导数与函数的极值、最值题型归纳

导数函数与函数极最值

类型 对应典例

求不含参数的极值（或极值点） 典例1

求含参数的极值（或极值点） 典例2

极值的意义应用 典例3

利用极值求参数的值或取值范围 典例4

含极值点的不等式证明 典例5

求不含参数的最值

典例6

求含参数的最值 典例7

【典例1】【陕西省渭南市2019届高三二模】已知函数lnxfxx．

(Ⅰ)求函数fx的极值；

(Ⅰ)若0mn,且nmmn,求证：2mne．

【思路引导】

(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数fx的极值；(Ⅰ)得到fmfn,根据函数的单调性问题转化为证明2emen，即证22lnlnnnnne,令222ln2ln1Gxexxxxxe，根据函数的单调性证明即可．

【详解】

(Ⅰ)lnxfxx fx的定义域为0,且21lnxfxx

令0fx，得0xe；令0fx，得xe

fx在0,e上单调递增，在,e上单调递减

函数fx的极大值为ln1efeee，无极小值

(Ⅰ)0mn，nmmn lnlnnmmn

llnnmmnn，即fmfn

由(Ⅰ)知fx在0,e上单调递增，在,e上单调递减 且10f，则1nem

要证2mne，即证2emen，即证2efmfn，即证2efnfn

即证22lnlnnnnne

由于1ne，即0ln1n，即证222ln2lnennnn

令222ln2ln1Gxexxxxxe

则2242ln2ln12ln1exexeeGxxxxxxxxxxxxx

1xe 0Gx恒成立 Gx在1,e递增

0GxGe在1,xe恒成立

2mne

【典例2】【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f（x）=13x312（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．

（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；

（2）求函数y=f（x）的极值点．

【思路引导】

（1）先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间；

（2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况.

【详解】

（1）当a=1时，321fxxxx3．∵()fx=x22x+1=（x1）2≥0，

故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．

（2）∵()fx=x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（xa2）[x（a+2）]，

①当a=1或a=2时，a2=a+2，∵()fx≥0恒成立，函数为增函数，无极值；

②当a＜1或a＞2时，a2＞a+2，

可得当x∈（∞，a+2）时，()fx＞0，函数为增函数； 当x∈（a+2，a2）时，()fx＜0，函数为减函数；

当x∈（a2，+∞）时，()fx＞0，函数为增函数．

当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．

③当1＜a＜2时，a2＜a+2．

可得当x∈（-∞，a2）时，()fx＞0，函数为增函数；

当x∈（a2，a+2）时，()fx＜0，函数为减函数；

当x∈（a+2，+∞）时，()fx＞0，函数为增函数．

当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．

综上可得：当a=1或a=2时，函数无极值点；当a＜1或a＞2时，函数有极大值点a+2，函数有极小值点a2；当1＜a＜2时，函数有极大值点a2，函数有极小值点a+2.

【典例3】【广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟】已知21()ln2xfxxaex．

（1）设12x是fx的极值点，求实数a的值，并求fx的单调区间：

（2）0a时，求证：12fx．

【思路引导】

（1）由题意，求得函数的导数1xfxxaex，由12x是函数fx的极值点，解得32eae，又由102f，进而得到函数的单调区间；

（2）由（1），进而得到函数fx的单调性和最小值20000min011ln2fxfxxxxx，令211ln,(01)2gxxxxxx，利用导数求得gx在0,1上的单调性，即可作出证明.

【详解】

（1）由题意，函数fx的定义域为0,，

又由1xfxxaex，且12x是函数fx的极值点， 所以12112022fae，解得32eae，

又0a时，在0,上，fx是增函数，且102f，

所以0fx，得12x，0fx，得102x，

所以函数fx的单调递增区间为1,2，单调递减区间为10,2.

（2）由（1）知因为0a，在0,上，1xfxxaex是增函数，

又1110fae（且当自变量x逐渐趋向于0时，fx趋向于），

所以，00,1x，使得00fx，

所以00010xxaex，即0001xaexx，

在00,xx上，0fx，函数fx是减函数，

在0,xx上，0fx，函数fx是增函数，

所以，当0xx时，fx取得极小值，也是最小值，

所以0220000000min0111lnln,(01)22xfxfxxaexxxxxx，

令211ln,(01)2gxxxxxx，

则2211111xgxxxxxx，

当0,1x时，0gx，函数gx单调递减，所以112gxg，

即min12fxfx成立，

【典例4】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】设函数21()ln2fxaxbxx.

（1）若1x是()fx的极大值点，求a的取值范围；

（2）当0a，1b时，方程22()xmfx（其中0m）有唯一实数解，求m的值.

【思路引导】

（1）由题意，求得函数的导数得到11axxfxx，分类讨论得到函数的单调性和极值，即可求解实数a的取值范围；

（2）因为方程22mfxx有唯一实数解，即22ln20xmxmx有唯一实数解，设22ln2gxxmxmx，利用导数gx，令0gx，得20xmxm，由此入手即可求解实数m的值．

【详解】

（1）由题意，函数fx的定义域为0,，则导数为1fxaxbx

由10f，得1ba，∴1111axxfxaxaxx

①若0a，由0fx，得1x.

当01x时，0fx，此时fx单调递增；

当1x时，0fx，此时fx单调递减.

所以1x是fx的极大值点

②若0a，由0fx，得1x，或1xa.

因为1x是fx的极大值点，所以11a，解得10a

综合①②：a的取值范围是1a

（2）因为方程22mfxx有唯一实数解，所以22ln20xmxmx有唯一实数解

设22ln2gxxmxmx，则2222xmxmgxx，

令0gx，即20xmxm.

因为0m，0x，所以21402mmmx（舍去），2242mmmx

当20,xx时，0gx，gx在20,x上单调递减， 当2,xx时，0gx，gx在2,x单调递增

当2xx时，0gx，gx取最小值2gx

则2200gxgx，即22222222200xmlnxmxxmxm，

所以222ln0mxmxm，因为0m，所以222ln10xx（*）

设函数2ln1hxxx，

因为当0x时，hx是增函数，所以0hx至多有一解

因为10h，所以方程（*）的解为21x，即2412mmm，解得12m

【典例5】【福建省三明市2020届模拟】已知函数2()ln2afxxxxx()aR．

（1）若曲线()yfx在ex处切线的斜率为1，求此切线方程；

（2）若fx有两个极值点12,xx，求a的取值范围，并证明：1212xxxx．

【思路引导】

（1）yfx在xe处切线的斜率为1，即'1fe，得出2ae，计算f(e)，即可出结论

（2）①fx有两个极值点12,xx，得'lnfxxax=0有两个不同的根，即lnxax

有两个不同的根，令lnxgxx，利用导数求其范围，则实数a的范围可求；

fx有两个极值点12,xx，1122lnx-ax=0lnx-ax=0利用gx在(e,+∞)递减，122122lnx+xlnxx+xxa1212lnxxx+x，即可证明

【详解】

（1）∵'lnfxxax，∴'1fe，解得2ae，

∴，故切点为，

所以曲线在处的切线方程为．

（2）'lnfxxax，令'lnfxxax=0，得lnxax．

令lnxgxx，则21ln'xgxx，