基于马尔可夫决策法的企业市场占有率预测

第 6 章马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。

它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。

6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。

二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。

具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。

设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。

6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。

如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。

设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。

如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。

设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。

系统只能在时刻t0,t1,t2,...改变它的状态。

为简便计，以下将X t n等简记为X n。

一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。

在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。

这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。

具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。

用数学语言来描述就是：马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。

马尔科夫转移矩阵法一、马尔科夫转移矩阵法的涵义单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。

在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。

企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。

市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。

马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。

比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。

在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。

所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。

马尔科夫分析法的一般步骤为：①调查目前的市场占有率情况；②调查消费者购买产品时的变动情况；③建立数学模型；④预测未来市场的占有率。

二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。

马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。

马尔科夫分析法的基本模型为：X(k+1)=X(k)×P式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。

必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。

若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。

由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一般适用于短期的趋势分析与预测。

三、马尔科夫过程的稳定状态在较长时间后，马尔科夫过程逐渐处于稳定状态，且与初始状态无关。

马尔科夫模型在汽车市场预测中的应用一、引言企业是一个静态变化的系统，有些变量和要素随时间的推移而不时地随机变化，市场占有率就是其中一个变量。

面对日趋剧烈的市场竞争，谁能及时准确的掌握未来的市场趋向，谁就能掌握市场的自动权。

但是，用普通的预测方法来预测市场占有率很难失掉准确的结果，如临时趋向预测法，是依据历史数据的变化规律来对未来市场状况停止预测，但对市场占有率这个无确定变化规律的变量来说，就显得不太适用。

马尔科夫预测法是在经过市场调查等途径获取资料的基础上，运用数理统计、系统工程等有效地数学方法，是完成定量建模与定性评价的深层组合，适用于随机进程预测的一种迷信有效的方法。

二、马尔科夫进程及预测模型的树立马尔科夫(A．A．Markov)实际指出：〝系统到达每一形状的概率仅与近期形状有关，在一定时期后马尔科夫进程逐渐趋于动摇形状而与原始条件有关〞的这一特性称为〝无后效性〞。

即：事物的第n次实验结果仅取决于第(n一1)次实验结果，第(n一1)次实验结果仅取决于第(n一2)次实验结果，依此类推。

这一系列转移进程的集合叫做〝马尔科夫链〞或称为〝时间和形状均团圆的马尔科夫进程〞。

〝对马尔科夫进程和马尔科夫链停止剖析，并对未来的开展停止预测称为马尔科夫剖析〞。

马尔科夫预测方法的特点是：不需求少量的统计资料，只需有限的近期资料即可完成定量预测，而且马尔科夫预测方法适用于短期预测的基础上，只需形状转移矩阵滚动次数足够的多，同时也适用于临时预测。

但要求市场比拟动摇并在一定时期内没有大的变化。

马尔科夫进程实践上是一个将系统的〝形状〞和〝形状转移〞定量化了的系统形状转换的数学模型：形状{S n ，n ≥1}：指现象某一时辰上的某种形状，是表示系统的最小一组变量。

当系统可完全由定义形状的变量取值来描画时，称系统处于一个形状。

形状转移：指当系统的描画变量从一个形状的特定值变化到另一个形状特定值时，就表示系统由一个形状转移到另一个形状，从而该系统完成了形状的转移。

马尔科夫预测与决策法马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。

池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。

在初始时刻t，它在第二张荷叶上。

在时，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t1地不动。

我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。

这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。

实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。

2010年6月6日Sunday2马尔可夫性与转移概率矩阵一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。

换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。

2010年6月6日Sunday3设随机变量序列，{X,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为1S= {s1,s2 , ···, s n, ···}若对任意的k和任意的正整数i, i2 , ···,i k, i k+1,有下式成1立：P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik}= P{X k+1= s ik+1| X k= s ik},X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X1链（Markov chains）。

2010年6月6日Sunday42010年6月6日Sunday 5如果系统从状态s i 转移到状态s j ，我们将条件概率P { s i | s j }称为状态转移概率，记作：P ( s i | s j )=p ij 简单地说，p ij 是从i 到j 的转移概率。