关于高阶张量的秩-(Lr,1,1)分解方法
- 格式：pdf
- 大小：1.33 MB
- 文档页数：6
下载文档原格式
合集下载
张量第四章
第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
2-1 满秩、LU、QR分解
设矩阵A∈Rm×n(m>n)，且列满秩，则存在正交矩 阵Q∈Rm×m，上三角矩阵R∈Rm×n，使得A=QR。 而且此时Q=[Q1 Q2]，R=[R1;0]，其中Q1∈Rm×n满 足Q1TQ1=In，R1∈Rn×n是非奇异上三角矩阵。这 样分解式为A=Q1R1，称为compact QR decomp.。
满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去 除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量。
2. LU分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解。 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解。
定理：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)
的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0。
LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。
应用：求解线性方程组Ax=b。
3. QR分解
设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。
QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， Hous会怎样？
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 3. QR分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， 则存在矩阵分解：
A=FG， 其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)， G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩)。称为满秩分解。
满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息。 应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去 除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量。
2. LU分解
设矩阵A∈Rn×n，如果存在上三角矩阵L，下三角 矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解。 如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U， 对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解。
定理：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)
的充要条件是A的顺序主子式Dk≠0。
LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法。
应用：求解线性方程组Ax=b。
3. QR分解
设矩阵A∈Rn×n，且非奇异，则存在正交矩阵Q， 非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分 解(QR decomposition)，且此时分解唯一。
QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换， Hous会怎样？
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的分解 2.2 标准型
2.1 矩阵的分解
1. 满秩分解 2. LU分解 3. QR分解
1. 满秩分解
设矩阵A∈Rm×n，且rankA=r(r≤m,r≤n)， 则存在矩阵分解：
A=FG， 其中F∈Rm×r，且rankF=r(列满秩)， G∈Rr×n，且rankG=r(行满秩)。称为满秩分解。
矩阵奇异值分解具体计算过程_解释说明以及概述
矩阵奇异值分解具体计算过程解释说明以及概述1. 引言1.1 概述矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、图像处理、推荐系统和信号处理等领域。
通过将一个矩阵分解为三个独特的部分，即原始矩阵的奇异向量和奇异值，SVD 可以提供有关原始数据的宝贵信息。
本文旨在详细介绍矩阵奇异值分解的具体计算过程，并对其应用领域以及算法优化和改进方向进行探讨。
首先，我们将给出该方法的定义和基本原理，并描述其计算方法和数学推导。
接着，我们将深入探究矩阵奇异值分解在图像压缩与降维、推荐系统和数据挖掘以及信号处理和模式识别等方面的应用。
然后，我们将讨论近似求解算法、加速技术以及大规模矩阵奇异值分解算法的最新进展。
最后，我们还将探索结合其他矩阵分解技术发展方向。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。
第一部分是引言，主要概述了本文的目的和结构。
第二部分将详细介绍矩阵奇异值分解的具体计算过程，包括定义、基本原理、计算方法和数学推导。
第三部分将解释说明矩阵奇异值分解在不同领域中的应用，如图像压缩与降维、推荐系统和数据挖掘以及信号处理和模式识别。
第四部分将讨论矩阵奇异值分解算法的优化和改进方向，包括近似求解算法、加速技术以及结合其他矩阵分解技术的发展方向。
最后一部分是结论，总结文章的主要内容和贡献，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在通过详细讲解矩阵奇异值分解的具体计算过程，深入理解其原理和应用，并探讨其改进方向。
通过对该方法进行全面系统地介绍，希望能够增加读者对矩阵奇异值分解有关知识的了解，并为相关领域的研究者提供参考和启示。
同时，本文也为后续相关领域深入研究和应用提供了理论基础和开发方向。
2. 矩阵奇异值分解具体计算过程2.1 矩阵奇异值分解定义和基本原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法。
线性方程组数值解法LU分解法
此时， L 是下三角阵， U 是单位上三角阵，称之为
Crout 分解.
矩阵分解理论
推论 3 如果 A AT ,则A LDLT
其中，L 是单位下三角阵，D 是对角阵.
推论 4 如果 A 对称，正定，则 A L LT ，
L 是对角元全为正数的下三角矩阵， 称为平方根分解或 Cholesky 分解.
0
0
a (3) n3
...
a
(3 nn
)
高斯消元过程的矩阵表示
以此类推可得
a
(1 11
0
)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 13
a (2) 23
... ...
a a
(1 ) 1n
(2) 2n
L n 1 L n 2 ... L 2 L 1 A
0
...
0
a (3) 33
...
由 a21 u11l21
得
l21
a21 ； u11
由 a31 u11l31
得
l31
a31 u11
k 2时：a22 l21u12 u22
得u22
a22
l2
1u1
；
2
由a23 l21u13 u23 得u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得l3
2
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得u33 a33 (l31u13 l32u23)
A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ...0
ak1 ... akk
(k1,2,..n.)
Crout 分解.
矩阵分解理论
推论 3 如果 A AT ,则A LDLT
其中，L 是单位下三角阵，D 是对角阵.
推论 4 如果 A 对称，正定，则 A L LT ，
L 是对角元全为正数的下三角矩阵， 称为平方根分解或 Cholesky 分解.
0
0
a (3) n3
...
a
(3 nn
)
高斯消元过程的矩阵表示
以此类推可得
a
(1 11
0
)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 13
a (2) 23
... ...
a a
(1 ) 1n
(2) 2n
L n 1 L n 2 ... L 2 L 1 A
0
...
0
a (3) 33
...
由 a21 u11l21
得
l21
a21 ； u11
由 a31 u11l31
得
l31
a31 u11
k 2时：a22 l21u12 u22
得u22
a22
l2
1u1
；
2
由a23 l21u13 u23 得u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得l3
2
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得u33 a33 (l31u13 l32u23)
A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ...0
ak1 ... akk
(k1,2,..n.)
成都理工大学学报(自然科学版)第46卷(2019年)总目次
第 ４ 期 （总 第 ２１５ 期 ） 西藏仁布县康雄金矿侵入岩锆石 ＵＰｂ年代学及成矿背景 李应栩，向安平，李光明，等（３８５） 辽 东 裂 谷 大 映 沟 金 矿 区 二 长 斑 岩 年 代 学 、地 球 化 学 、Ｈｆ同 位 素 特 征 及 地 质 意 义
张 朋，赵 岩，寇林林，等（４０８） 西藏多龙矿集区早白垩世美日切错组火山岩成因 石洪召，李玉昌，黄瀚霄，等（４２１） 西藏错那洞穹隆新元古代岩浆作用及其构造意义 夏祥标，向安平，李光明，等（４３５） 钨矿床的碲化物研究现状及展望 方贵聪，毛景文，冯佐海，等（４４９） 贵州习水洞子沟铅锌矿床流体包裹体特征 辜 鹰，陈翠华，宋志娇，等（４６０） 扎西康多金属矿含碳质岩石中赋矿断裂带的电性变化及找矿意义
第 ２ 期 （总 第 ２１３ 期 ） 渤海湾盆地石臼坨凸起潜山油气来源及成藏充注过程 王 昕，罗小平，吴俊刚，等（１２９） 川东南深层震旦系灯影组油气勘探前景 常雨琪，孙 玮，李泽奇，等（１４２） 高泥质低阻碎屑岩储层含油饱和度评价方法 陈 静，郭 涛，朱龙权（１５３） 以石门剖面为例分析桂北地区下石炭统页岩气勘探潜力 张子亚，吴超伟，石砥石，等（１６２） 吐哈盆地红连地区三间房组储层特征与成岩相 李富祥，徐胜林，徐雄飞，等（１７１） 下扬子地区宁国凹陷大隆组孤峰组泥页岩储层特征 徐菲菲，张训华，黄正清，等（１８０） 川西拗陷须家河组第四段致密砂岩孔隙演化定量研究 李晔寒，林良彪，余 瑜，等（１９１） 水平钻井环空岩屑床表面颗粒临界启动流速的影响因素 孙晓峰，汤 捷，袁玉金，等（２０４） 双重介质页岩气藏水平井压力动态特征 黄天坤，王德龙，王丽影，等（２１２） 超深碳酸盐岩储层通道加砂酸压导流能力实验 周 臖，周林波，蒋廷学，等（２２１） 桂中鹿寨地区鹿寨组下段地球化学特征及有机质富集因素 罗宏谓，侯明才，刘 宇，等（２２７） 基于地震相研究的三水盆地布心组沉积相再解释 祝圣贤，侯明才，黄志发（２４０） 桩周土含水率对三维碎石桩基承载力影响的实验 刘 源，徐同桐，赵宪锋（２４９）
张 朋，赵 岩，寇林林，等（４０８） 西藏多龙矿集区早白垩世美日切错组火山岩成因 石洪召，李玉昌，黄瀚霄，等（４２１） 西藏错那洞穹隆新元古代岩浆作用及其构造意义 夏祥标，向安平，李光明，等（４３５） 钨矿床的碲化物研究现状及展望 方贵聪，毛景文，冯佐海，等（４４９） 贵州习水洞子沟铅锌矿床流体包裹体特征 辜 鹰，陈翠华，宋志娇，等（４６０） 扎西康多金属矿含碳质岩石中赋矿断裂带的电性变化及找矿意义
第 ２ 期 （总 第 ２１３ 期 ） 渤海湾盆地石臼坨凸起潜山油气来源及成藏充注过程 王 昕，罗小平，吴俊刚，等（１２９） 川东南深层震旦系灯影组油气勘探前景 常雨琪，孙 玮，李泽奇，等（１４２） 高泥质低阻碎屑岩储层含油饱和度评价方法 陈 静，郭 涛，朱龙权（１５３） 以石门剖面为例分析桂北地区下石炭统页岩气勘探潜力 张子亚，吴超伟，石砥石，等（１６２） 吐哈盆地红连地区三间房组储层特征与成岩相 李富祥，徐胜林，徐雄飞，等（１７１） 下扬子地区宁国凹陷大隆组孤峰组泥页岩储层特征 徐菲菲，张训华，黄正清，等（１８０） 川西拗陷须家河组第四段致密砂岩孔隙演化定量研究 李晔寒，林良彪，余 瑜，等（１９１） 水平钻井环空岩屑床表面颗粒临界启动流速的影响因素 孙晓峰，汤 捷，袁玉金，等（２０４） 双重介质页岩气藏水平井压力动态特征 黄天坤，王德龙，王丽影，等（２１２） 超深碳酸盐岩储层通道加砂酸压导流能力实验 周 臖，周林波，蒋廷学，等（２２１） 桂中鹿寨地区鹿寨组下段地球化学特征及有机质富集因素 罗宏谓，侯明才，刘 宇，等（２２７） 基于地震相研究的三水盆地布心组沉积相再解释 祝圣贤，侯明才，黄志发（２４０） 桩周土含水率对三维碎石桩基承载力影响的实验 刘 源，徐同桐，赵宪锋（２４９）
矩阵的奇异值分解 高等代数知识点详解
矩阵的奇异值分解高等代数知识点详解矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它在高等代数中具有广泛应用。
本文将详细介绍矩阵的奇异值分解原理、性质以及在实际问题中的应用。
一、奇异值分解的原理奇异值分解是将一个复杂的矩阵分解为三个简单矩阵的乘积，其基本原理可以用以下公式表示：A = UΣV^T在公式中，A是一个m×n的实数矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵，其中^T表示转置。
二、奇异值分解的性质1.奇异值在奇异值分解中，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值是非负实数，按照大小排列，通常用σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr来表示。
其中r是矩阵A的秩。
2.奇异向量在奇异值分解中，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量。
左奇异向量和右奇异向量都是单位向量，且对应不同的奇异值。
3.特征值与奇异值对于一个方阵A，奇异值与它的特征值有一定的联系。
若A是一个n×n的方阵，那么它的非零奇异值是A^T × A的非零特征值的平方根。
三、奇异值分解的应用奇异值分解在数据降维、图像压缩、推荐系统等领域具有广泛的应用。
1.数据降维在高维数据分析中，经常需要将高维数据转化为低维，以便于可视化和分析。
奇异值分解可以对数据矩阵进行降维，得到矩阵的主要特征。
通过保留较大的奇异值和对应的奇异向量，可以实现对数据的有效降维。
2.图像压缩奇异值分解可以对图像进行压缩，将原始图像表示为几个主要特征的叠加。
通过保留较大的奇异值和对应的奇异向量，可以在减小图像存储空间的同时，尽可能地保留图像的主要信息。
3.推荐系统在推荐系统中，奇异值分解可以对用户-物品评分矩阵进行分解，得到用户和物品的隐含特征。
通过计算用户-物品评分的近似矩阵，可以预测用户对未评分物品的评分，从而实现个性化推荐。
张量分解
M M O
aI1bI
1
aI 2bI 2
L
a1J b1J
a2 J
b2 J
¡
I ×J
M
aIJ bIJ
◦ 性质：A e BT A e B ATABTB
A e B+ ATA BTB + A e BT
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),
Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD(k )BT
其中 D(k ) diag(ck:)
ar
cr
br
X
A
BT
Xk
D(k )
三阶张量CP分解的正面切片形式
22
带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从
而需要引入一个权重向量 λ ¡ R ，使CP分解变为
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I×K , B J×K ，则
A e B a1 b1 a2 b2 L
aI1bI
1
aI 2bI 2
L
a1J b1J
a2 J
b2 J
¡
I ×J
M
aIJ bIJ
◦ 性质：A e BT A e B ATABTB
A e B+ ATA BTB + A e BT
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),
Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Mö cks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD(k )BT
其中 D(k ) diag(ck:)
ar
cr
br
X
A
BT
Xk
D(k )
三阶张量CP分解的正面切片形式
22
带权CP分解
◦ 为了计算方便，通常假设因子矩阵的列是单位长度的，从
而需要引入一个权重向量 λ ¡ R ，使CP分解变为
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A I×K , B J×K ，则
A e B a1 b1 a2 b2 L
第十六讲 矩阵的满秩分解与奇异值分解
AH A（或 AAH ）的非零特征值的重数大于 1 时，调整V 或（和 U ）的列向量使得
U
0
0 0
V
H
A 是十分困难的。
二、 矩阵的奇异值分解
1 0 0
例
6、仍求例
4
中
A
0
1
0
0 0 0
奇异值分解。
2 1 0
解：
AAH
1
2
0
的
特
征
值
为
0 0 0
1 1 ，2 3 ，3 0（非零特征值应与 AH A
一、 矩阵的满秩分解
0 1 1 1 1
例
1、求矩阵
0
2
2
2
6
的满
0 1 1 2 3
秩分解。
1 1
A
FG
2
1
2 2
0 0
1 0
1 0
0 1
1
2
一、 矩阵的满秩分解
4、应用
例 2、设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明 rank( A1 A2 ) rankA1 rankA2 。
定理
3、设
A
C mn r
(r 0) ，则存在 m
阶酉矩阵U 和 n 阶酉矩阵V ，使得
UH
AV
0
0 0
，
其中 diag(1, 2 ,L , r ) ， i (i 1,L , r)
为矩阵 A 的全部非零奇异值。
二、 矩阵的奇异值分解
设
A
C
mn r
(r 0)
的非零奇异值为
1,L , r ， 对 角 阵 diag(1, 2 ,L , r ) ，
张量分析
得
6a air aisait eijkerst
11:11
22
1.6 余弦变换矩阵
A A 设 ei 及 e j 分别为笛卡尔系，则 A B AB AB ei e j cosij : Cij A A AB ij 为 ei 与 e j 间的夹角。表为“定义为”；
AB 共九个分量。于是有 Cij A AB B ei C ij e j B BA A ei C ij e j
AB ij 2
AB det[Cij ] 1
11:11
25
r ( x j e j ) ji e j ei xi xi
AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为正常(或正向)正交矩阵； AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为非正常(或负向)正交矩阵。
(续)
1.9 二阶基矢及其坐标变换
1.10 二阶张量——不变量
1.11 张量的记法
11:11
4
1.1 字母标号
为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法 中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量 用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的 各个分量。例如
将 x,
y, z写成x1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； i , j , k e , e , e , 用 ei ( i 1,2,3) 表示； 1 2 3
11:11
9
下列方程组
a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3
aij x j bi
同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的 自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时 改变。
6a air aisait eijkerst
11:11
22
1.6 余弦变换矩阵
A A 设 ei 及 e j 分别为笛卡尔系，则 A B AB AB ei e j cosij : Cij A A AB ij 为 ei 与 e j 间的夹角。表为“定义为”；
AB 共九个分量。于是有 Cij A AB B ei C ij e j B BA A ei C ij e j
AB ij 2
AB det[Cij ] 1
11:11
25
r ( x j e j ) ji e j ei xi xi
AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为正常(或正向)正交矩阵； AB 当 det[ Cij ] 1 时，称为非正常(或负向)正交矩阵。
(续)
1.9 二阶基矢及其坐标变换
1.10 二阶张量——不变量
1.11 张量的记法
11:11
4
1.1 字母标号
为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法 中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量 用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的 各个分量。例如
将 x,
y, z写成x1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； i , j , k e , e , e , 用 ei ( i 1,2,3) 表示； 1 2 3
11:11
9
下列方程组
a11 x a12 y a13 z b1 a21 x a22 y a23 z b2 a31 x a32 y a33 z b3
aij x j bi
同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的 自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时 改变。
分布式的增量式张量tucker分解方法
分布式的增量式张量Tucker分解方法一、概述随着大数据和人工智能的兴起，张量分解作为一种重要的数据分析方法，具有越来越广泛的应用。
张量Tucker分解是其中一种经典的张量分解方法，它能够将高维张量进行低维近似表示，从而帮助我们更好地理解和处理数据。
然而，传统的Tucker分解方法在处理大规模数据时速度缓慢，因此研究人员提出了分布式的增量式张量Tucker分解方法，以适应大规模数据的需求。
二、传统的张量Tucker分解1. 张量的定义在介绍Tucker分解方法前，我们先来了解一下张量的基本概念。
张量是一种多维数组，可以看作是矩阵在高维空间的推广。
在数据分析中，我们常常会遇到高维数据，而张量可以很好地用来表示和处理这些数据。
2. Tucker分解的原理Tucker分解是将一个高阶张量表示为一组低阶张量的乘积的过程。
具体来说，对于一个三阶张量A，Tucker分解可以表示为A = G x1 U x2 V x3 W，其中G是核张量，U、V、W分别是模式1、模式2和模式3的矩阵。
通过Tucker分解，我们可以用较低的维度来表示原始张量，从而实现数据的降维和压缩。
3. 传统Tucker分解的局限性尽管Tucker分解在数据分析中具有重要意义，但传统的Tucker分解方法在处理大规模数据时存在速度较慢、内存消耗较大的问题。
这主要是因为传统方法需要一次性加载整个张量数据，并在单机上进行分解，无法很好地应对大规模数据的需求。
三、分布式的增量式张量Tucker分解方法1. 分布式计算框架针对传统Tucker分解方法的局限性，研究人员提出了分布式的增量式张量Tucker分解方法。
该方法基于分布式计算框架，通过将张量分解任务分配给多台计算机进行并行处理，实现了对大规模数据的高效处理。
2. 增量式分解与传统的一次性加载整个张量数据并进行分解不同，增量式张量Tucker分解方法可以逐步处理张量数据。
具体地，它可以将原始张量分解为若干小块的子张量，并在每个子张量上进行分解计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
［收 稿 日 期 ］２０１８０１１０。 ［基金项目］国家自然科学基金项目（１１５０１３９２）；四川省科技厅应用基础项目（２０１６ＪＹ０２４９）；桥梁无损检测与 工 程 计 算
四 川 省 高 校 重 点 实 验 室 开 放 基 金 项 目 （２０１５ＱＺＪ０２）。 ［第 一 作 者 ］尹 凤 （１９７７－ ），女 ，副 教 授 ，从 事 数 值 代 数 方 向 的 教 学 与 研 究 ，Ｅｍａｉｌ：ｆｙｉｎ＠ｓｕｓｅ．ｅｄｕ．ｃｎ。
· １２４ ·
成 都 理 工 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） 第 ４６ 卷
的 大 部 分 有 用 信 息 来 表 示 原 张 量；不 足 之 处 是： Ｔｒｕｃｋｅｒ分解 的 唯 一 性 不 能 保 证。ＣＰ 分 解 的 基 本思想是：将一个张 量 表 示 成 有 限 个 秩１ 张 量 之 和 。 其 优 点 是 ：能 将 张 量 进 行 降 维 处 理 ；不 足 之 处 是：求 ＣＰ 分解的秩 是 一 个 ＮＰ 问 题，实 际 中 只 能 通过低秩逼近等近似方法确定。
２种不同的矩阵 的 秩。Ｔｒｕｃｋｅｒ分 解／ＨＯＳＶＤ 对 应于 矩 阵 的 模狀 秩，而 ＣＰ 分 解 与 矩 阵 或 张 量 的 扩展所需的 秩１ 组 件 的 最 小 数 量 对 应。Ｔｒｕｃｋｅｒ 分 解 是 一 种 高 阶 的 主 成 分 分 析 ，其 基 本 思 想 是 ：将 一个张量分解为一个核心张量沿每一个模乘上一 个矩阵；Ｔｒｕｃｋｅｒ分解的 优 点 是：可 以 用 一 个 张 量
本文研究 的 高 阶 张 量 的 秩（犔狉，１，１）分 解 方 法受到了块 组 件 分 解 方 ［４］ 法 的 启 发，将 高 阶 张 量 进 行 降 维 ，即 分 解 成 一 个 矩 阵 与 ２ 个 向 量 的 组 合 ， 不同于其他张量分解 方 法。秩（犔狉，犔狉，１）分 解 方 法将张量分解成２个矩阵和一个向 量的 组合，秩 （犔，犕，犖）分解 方 法 将 张 量 分 解 成 ３ 个 矩 阵 的 组 合，秩（犔，犕，·）分 解 方 法 则 是 将 张 量 分 解 成 ２ 个矩阵的组 合。 本 文 在 Ｔｒｕｃｋｅｒ分 解 和 ［１］ ＣＰ 分 解 的 ［２３］ 基础 上，提 出 了 一 种 高 阶 张 量 的 秩（犔狉， １，１）分 解 ，得 到 了 一 种 交 替 最 小 二 乘 求 解 方 法 。
［文 章 编 号 ］１６７１９７２７（２０１９）０１０１２３０６
关于高阶张量的秩（犔狉，１，１）分解方法
尹 凤１，雷 晓 军２，黄 光 鑫２
（１．四川轻化工大学 数学与统计学院，四川 自贡６４３０００； ２．成都理工大学 信息与计算科学系，成都６１００５９）
［摘要］主要研究了高阶张量的秩（犔狉，１，１）分 解 方 法。 首 先，引 入 高 阶 张 量 的 秩（犔狉，１，１）分 解概念，得到一个关于高阶张量的秩（犔狉，１，１）分解的基本唯一性的 充 分 条 件；然 后，给 出 了 求 解高阶张量的秩（犔狉，１，１）分解的交替最小二乘算法；最后给出了２ 个 数 值 实 例。 数 值 实 例 结 果表明所提出的方法的有效性。
近 年 来 ，张 量 分 解 得 到 了 越 来 越 多 的 关 注 ，取 得 了 大 量 研 究 成 果 。 在 矩 阵 的 奇 异 值 分 解 （ＳＶＤ） 向张量分 解 的 扩 展 过 程 中，Ｔｒｕｃｋｅｒ分 解 或 高 阶 奇 异 值 分 解 （ＨＯＳＶＤ）［１］ 和 ＣＡＮＤＥＣＯＭＰ／ ＰＡＲＡＦＡＣ 分解（简 称 为 ＣＰ 分 解）［２－３］是 ２ 种 主 要的张量分解方法。这２种张量分解方法对应于
第 ４６ 卷 第 １ 期 ２０１９ 年 ２ 月
成都理工大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦＣＨＥＮＧＤＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ （Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ．４６ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２０１９
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１９７２７．２０１９．０１．１３
［关 键 词 ］高 阶 张 量 ；秩（犔狉 ，１，１）；张 量 分 解 ；交 替 最 小 二 乘
［分 类 号 ］Ｏ１５１；犲犪狉犮犺狅犳狉犪狀犽（犔狉，１，１）犱犲犮狅犿狆狅狊犻狋犻狅狀狅犳 狋犲狀狊狅狉狑犻狋犺犺犻犵犺狅狉犱犲狉
ＹＩＮ Ｆｅｎｇ１，ＬＥＩＸｉａｏｊｕｎ２，ＨＵＡＮＧ Ｇｕａｎｇｘｉｎ２
１．犛犮犺狅狅犾狅犳 犕犪狋犺犲犿犪狋犻犮狊犪狀犱犛狋犪狋犻狊狋犻犮狊，犛犻犮犺狌犪狀犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔狅犳犛犮犻犲狀犮犲犪狀犱犈狀犵犻狀犲犲狉犻狀犵，犣犻犵狅狀犵６４３０００，犆犺犻狀犪； ２．犇犲狆犪狉狋犿犲狀狋狅犳犐狀犳狅狉犿犪狋犻狅狀 牔 犆狅犿狆狌狋犻狀犵，犆犺犲狀犵犱狌犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔狅犳犜犲犮犺狀狅犾狅犵狔，犆犺犲狀犵犱狌６１００５９，犆犺犻狀犪
犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｓｏｎｔｈｅｒａｎｋ（犔狉，１，１）ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓｏｆａｔｅｎｓｏｒｗｉｔｈ ｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆｒａｎｋ（犔狉，１，１）ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈｏｒｄｅｒｔｅｎｓｏｒｓｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄａｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｔｈｅｂａｓｉｃｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｒａｎｋ（犔狉，１，１）ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆ ｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒｔｅｎｓｏｒｓｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｎ，ａｎａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｂａｓｅｄｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｔｈｅ ｒａｎｋ（犔狉，１，１）ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｅｎｓｏｒｓｗｉｔｈｈｉｇｈｏｒｄｅｒｉｓｇｉｖｅｎａｎｄｔｈｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓ ｕｓｅｄｆｏｒ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｗｏ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ． 犓犲狔狑狅狉犱狊：ｈｉｇｈｏｒｄｅｒｔｅｎｓｏｒｓ；ｒａｎｋ（犔狉，１，１）；ｔｅｎｓｏｒｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ａｌｔｅｒｎａｔｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ