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导数与函数的极值、最值问题(解析版)

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【高考地位】

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.

【方法点评】

类型一 利用导数研究函数的极值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 计算函数()fx的定义域并求出函数()fx的导函数'()fx；

第二步 求方程'()0fx的根；

第三步 判断'()fx在方程的根的左、右两侧值的符号；

第四步 利用结论写出极值.

例1 已知函数xxxfln1)(，求函数fx的极值.

【答案】极小值为1，无极大值.

【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0fx，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()fx的增减性，进而求出函数()fx的极大值和极小值．

【变式演练1】已知函数322()fxxaxbxa在1x处有极值10，则(2)f等于（ ）

A．11或18 B．11 C．18 D．17或18

【答案】C 【解析】

试题分析：baxxxf23)(2,1010232ababa114012232baaaab或33ba．当33ba时,,0)1(3)(2xxf在1x处不存在极值．当114ba时，)1)(113(1183)(2xxxxxf，0)(),1,311(xfx；0)(),,1(xfx,符合题意．所以114ba．181622168)2(f．故选C．

考点：函数的单调性与极值．

【变式演练2】设函数21ln2fxxaxbx，若1x是fx的极大值点，则a的取值范围为（ ）

A．1,0 B．1,

C．0, D．,10,

【答案】B

【解析】

考点：函数的极值．

【变式演练3】函数xmxmxxf)1(2)1(2131)(23在)4,0(上无极值，则m_____.

【答案】3

【解析】 试题分析：因为xmxmxxf)1(2)1(2131)(23，

所以2'()(1)2(1)21fxxmxmxxm，由'0fx得2x或1xm，又因为函数xmxmxxf)1(2)1(2131)(23在)4,0(上无极值，而20,4，所以只有12m，3m时，fx在R上单调，才合题意，故答案为3.

考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.

【变式演练4】已知等比数列{}na的前n项和为12nnSk，则32()21fxxkxx的极大值为（ ）

A．2 B．52 C．3 D．72

【答案】B

【解析】

考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．

【变式演练5】设函数32()(1)fxxaxax有两个不同的极值点1x，2x，且对不等式12()()0fxfx恒成立，则实数a的取值范围是 ．

【答案】1(,1],22

【解析】

试题分析：因为12()()0fxfx,故得不等式332212121210xxaxxaxx,即221212121212123120xxxxxxaxxxxaxx,

由于2'321fxxaxa,令'0fx得方程23210xaxa,因2410aa , 故12122133xxaaxx，代入前面不等式,并化简得1a22520aa,解不等式得1a或122a，因此, 当1a或122a时, 不等式120fxfx成立,故答案为1(,1],22.

考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.

【变式演练6】已知函数3220fxxaxxa的极大值点和极小值点都在区间1,1内,

则实数a的取值范围是 ．

【答案】32a

【解析】

考点：导数与极值．

类型二 求函数在闭区间上的最值

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 求出函数()fx在开区间(,)ab内所有极值点；

第二步 计算函数()fx在极值点和端点的函数值；

第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

例2 若函数2xfxexmx，在点1,1f处的斜率为1e．

（1）求实数m的值；

（2）求函数fx在区间1,1上的最大值． 【答案】（1）1m；（2）maxfxe.

【解析】

试题分析：（1）由(1)1fe解之即可；

（2）21xfxex为递增函数且1110,130fefe,所以在区间(1,1)上存在0x使0()0fx，所以函数在区间0[1,]x上单调递减，在区间0[,1]x上单调递增，所以maxmax1,1fxff，求之即可.

试题解析： （1）2xfxexm，∴12fem，即21eme，解得1m；

实数m的值为1；

（2）21xfxex为递增函数，∴1110,130fefe，

存在01,1x，使得00fx，所以maxmax1,1fxff，

112,1fefe，∴max1fxfe

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.

【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.

【变式演练7】已知xexxf1)(.

（1）求函数)(xfy最值；

（2）若))(()(2121xxxfxf，求证：021xx.

【答案】（1） )(xf取最大值1)0()(maxfxf，无最小值；（2）详见解析.

【解析】 试题解析：（1）对)(xf求导可得xxxxexeexexf2)1()(，

令0)(xexxf得x=0.

当)0,(x时，0)(xf，函数)(xf单调递增；

当),0(x时，0)(xf，函数)(xf单调递减，

当x=0时，)(xf取最大值1)0()(maxfxf，无最小值.

（2）不妨设21xx，由（1）得

当)0,(x时，0)(xf，函数)(xf单调递增；

当),0(x时，0)(xf，函数)(xf单调递减，

若)()(21xfxf，则210xx，

考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明. 【变式演练7】已知函数()lnfxxx，2()2gxxax.

（Ⅰ）求函数()fx在[,2](0)ttt上的最小值；

（Ⅱ）若函数()()yfxgx有两个不同的极值点1212,()xxxx且21ln2xx，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）min110()1ln,teefxttte，；（Ⅱ）2ln2ln2ln()133a.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由'()ln10fxx，得极值点为1xe，分情况讨论10te及1te时，函数)(xf的最小值；（Ⅱ）当函数()()yfxgx有两个不同的极值点，即'ln210yxxa有两个不同的实根1212,()xxxx，问题等价于直线ya与函数()ln21Gxxx的图象有两个不同的交点，由)(xG单调性结合函数图象可知当min1()()ln22aGxG时，12,xx存在，且21xx的值随着a的增大而增大，而当21ln2xx时，由题意1122ln210ln210xxaxxa，214xx代入上述方程可得2144ln23xx，此时实数a的取值范围为2ln2ln2ln()133a.

试题解析：（Ⅰ）由'()ln10fxx，可得1xe，

①10te时，函数()fx在1(,)te上单调递减，在1(,2)te上单调递增，

函数()fx在[,2](0)ttt上的最小值为11()fee，

②当1te时，()fx在[,2]tt上单调递增，

min()()lnfxfttt，

min110()1ln,teefxttte，；

两式相减可得1122ln2()2ln2xxxx

214xx代入上述方程可得2144ln23xx，

此时2ln2ln2ln()133a，

所以，实数a的取值范围为2ln2ln2ln()133a；

考点：导数的应用．

【变式演练8】设函数ln1fxx. （1）已知函数2131424Fxfxxx,求Fx的极值；

（2）已知函数2210Gxfxaxaxaa,若存在实数2,3m,使得当0,xm时,函数Gx的最大值为Gm,求实数a的取值范围.

【答案】（1）极大值为0，极小值为3ln24；（2）1ln2,.

【解析】

,'FxFx随x的变化如下表:

x 0,1 1 1,2 2 2,

'Fx  0  0 

Fx 0 3ln24

当1x时,函数Fx取得极大值10F;当2x时,函数Fx取得极小值32ln24F.

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专题08 导数中的极值和极值点偏移(解析版)

专题08 导数中的极值和极值点偏移(解析版)

专题08 导数中的极值和极值点偏移

一、重点题型目录

【题型】一、求已知函数的极值

【题型】二、根据极值点求参数

【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系

【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系

【题型】五、求已知函数的极值点

【题型】六、函数最值与极值的关系

【题型】七、导数中的极值偏移问题

二、题型讲解总结

【题型】一、求已知函数的极值

例1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列na中的项1a，105a是函数32692fxxxx的极值点，则53a（ ）

A．3 B．3 C．3 D．3

【答案】D

【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到1105aa，然后根据等比中项求得答案.

【详解】由题意，23129313fxxxxx，则,1x时0fx，函数单调递增，1,3x时0fx，函数单调递减，3,x时0fx，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故1a，105a是231290xxfx的两个根，所以11053aa，所以25311053aaa，又110540aa，所以10a，1050a，设公比为q，525310aaq，所以553a.

故选：D.

例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（ ）

A．1yx B．exyx

C．2y D．3yx

【答案】B

【分析】对每个选项求导，然后判断即可

【详解】对选项A，210yx，故没有极值点；

对选项B，1exy，则极值点为0x，故正确；

对选项C，0y，故没有极值点；

对选项D，230yx，故没有极值点；

故选：B

例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数22eexafxax至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．

导数与函数极值最值

导数与函数极值最值

1 导数与函数的极值与最值

1. 函数的极值

⑴．判断 f(x0)是极值的方法

一般地，当函数 y＝f(x)在点 x0 处连续时，

①．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值；

②．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，那么 f(x0)是极小值．

⑵．求可导函数极值的步骤：

①．求 f′(x)；

②．求方程 f′(x)＝0 的根；

③．检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y＝f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

2. 函数的最值

⑴．在闭区间[a，b]上连续的函数 y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

⑵．若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)

在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

⑶．设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①．求 f(x)在(a，b)内的极值；

②．将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3. 利用极值求参数

1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.

2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数

3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围；

②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题；

③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.

题型一 求极值

【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数fx的导函数fx的图象如图所示，则（ ）

专题06 导数 6.3导数与函数的极值、最值 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

专题06 导数 6.3导数与函数的极值、最值 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

高中数学一轮复习讲义

专题六 《导数》讲义

6.3导数与函数的极值、最值

知识梳理.极值与最值

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

题型一. 极值、最值的概念

1．函数y＝xsinx+cosx的一个极小值点为（ ）

A．x=−𝜋2 B．x=𝜋2 C．x＝π D．x=3𝜋2

2．（2017·全国2）若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（ ）

A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1

3．（2013·全国2）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）

A．∃x0∈R，f（x0）＝0

B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形

高中数学一轮复习讲义

C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减

D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）＝0

4．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣4x+5在x＝﹣2处取极值（a∈R）．

导数的最大值与原函数的最大值大小关系

导数的最大值与原函数的最大值大小关系

导数的最大值与原函数的最大值大小关系

一、导数的最大值与原函数的极值

在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。

二、导数的最大值

1. 定义

导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。

2. 导数的最大值的意义

当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。

三、原函数的最大值

1. 定义

原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。

2. 原函数的最大值的意义

当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。这个点就是函数的最高点或者最大点。在这个点上，函数的取值达到了最大值。

四、导数的最大值与原函数的最大值的关系

1. 关系的探讨

在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。

2. 特殊情况

然而，也存在一些特殊情况。某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。

五、结论

导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。