导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)

§3.3 导数与函数的极值、最值 学习目标

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 知识梳理

1．函数的极值

(1)函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

常用结论

对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )

(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )

(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )

(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )

教材改编题

1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 A

解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．

2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－6]∪[6，＋∞)

B．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

C．(－6，6)

D．[－6，6]

答案 B

解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，

解得a>6或a<－6.

3．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.

答案 4

解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

题型一 利用导数求函数的极值问题

命题点1 根据函数图象判断极值

例1 (2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )

A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)

B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)

D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)

答案 D

解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)时，

y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．

命题点2 求已知函数的极值

例2 已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解 (1)因为f(x)＝x－1＋aex，

所以f′(x)＝1－aex，

又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，

即1－ae1＝0，所以a＝e.

(2)由(1)知f′(x)＝1－aex，

当a≤0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，

因此f(x)无极大值与极小值；

当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，

所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，

令f′(x)<0，则x

所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，

故f(x)在x＝ln a处取得极小值，

且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，

综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；

当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．

命题点3 已知极值(点)求参数

例3 (1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于( ) A．－7 B．0

C．－7或0 D．－15或6

答案 A

解析 由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，

可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

因为f(x)在x＝1处取得极值10，

可得 f′1＝3＋2a＋b＝0，f1＝1＋a＋b＋a2＝10，

解得 a＝4，b＝－11，或 a＝－3，b＝3，

检验知，当a＝－3，b＝3时，

可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，

此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；

当a＝4，b＝－11时，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，

当x<－113或x>1时，

f′(x)>0，f(x)单调递增；

当－113

当x＝1时，函数f(x)取得极小值，符合题意．

所以a＋b＝－7.

(2)(2022·南京模拟)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为( )

A．(0，e) B.0，1e

C.0，12 D.0，13

答案 C

解析 f′(x)＝ln x－ax＋x1x－a

＝ln x＋1－2ax，

由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a＝ln x＋1x，

设g(x)＝ln x＋1x，

则g′(x)＝1－ln x＋1x2＝－ln xx2. 当00，g(x)单调递增；

当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)的极大值为g(1)＝1，

又当x>1时，g(x)>0，

当x→＋∞时，g(x)→0，

当x→0时，g(x)→－∞，

所以0<2a<1，即0

教师备选

1．(2022·榆林模拟)设函数f(x)＝xcos x的一个极值点为m，则tanm＋π4等于( )

A.m－1m＋1 B.m＋1m－1

C.1－mm＋1 D.m＋11－m

答案 B

解析 由f′(x)＝cos x－xsin x＝0，

得tan x＝1x，所以tan m＝1m，

故tanm＋π4＝1＋tan m1－tan m＝m＋1m－1.

2．已知a，b∈R，若x＝a不是函数f(x)＝(x－a)2(x－b)·(ex－1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )

A．1≤b

C．a<1≤b D．a

答案 B

解析 令f(x)＝(x－a)2(x－b)(ex－1－1)＝0，

得x1＝a，x2＝b，x3＝1.

下面利用数轴标根法画出f(x)的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析．

对选项A，若1≤b

对选项B，若b

对选项C，若a<1≤b，由图可知x＝a是f(x)的极小值点，不符合题意；

对选项D，若a

思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

(2)验证：求解后验证根的合理性．

跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极大值为( )

A．－1 B．－2e－3

C．5e－3 D．1

答案 C

解析 因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，

故可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，

因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，故可得f′(1)＝0，

即2a＋2＝0，解得a＝－1.

此时f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x＋2)(x－1)．

令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，

由f′(x)>0可得x<－2或x>1；

由f′(x)<0可得－2

所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，

在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

故f(x)的极大值点为x＝－2.则f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋2－1)e－3＝5e－3.

(2)(2022·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋12x2－ax(x>0)在12，3上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是( )

A.52，103 B.52，103

C.52，103 D.2，103

答案 B

解析 ∵f(x)＝ln x＋12x2－ax(x>0)，

∴f′(x)＝1x＋x－a，

∵函数f(x)＝ln x＋12x2－ax(x>0)在12，3上有且仅有一个极值点，

∴y＝f′(x)在12，3上只有一个变号零点．

令f′(x)＝1x＋x－a＝0，得a＝1x＋x.

设g(x)＝1x＋x，则g(x)在12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，