高中数学第三章指数函数和对数函数3指数函数(二)学案北师大版必修1

3.2.2 指数运算的性质
本节教材分析
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义.
三维目标
1、知识与技能：（1）在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算．（2）能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简．
2、过程与方法：（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数．
3、情感．态度与价值观：使学生通过学习无理指数幂的确定,了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
教学重点：运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：有理数指数幂性质的灵活应用.
教学建议：教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.
新课导入设计
导入一:同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样就推广到有理数，那么它是否和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回归数的扩充过程中，自然数到整数，整数到有理数，有理数到实数.同样指数的扩充和数域扩充一致，教师接着点题.
导入二：引导学生回归初中正整数指数幂运算及性质导出课题.
1。

3.2.2 指数运算的性质问题导学一、利用指数的运算性质化简、求值 活动与探究1 计算或化简．(1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)014130.753327(0.064)[(2)]16|0.01|8---⎛⎫--+-++- ⎪⎝⎭；÷3a －7·3a 13(a ＞0)．迁移与应用(1)已知m ＞0，则1233m m ⋅＝( )． A ．m B ．13m C ．1 D ．29m(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x ； (3)计算：41320.753440.0081(4)16---++-.在进行指数及根式的运算时，要熟练掌握指数的运算性质，并能灵活运用，要注意以下几点：(1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算． (5)尽可能用幂形式表示． 二、条件求值问题 活动与探究2已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a －a －1；(3)33221122a a a a----.迁移与应用1．已知2x －2－x ＝2，则8x的值为__________． 2．已知a ＋a－1＝5，求a 2＋a －2，1122a a-+，1122a a--.对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，注意完全平方公式、平方差公式、立方差公式的应用．还要注意开方时的取值的符号问题．当堂检测1．下列运算结果中，正确的是( )．A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝－a 62．如果x ＞y ＞0，则x y y xy y xx 等于( )．A ．()yxx y - B ．()x yx y - C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x yy －x D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x y x －y3．计算144[(3)]-的结果是( )．A ．－3B ．3C ．－13D ．134．已知m ＋1m＝4，则m 2＋m －2等于__________．5．化简：861552()a b --⋅·5a 4÷5b 3(a ≠0，b ≠0)．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)a m ＋n (2)a mn (3)a n b n预习交流 提示：不一定．如111222[(4)(9)]=(4)(9)-⨯--⨯-是不成立的，这是因为1122[(4)(9)]=36-⨯-＝6，而12(4)-与12(9)-均无意义．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：先算乘方，开方，再算乘除，最后进行加减运算，含有根式时，应先化为分数指数幂，再根据指数幂的运算性质计算．解：(1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1.(2)原式＝133[(0.4)]-－1＋(－2)－4＋2－3＋122[(0.1)]＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(3)原式＝191317113()()32322323[][]aaaa⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅＝937136666a-+-＝a 0＝1.迁移与应用 (1)A 解析：由于m ＞0，所以12123333=m m m +⋅＝m 1＝m .(2)解：原式＝112212332x x yy⨯＝2xy.(3)解：原式＝4133344()234224(0.3)(2)(2)2-⨯-⨯-++-＝0.3＋2－3＋2－2－2－3＝0.3＋0.25 ＝0.55.活动与探究2 思路分析：从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，应设法从整体上寻找求值代数式与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．解：(1)将1122=3a a -+两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，有a 2＋a －2＋2＝49.所以a 2＋a －2＝47.又因为(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝47－2＝45，所以a －a －1＝±45＝±3 5. (3)由于3311332222=()()a a a a ----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a a a aa a--------++⋅--＝a ＋a －1＋1＝8.迁移与应用 1.7＋52解析：由已知条件，可解得2x ＝2＋1，于是8x ＝(2x )3＝(2＋1)3＝7＋5 2.2．解：∵由a ＋a －1＝5，得(a ＋a －1)2＝25， ∴a 2＋a －2＝23.∵1122a a -+＞0，又21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝7，∴1122a a-+＝7.∵21122a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ＋a －1－2＝3， ∴1122a a --＝± 3. 【当堂检测】 1．D 2.C3．B 解析：111444444[(3)]=(3)=3⨯-＝31＝3.。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

高中数学第三章指数函数和对数函数3-3指数函数问题导学案北师大版必修1问题导学一、指数函数的概念活动与探究1下列函数中一定是指数函数的是__________．(只填序号)(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)；(6)y＝(2a－1)x.迁移与应用(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为__________；(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝__________.1．判断一个函数是否是指数函数，关键是分析该函数解析式是否完全符合指数函数解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)，其特征是：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.2．已知某函数是指数函数求参数值时，可采用待定系数法，先通过一个条件确定解析式中a的值，再解决其他问题．二、求指数型函数的定义域、值域(最值)活动与探究2求下列函数的定义域与值域：(1)；142x y-=(2)y＝)－|x|.迁移与应用1．函数y＝4的定义域是__________，值域是__________．2．求y＝的定义域和值域．1．对于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)，其定义域就是函数f(x)的定义域，可按照求函数定义域的一般方法进行求解．2．求指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，通常采用逐步推的办法，先确定f(x)的取值范围，再结合指数函数的单调性求得原函数的值域．三、指数函数单调性的应用活动与探究3(1)比较下列各组数的大小：①1.72.5与1.73；②)－1.8与)－2.6；③2.3－0.28与0.67－3.1.(2)求函数f(x)＝2x－1的单调区间．迁移与应用1．比较下列各题中两个值的大小：(1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a2.5(a ＞0，a≠1)．2．函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值．1．在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的单调性得出结果；若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的单调性得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果．总之，比较时要尽量转化成同底的形式，根据指数函数的单调性进行判断．2．函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性与单调区间可按如下规则确定：(1)当a＞1时，函数y＝af(x)的单调性、单调区间与f(x)的单调性、单调区间相同；(2)当0＜a＜1时，函数y＝af(x)的单调性、单调区间与f(x)的单调性、单调区间相反；(3)当底数a不确定时，要对其分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．四、指数型函数的图像及图像变换问题活动与探究4画出函数y＝)|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．迁移与应用1．为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的图像上所有的点( )．A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度2．若函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点P，试求点P的坐标．函数图像变换问题的处理方法：(1)抓住图像上的特殊点．如指数函数的图像过定点(0,1)；。

3 指数函数(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．知识点一 不同底指数函数图像的相对位置思考 y ＝2x与y ＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0且a ≠1)的图像关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则ax 1与ax 2(a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？梳理 一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的__________来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过__________来判断． 知识点三 解指数方程、不等式思考 若a 1x＜a 2x ，则x 1，x 2的大小关系如何？梳理 简单指数不等式的解法 (1)形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的______________求解．(2)形如af (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x的__________求解．(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y ＝a x，y ＝b x的图像求解． 知识点四 与指数函数复合的函数单调性思考 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？梳理 一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有________的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝af (x )与y ＝f (x )具有________的单调性；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性________．类型一 解指数方程 例1 解下列关于x 的方程．(1)81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x－1＝0.反思与感悟 (1)af (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍． 跟踪训练1 解下列方程． (1)33x －2＝81；(2)5x＝325； (3)52x－6×5x＋5＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小． (1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π，1.命题角度2 解指数不等式 例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤ax －5(a >0，且a ≠1)．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响． 跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．命题角度3 与指数函数复合的单调性问题例4 (1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的单调区间； (2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调区间．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题．注意在此过程中不等号的变化． 跟踪训练4 求下列函数的单调区间． (1)223;x x y a ＋－ (2)y ＝10.2x－1.1．若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝23．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x －的递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________．5．若指数函数y ＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m<c 且c <b n，则a m<b n；若a m>c 且c >b n，则a m>b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x 的不等式，可借助图像求解． 3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝af (x )与f (x )的单调性相同． 当0<a <1时，y ＝af (x )与f (x )的单调性相反．(2)研究y ＝f (a x)型单调区间时，要注意a x属于f (u )的增区间还是减区间．答案精析问题导学 知识点一思考 经描点观察，在y 轴右侧，2x＜3x，即y ＝3x图像在y ＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x在y ＝3x图像上方． 知识点二思考 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为增函数，所以ax 1＜ax 2， 当0＜a ＜1时，y ＝a x在R 上为减函数，所以ax 1＞ax 2. 梳理 (1)单调性 (2)图像 (3)中间值 知识点三思考 当f (x )在区间[m ，n ]上单调递增(减)时，若x 1，x 2∈[m ，n ]，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．所以，当0＜a ＜1时，a 1x＜a 2x ⇔x 1＞x 2，当a ＞1时，a 1x＜a2x ⇔x 1＜x 2.此原理可用于解指数方程、不等式． 梳理 (1)单调性 (2)单调性 知识点四思考 由于y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x ，不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理 (1)相同 (2)相同 相反 题型探究例1 解 (1)∵81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2. (2)∵22x ＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x－1＝0.令t ＝2x(t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x＝14，解得x ＝－2.跟踪训练1 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2. (2)∵5x＝325，∴52x ＝523，∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x，则t >0， 原方程可化为t 2－6t ＋5＝0，解得t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x＝1， ∴x ＝1或x ＝0.例2 解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x 的图像位于y ＝1.5x的图像的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3， 又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1， ∴1.70.3＞1.50.3.(3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.跟踪训练2 解 (1)∵0＜0.8＜1， ∴y ＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1. 例3 解 (1)当0<a <1时， ∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．跟踪训练3 (12，＋∞)解析 ∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈(12，＋∞)．例4 解 (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减少的，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在(－∞，3]上是增加的． 在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增加的，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋在[3，＋∞)上是减少的． ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122617x x －＋的增区间是(－∞，3]， 减区间是[3，＋∞)．(2)设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上递减，在[4，＋∞)上递增．令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤4，得x ≥－2.∴当－2≤x 1<x 2时，4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121x >⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ， 即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]． 跟踪训练4 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a >1时，y 关于u 为增函数；当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)．(2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}．设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x 为减函数．而根据y ＝1u －1的图像可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数，∴原函数的增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)． 当堂训练1．B 2.B 3.A4．(1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数，又∵22232223x x x x aa －＋＋－＞， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. 5.5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12.。

第三章指数函数与对数函数§3．3指数函数（复习）（学案）[教学目标]1、知识与技能（1）回顾复习指数的扩充,指数的运算性质,并熟练进行运算．（2）复习总结函数的图像和性质,并用来比较指数的大小和解简单的指数不等式．（3）能够画出指数函数的图像,研究指数函数的性质．2、过程与方法（1）能够利用指数幂的运算性质进行运算化简．（2）让学生掌握指数函数的图像和性质,进一步体会指数函数的性质与底数的关系．（3）通过特殊到一般的研究方法研究一个陌生问题是一种常规的思维方式,是由表及里的上升循环过程,学习指数函数的性质是为了更好的研究具体函数．3、情感．态度与价值观使学生通过学习指数、指数的运算和指数函数的图像,了解到指数函数具有的性质．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等,增强学习指数函数的积极性和自信心．[教学重点]:指数的运算及指数函数的图像和性质．[教学难点]：指数函数的图像和性质与底数的关系[学法指导]：学生思考、探究．[讲授过程]一、复习引导[知识回顾复习]1．指数的扩充2．指数的运算性质3．指数函数的图像与性质（1）典例导悟例1．化简：1114424111244()a b ba a b--=-．例2．求下列函数的定义域：21 (1).2-=xy1 (2).3⎛= ⎪⎝⎭y例3．函数11x x e y e -=+的值域例4．（1）函数()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()1x f x e =-,则x R ∈时,()f x =__________．（2）设0,()x x e a a f x a e >=+是R 上的偶函数,则a =________________．例5．比较下列各组数的大小：（1）0.1-和 0.2-； （2）163()4和154()3-； （3）2(0.8)-和125()3- ．（2）总结导悟 学生进行总结二、拓展引导练习1：计算：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅- （2）120.750311(0.064)(16()23---÷+-．2．求下列函数的定义域:（1）1x 21y ()2-= （2）y =3:求函数2(0)21x x y x =>+的值域．4．（1）定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且当0x >时,()1x f x e =+,则x R ∈ 时,()f x =__________．（2）已知函数1()21x f x a =-+,若()f x 为奇函数,则a =________________．5．比较下列各组数的大小：（1）0.7(3-和 0.3()3-；（2）133()2和142()3-； （3）5(0.6)-和154()3- ．。

2 指数扩充及其运算性质学习目标 1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值．知识点一分数指数幂思考由a2＝22(a>0)易得a＝2＝222，由此你有什么猜想？梳理分数指数幂(1)定义：给定__________a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的__________b，使得____________，我们把b叫作a的____________，记作b＝__________.(2)意义知识点二无理数指数幂思考无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？梳理无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数) 是一个确定的正实数．至此，指数幂aα的指数取值范围扩充为R.知识点三实数指数幂的运算性质思考1 在实数指数幂a x中，为什么要规定a>0?梳理 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数．思考2 初中，我们知道a ≠0，m <n 时有a m a n ＝a －(n －m )(其中m ，n 为正整数)．那么，当a >0，m ，n 为任意实数时，上式还成立吗？梳理 一般地，当a >0，b >0时，有： (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(ab )n＝a n b n，其中m ，n ∈R . 知识点四 实数指数幂的化简思考 如何化简(a －1b －1b a)23？梳理 实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简．类型一根式与分数指数幂之间的相互转化命题角度1 分数指数幂化根式例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．(1)25x；(2)53x－.反思与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．跟踪训练1 用根式表示2132x y－(x>0，y>0)．命题角度2 根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)－a6.反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，mna有时有意义，有时无意义．如(－1)13＝3－1＝－1，但(－1)12就不是实数了．为了保证在mn取任何有理数时，mna都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂．(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x5x22.类型二 运用指数幂运算公式化简求值 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)． (1)(0.027)23＋(27125)13-－(279)0.5；(2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－； (3)111222.m m m m－－＋＋＋反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3 (1)化简：(18)13-×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6；(2)化简：21321111362515()()46xyx y x y －－－；－－ (3)已知1122x x －＋＝5，求x 2＋1x的值．类型三 运用指数幂运算公式解方程例4 已知a >0，b >0，且a b＝b a，b ＝9a ，求a 的值．反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的． 跟踪训练4 已知67x ＝27,603y＝81，求3x －4y的值．1．化简238的值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．82．1225等于( )A ．25 B.125 C ．5 D.153．用分数指数幂表示a －b3(a >b )为( )A ．(a －b )12B ．(b －a )12C ．(a －b )32D ．(a －b )234．(36a 9)4等于( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 25．计算42＋1×22－22的结果是( )A ．32B ．16C ．64D ．1281．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质． 2．指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．答案精析问题导学 知识点一思考 当a >0，b >0时，若a m＝b n，则a ＝n mb (m ，n 为非零整数)． 梳理 (1)正实数 正实数 b n＝a mmn 次幂 m na (2)na m1m na1na m知识点二思考 随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数． 知识点三思考1 把指数扩大为全体实数后，若a <0，a x有时没有意义，如(－2)12，为运算方便，规定a >0.思考2 因为指数已扩充为实数，故有a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n.既不必再区分m 、n 的大小，也不必区分a m·a n和a man 了．知识点四思考 (a －1b －1b a)23-＝(a －1·a 12-·b 12-·b －1)23-＝(23233()()32322()().a b ab ab --⨯---==题型探究例1 解 (1)25x ＝5x 2.(2)53x－＝13x 5.跟踪训练1 解 221332121·x y y x －＝＝1x·3y 2.例2 解 (1)5a 6＝65.a(2)13a 2＝23231.aa－＝(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝32134424.b a a b－－＝(4)－a6＝a6＝62a＝a3.跟踪训练2 解1776212(2)2. ===313224().a a====(3)b3·3b2＝b3·21133.b b＝3591353511.()xx x-======例3 解(1)(0.027)23＋(27125)13-－(279)0.5＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236a b＋－＋－＝4ab0＝4a.(3)111222m mm m－－＋＋＋＝1111222221122().m mm mm m---+=++.跟踪训练3解(1)原式＝1111131(1)()36623334424481)2(2)(3)223112.⨯⨯⨯⨯⨯－－＋＋(2＋＝2+＋＝(2)21321111362515()()46x yx y x y-----＝5×(－4)×(－65)×2111111()(1)()033226662424.x y x y y⨯－－－－－－－＝＝(3)由12x＋12x－＝5，两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得x＋x－1＝23，则有x2＋1x＝23. 例4 解方法一∵a>0，b>0，又a b＝b a，()199aba b a a∴⇒＝＝，∴81829993a a a=⇒=⇒=方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.跟踪训练4 解 由67x ＝33，得67＝33x ，由603y ＝81，得603＝34y ， ∴432603393,67y x -=== ∴4y －3x＝2，故3x －4y ＝－2. 当堂训练1．B 2.D 3.C 4.D 5.B。

3.3 指数函数第一课时问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；x例题分析例1 比较下列各题中两个数的大小：(1) 3 0.8 , 30.7(2) 0.75-0.1, 0.750.1例2 (1)求使4x>32成立的x 的集合； (2)已知a 4/5>a2,求实数a 的取值范围.练习p73 1,2作业p77习题3-3 A 组 4,5课后反思：第二课时（1）提出问题指数函数y=a x (a>0,a≠1) 底数a对函数图象的影响，我们通过两个实例来讨论a>1和0<a<1两种情况。

（2）动手实践动手实践一：在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，比较两个函数的增长快慢一般地，a>b>1时，（1）当x<0时，总有a x<b x<1；（2）当x=0时，总a x=b x=1有；（3）当x>0时，总a x>b x>1有；（4）指数函数的底数a越大，当x>0时，其函数值增长越快。

动手实践二：分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.总结y=a x (a>0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。

3.5 对数函数第1课时 对数函数的概念 对数函数y ＝log2x 的图像和性质[核心必知]1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数．2．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 (5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数[问题思考]1．函数y ＝log 3x (x >0)，y ＝log 12x (x >0)，y ＝2log 2x ，y ＝log 12x 2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 12x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y＝log 12x2等都不是对数函数．2．函数y ＝log a x 2与y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同． 3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称；(2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域．(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的单调性一致，即都是增函数．讲一讲1．求下列函数的定义域．(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x)．[尝试解答] (1)要使函数有意义， 需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2)．求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．练一练1．求下列函数的定义域． (1)y＝1－log 2x ；(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1.解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－log 2x ≥0，即0<x ≤2，∴所求函数的定义域为(0,2]． (2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x ＞0，log 2(－x )＋1≠0.即－1＜x ＜0且x ≠－12.∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.讲一讲2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x. [尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x .(2)y ＝3.05x的反函数是y ＝log 3.05x .函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x(a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．练一练2．写出下列函数的反函数．(1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x. (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x. (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数为y ＝log 13x .讲一讲3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题．(1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围；(2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值．[尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数， 若f (a )＞f (2)， 即log 2a ＞log 22， 则a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227. ∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．练一练3．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45＞34，∴log 245＞log 234.(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y ＝|log 2(x －1)|和y ＝m 的图像，如图所示．由图像得：当m <0时，方程无解，当m ＝0时，方程有一解，当m >0时，方程有两解．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝lg(10x) C ．y ＝log a (x 2＋x ) D ．y ＝ln x 解析：选D 形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数为对数函数，所以只有y ＝ln x 符合此形式．2．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0,3]解析：选D ∵y ＝log 2x 在[1,8]上为增函数，∴log 21≤y ≤log 28，即y ∈[0,3]．3．图中所示图像对应的函数可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x的反函数 C ．y ＝2－xD ．y ＝2－x 的反函数解析：选D 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y ＝的图像．4．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a 的值是________．解析：依题意，f (x )的图像过点 (－1,2)，∴a －1＝2，即a ＝12.答案：125．函数y ＝log 2(3x －1＋1)的定义域为________，值域为________．解析：由已知得x －1≥0，得x ≥1，故定义域为[1，＋∞)．又x －1≥0得3x －1≥30＝1，∴3x －1＋1≥2.∴y ＝log 2(3x －1＋1)≥log 22＝1.∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) [1，＋∞)6．已知对数函数f (x )＝log 2(x ＋3)－1. (1)求此对数函数的定义域；(2)若f (a )＞f (1)，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知x ＋3＞0，即x ＞－3， ∴函数的定义域为(－3，＋∞)． (2)f (a )＝log 2(a ＋3)－1，f (1)＝log 2(1＋3)－1＝1，∵f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0log 2(a ＋3)－1＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0a ＋3＞4∴a ＞1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg(x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )解析：选Ay ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，log 2(－x ) (x <0)，分别作图知A 正确．3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( )A ．－log 2xB ．log 2(－x )C ．log x 2D ．－log 2(－x ) 解析：选 D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )．又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )． 二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )，∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21，∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1.答案：a ＜b ＜18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)．(2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )．(1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围；(3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64，∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6，∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )， 即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．第2课时 对数函数的图像和性质[核心必知]对数函数的图像和性质底数a ＞1 0＜a ＜1图 像性质定义域 (0，＋∞) 值域(－∞，＋∞)过定点恒过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0有界性当x ＞1时，y >0；当0＜x ＜1时，y <0当x ＞1时，y <0； 当0＜x ＜1时，y >0 单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数[问题思考]对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x ，y ＝log 5x ，y ＝log 12x ，y ＝log 15x 的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律： (1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较(比较图像与y ＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．讲一讲1．比较大小(1)log23.4，log28.5;(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76;(4)log3π，log20.8；(5)log712，log812.[尝试解答] (1)考察对数函数y＝log2x，∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．∴log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，∵0＜0.3＜1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8＞log0.32.7.(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12＞log8 12.法二：log7 12log 8 12＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log78＞1.∵log812＞0，∴log712＞log812.比较对数值大小的类型及相应方法：[注意] 当底数为字母时要分类讨论．练一练1．比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3，ln 2； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141；解：(1)(单调性法)因为y ＝ln x 在(0， ＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.(2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0，所以log 23＞log 0.32.(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141.综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141. (4)(图像法)借助y ＝log 14x 及y ＝log 15x的图像，如图，在(1，＋∞)上，y ＝log 14x的图像在y ＝log 15x 图像的下方，∴log 143＜log 153.讲一讲2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|log 12x |.[尝试解答] (1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增加的；(2)y＝|log12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0＜x ≤1，log 2x ，x ＞1，其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．把例2(2)变为y ＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．解：y ＝＝其图像如图所示．其定义域为{x |x ≠0}，为偶函数． 在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y ＝log a x ＋k ，y ＝log a |x |，y ＝|log a x ＋k |等，其图像可由y ＝log a x 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．练一练2．已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|. (1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f (x )＝k 有两解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2)由(1)的图像知，k ＞0即可．讲一讲3．已知f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数f (x )－g (x )的定义域； (2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[尝试解答] (1)要使函数f (x )－g (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞01－x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)． (2)任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[f (x )－g (x )]，所以f (x )－g (x )在(－1,1)上是奇函数． (3)由f (x )－g (x )＞0得log a (1＋x )＞log a (1－x )，①当a ＞1时，则①可化为⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞1－x－1＜x ＜1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜0.所以当a ＞1时，x 的取值范围是(0,1)， 当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,0)．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性更简捷．(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．练一练3．已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)有意义，则a x－1＞0.当a ＞1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＜0，故函数的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时， 设0<x 1<x 2，则∴f (x 1)－f (x 2)＝＝，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上也是增函数．设函数y ＝f (x )，且log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，求f (x )的值域．[错解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )，∴y ＝23x (3－x )．∵3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274≤274， ∴函数的值域为(－∞，2274]．[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，a x＞0(a ＞0，且a ≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．[正解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )， ∴y ＝23x (3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，log 2y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.而－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.∵0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，.1．已知函数f (x )＝log (a ＋1)x 是(0，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0，＋∞)解析：选D 由题意得a ＋1>1，解得a >0. 2．函数y ＝1＋log 3x 的图像一定经过点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,1)解析：选D ∵y ＝log 3x 一定过定点(1,0)．∴y ＝1＋log 3x 的图像一定过点(1,1)． 3．(天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选A a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .4．函数y ＝lg(4－x )x －3的定义域是________．解析：要使该函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4，x ≠3.∴x ∈(－∞，3)∪(3,4)． 答案：(－∞，3)∪(3,4)5．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，那么x 的取值范围为________． 解析：a log b (x －3)＜1即a log b (x －3)＜a 0. ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴log b (x －3)＞0， 又∵0＜b ＜1，∴y ＝log b x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＜x －3＜1，解得3＜x ＜4.答案：(3,4)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤1，log 3x 3·log 3x9，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值． 解：(1)∵log 232<log 22＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，即f (x )min ＝12.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)， 令log 3x ＝t ，则t >0，∴f (x )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵t >0，∴当t ＝32时，f (x )min ＝－14<12.∴f (x )的最小值是－14.一、选择题1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A a ＝log 3π＞log 33＝1，log 71＜b ＝log 76＜log 77， ∴0＜b ＜1，c ＝log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.3．函数y ＝log a (x －3)＋2的图像恒过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,2) C ．(4,0) D ．(4,2)解析：选D 令x ＝4，则y ＝log a (4－3)＋2＝2， ∴函数的图像恒过定点(4,2)． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x ＜0，log 12x ， x ＞0，若f (m )＜f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m ＞0时，－m ＜ 0，f (m )＜f (－m )⇒log 12m ＜log 2m ⇒log 21m ＜log 2m ⇒1m ＜m ，可得m ＞1；当m ＜0时，－m ＞0，f (m )＜f (－m )⇒log 2(－m )＜log 12(－m )⇒log 2(－m )＜log 2(－1m )⇒－m ＜－1m，可得－1＜m ＜0.故m 的取值范围是－1＜m ＜0或m ＞1. 二、填空题5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．解析：由题意知－1≤2log 12x ≤1，即－1≤－2log 2x ≤1.∴－12≤log 2x ≤12，即log 222≤log 2x ≤log 22， ∴22≤x ≤ 2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 6．已知f (x )＝|lg x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (2)的大小关系为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝lg 14＝－lg 4＝lg 4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 13＝－lg 3＝lg 3，f (2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答案：f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |＝|log 13x |的根的个数为________．解析：同一坐标系中作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |与y ＝|log 13x |的图像，可知有两个交点，故有两解．答案：28．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有以下命题：(1)h (x )的图像关于原点(0,0)对称； (2)h (x )的图像关于y 轴对称； (3)h (x )的最小值为0；(4)h (x )在区间(－1,0)上单调递增．其中正确的是________．解析：∵函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，∴f (x )与g (x )互为反函数，∴f (x )＝log 3x ；∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 3(1－|x |)． 由1－|x |＞0得－1＜x ＜1. ∵h (x )的定义域关于原点对称，且h (－x )＝log 3(1－|－x |)＝log 3(1－|x |)＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，(2)正确； 又当x ∈(－1,0)时，h (x )＝log 3(1＋x )， 显然h (x )在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h (x )在(－1,0)上单调递增，且h (x )为偶函数， ∴h (x )在[0,1)上单调递减，∴h (x )在(－1,1)上有最大值，h (0)＝log 31＝0，无最小值，故(3)不正确． 答案：(2)(4) 三、解答题9．(1)已知函数f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，求a 的值；(2)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0且a ≠1)． ①求函数的定义域和值域；②若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值． 解：(1)函数的定义域是R ，由于f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即对任意x ∈R ，总有log 3(3－x ＋1)－12ax ＝log 3(3x＋1)＋12ax ，∴log 3(3－x＋1)－log 3(3x＋1)＝ax ，即(a ＋1)x ＝0，由于x 是任意实数，∴a ＝－1.(2)①由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0得－3＜x ＜1.∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]． 当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； ②由题意及①知，当0＜a ＜1时，函数有最小值． ∴log a 4＝－2.∴a ＝12.10．设函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且满足f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a >0，a ≠1)，求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．解：由f (log 2a )＝b 可得，(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1或log 2a ＝0.∴a ＝2或a ＝1(舍去)． 又∵log 2[f (a )]＝2，即log 2(2＋b )＝2， ∴2＋b ＝4，b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2. ∴f (log 2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，y min ＝74.。

2.1.2 指数函数及其性质各位专家下午好，今天我说课的题目是《指数函数及其性质》，下面我从教材的地位和作用，学情分析，教学目标及重点难点，教法学法，教学过程，教学评价，板书设计七个方面说一下我对这节课的理解与安排。

教材的地位和作用指数函数及其性质是人教版必修一第二章第一节的内容，它是学生在学习了函数和指数幂的运算以后学习的第一个重要的数学模型，指数函数的学习可以加深学生对函数概念的理解巩固指数幂的运算，研究指数函数的方法也可以推广到对数函数等其他函数的的研究中去。

学情分析高一新生的思维基本还处在形象思维阶段，抽象思维能力还比较薄弱。

虽然学习过一次函数与二次函数，但是还不具备系统研究函数的经验。

教学目标及重点难点1、知识与技能目标会根据定义判断函数是否是指数函数，会求指数函数的解析式；掌握指数函数的图象和性质，能够运用指数函数的单调性解决比较函数值的大小等问题，掌握研究函数的一般方法。

2、过程与方法目标通过指数函数及其性质的探究过程提高分析问题解决问题的能力，提高类比、归纳、联系的能力，领悟特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

3、情感态度价值观目标构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

教学重点：指数函数的概念和性质教学难点：用数形结合的方法从具体到一般的探索、概括指数函数的性质教法学法教法：由于指数函数是学生第一次系统研究函数的性质，缺乏相关的经验，所以采用讲解法与启发式相结合的教学方法。

学法：学案导学个人思考与小组合作学习相结合的学习方法。

教学过程1、设置情境引入课题情境1: 在活的生物体内，碳-14的含量是保持不变的.当生物死后,它机体内原有的碳-14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳-14含量P 与死亡年数t 之间的关系式：57301(0)2t P t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭探究1 情境1中生物体内碳-14含量P 与死亡年数t 能构成函数吗？学生活动：独立思考、小组讨论，推举代表发言。

指数函数的图象和性质
本节教材分析
有了前面的知识储备，学习了指数函数的概念，画了指数函数的图象以及研究指数函数的性质，继而研究指数函数的性质应用是顺理成章的事情.
三维目标
1．知识与技能：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。

2．情感、态度、价值观：①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
教学重点：指数函数的概念应用.
教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
1.教学建议：
1.由具体的指数函数性质推广到一般的指数函数性质的过程中，可由学生讨论推广.
2.画图让学生自己归纳填表得出指数函数的性质.
3.引导学生运用性质，解决一类问题，进而推广综合应用练习.
新课导入设计
导入一：复习指数函数的图像和性质引出，直接举例分析应用说明，性质用途.
导入二：我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出.在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便我们在解题时应用这些性质，本堂课我们解决这个问题..。

2019-2020年高中数学第三章指数函数与对数函数复习二教案北师大版必修1[教学目标]1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．[教学重点]: 指数函数、对数函数的图像与性质[教学难点]：指数函数与对数函数的性质．[课时安排]: 1课时[学法指导]：学生动脑、动手总结规律,梳理知识．[讲授过程]【建构知识网络】指数函数的图像与性质对数函数的图像与性质（0，+∞）（0，+∞）R R增函数减函数（1，0）（1，0）例题:一、定义域例1．求下列函数的定义域（1）;（2）解:（1）要使函数有意义,须使,即,因为函数为增函数,所以,所以函数的定义域为（2）要使函数有意义,须使x 1x 1212022,x 12,x 14------≥∴≥∴--≥-∴≤,所以函数的定义域为练习1: 求下列函数的定义域（1）;（2） 二、值域例2．求下列函数的值域（1） （2） （3）分析:要求函数的值域,必须先求函数的定义域,要在函数的定义域范围内求出． 解:（1） 函数的定义域为,指数,所以,函数的值域为;（2）函数有意义,必须,函数的定义域为,因为,所以函数的值域为． （3）要有意义,须使,函数的定义域为,此时真数,所以函数的值域为R 练习2: 求下列函数的值域（1） （2） （3） 解:（1）函数的值域为;（2）函数有意义,则所以函数的定义域为,值域为．（3）函数要有意义,须使,函数的定义域为,函数的值域为R ． 三、单调性例3．已知 ， ,试比较的大小。

解: x x f (x)1log 3log (3x)=+=,, 当,即时,,即, 当,即时, 即 当时, ,所以当时,此时,所以,所以．练习3: 设a 是实数，试证明对于任意a,为增函数 课堂小结:作业:复习参考题A 组8,9,10,122019-2020年高中数学第三章概率教案新人教版必修3一、课时学习目标知识与技能1、掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 指数函数3.3.1 指数函数的概念教案北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 指数函数3.3.1 指数函数的概念教案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 指数函数3.3.1 指数函数的概念教案北师大版必修1的全部内容。

3。

3.1 指数函数的概念本节教材分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.三维目标1．知识与技能:①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。

2．情感、态度、价值观:①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法：展示函数图象,让学生通过观察.教学重点：指数函数的概念应用。

教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.教学建议:1.本书是实数指数函数是由指数概念扩充得来的，也可以让学生联系如细胞分裂等实际问题认识指数函数。

2要分析指数函数的解析式的构成，并强调各自的含义.新课导入设计导入一①在本章的开头,问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征. ②这两个函数有什么共同特征:157301][()]2t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）.导入二：以生活实例引导学生分析函数间的关系,教师直接点题。

普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第三章指数函数与对数函数复习二（教案）[教学目标]1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握,解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．[教学重点]:指数函数、对数函数的图像与性质[教学难点]：指数函数与对数函数的性质．[课时安排]: 1课时[学法指导]：学生动脑、动手总结规律,梳理知识．[讲授过程]【建构知识网络】指数函数的图像与性质图象性质（1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞（3）过点(0,1)，即0x =时1y = 当x>0时,y>1；当x<0时,0<y<1 当x>0时, 0<y<1；当x<0时, y>1 （4）在R 上是增函数 （4）在R 上是减函数对数函数的图像与性质 函 数 a y log x = （a>1） a y log x = （0<a<1）图 像定义域 （0，+∞）（0，+∞）值 域 R R 单调性 增函数 减函数 过定点 （1，0） （1，0） 取值范围 0<x<1时，y<0 x>1时，y>00<x<1时，y>0 x>1时，y<0例题:一、定义域例1．求下列函数的定义域（1）2y log (x 2)=+（2）41212-=--xy 解:（1）要使函数有意义,须使2log (x 2)0+≥,即22log (x 2)log 1+≥,因为函数2y log x=为增函数,所以x 21,x 1+>∴>-,所以函数的定义域为{x |x 1}>-（2）要使函数有意义,须使x 1x 1212022,x 12,x 14------≥∴≥∴--≥-∴≤,所以函数的定义域为{x |x 1}≤练习1: 求下列函数的定义域（1）1y lg(x 3)=-;（2）22xy 3-=二、值域例2．求下列函数的值域 （1）xy -=215（2） x y 21-= （3）13y log (4x 5)=+分析:要求函数的值域,必须先求函数的定义域,要在函数的定义域范围内求出． 解:（1） 函数xy -=215的定义域为{x |x 2}≠,指数10x 2≠-,所以y 1≠,函数的值域为{y |y 0,y 1}>≠;（2）函数x y 21-=有意义,必须x x12021x 0-≥∴≤∴≤,函数的定义域为(,0]-∞,因为xx20,0121>∴≤-<,所以函数的值域为[0,1)． （3）13y log (4x 5)=+要有意义,须使54x 50x 4+>∴>-,函数的定义域为5{x |x }4>-,此时真数4x 50+>,所以函数的值域为R练习2: 求下列函数的值域（1） xy -⎪⎭⎫⎝⎛=131 （2） 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy （3）1y ln 5x =-解:（1）函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=131的值域为()∞+，0; （2）函数121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 有意义,则x110,x 02⎛⎫-≥∴≤ ⎪⎝⎭所以函数的定义域为{x |x 0}≤,值域为[0,)+∞． （3）函数1y ln 5x =-要有意义,须使10x 55x>∴<-,函数的定义域为{x |x 5}<,函数的值域为R ．三、单调性例3．已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = ,试比较)()(x g x f 和的大小。