专题训练一等腰三角形的存在性问题

专题训练一等腰三角形的存在性问题

It was last revised on January 2, 2021 专题训练一 等腰三角形的存在性问题

典藏回顾

我们收集、解读近5年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。

等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点．

专题攻略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

针对训练

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．（09上海24）

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．（08南汇25）

3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

三年真题

4．（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图26．（10南通27）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

两年模拟

7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF32323x323x323x3cos5DOP3cos5OEDOPOP52OE256OO25(,0)610862222BCABAC此4cos5ACB.

在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.

第2题图1 第2题图2 第2题图3

①如图1，当CPCQ时，102tt，解得103t(秒).

②如图2，当QPQC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝152PCt.

在Rt△QMC中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒). ③如图3，当PCPQ时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝1122QCt.

在Rt△PNC中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).

综上所述，当t为秒秒、秒、2180925310时，△PQC为等腰三角形.

3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．

如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．

设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．

因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．

①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得0m或43m．所以符合条件的点P不存在．

②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得25m．所以(425,0)P．

③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得12m．所以(1,0)P．

第3题图

4．（12临沂26）

（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC．

所以点B的坐标为(2,23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．

所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．

综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)．

第4题图

5．（11湖州24）（1）因为PC//DB，所以1CPPMMCBDDMMB．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm．

①当AP＝AD时，2(4)m24m．解得32m（如图1）．

②当PA＝PD时，24m244(2)m．

解得43m（如图2）或4m（不合题意，舍去）．

③当DA＝DP时，2(4)m244(2)m．

解得23m（如图3）或2m（不合题意，舍去）．

综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．

第5题图1 第5题图2 第5题图3

[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．

所以12PCMBCMBA．因此12PC，32m．

②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．

所以DA＝2PO．因此42mm．解得43m．

（3）点H所经过的路径长为54．思路是这样的： 如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

第5题图4 第5题图

6．（10南通27）

(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．

又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．

因此DCEBCEBF，即8mxxy．

整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm．

(2)如图1，当m＝8时，2211(4)288yxxx．

因此当x＝4时，y取得最大值为2．

(3) 若12ym，那么21218xxmmm．整理，得28120xx．

解得x＝2或x＝6．

要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．

因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．

将x＝y ＝2代入12ym，得m＝6（如图2）；

将x＝y ＝6代入12ym，得m＝2（如图3）．

第6题图1 第6题图2 第6题图3

7．（1）4BEt，5(4)8EFt．

（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是确定的．

①如图1，当DE＝DF时，DEEFABBC，即5(4)481016t．解得15625t．

②如图2，当ED＝EF时，54(4)8t．解得125t． ③如图3，当FD＝FE时，FEACDEBC，即5(4)108416t．解得0t，即D与B重合．

第7题图1 第7题图2 第7题图3

（3）MN是△FDE的中位线，MN//DE，MN＝2，MN扫过的形状是平行四边形．

如图4，运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3；

如图5，运动开始，D与B重合，M到BC的距离为34．

所以平行四边形的高为39344，面积为99242．

第7题图4 第7题图5

8．（1）(4,23)C，(1,23)D．

（2）顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y＝323x，得32y．

设抛物线的解析式为253()22yax，代入点(4,23)C，可得233a．

所以物线的解析式为22353()322yx．

（3）由顶点E在直线y＝323x上， 可知点G的坐标为(0,23)，直线与y轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF＝30°．

设点E的坐标为(,323)mm，那么EG＝2m，平移后的抛物线为223()3233yxmm．所以点F的坐标为223(0,323)3mm．

①如图1，当GE＝GF时，yF－yG＝GE＝2m，所以223323mmm．

解得m＝0或332．m＝0时顶点E在y轴上，不符合题意．

此时抛物线的解析式为223373(3)3322yx．

②如图2，当EF＝EG时，FG＝23Ex，所以2233233mmm．解得m＝0或32．

此时抛物线的解析式为22333()322yx．

③当顶点E在y轴右侧时，∠FEG为钝角，因此不存在FE＝FG的情况．