山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p为( )

A．∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n

2.命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )

A．1 B.2 C.3 D.4

3.下列说法正确的是( )

A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

4.某三棱锥的三视图如图①所示，则该三棱锥的表面积是(

)

图①

A．2＋5 B.4＋5 C.2＋25 D.5

5.下列说法正确的是( )

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件

C．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”

D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题

6.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是( )

A.－115或k<－1 D.k>12或k<－1

7.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

8.设变量x，y满足约束条件 x－y≤1，x＋y≥2，y≤2，则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为( )

A.[2,8] B．[4,13] C.[2,13] D.52，13

9.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )

A．2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0

10.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )

A.5 B.2 C.3 D.2

11.在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为( )．

A.412 B.41 C.17 D.217

12.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 .

14.已知双曲线)0(1222ayax的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________.

15.如图②，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

图②

16.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_____．

三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17题10分，其余5道题每题12分）

17.在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

(1)顶点C的坐标；

(2)直线MN的方程.

18.已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m 恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

19.已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．

(1)求过点A的圆的切线方程；

(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.

20.如图③，四棱锥S­ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB.

图③

(1)证明：DE⊥平面SBC；

(2)求二面角A­DE­C的大小．

21.如图④，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

④

(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；

(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.

22.已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P

是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标；

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；

(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

理科数学参考答案

1-5CBBCB 6-10DDCDD 11-12DC

13. x2＋y2＝2 14.33 15.2 16.22

17.

即5x－2y－5＝0

18.解 (1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.

因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．

19. (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，

得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，

即kx－y＋5－3k＝0.由d＝|2k－3＋5－3k|k2＋1＝1，得k＝34.

又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，

故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.

(2)直线OA的方程为y＝53x，即5x－3y＝0，又点C到OA的距离d＝|5×2－3×3|5232＝134.又|OA|＝32＋52＝34.所以S＝12|OA|d＝12.

20.由题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，DB→＝(1,1,0)，DS→＝(0,0,2).2分

(1)证明：∵SE＝2EB，∴DE→＝23DB→＋13DS→＝23(1,1,0)＋13(0,0,2)＝23，23，23.

又BC→＝(－1,1,0)，BS→＝(－1，－1,2)，

∴DE→·BC→＝0，DE→·BS→＝0，∴DE→⊥BC→，DE→⊥BS→.

又BC∩BS＝B，∴DE⊥平面SBC. 5分

(2)由(1)知，DE⊥平面SBC，

∵EC⊂平面SBC，∴DE⊥EC.取DE的中点F，

则F13，13，13，FA→＝23，－13，－13，故FA→·DE→＝0，由此得FA⊥DE. 10分

∴向量FA→与EC→的夹角等于二面角A­DE­C的平面角，

又cos〈FA→，EC→〉＝FA→·EC→|FA→||EC→|＝－12， ∴二面角A­DE­C的大小为120°. 12分

21.

(2)方法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x20a2＋y20b2＝1，x20＋y20＝c2，求得x0＝±aca2－2b2，y0＝±b2c。由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝aa2－2b2c＋c2＋b4c2＝2(a2－b2)＋2aa2－2b2＝()a＋a2－2b22。由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a。从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|。

又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此(2＋2)|PF1|＝4a，

从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，

由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，

因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝2－222－12＝9－62＝6－3。

22.

(3)存在，联立方程 y＝mx2，2x－y＋2＝0，消去y得mx2－2x－2＝0，

依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－12.

设A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则 x1＋x2＝2m，x1·x2＝－2m.(*)

∵P是线段AB的中点，∴P(x1＋x22，mx21＋mx222)，即P(1m，yP)，∴Q(1m，1m)．

得QA→＝(x1－1m，mx21－1m)，QB→＝(x2－1m，mx22－1m)，

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA→·QB→＝0，

即(x1－1m)·(x2－1m)＋(mx21－1m)(mx22－1m)＝0，结合(*)化简得－4m2－6m＋4＝0，

即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－12，而2∈(0，＋∞)，－12∉(0，＋∞)．

∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．