求得B′E=BF；第(2)

小题要注意分类讨论. 

【答案】（1）证：由题意得BFBF¢=，BFEBFE¢Ð=Ð，

在矩形ABCD中，

ADBC∥，

BEFBFE¢\Ð=Ð，

BFEBEF¢¢\Ð=Ð，

BFBE¢¢\=．BEBF¢\=．

（2）答：

abc，，三者关系不唯一，有两种可能情况：三者关系不唯一，有两种可能情况：

（ⅰ）abc，，三者存在的关系是222abc+=．

证：连结BE，则BEBE¢=．

由（1）知BEBFc¢==，BEc\=．

在ABE△中，

90AÐ=，222

AEABBE\+=． AEa=

，ABb=，222

abc\+=．

（ⅱ）

abc，，三者存在的关系是abc+>．证：连结BE，则BEBE¢=．

由（1）知BEBFc¢

==，BEc\=．在ABE△中，AEABBE+>， abc\+>．

4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，

点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。

【答案】【答案】 3＜r≤4或r＝2.4 

5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，3

cos

5B=，可

得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在

BC下方，则AO=5。

【答案】3或5．

6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.

6 【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；

当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．

（2）两圆相切可分为如下四种情况：）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝

311

；

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．

所以，点A出发后3秒、

311

秒、11秒、13秒两圆相切．秒两圆相切．

7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的

长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以AND

，，为顶点的三角形与BME

△

相似”，一定要注

意分类讨论。意分类讨论。

【答案】（1）取AB

中点H

，联结MH

，

M

为DE

的中点，MHBE

\∥

，1

()

2MHBEAD

=+．

又ABBE

^

，MHAB

\^． 1

2ABMSABMH

\=△，得1

2(0)

2yxx

=+>；

（

2）由已知得22

(4)2DEx

=-+．

以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，为直径的圆外切，

11

22MHABDE

\=

+，即2211

(4)2(4)2

22xxéù

+=+-+

ëû．

解得4

3x

=，即线段BE

的长为4

3；

（3）由已知，以AND

，，

为顶点的三角形与BME

△

相似，相似，

又易证得DAMEBM

Ð=Ð．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM

Ð=Ð；②ADBBME

Ð=Ð．

①当ADNBEM

Ð=Ð时，ADBE∥

， ADNDBE

\Ð=Ð．DBEBEM

\Ð=Ð．

DBDE

\=，易得2BEAD

=．得8BE

=；

②当ADBBME

Ð=Ð时，ADBE∥

， ADBDBE

\Ð=Ð．

DBEBME

\Ð=Ð．又BEDMEB

Ð=Ð， BEDMEB

\△∽△．

DEBE

BEEM\=，即2

BEEMDE

=



，得222221

2(4)2(4)

2xxx

=+-+-

．

解得

12x

=，

210x

=-（舍去）．即线段BE的长为2．

综上所述，所求线段BE的长为8或2．