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等腰三角形的存在性问题

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等腰三角形的存在性问题

解题策略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

例题精讲

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

解析．因为D（3，4），所以OD＝5，3cos5DOP．

①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．

在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OO．此时点P的坐标为25(,0)6．

②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．

③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

解析．在Rt△ABC中，10862222BCABAC.因此4cos5ACB.

在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.

①如图1，当CPCQ时，102tt，解得103t(秒).

②如图2，当QPQC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝152PCt.

在Rt△QMC中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒).

③如图3，当PCPQ时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝1122QCt.

在Rt△PNC中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).

综上所述，当t为秒秒、秒、2180925310时，△PQC为等腰三角形.

3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

解析．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．

如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．

设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．

因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．

①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得0m或43m．所以符合条件的点P不存在．

②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得25m．所以(425,0)P．

③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得12m．所以(1,0)P．

4．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解析．（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC． 所以点B的坐标为(2,23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．

所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．

当P在(2,23)时，B、O、P三点共线．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．

综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)．

5．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．

图1 图2

解析．（1）因为PC//DB，所以1CPPMMCBDDMMB．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．

（2）在△APD中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm．

①当AP＝AD时，2(4)m24m．解得32m（如图1）． ②当PA＝PD时，24m244(2)m．解得43m（如图2）或4m（不合题意，舍去）．

③当DA＝DP时，2(4)m244(2)m．解得23m（如图3）或2m（不合题意，舍去）．

综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．

[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图1，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．

所以12PCMBCMBA．因此12PC，32m．

②如图2，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．

所以DA＝2PO．因此42mm．解得43m．

（3）点H所经过的路径长为54．思路是这样的：

如图4，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

解析．(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB． 又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此DCEBCEBF，即8mxxy．

整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm．

(2)如图1，当m＝8时，2211(4)288yxxx．因此当x＝4时，y取得最大值为2．

(3) 若12ym，那么21218xxmmm．整理，得28120xx．解得x＝2或x＝6．

要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况． 因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．

将x＝y ＝2代入12ym，得m＝6（如图2）； 将x＝y ＝6代入12ym，得m＝2（如图3）．

第6题图1 第6题图2 第6题图3

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF//AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；

（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

解析．（1）4BEt，5(4)8EFt．

（2）△DEF中，∠DEF＝∠C是确定的．

①如图1，当DE＝DF时，DEEFABBC，即5(4)481016t．解得15625t．

②如图2，当ED＝EF时，54(4)8t．解得125t．

③如图3，当FD＝FE时，FEACDEBC，即5(4)108416t．解得0t，即D与B重合．

第7题图1 第7题图2 第7题图3 （3）MN是△FDE的中位线，MN//DE，MN＝2，MN扫过的形状是平行四边形．

如图4，运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3；

如图5，运动开始，D与B重合，M到BC的距离为34．

所以平行四边形的高为39344，面积为99242．

第7题图4

第7题图5

8．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝3，BC＝32，直线y＝323x经过点C，交y轴于点G．

（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；

（2）求顶点在直线y＝323x上且经过点C、D的抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线沿直线y＝323x平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？

若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

解析．（1）(4,23)C，(1,23)D．

（2）顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y＝323x，得32y．

设抛物线的解析式为253()22yax，代入点(4,23)C，可得233a．

所以物线的解析式为22353()322yx．

（3）由顶点E在直线y＝323x上， 可知点G的坐标为(0,23)，直线与y轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF＝30°．

设点E的坐标为(,323)mm，那么EG＝2m，平移后的抛物线为223()3233yxmm．所以点F的坐标为223(0,323)3mm．

①如图1，当GE＝GF时，yF－yG＝GE＝2m，所以223323mmm．

解得m＝0或332．m＝0时顶点E在y轴上，不符合题意．

此时抛物线的解析式为223373(3)3322yx．

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《等腰三角形存在性问题》导学案

《等腰三角形存在性问题》导学案

《等腰三角形存在性问题》导学案

温馨寄语：彩虹总在风雨后出现，希望定在不断地追求中

学习目标：1. 经历等腰三角形存在的探索过程，体验分析归纳得出等腰三角形问题解决方法的过程，体会数学中的分类讨论思想。

2. 会运用等腰三角形问题的几何探索法和代数探索法解决有关的数学问题．

知识链接：1.等腰三角形的性质：_______________________________________

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2.平面直角坐标系内点A（x1,y1）B（x2,y2）则两点间的距离AB=__________________________

合作探究：

一．一动点类型

如图，线段OD,O在直线MN上，在直线MN上找一点P，使三角形ODP为等腰三角形，这样的点P有几个？

变式训练：如图，线段OD,0为坐标原点,D(1,1) ，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?求出P点坐标.

x y

O D 0 D

M N

例1：已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,-1)和点A’(3,-1)

(1)求抛物线解析式,并求顶点坐标与对称轴方程

(2)设抛物线顶点P,在抛物线对称轴上(顶点P的下方)是否存在点B,使△ABP是等腰三角形.若存在,请求出点B的坐标,若不存在,请说明理由.

二.双动点类型

,∠B=45°.

动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． 例2、如图在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=24

等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题

10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2016山东省日照市）阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．

理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．

由此你得到动点P的运动轨迹是： ．

知识应用：

如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．

（1）求∠AQB的度数；

（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线23[(2)]5yxn与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．

（1）求m、n的值；

（2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；

等腰三角形的存在性问题20171012

等腰三角形的存在性问题20171012

探索等腰三角形存在性问题

探索等腰三角形存在性问题

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

分类讨论思想

1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形．．．．．，则点C的个数是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

BA第1题探索等腰三角形存在性问题

2．已知正方形ABCD，试在该平面内找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形．．．．．．这样的点P共有几个位置？请画出图形．

3．已知正三角形ABＣ，试在该平面内找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形．这样的点P共有几个位置？请画出图形．

A D

C B

A

C B 探索等腰三角形存在性问题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

4.如图,点A的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．．是否存在点P，使△AOP为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由.

A

O y

x 探索等腰三角形存在性问题

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

探索等腰三角形存在性问题 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝24，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

等腰直角三角形存在性问题

等腰直角三角形存在性问题

等腰直角三角形存在性问题

一、 复习回顾

二次函数存在性问题中等腰三角形的存在性、直角三角形存在性问题，等腰三角形的存在性问题有两种思路：①两圆一线确定点的位置，结合图形特点解决问题；②不考虑点的位置，利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解；直角三角形的存在性问题有两种思路：①两线一圆构图，“改斜归正”转化横平竖直线段长，②不考虑点的位置，利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解。

二、特殊三角形之等腰直角三角形存在性问题

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，点Q在直线x=-3上，是否存在以点P为顶点的等腰直角三角形△PBQ，若存在，求出点P的横坐标，若不存在说明理由。

解法分析：

通过读题，不难求得A、B、C三点坐标，点P、Q是两个动点，位置不确定，如何确定它们的位置是解决问题的一个难点。此时不妨通过草图分析，大体分两种情况：①直角顶点在BQ下方，②直角点P在BQ上方，结合上辑课讲到的直角三角形存在性问题的处理思路，容易考虑使用“改斜归正”的处理办法结合等腰直角三角形的特点构造一线三等角全等模型，从而顺利转化线段长建立等量。

三、练习

1.(本小题25分) 如图，抛物线y=x2-4x+3交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点D的坐标为(-1，0)，若在直线AB上存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )

A. (-1,4) 或(1/2,5/2) B. (-1，3)或(1，2) C. (-1，4)或(1，2) D. (-1，4)，(1，2)或(5，-2) 2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线l，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为( )