等腰三角形的存在性问题

专题二 等腰三角形的存在性问题

【考题研究】

近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么 ；③如图3，如果CA＝CB，那么 ．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

【解题类型及其思路】

解题类型：

动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题

背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景

解题思路：

几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

【典例指引】

类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】

典例指引1．

抛物线2yxbxc与x轴交于点A，点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点．

专题攻略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

针对训练

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．（09上海24）

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．（08南汇25）

3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

4．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对

称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条的

点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

5．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第三讲 等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略

一、两圆一线与两线一圆

二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类

三、几何解法（SAS法）

1等腰三角形的存在性问题

前提：三角形有一个不变的内角

步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。具体如下：

情形一、当定角为顶角时，如图3-2-6，有a=b;

情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cos=a/2b；

情形三、当定角为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cos=b/2a.

2直角三角形存在性问题

法1:若直角三角形有一个不变的锐角,可狠抓不变角,利用其三角函数列式计

法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解

3等腰直角三角形存在性问题

方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等

值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解

例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..

变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..

例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

等腰三角形存在性问题

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等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型， 等腰三角形、 直角三角形、 平行 四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及 常规解法．

等腰三角形存在性问题

【问题描述】

如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．

几何法】 “两圆一线 ”得坐标

1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有

AB=AC；

2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有

BA=BC；

3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．

y

等腰三角形存在性问题

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【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 等腰三角形存在性问题

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AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3

C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)

C3、C4 同理可求，下求 C5．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点

为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

AH =3， BH=2

设 AC 5= x，则 BC5=x，C5H=3-x

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解得： x=

6

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故 C5坐标为（ ,0）

而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标

222

(3-等腰三角形存在性问题

4

代数法】表示线段构相等

1）表示点：设点 C5坐标为（ m， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），

2)表示线段： AC5 (m 1) (0 1) ， BC5 (m 4) (0 3)