张量分解-1
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张量分解稀疏张量wthres阈值处理
文章标题：深度探讨张量分解稀疏张量wthres阈值处理的方法和应用引言在信息科学领域，张量分解是一项重要的技术，用于处理高维数据，特别是稀疏张量。
其中，wthres阈值处理是一种常见的方法，能够帮助我们更好地理解数据的结构和特征。
本文将深入探讨张量分解稀疏张量wthres阈值处理的方法和应用，帮助读者更好地理解和运用这一技术。
一、张量分解的基本概念1. 张量的概念张量是信息科学中一个重要的概念，它是一种多维数组或矩阵的扩展。
在现实世界中，许多数据可以被表示为张量，例如图像数据、视频数据和传感器数据等。
2. 张量分解的意义张量分解是将高维的张量数据进行分解，以便更好地理解数据的内在结构和特征。
通过张量分解，我们可以把复杂的高维数据转化为更简洁、更易于理解的形式，有助于数据的降维和特征提取。
二、稀疏张量的特点1. 稀疏张量的定义稀疏张量是指大部分元素为0的张量，这种数据在实际应用中非常常见。
在社交网络数据中，用户与用户之间的互动关系可以被表示为稀疏张量。
2. 稀疏张量的挑战稀疏张量的处理具有一定的挑战性，因为大部分元素都是0，所以需要特殊的方法来有效地分解和处理这种数据，同时保留数据的有用信息。
三、wthres阈值处理的方法1. wthres阈值处理的原理wthres阈值处理是一种常见的方法，用于处理稀疏张量。
它的基本思想是对张量的元素进行阈值处理，将小于阈值的元素置0，从而消除噪声和无用信息。
2. wthres阈值处理的应用wthres阈值处理可以应用于多个领域，如图像处理、信号处理和网络分析等。
在实际应用中，可以根据具体的情况选择合适的阈值和处理方法，以达到最佳的效果。
四、张量分解稀疏张量的技术挑战与解决方法1. 技术挑战张量分解稀疏张量在实际应用中也面临一些挑战，比如计算复杂度高、噪声干扰等问题。
如何有效地解决这些问题，是当前研究的热点之一。
2. 解决方法针对张量分解稀疏张量的技术挑战，有许多解决方法，如采用高效的分解算法、优化数据结构和引入先进的噪声处理技术等。
二阶张量的谱分解 算法
二阶张量的谱分解算法一、引言张量在许多领域，如机器学习、信号处理、图像处理等，都有着广泛的应用。
对于二阶张量（Tensor）这种多阶结构，其谱分解算法的研究具有重要的理论和实践价值。
本文将介绍一种适用于二阶张量的谱分解算法。
二、算法描述1. 准备工作：首先，我们需要对二阶张量进行适当的坐标变换，将其转化为对角矩阵形式，以便后续的谱分解。
2. 特征值分解：对变换后的二阶张量进行特征值分解，得到其特征向量矩阵和特征值向量。
3. 谱因子选取：根据实际需求，选取需要的谱因子，如对角线元素或特定位置的元素。
4. 构造分解矩阵：根据选取的谱因子和特征向量矩阵，构造出对应的分解矩阵。
5. 反变换：将构造的分解矩阵代入变换后的二阶张量中，得到原始二阶张量的一种表示形式。
三、算法实现1. 输入：二阶张量T和选取的谱因子。
2. 输出：分解后的二阶张量T'和对应的分解矩阵M。
3. 算法步骤：a. 对T进行坐标变换，得到变换后的二阶张量T'；b. 对T'进行特征值分解，得到特征向量矩阵Q和特征值向量D；c. 根据需求，选取对角线元素或特定位置的元素作为谱因子；d. 构造分解矩阵M = QΛD^(-1)Q^T；e. 将M代入T'中，得到分解后的二阶张量T' = M*T'；f. 输出T'和M。
四、算法优缺点分析1. 优点：该算法具有较高的稳定性和准确性，适用于各种类型的二阶张量。
同时，算法的实现过程简单明了，易于理解和实现。
2. 缺点：对于大规模的二阶张量，计算量可能会较大，需要优化算法以提高效率。
此外，对于某些特殊类型的二阶张量，可能存在无法完全分解的情况。
五、应用场景与案例分析该算法可以应用于机器学习、信号处理、图像处理等领域中，如用于降维、数据压缩、特征提取等。
以机器学习为例，通过对数据集进行二阶张量的谱分解，可以提取出关键的特征向量，从而更有效地进行分类或回归。
张量分解方法在信号处理与压缩中的应用
张量分解方法在信号处理与压缩中的应用信号处理和压缩是现代通信领域中的重要问题，而张量分解方法则是一种有效的工具，可以用于对信号进行分析、处理和压缩。
本文将介绍张量分解方法在信号处理与压缩中的应用，并探讨其优势和局限性。
一、张量分解方法的基本原理张量分解方法是一种多维数据分析技术，它将高维数据表示为低维子空间的线性组合。
在信号处理中，我们通常将信号表示为一个多维张量，其中每个维度表示信号的不同特征或属性。
通过张量分解方法，我们可以将信号分解为若干个低维子空间，从而实现信号的降维和去冗余。
二、张量分解方法在信号处理中的应用1. 压缩信号表示张量分解方法可以用于对信号进行压缩表示。
通过将信号分解为若干个低维子空间，我们可以提取信号中的主要信息，并丢弃冗余和噪声。
这样可以大大减小信号的存储和传输开销，同时保持信号的重要特征。
2. 信号降噪在实际应用中，信号常常伴随着噪声。
张量分解方法可以通过分解信号为低维子空间，将噪声与信号分离开来。
通过对低维子空间进行滤波和去噪处理，可以有效提高信号的质量和可靠性。
3. 信号分析与特征提取张量分解方法可以用于对信号进行分析和特征提取。
通过将信号分解为若干个低维子空间，我们可以提取出信号中的主要特征和模式。
这对于信号分类、识别和模式匹配等任务非常有用。
三、张量分解方法的优势和局限性1. 优势张量分解方法具有较强的表示能力和灵活性。
通过合理选择分解方法和参数，我们可以根据具体问题对信号进行高效的表示和处理。
同时，张量分解方法还能够处理非线性和高度非均匀的信号，具有较好的适应性。
2. 局限性张量分解方法在处理高维数据时，可能会面临计算复杂度较高的问题。
尤其是当数据规模较大时，计算和存储开销会变得非常大。
此外，张量分解方法对于信号中的噪声和异常值比较敏感，需要额外的处理和优化。
四、结语张量分解方法是一种强大的工具，可以应用于信号处理和压缩中。
通过合理选择分解方法和参数，我们可以实现对信号的降维、去噪和特征提取等任务。
一种基于张量分解的医学数据缺失模态的补全算法
ISSN1004-9037,CODEN SCYCE4Journal of Data Acquisition and Processing Vol.36,No.1,Jan.2021,pp.45-52 DOI：10.16337/j.1004-9037.2021.01.004©2021by Journal of Data Acquisition and ProcessingE-mail:sjcj@ Tel/Fax：十86-025-********一种基于张量分解的医学数据缺失模态的补全算法刘琚，杜若画，吴強，何泽鲲，于璐跃(山东大学信息科学与工程学院，青岛266237)摘要：多模态磁共振影像数据采集过程中会出现不同程度的模态数据缺失，现有的补全方法大多只针对随机缺失，无法较好地恢复条状及块状缺失。
针对此问题，本文提出了一种基于多向延迟嵌入的平滑张量补全算法分类框架。
首先，对缺失数据进行多向延迟嵌入操作，得到折叠后的张量；然后通过平滑张量CP分解，得到补全的张量；最后利用多向延迟嵌入的逆向操作，得到补全的数据。
该算法在BraTS脑胶质瘤影像数据集上进行了高低级别肿瘤分类实验，并与7种基线模型进行了比较。
实验结果表明，本文提出方法的平均分类准确率可达91.31%，与传统补齐算法相比具有较好的准确性。
关键词：张量分解；脑肿瘤分类；缺失模态；数据补全中图分类号：TP39文献标志码:AA Complete Algorithm for Missing Modalities of Medical Data Based on Tensor DecompositionLIU Ju,DU Ruohua,WU Qiang,HE Zekun,YU Luyue(School of Information Science and Engineering,Shandong University,Qingdao266237,China)Abstract：In the process of multi-modality magnetic resonance image(MRI)data acquisition,there will be different degrees of modality data missing.However,most of the existing completion methods only aim at random missing,which cannot recover strip and block missing.Therefore,this paper proposes a classification framework of smooth tensor completion algorithm based on multi-directional delay embedding.Firstly,the folded tensor is obtained by multi-directional delay embedding of missing data. Then,the completed tensor is obtained by smoothing tensor CP decomposition.Finally,the reverse operation of multi-directional delay embedding is used to obtain the completed data.The algorithm is used to classify high-level and low-level tumors on the BraTS glioma image data set and compared with seven baseline models.The average classification accuracy of the proposed method achieves91.31%,and experimental results show that the method has better accuracy compared with the traditional complement algorithm.Key words:tensor factorization；brain tumor classification；missing modality；data completion引言随着医学技术的发展，磁共振(Magnetic resonance imaging,MRI)技术已广泛应用于临床的疾病诊基金项目：山东省重点研发计划(2017CXGC1504)资助项目。
python张量分解
python张量分解在Python中，张量分解可以通过多种库来实现，其中最常用的是NumPy和TensorFlow。
下面分别介绍这两种库中的张量分解方法。
1. NumPy库中的张量分解：NumPy是Python中用于科学计算的一个常用库，它提供了很多用于数组操作的函数。
在NumPy中，可以使用linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])U, s, VT = np.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport numpy as npA = np.array([[1, 2], [2, 1]])w, V = np.linalg.eig(A)```2. TensorFlow库中的张量分解：TensorFlow是一个用于机器学习和深度学习的强大库，它提供了各种张量操作的函数。
在TensorFlow中，可以使用tf.linalg模块中的函数来进行张量分解。
其中，最常用的是奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）。
奇异值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)s, U, V = tf.linalg.svd(A)```特征值分解：```pythonimport tensorflow as tfA = tf.constant([[1, 2], [2, 1]], dtype=tf.float32)w, V = tf.linalg.eig(A)```以上是使用NumPy和TensorFlow库进行张量分解的简单示例。
在实际应用中，还可以使用其他专门用于张量分解的库，如scikit-tensor、PyTorch等。
matlab 张量分解
matlab 张量分解
在 MATLAB 中，张量分解是一种将多维数组（张量）分解为多个矩阵或其他张量的运算。
张量的概念类似于矩阵，但张量有更多的维度。
张量分解在许多领域都有应用，例如机器学习、图像处理和信号处理。
在 MATLAB 中，常见的张量分解方法包括：
1. 奇异值分解 (SVD)：对于一个矩阵或张量，奇异值分解可以将它分解为三个矩阵的乘积，类似于矩阵的 QR 分解。
在 MATLAB 中，可以使用 `svd` 函数来执行奇异值分解。
2. 特征值分解 (EVD)：对于一个方阵，特征值分解可以将它分解为一系列特征向量和特征值的乘积。
在 MATLAB 中，可以使用 `eig` 函数来执行特征值分解。
3. Tucker 分解：对于一个高阶张量，Tucker 分解可以将它分解为一组低阶矩阵的乘积，这些矩阵可以表示张量的各个模式。
在 MATLAB 中，可以使用 `tucker` 函数来执行 Tucker 分解。
4. CANDECOMP/PARAFAC (CP/PARAFAC)：这是一种针对高阶张量的分解方法，可以将高阶张量分解为一组低阶张量的乘积。
在 MATLAB 中，可以使用 `cp` 函数来执行CANDECOMP/PARAFAC 分解。
张量运算法则 -回复
张量运算法则-回复
张量运算法则是在张量代数中常用的一些基本运算规则和公式的总结。
张量是一种在多维空间中描述向量和矩阵的数学对象，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量运算法则通过定义不同维度的张量之间的运算规则，使得我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
本文将以张量运算法则为主题，一步一步回答相关问题。
一、什么是张量？
1. 张量的基本概念
2. 张量的维度和阶数
3. 张量的表示和索引
二、张量的运算规则
1. 张量加法与减法
2. 张量乘法
3. 张量的缩并运算
4. 张量的转置和逆运算
5. 张量的分解与组合
三、张量运算法则的应用
1. 张量在物理学中的应用
2. 张量在工程学中的应用
3. 张量在计算机科学中的应用
四、张量运算法则的推广与发展
1. 张量的高阶运算规则
2. 张量网络的结构与训练方法
3. 张量运算法则在机器学习中的应用
五、结语
通过本文的阐述，我们了解了张量运算法则的基本内容和应用领域，并对其推广与发展进行了简要介绍。
通过运用张量运算法则，我们可以更加灵活地处理多维数据，并进行复杂的数学推理和计算。
相信在未来的发展中，张量运算法则将发挥重要的作用，推动科学技术的进步与应用的创新。
张量1-1
求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程： 其普通记法
U i 0 xi
或
U1 U 2 U 3 0 x1 x2 x3
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
弹性力学平衡方程方程：
ei jk
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1
逆序：前面的数大于后面 的数
e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejk i ek i j eji k ei k j ek ji
ei jk
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而
ii 11 22 33 3
ei ei i i
，故
注意：
ii
是一个数值，即
ii 3
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j ij 0, i j
ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
11 12 21 22 31 32
13 1 0 0 0 1 0 23 33 0 0 1
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 1 (1 ) 12 xy xy 12 12 2 2G 2G E 11 22 33 ii
U i 0 xi
或
U1 U 2 U 3 0 x1 x2 x3
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
弹性力学平衡方程方程：
ei jk
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1
逆序：前面的数大于后面 的数
e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejk i ek i j eji k ei k j ek ji
ei jk
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而
ii 11 22 33 3
ei ei i i
，故
注意：
ii
是一个数值，即
ii 3
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
1, i j ij 0, i j
ij 可确 其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 定一单位矩阵：
11 12 21 22 31 32
13 1 0 0 0 1 0 23 33 0 0 1
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 1 (1 ) 12 xy xy 12 12 2 2G 2G E 11 22 33 ii
张量分解的应用
张量分解的应用
张量分解的应用
在机器学习领域中，张量分解是一种十分有效的数据压缩和信息提取
方法。
张量（即多维数组）在现实生活中无处不在，比如视频、语音、图像等。
通过将张量分解成低秩张量的形式，可以压缩数据并挖掘出
数据中隐藏的信息。
一类应用：文本处理
在文本处理领域中，张量分解可以用于推荐系统、情感分析、主题建
模等任务。
比如，在推荐系统中，可以将用户和物品之间的评价看作
一个张量，其中张量的维度包括用户、物品和时间。
通过将张量分解
成低秩张量的形式，可以提取出用户的偏好、物品的属性和时间的因素，从而实现更加精准的推荐。
一类应用：医学图像分析
在医学图像分析领域中，张量分解可以用于分析磁共振成像（MRI）
数据。
通过将MRI数据看作一个张量，其中张量的维度包括空间坐标
和时间，可以分解出不同的组织类型和组织变化规律，从而有助于诊
断疾病和设计治疗方案。
一类应用：运动识别
在运动识别领域中，张量分解可以用于识别人体运动的动作和姿势。
通过将人体运动的数据看作一个张量，其中张量的维度包括时间、关节移动和空间坐标，可以提取出不同动作的关键特征，并训练分类器进行识别。
总结
综上所述，张量分解是一种强大的数据分析工具，在多领域中都有广泛应用。
通过将高维张量压缩成低秩张量的形式，可以提高数据处理效率和准确度，从而为我们的生活带来更多便利和创新。
张量链式分解
张量链式分解张量链式分解是一种针对高维张量的分解方法，它将一个高维张量分解成多个低维张量的乘积形式，从而实现对高维数据的降维和压缩。
该方法广泛应用于数据挖掘、机器学习、图像处理等领域。
一、基本概念1. 张量在数学中，张量是向量和矩阵的推广，它可以表示多个向量或矩阵组成的数组。
在物理学中，张量是描述物理现象的数学工具。
2. 链式分解链式分解是一种将一个复杂系统分解成多个简单系统的方法。
在数学中，链式分解可以应用于函数分解、矩阵分解等领域。
二、张量链式分解原理1. 奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵乘积形式的方法。
其中，原始矩阵可以表示为左奇异向量矩阵、奇异值对角矩阵和右奇异向量矩阵相乘的形式。
这种方法可以用于降维和压缩数据。
2. 多重线性回归（MLR）多重线性回归是一种将多个自变量与一个因变量之间的关系建模的方法。
它可以用于预测和分析数据。
3. 张量分解张量分解是一种将高维张量分解成多个低维张量乘积形式的方法。
其中，原始张量可以表示为多个低维张量相乘的形式。
这种方法可以用于降维、压缩和挖掘数据。
三、张量链式分解应用1. 图像处理在图像处理中，张量链式分解可以用于对图像进行降噪、去除伪影等操作。
例如，可以将原始图像表示为多个低维张量相乘的形式，然后通过去除一些低维张量来实现降噪效果。
2. 数据挖掘在数据挖掘中，张量链式分解可以用于对高维数据进行降维和压缩。
例如，在推荐系统中，可以将用户-物品评级矩阵表示为多个低维矩阵相乘的形式，从而实现对用户和物品特征的提取和降噪。
3. 机器学习在机器学习中，张量链式分解可以用于对高维数据进行特征提取和分类。
例如，在文本分类中，可以将文本表示为多个低维张量相乘的形式，然后通过对这些低维张量进行分类来实现文本分类效果。
四、总结张量链式分解是一种针对高维数据的分解方法，它可以将高维数据分解成多个低维数据的乘积形式，从而实现对高维数据的降维和压缩。
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X a(1) a(2)
a( N )
c
X
b
a
三阶秩一张量：X
a b c
9
（超）对称和（超）对角
◦ 立方张量：各个mode的长度相等 ◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意 排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j, k ◦ 对角：仅当 i1 i2 iN 时，xi1i2 iN 0
张量的（超）对角线
10
展开（matricization/unfolding/flattening） ◦ 将N阶张量 X 沿mode-n展开成一个矩阵 X( n)
X (1)
三阶张量的mode-1展开
11
n-mode（矩阵）乘积
◦ 一个张量X I1×I2 × ×I N 和一个矩阵 U J ×In 的n-mode IN 乘积 X n U I1× ×In1×J ×In1× × ，其元素定义为 I
A
( n 1)
A
( n 1)
A
(1) T
15
矩阵的Khatri-Rao乘积
◦ A
I× K
A
, B J ×K ，则 B a1 b1 a2 b2
aK bK
IJ × K
◦ 性质：A
B C A B C A
B
C
16
矩阵的Hadamard乘积
26
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到 下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1 b1 c2 a1 b 2 c1 a2 b1 c1 1 1 1 Y a1 a2 b1 b2 c1 c2 a1 b1 c1
三阶张量： X
I ×J ×K
5
纤维（fiber）
mode-1 （列） 纤维：x: jk
mode-2 （行） 纤维：xi:k
mode-3 （管） 纤维：xij:
6
切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k ( Xk )
7
内积和范数
◦ 设 X ,Y 内积：
+ T T
B AT A BT B
+
A
B
T
17
CP分解
18
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition), Carroll & Chang, 1970 ◦ Topographic Components Model, Möcks, 1988 ◦ CP(CANDECOMP/PARAFAC), Kiers, 2000
r 1
R
◦ 作为ALS的一个子问题，固定 B 和 C ，求解
min X(1) Adiag(λ) C
A
B
T F
得 Adiag(λ) X(1) C
B X(1) C
T
+
B C C B B
T T
+
再通过归一化分别求出 A 和 λ
30
CP分解的计算
X n U i
1
in1 jin1 iN
xi1i2
in 1
n
iN
u jin
◦ 这个定义可以写成沿mode-n展开的形式
Y X n U Y( n) UX( n)
◦ 性质：X m A n B X n B m A, m n
X n A n B X n BA
27
张量的低秩近似
◦ 退化：如果一个张量能够被一系列的低秩张量任意逼近 ◦ 边缘秩（border rank）：能够任意逼近一个张量的最少 的成分个数
秩2 秩3
X X
(0)
Y
X
(1)
X (2)
一个秩为2的张量序列收敛到一个秩3张量
28
CP分解的计算
◦ 分解成多少个秩一张量（成分）之和？
通常的做法是从1开始尝试，知道碰到一个“好”的结果为止 如果有较强的应用背景和先验信息，可以预先指定
IK ×JL
◦ 性质： A BC D AC BD
A B
+
A+ B+
14
矩阵的Kronecker乘积
◦ 矩阵的Kronecker积还和张量和矩阵的n-mode乘积有如 下关系
Y X 1 A(1)
(n)
N A ( N )
(N )
Y( n ) A X( n ) A
在实数域内进行秩分解得到的因子矩阵为
1 0 X1 0 1
0 1 X2 1 0
而在复数域内进行分解得到的因子矩阵为
1 0 1 A 0 1 1
1 0 1 B 0 1 1
1 1 0 C 1 1 1 1 1 C i i
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
X A, B, C a r b r cr
r 1
R
X
a1
c1
b1
a2
c2
b2
aR
cR
bR
三阶张量的CP分解
20
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a1 a2
I1× I2 × × IN
X ,Y
i1 1 i2 1
I1
I2
iN 1
x
I1
IN
i1i2 iN
yi1i2
iN
（Frobenius）范数：
X
X,X
i1 1 i2 1
I2
iN 1
2 x i1i2
IN
iN
8
秩一张量/可合张量
◦ N阶张量 X I1×I2 × ×I N 是一个秩一张量，如果它能被写 成N个向量的外积，即
1
基本概念及记号
2
张量（tensor）
◦ 多维数组
一阶张量 （向量）
三阶张量 二阶张量 （矩阵）
3
张量空间
◦ 由若干个向量空间中的基底的外积张成的空间
向量的外积和内积
4
阶（order/ways/modes/rank）
◦ 张成所属张量空间的向量空间的个数
一阶张量（向量）： x {xi } 二阶张量（矩阵）： X {xij } 三阶或更高阶张量： X {xij k } 零阶张量（数量）： x
34
Tucker分解
◦ Tucker分解是一种高阶的主成分分析，它将一个张量表示 成一个核心（core）张量沿每一个mode乘上一个矩阵。 对于三阶张量 X I ×J ×K 来说，其Tucker分解为
X G; A, B, C G 1 A 2 B 3 C g pqr a p bq cr
rank( X )
X
r 1
(2) a(1) a r r
a(r N )
可见秩分解是一个特殊的CP分解，对应于矩阵的SVD ◦ 目前还没有方法能够直接求解一个任意给定张量的秩，这 被证明是一个NP-hard问题
24
张量的秩
◦ 不同于矩阵的秩，高阶张量的秩在实数域和复数域上不一 定相同。例如一个三阶张量 X
◦ 对于给定的成分数目，怎么求解CP分解？
目前仍然没有一个完美的解决方案 从效果来看，交替最小二乘（Alternating Least Square）是 一类比较有效的算法
29
CP分解的计算
◦ 以一个三阶张量 X 为例，假定成分个数 R 已知，目标为
ˆ min X X ˆ
X
ˆ a b c λ; A, B, C s.t. X rr r r
aR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(1) A C X(2) B C X(3) C B
B
T T
A A
T
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD( k )BT
其中 D
(k )
diag(ck: )
其展开形式为
(2) , A( N ) r a(1) a r r r 1
R
a(rN )
A
(1) T
X( n ) A diag(λ ) A
(n)
(N )
A
( n 1)
A
( n 1)
23
张量的秩和秩分解
◦ 张量 X 的秩定义为用秩一张量之和来精确表示 X 所需要 的秩一张量的最少个数，记为 rank( X ) ◦ 秩分解：