数的整除

一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。

2、 正整数、零、负整数，统称为整数。

3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。

整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。

（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。

二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。

2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。

一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。

（2） 一个整数的倍数有无限个。

最小的倍数是它本身，没有最大倍数。

3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。

三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。

2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。

它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。

下面将对数的整除进行详细总结。

一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。

可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。

二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。

2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。

3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。

4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。

5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。

6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。

三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。

如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。

2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。

四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。

2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。

3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。

4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。

例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。

2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。

数的整除规律1.任何数都能被1整除。

2.个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

3.每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

4.最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

5.个位上是0或5的数都能被5整除。

6.一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

7.把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

8.最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

9.每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

10.若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除11. a.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

B. 把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的，差是11的倍数，则原数能被11整除。

12.若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

14. a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

15. a.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

16.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除17.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除。

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

数的整除知识要点：1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3．数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。

数论板块数的整除一、内容概述一）常见数字的整除判定方法：（1）一个数的末位能被2（或5）整除，这个数就能被2（或5）整除。

一个数的末两位能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

一个数的末三位能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

（2）一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。

（3）一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。

（4）一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，这个数能被7、11或13整除。

二）整除性质：性质1 如果c a 且c b ，那么()c a b ±。

性质2 如果b a 且c b ，那么c a 。

性质3 如果bc a ，那么b a 或c a 。

性质4 如果b a ，那么bm am （m 为正整数）。

性质5 如果b a 且d c ，那么bd ac 。

二、例题讲解例1． 若4232b c d ++=，试问abcd 能否被8整除？例2． 试说明，一个四位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数，原序数与反序数的差一定是9的倍数。

例3． 如果abcde 能被6整除，试证明()2a b c d e +++-也能被6整除。

例4． 已知六位数20279A 是13的倍数，求A 的值。

例5． 三位数的百位、十位、个位的数字分别是5、a 、b ，将它连续重复写2011次得到201155555ab ab abab ab 个，如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？例6． 已知四十一位数205209555999个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？例7．已知九位数2007122A B既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个九位数是多少？例8．一个能被11整除的四位数，去掉它的千位和个位后，剩下一个能被2、3、5整除的最大两位数，问：符合要求的数中最小的是多少？例9．各位数字是0，1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？例10．已知六位数2008是99的倍数，求这个六位数。

1、若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

2、若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

3、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

4、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

5、能被9整除的数各位数和为9的倍数。

6、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！7、一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．8、末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除。

奥数辅导－－数的整除(题304-题530)【题304】求360的全部约数的和。

【思路或解法】因为360=23×32×5，所以有360的全部约数的和为：【题305】一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个．这篮子里至少有多少个鸡蛋？【思路或解法】如果加上一个鸡蛋，题目就变成了求能被3、5和7同时整除的数了，能被3、5和7同时整除的数就是3、5和7的公倍数．因为3、5和7的公倍数有105、210、……，而题中所问的是“至少”有多少个，所以应取最小公倍数105，但鸡蛋数被3、5、7除都差一个才为整数商，故而鸡蛋数应为105-1=104（个）。

【题306】15×28×33、9×35×88、12×77×15、22×30×21这四个积中，哪个积与其它积不相等？【思路或解法】根据积不相等，这个积的各个因数所含有的质因数也就不相同的原理，先分解各个积的质因数：15×28×33=32×22×5×7×119×35×88=32×23×5×7×1112×77×15=32×22×5×7×1122×30×21=32×22×5×7×11再比较这些积所分解成的质因数及其个数，我们不难发现：9×35×88的质因数比其它的多一个2，故而，9×35×88的积与其它积不相等。

什么是整除在生活中，有一个常见的数学现象，就是把两个数加、减或乘、除后，得出来的结果还是原来的两个数，这种现象叫做整除。

那么，什么叫整除呢？它又有哪些规律呢？怎样才能快速而准确地判断一个数是否能被2、 3、 5整除呢？8。

整除的概念所谓“整除”，就是能被2、 3、 5整除。

例如：2、 3、 5能被2整除； 3、 6、 9能被3整除； 4、 5、 7能被4整除……所以8也能被8整除。

要想正确理解整除的概念，我们先从两个小问题说起。

比如：我们来看看8是不是可以分解成2和3呢？假如分解，是因为8里面有1和2吗？显然不是。

根据分解的结果可知， 8可以分解成1和8， 2和3， 3和6， 6和2， 2和3。

因此8也是无法被分解的，是可以被整除的。

另外，当出现数字分解后没有其他数能整除的时候，往往要考虑到能否被其他自然数整除，因为8是可以被3整除的，而8整除的余数是1。

12。

连续整除的条件8。

连续整除的条件在进行整除运算之前，必须满足一定的条件，这个条件就是连续整除的条件。

具体包括以下几点：①两个相除式子的商是一个整数；②两个数都不是0；③两个数都没有0的倍数；④两个数的差能被2整除，即商是一个整数；⑤两个数都不是0的倍数；⑥商和余数能被2整除。

12。

连续整除的公式12。

连续整除的公式因为满足连续整除的条件，所以只要满足上述三个条件中任何一个，就一定能够被2、 3、 5整除。

根据前面的三个条件，又因为4除以2等于0，所以一共需要满足四个条件。

所以连续整除的公式就是：满足上述四个条件的式子中，有两个数能被2、 3、 5整除。

18。

连续整除和不能被2、 3、 5整除的关系连续整除是不能被2、 3、 5整除的基础，如果不能被2、 3、 5整除，就不可能实现连续整除，从而也不可能实现真正意义上的不能被2、 3、 5整除。

比如12、 19这两个数的最小公倍数是144，但它们不能被2、 3、 5整除，所以不能被2、 3、 5整除。

数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。

整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。

性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。

性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。

性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。

性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。

性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。

性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。

性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。

性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。

性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。

性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。

性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。

性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。

性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。

性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。

数的整除概念1、（ab=c a、b、c都是整数没有余数）如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

2、整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a、（一般在非零的自然数考虑）。

3、因为任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。

4、一个数最小的因数是（1）,最大的因数是它（本身）,一个数的因数的个数是（无限）的。

5、一个数最小的倍数是它（本身），没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是（无限）的。

6、个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除，能被2整除的的数叫做偶数，如2，4，6，8，10，12…、、不能被2整除的数叫做奇数，例1，3，5，7，9，11，13…、7、个位上是0或者5的数，都能被5整除；一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

8、如果一个数的各位上的数的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除。

10、如果一个数的末两位数能被25整除，那么这个数就能被25整除；11、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做质数（也叫做素数）。

12、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。

13、、等底等高的长方形和平行四边形的面积一定相等14、沿着平行四边形的任意一条高剪开，然后通过移动拼成（转化成）一个长方形。

长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

长方形的面积和拼成的平行四边形的面积相等（等积变形），因为长方形的面积=长宽，所以平行四边形的面积=底高，用字母表示S=ah。

15、将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

因为平行四边形的面积等于底高，所以三角形的面积等于底高2。

数的整除（一）月日姓名知识要点1.整除定义(概念):整数a除以整数b（a÷b，b≠0）,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。

注意点:一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数, b 相当于除数。

2.整除的条件:1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零3.数的整除的特征1.末位系: 2、5; 4、25; 8、125能否被2和5整除是看末一位能否被4和25整除是看末两位能否被8和125整除是看末三位2.和系:3、9能否被3, 9整除是看数字之和是否3, 9的倍数典型例题【例1★】判断下面除法算式是否是整除，是整除的在算式后面括号里面打“√”，不是的打“×”。

412÷6= （） 213÷5= （）212÷3= （） 4.8÷2= （）818÷4= （） 384÷7= （）课后作业(A)成绩 1.★★)能同时被2、3和5整除的最小三位数是 。

最大两位数是 最小两位数是 ,最大的三位数是 。

2、★★)（1）能被2整除(2的倍数)的数的特点:个位是 的数，都能被2整除。

（2）能被3整除(3的倍数)的数的特点: 各个数位数字之和是 的数都能被3整除。

（3）被5整除(5的倍数)的数的特点:个位是的数 都能被5整除。

（4）能被同时被2和3整除(2和3的公倍数)的数的特点: 个位是 的数能同时被2和3整除。

（5）能被同时被2和5整除(2和5的公倍数)的数的特点: 个位是 的数能同时被2和5整除。

3.★★)按要求分类12,18,25,100,396,6,250,1110,999,3150能被2整除的数有：能被3整除的数有： 能被5整除的数有： 能被9整除的数有： 能同时被2,5整除的数有： 能同时被2,3,5整除的数有： 能同时被3,5整除的数有： 4.★★★★)四位数292□能被2和3整除，这样的整数有多少个？5.★★★★)4位数 能被6整除，求这个四位数。

概念1、（a÷b=c a、b、c都是整数没有余数）如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

2、整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. （一般在非零的自然数考虑）。

3、因为任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。

4、一个数最小的因数是（1）,最大的因数是它（本身）,一个数的因数的个数是（无限）的。

5、一个数最小的倍数是它（本身），没有最大的倍数；一个数的倍数的个数是（无限）的。

6、个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除，能被2整除的的数叫做偶数，如2，4，6，8，10，12…..不能被2整除的数叫做奇数，例1，3，5，7，9，11，13….7、个位上是0或者5的数，都能被5整除；一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

8、如果一个数的各位上的数的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除。

10、如果一个数的末两位数能被25整除，那么这个数就能被25整除；11、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做质数（也叫做素数）。

12、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做合数。

13、、等底等高的长方形和平行四边形的面积一定相等14、沿着平行四边形的任意一条高剪开，然后通过移动拼成（转化成）一个长方形。

长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。

长方形的面积和拼成的平行四边形的面积相等（等积变形），因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示S=a×h。

15、将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，拼成的平行四边形的面积是每个三角形面积的2倍，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

数的整除知识点总结
整除是指一个数能够完全被另一个数整除，即没有余数。

下面是整除的一些基本知识
点总结：
1. 除数和被除数：在进行整除运算时，将一个数称为被除数，另一个数称为除数。

被
除数除以除数得到的商是整数，即能够整除。

2. 余数：如果除数不能够整除被除数，就会有余数产生。

余数是指除法运算中，被除
数去除除数后剩下的数。

3. 除法符号：在整除运算中，使用除号（÷）来表示除法运算。

例如，12 ÷ 3 = 4，
表示12能够被3整除，结果是4。

4. 整除的判断：通过余数是否为零来判断一个数能否整除。

如果余数为零，则能整除；如果余数不为零，则不能整除。

5. 奇偶性判断：一个偶数可以被2整除，没有余数；而一个奇数不能被2整除，会有
余数。

6. 最大公约数：最大公约数是指两个或多个数中能够整除所有数的最大正整数。

可以
使用欧几里得算法来求解最大公约数。

7. 最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的正整数。

可以通过
最大公约数来求解最小公倍数。

8. 整除性质：整除具有传递性、结合性和分配性。

具体来说，如果a能整除b，b能整除c，那么a就能整除c；a能整除b，b能整除a，那么a和b互为倍数关系；如果a 能整除b，那么a也能整除b的倍数。

此外，整除运算还满足交换律和消去律。

这些是关于整除的基本知识点总结，希望对你有帮助。

数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。

（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。

（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

数的整除概念1. a / b = c，这⾥a、b、c都是整数并且没有余数，b != 0。

这⾥说明： 如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫a的因数。

a能被b整除，b能整除a。

2. 所有的整数都能被1整除，所有的整数都是1的倍数，1是所有整数的因数。

3. ⼀个数的最⼩因数是1，最⼤因数是它本⾝，它的因数个数是有限的。

4. ⼀个数的最⼩倍数是它本⾝，没有最⼤的倍数，它的倍数个数是⽆限的。

5. 个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除，能被2整除的数叫做偶数，0是特殊的偶数。

6. 个位上是1、3、5、7、9且不能被2整除的数叫做奇数。

7. 个位上是0、5的数，都能被5整除。

8. ⼀个整数的各个位数上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，反之亦然。

9. ⼀个整数的各个位数上的数的和能被9整除，这个数就能被9整除，反之亦然。

10. ⼀个整数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除，反之亦然。

11. ⼀个整数的末两位数能被25整除，那个这个数就能被25整除，反之亦然。

12. ⼀个整数如果只有1和它本⾝两个因数，这样的数就叫做质数（也叫做素数），最⼩的质数是2。

13. 在⾃然数中除了能被1和本⾝整除外，还能被其他的数整除（不包括0）的数。

1既不是质数也不是合数，最⼩的合数是4。

14. ⾃然数是指⾮负整数，即0、1、2、3、4、... ...。

15. 等底等⾼的长⽅形和平⾏四边形的⾯积⼀定相等。

16. 沿着平⾏四边形的任意⼀条⾼剪开，然后通过移动拼成⼀个长⽅形。

长⽅形的长等于平⾏四边形的底，长⽅形的宽等于平⾏四边形的⾼。

长⽅形的⾯积和拼成的平⾏四边形的⾯ 积相等（等积变形），因为长⽅形的⾯积=长*宽，所以平⾏四边形的⾯底=底*⾼，⽤字母表⽰S=a*h。

17. 将两个完全⼀样的三⾓形拼成⼀个平⾏四边形，这个平⾏四边形的底等于三⾓形的底，平⾏四边形的⾼等于三⾓形的⾼，拼成的平⾏四边形的⾯积是每个三⾓形⾯积的2倍，每个三⾓形的⾯积是拼成的平⾏四边形⾯积的⼀半。