二次函数存在性——等腰三角形专项训练

动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题

方法总结：

假设结论成立；

当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；

设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；

④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。

典型例题：

例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

例2.如图，抛物线y=﹣221x+nmx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

例3．如图，二次函数212yxbxc的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.

例4. （2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

动点问题—二次函数中等腰三角形存在性问题

方法总结：

假设结论成立；

当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，等到三种情况；

设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；

④计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可。

典型例题：

例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

例2.如图，抛物线y=﹣221x+nmx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

例3．如图，二次函数212yxbxc的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．

（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由.

例4. （2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

特殊图形存在性问题

一、等腰三角形

1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论

（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）

（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）

（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）

【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2. 求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；

向坐标轴做垂线，构造一线三等角

例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点 D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．

练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A,B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．

练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

1 中考数学压轴题

一、等腰三角形存在性

1 解题思想：分类讨论

2 解题技巧：坐标系内线段长度表示

（1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴

在x轴或平行于x轴：x右-x左

在y轴或平行于y轴：y上-y下

（2）线段为倾斜（斜线段）A（XA,YA）B（XB,YB）C（XC,YC）

由勾股定理得：AB2=

AC2=

BC2=

3 解题方法

（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方

（2）分三种情况列方程，解方程

（3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根）

（2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点

（2）画图，作圆法，垂直平分线法

（3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏

解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。

例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

代数法：

几何法：

例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG． 2

（1）试求△ABC的面积；

（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．