重庆市南开中学高考数学模拟试卷(文科)

2006—2007学年度重庆南开中学高三年级第一次模拟考试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量)3,(),2,4(x ==向量，且∥，则x = （ ）A ．9B ．6C ．5D ．12．已知集合},22|{2R x x x y y M ∈++==，集合})4(log |{2R y x y x N ∈-==，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．φ=N MD ．N N M =3．求以抛物线y 2 = 8x 的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为 （ ）A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 4．已知等差数列{a n }满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{b n }满足,,4311a b a b ==则 5b 为 （ ）A ．16B ．32C ．64D ．27 5．x x y 52sin 52cos3+=的图象相邻两对称轴之间的距离为 （ ）A ．52πB ．45πC ．25πD ．π56．抛物线y = x 2 + bx + c 在点（1，2）处的切线与其平行直线bx + y + c = 0间的距离是（ ）A ．42 B ．22 C ．223 D ．27．在△OAB （O 为原点）中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==，若5-=⋅，则S △AOB 的值为 （ ）A ．3B ．23 C ．35D ．235 8．若函数),()10()(+∞-∞≠>-=-在且a a a ka x f xx是既是奇函数，又是增函数，则 )(l o g )(k x x g a +=的图像是（ ）1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 59．已知△ABC 的三个角分别为A ，B ，C ，满足4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则A sin 的值为（ ）A ．815B ．87 C ．1611 D ．1615 10．设双曲线M ：1222=-y ax ，过点C （0，1）且斜率为1的直线，交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若2|AC | = |CB |，则双曲线的离心度为 （ ）A ．10B ．5C ．310 D ．2511．已知+∈R b a ,，且满足ab b a S b a 2,222++==+设的最大值是 （ ）A ．27 B ．4 C ．29 D ．512．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切[)1,0;)(7)1(,0)(,2∈-=+>∈x x f x f x f R x 当 时，,)125(5)250(2)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=x x x x f 则=-)32007(f（ ）A ．3322-B ．32-C ．32+D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．以坐标原点为圆心且与直线3x －4y + 5 = 0相切的圆方程为14．已知22)1()1(,2420-++⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-y x x y x y x 则的最小值为15．已知函数)(x f y =的反函数为)10)(1(log 1≠>-+=a a x y a 且，则函数)2(+=x f y 必过定点 16．如右图，它满足①第n 行首尾两数均为n②表中的递推关系如杨辉三角，则第n 行(n ≥2)的第二个数是三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（13分）已知向量x f x x x ⋅=-++=-=)(),3,2cos 2sin 1(),1,tan 1(记 （1）求f (x )的周期； （2）若)42()2()(παα+-=f f a g ，则求)(a g 的最小值.18．（13分）解不等式)00(2log |2log 3|2≠>+<-a a x x a a 且19．（12分）已知偶函数f (x )，对任意R x x ∈21,，恒有12)()()(212121+++=+x x x f x f x x f ，求 （1）f (0)的值； （2）f (x )的表达式； （3）令)10()()(2)]([2≠>=-a a a x F x f x f 且，求),0()(+∞在x F 上的最值.20．（12分）某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少51。

南开中学高三数学模拟试卷（文科）参考答案一、选择题:（共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 67 8答案D C D C C A B B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号9 10 11 12 13 14答案611兀+471?兀292[9,+ 8)三、解答题：（本大题共6小题，共80分）. （15）（本小题满分13分）解:(I) /(兀)=V^sin2兀一cos2x = 2sin(2x --------------- )67T TT S(II ) ill 2k7T + — < 2x ------- < lk7l + —7l伙W z),2 6 271 5得k/r——< x < k7r + — 7r(k e z)3 6n5/r•••单调递减区间为[尿+ =、k兀七—](k ez). ................................... 8分3 6(III)因为-~^x^~，贝ij-兰W2x —兰 W兰，6 4 2 6 3当2x-- = -,即x =-时，/(兀)取得最大值为馆；6 3 4当2%--=--,即兀―仝时,/⑴取得最小值为_2 •.................................. 13分6 2 3（16）（木小题满分13分）解：（I ）由条形图得第七组频率为1-（0.04x2 + 0.08x2 + 0.2x2 + 0.3） = 0.06,0.06x50 = 3 1 分・••第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 (II )由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)x5=0.82,.......................................................... 4分=71后三组频率为1一0.82=0.18 ................................................... 5分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800x0.18=144 （人）. 7分（皿）第二组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其屮1、2为男生，3为女生，基木事件列表如下：abed1\a \b \c \d22a 2b 2c 2d3 3 a 3b 3c 3d所以基本事件有12个...................................... 10分恰为一男一女的事件有",lc, Id, 2b, 2c, 2d, 3a；共7个..... 12分7因此实验小组中，恰为一男一女的概率是一................... 13分12（17）（本小题满分13分）（I）证明：因为菱形ABCD,所以3D丄AC,又因为平而ACEF丄平面ABCD ,EC丄AC，平面ACEF Q平面ABCD = AC故EC丄平面ABCDEC 丄BD所以BD丄平面ACEF-------------- 5分BDu平面BDE,所以平面BDE丄平面ACEF ；---------------- 6分（II）连结EO, EO//AM ,ZBEO为界面直线BE与AM所成的角或补角，由（I）知，AEOB = 90°,在直角三角形EOB 中，EO = AM=4i,BO = &所以界而直线BE与4M所成的角的正切值心. -------------- 10分2（III）由已知易得BF = FD,BE = ED，所以EO丄BD, FO丄BD,ZEOF为二面角E-BD-F的平而角13分所以二面角E-BD-F为90°.（18）（本小题满分13分）解：（I ）点A （0,2）代入圆C 方程， 得.（2-加尸=9*.* m < 2 ,・*. m = -1 .......... 1 分圆 C ：异+（〉，+ 1）2 =9,圆心（0,-1）・ 设直线的斜率为心，P （3,8）当K 不存在时，PF I ：x = 3,显然不合题意舍去. 当人存在时，PF“ y -8 = k l （x-3）f 即 k }x- y-3« + 8 = 0 .・••号f .解得k }=- ..................................................... 3分W + 1 3 直线 PF ]: 4x-3.y + 12 = 0总线PF 】与x 轴的交点横他标为一3,・・・c=3. F| (—3, 0), F 2(3, 0)............................... 4 分2« = P4F|| + |AF 2|= VB + V13 =2>/13 , a =屈,«2=13, //=4.椭圆E 的方程为：—+ ^- = 1............................. 6分13 4(II)由|丽冃丽|知点A 在线段MN 的垂直平分线上， y = kx-2由]兀2 2 消去y 得(4 + 13/)兀2 一52也=0 (*) —+ —= 1 〔13 4由Id 得方程（*）的A = （52^）2 >0,即方程（*）有两个不相等的实数根…8分 设N （兀2小），线段MN 的中点卩（兀0，儿），26k 4 + 13 衣52k 4 + 13f•宀0,直线仲的斜率为宁=桔由AP 丄MN,得 土竺 xk = _l,解得：k = ±—f……12分13R13・・・存在直线/满足题意，方程为：V5x-V13y-2ji3 =0«KV5x + V13y + 2Vi3 =0 -------------------------------- 13 分 (19) (本小题满分14分)解：(I)方法一：由S 曲=3S “得：数列｛S”｝是等比数列，公比为3,首项为1…2分.•.S” =1・3心=3心 ......... 3分当 n>2 时,a n = S n - S n _{ = 3 心 一 3W '2 = 2 • 3n '2................... 4 分fl (n = 1)•5=\.................. 5 分[2・3心(n > 2)方法一：•** S“+] = 3S“，「. S n = 3S”](M ' 2) 以上两式相减得：Q “+]=3% (n > 2),.................. 2分在 S n+[ = 3S n 中,取 〃 =1 得：a {+a 2= 3a }即 a 2 = 2a } = 2 ,.................. 3 分.・.｛%｝为第二项起的等比数列，公比为3 .................. 4分fl (n = l)/. ci = \.................. 5 分26k 24 + 13p—8 4 + 13/即卩為為)10分2・3宀(n > 2)由(I )知：⑺”｝为第二项起的等比数列，公比为3, s=2t0? + 1)(72 + 2) n(n +1)(/? + 1)(1-/?)① 若r 〉0,则 b n+i -b n <0 HP b n+i < b n (n > 2) .・.数列｛仇｝是从第二项起的递减数列ifij b 、= —, b 2 = — t b 2 >b } 3•••(—b2「 ..................................... 9 分•・•对任意 n e TV * ,都冇 A>/7(Z7 + 1)a“t②若/v0,则b n+} - b n > 0即b n+x > b n (n > 2)・•・数列{仇}是从第二项起的递增数列・・・11 分Ifij/, =-<0,当n >2 时，化=W o't n2r-3w_2b n e (-oo, 0).................. 12 分•• •对任意n e TV * ,都有2>/7(Z7 + 1), > 0 ...................13 分%3综合上面：若/>0,则A>-；若/<0,则A>0o .............................................. 14分t(20) (木小题满分14分)解：(I )当 a = -3ll 寸，/(x) = —x 3 -兀2-3X + 3,所以 广(兀)=x 2 -2x-3 = (x-3)(x + l).令/'(兀) = 0,得 比=_1,兀2=3.当xv-l 时，广(x)〉0,则/(x)在(-oo,-l) ±单调递增； 当一1 v 尢<3时,/'(X )<0 ,则f (x)在(-1,3)上单调递减;・••当心2时,廿2心巴汗畔 “ “ It • 3n_2b n +l ~b n 2r3n-I『•3"10分当x>3时，广(兀)>0 , /(兀)在(3,+00)上单调递增. 所以，当x = -\时，/&)取得极大值为/(-1)=-1-1 + 3 + 3 =—； 当*3时,/(x)取得极小值为/*(3)=丄x27-9-9 + 3 =-6.(II )广(兀)=/-2x + d , △ = 4-4° = 4(1-°) •⑴若dhl,则在心上恒有广(兀)》0,于⑴在R 上单调递增，且值域为R.函 数/(x)的图象少兀轴有且只有一个交点.(2)若a<l,则△>(), /'(%) = 0有两个不等的实根，不妨设为x l9x 2 (x t <x 2).当x 变化吋，广(x)J(x)的取值情况如下表：X(-°°眄)(西，兀2)厶（兀2，+°°）广(刃+—+极大值极小值由兀]2—2 兀]+a = 0 ,得兀]+兀2=2, x l x 2 = a , JL x ）2= 2x, - <7.f （xj = £ 兀1‘ _ X |2 + ax \ 一 a = * £ （2旺 _ d ） — 壬2 + ax }-同理/(x 2) =|［(n-l)x 2-t/_ •函数子(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，等价于/(x 2)< f (x,) <0或0</(X2)</(X l)» 即 /(壬)丁(兀2)>0 •又/(西)丁(兀2)=害［(。

南开中学高三数学模拟试卷(文科)说明：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分, 考试时间120分钟.2.请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 参考公式：・如果事件久〃互斥，那么P(AU〃) = P(4)+P(B) •如果事件右B相互独立,那么関锥侧面积公式S= Tirl其屮厂为底血関半径，/为母线长第I卷(选择题共40分)一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.頊将等家填徐在登題卡上!)-3-1(1)i是虚数单位，复数一「=l + 2i-l-7i 1(A)l-3i (B) (C) -- + i (D) -1 + i5 5(2)已知集合S = [x\x2<2x]t集合T^Lllogj 则S^T =2(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,1] (D) (0,2](3)已知a,b,c分别是\ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a = 2, b = g , B = 60"则c -(A) 5 (B) 77 (C) 2 (D) 1(4)已知直线厶：2x +紗-7 = 0,若过定点(0,2)与已知直线厶垂直的直线厶与x轴、)，轴正半轴所围成的三角形而积为6,则实数k值为3 2(A) -- (B)-2 32 4(C) -- (D)--（5）阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序, 输出的结果S为（A） 1008 （B） 1007（C） -1007 （D） -3022（第5颗）（6）通过随机询问110名性别不同的人学牛是否爱好某项运动，得到如下的列联农:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110〃(加一加)2 争 2 - 110X(40X30-20X20)2 〜(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‘心寸'K =6() X 5() X 6() X 5() 〜附表:P（K?汶）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）（A）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（B）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别育关”（0）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”（第7顾）(C)-I3(D)--2（8）己知函数/（x）是定义在［-1,1］上的奇函数，且/（1） = 1 ,当以引-1,1］, a+bHO时有/⑷+ /少）>0・若f（x）tn2- a+ b则实数〃7的取值范围是-2am +1 (m e R,/n h 0)对所有XG[-1 ,1] , ae[-\, 1J 恒成立,(A) (-oo,-2]U(2, + oo)(B) (一oc,-2]U[2, + oo)(C) (YO,—2]U(0,+8)(D) (YO,0)U[2,+ OO)第II卷（非选择题共110分）二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上!）y >0（9）设变量兀,），满足约束条件< % +1 > 0 ,则z = 2x+ y的最大值为________x+y-3<Q分别为A"两点，以4B为直径的圆恰好过双曲线右焦点场，则双曲线的离心率为____________（11）将一个圆柱体挖掉一个圆锥后，所得几何体的（12）如图，已知是圆的-条直径，点C是圆上-点满足"=»,43为圆的切线，C为切点，过点B作切线CZ）的垂线BF,交圆于点E-则线段EF的长为___________ ・（10）已知过双曲线与0~9_21 =1（G > 0』> 0）左焦点F\且垂直于A-轴的直线交双曲线两渐近线三视图如图所示, 则该几何体的萄輻积为___________（第11题）（第12题）I m(13)已知不等式(x + 2y)(—+ —)216对任意止实数x,y恒成立，则止实数血的最小值兀 >?为____ .(14)已知: “ 14一入IW 6 ”，g: "I X-IIW Q”(awR,a>0),若非“是非q的必要不充分条件，则实数。

重庆市南开中学2012届高三5月月考数学(文)试题本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1{|3},|2},2x M x x N x MN ⎧⎫=<=>⎨⎬⎭⎩则等于( )A ．φB ．{|13}x x -<<C ．{|03}x x <<D ．{|13}x x <<2．从10名女生与5名男生中选出6名同学组成课外兴趣小组，如果按照性别分层随机抽样，则男生甲的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知命题p ：“1xy >”，命题q ：“0x y >>”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭条对称由是( ) A ．2x π=B ．4x π=C ．34x π=D ．x π=5．已知函数21(0)13(),(),12(0)x x f x f x x x⎧-≥⎪⎪==-⎨⎪<⎪⎩若则实数x 的值为( )A．2-B．34C．324-或D．不存在6．球面有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且||AB=( )A．34πB．3C．D．7．正项数列{}na满足，2211122311111,21,n n nn na a a aa a a a a a++==++++=+则( )8．已知函数231()112()4,(2012)2012f x a og b og x f f=++=且则的值为( )A．—4B．2C．0` D．—29．在直角坐标系,(1,2,3,4),(1,2,3,4) xOy x m m y n n====平面内平行直线与平行直线组成的所有矩形中任取一个矩形，恰好是正方形的概率是( )A．718B．14C．12D．51810．以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心O并交椭圆于点M、N，若过椭圆的左焦点F1的直线MF1是圆F2的切线，则右准线与圆F2( )A．相交B．相切C．相离D．位置关系随离心率改变第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上)11．已知660160123456(2),x a a x a x a a a a a a a-=++++++++=则________12．平面向量a b a a b与的夹角为60,||=2,|b|=1,则|+2|等于________13．已知x，y满足124,31x yx y z x yx-≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则函数的最大值是________．14．若12,,1,2a b R a ba b+∈+=-且则-的最大值是________．15．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排三列，每排3人，则每列后排均比其正前排的同学身村要高的排法有________种．三、解答题(共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(共13分)已知△ABC的面积为2AB且·2AC =(1)求tan A的值；(2)求22sin2sin cos1222cos()4A A AAπ+--的值．17．(13分)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在峨眉山、泰山、华山3个景中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．(1)求3个景区都有部门选择的概率；(2)求恰有两个部门选择峨眉山旅游的概率．18．(13分)已知数列{}4 n n n na a≥=+中,前n项和为S,对于任意n1时,3S(1)求数列{}na的通项公式；(2)若数列{}2,{}n n n n n b b S b n T=满足求数列的前项和19．(12分)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为棱CC 1的中点．(1)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2)求二面角A —A 1D —B 的大小．20．(12分)已知函数321()43cos ,,,0.322f x x x x R πθθθ=-+∈≤≤其中为参数且(1)当θcos =0时,判断函数()f x 是否有极值；(2)要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；(3)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(2a －1，a )内都是增函数，求实数a 的取值范围．21．(12分)已知抛物线2:2(0):C x my m l y x m =>=-和直线没有公共点(其中m 为常数)．动点P 是直线l 上的任意一点，过P 点引抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，且直线MN 恒过点Q (1，1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知O 点为原点，连结PQ 交抛物线C 于A 、B 两点，求||||||||PA QA PB QB -的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1—5 CBABC 6—10 BDCDA10．设),,(),,(2211y x M y x P 由于PM 过焦点F ，所以有,41,12121=-=x x y y 再设),(33y x N ，则有22331111(,),(,)44P Q x y x y --，将P 点代入直线方程有,0422=+-c y bx a 两边同乘以2x 有.22,04222222222y x y x y cx y bx a =⇒==+-又 所以,04222=+-a yb cx 同理04233=+-ay b cx ，故所求直线为024=+-a by cx ；故选A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上． 11．31 12．3 13．),3(+∞ 14．3≤a 15．332-15．解：设x AD =，折叠后顶点A 落在线段BC 上的'A 点，则在△'A BD 中，设∠D 'A B =θ，易得：)3π2,6π[∈θ； 在△'A BD 中，由正弦定理有：,sin 1sin θx B x -=即：;sin 2)1(3θ=-xx 又1sin ≤θ， 于是：33212)1(3-≥⇒≤-x xx ，当且仅当2π=θ时取等号．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题可知： ;92n an S n -=又}{n a 为等差数列，设公差和首项分别为,1a d 、且,2=d于是：,)2(212n da n d S n -+=比较可知：1=a ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：|;9|||-==n n S b n n 当;2)17(,91n n S n n -=≤≤时……9分 当10≥n 时，2)91)(9(2)81(8)]9(21[)178(-+-++=-+++++++=n n n S n2)8)(9(36--+=n n ……13分17．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由题可知：;1sin 22cos 2)2πcos(1sin 4)(+=++-⋅=x x x x x f ωωωω 当1=ω时，,1sin 2)(+=x x f 则：π2=T ……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：,1sin 2)(+=x x f ω欲使)(x f 在]32π,2π[-上单调递增， 则有：π2π2π2π[,][,]2344ωω-⊆-，于是：3(0,]4ω∈……13分18．(本小题满分13分)解：记“甲在第i 次获胜”为事件21(1,2,,5,6)(),();33i i i A i P A P A =⇒==(Ⅰ)记“经过4次比赛甲获胜”为事件B ，由事件的独立性有： 81163232323132323132)()(43214321=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=A A A A A A A A P B P ……6分 (Ⅱ)记“最多经过4次比赛结束”为事件C ，则：432143212121()(A A A A A A A A A A A A P C P +++=8165)43214321=++A A A A A A A A ……13分 19．(本小题满分12分) 解：法一：(Ⅰ)取B 1C 1的中点D ，连结A 1D ，MD ，则A 1D ⊥B 1C 1又由题意可知MD ∥AA 1，所以MD ⊥面A 1B 1C 1，所以MD ⊥B 1C 1，所以B 1C 1⊥面A 1DM ，所以B 1C 1⊥A 1M ……6分 (Ⅱ)过D 作DN ⊥B 1M 于N ，连结A 1N ，由(Ⅰ)可知A 1D ⊥面BB 1C ，由三垂线定理可知∠A 1ND 为二面角C 1－B 1M －A 1的平面角A 1D ,1,23,31===D B MD 在1Rt MDB △中，13311=⋅=MB MD D B DN 所以tan ∠A 1ND 3391333==……12分 法二：如图建立直角坐标，则)1,3,1(),0,3,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,0,0(111--C C B B A则)23,23,23(-M (Ⅰ)11133(,)(1,0,22A MBC ⋅=⋅-=∴M A 1⊥11C B ……6分 (Ⅱ)取11C B 的中点)0,23,23(-D ，取面M C B 11的法向量)0,1,3(-设面M B A 11的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+-=⋅-=⋅==⋅=⋅0232323),,()23,23,23(02),,()0,0,2(111z y x z y x A x z y x n B A )1,3,0(=,434)1,3,0()0,1,3(cos 111=⋅->=--<∴A M B C所以339tan 111>=--<A M B C ……12分 20．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)对)(x f 求导得：)1(2)13()('2+++-=a a x a x x f ，代入2=a 有)4)(3()('--=x x x f ；令0)('>x f 得),4(),3,(+∞-∞∈x ； 又令0)('<x f ，得到：),4,3(∈x于是：)(x f 在),4(),3,(+∞-∞上单调递增；)(x f 在)4,3(上单调递减……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知：)]1()[2()('+--=a x a x x f1)当1<a 时，有：12+<a a ，令0)('>x f 得：);,1(),2,(+∞+-∞∈a a x 再令0)('<x f 得：)1,2(+∈a a x ，故)(x f 在),1(),2,(+∞+-∞a a 上单调递增，在)1,2(+a a 上单调递减；此时可知：)2(a f 为)(x f 的极大值，)1(+a f 为)(x f 的极小值；欲使)(x f y =的图像与x 轴恰有三个交点，则必有：,0)1(0)2(⎩⎨⎧<+>a f a f即是：,06)15()1(0232223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+a a a a 解得：)51,0()0,1()1,3(⋃-⋃--∈a ……9分2)当1>a 时，有：12+>a a ；令0)('>x f 得：),2(),1,(+∞+-∞∈a a x ；再令()0f x '<得：(1,2),x a a ∈+故()f x 在(,1),(2,)a a -∞++∞上单调递增，在)2,1(a a +上单调递减；此时可知：)1(+a f 为)(x f 的极大值，)2(a f 为)(x f 的极小值；欲使)(x f y =的图像与x 轴恰有三个交点，则必有：,0)1(0)2(⎩⎨⎧>+<a f a f即是：3222203,(1)(51)06a a a a a ⎧+<⎪⎪⇒∈∅⎨+-⎪>⎪⎩综上可知：)51,0()0,1()1,3(⋃-⋃--∈a ……12分21．(本小题满分12分)(Ⅰ)由题知点P 到)0,21(F 的距离与它到直线21-=x 的距离相等， 所以点P 的轨迹是抛物线，方程为;22x y =……4分 (Ⅱ)设),0(),,0(),,(00c C b B y x Q ，则x x by b y QB 00:-=-即 0)(000=+--b x y x x b y由直线QB 是圆的切线知1)(||22000=+-+-x b y b x b y 即02)2(0020=-+-x b y b x同理：2000(2)20x c y c x -+-=所以c b ,是方程02)2(0020=-+-x t y t x 的两根2,220000--=--=+∴x xbc x y c b ……8分 0002020024)2(421||21x x x x y x c b S QBC⋅-+-=-=∴∆ 又,|2|202002-=∴=∆x x S x y QBC由题知2,2200200-=-=∴>∆x t x x S x QBC令 则2(2)44448,QBC t S t t t+==++≥+=△当2=t 即40=x 时，取“＝”QBC ∴△面积的最小值为8．……12分。

重庆市南开中学2019-2020下学期高三数学（文科）4月月考考试试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|0}A x x =>，2{|log (31)2}B x x =-<，则（ ） A ．(0,)A B ⋃=+∞B ．10,3A B ⎛⎤=⎥⎝⎦I C ．A B R ⋃= D ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I 2．在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则1tan tan A B+的最小值为（ ） A ．5 B ．25 C ．6 D ．623．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB ＝，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．14B ．24C ．34 D ．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y2=2px 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线AB ，垂足为B ，射线AF 交准线l 于点C ，若Rt ABC V 的“勾”3AB =、“股”33CB =，则抛物线方程为（ ）．A ．22y x =B ．23y x = C ．24y x = D ．26y x = 5．已知集合{}|0A x x a =-≤，{}1,2,3B =，若A B φ⋂≠，则a 的取值范围为 A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞ C ．(,3]-∞ D ．[3,)+∞6．某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（ ）A．34B ．512C ．12D ．387．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π8．满足{2018}A ⊆≠⊂{2018,2019,2020}的集合A 的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．49．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-10．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ） A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，2611．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A ．5B ．12C ．27D ．5812．函数2πsin12()12xf x x x=-+的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市南开中学高2018级五月末模拟考试试题数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总共三个大题，22个小题，总分150分，考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分。

四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合{1,2}M =，设集合N 满足NM⊆，则集合N 的个数有（ ）个。

A 、2B 、4C 、6D 、8 2、函数44c o s s inyx x=-图象的一条对称轴方程是（ ）A 、2x π=-B 、4x π=-C 、8x π=D 、4xπ=3、不等式21x x-≥的解集为（）A 、{|21}x x x ><-或B 、{|210}x x x ≥-≤<或 C 、{|021}x x x <<<-或D 、{|210}x x x ≥-<≤或4、已知函数2()lg (1)(0)f x x x =+≤，则1(2)f-的值为（ ）AB、 C、 D、-5、图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ ） A 、1220y x y ≥-⎧⎨-+≥⎩ B 、1220y x y ≥-⎧⎨-+≤⎩C 、01220x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩D 、01220x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≤⎩6、若5250125125(1) (33)mx a a x a x a x a aa+=+++++++=-且，则实数m的值为（ ）A 、3B 、3-C 、32D 、32-7、停车场可以把12辆车停放在一排，当有8辆已停放后，而恰有4个空位连在一起的概率为（ ） A 、8127C B 、8128C C 、8129C D 、81210C8、椭圆22143xy+=的长轴为12A A ，短轴为12BB ，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使1A 点在平面122BA B 上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（ ）A 、30 B 、45 C 、60 D 、759、已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。

2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|≤1,x∈Z}，B={1,2，3}，则A∩B为()A. {−1}B. {1}C. {−1,0，1}D. ⌀2.设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z的共轭复数为()A. 12+12i B. 1+12i C. 1−12i D. 12−12i3.下列函数中，值域是R且是奇函数的是()A. y=x3+1B. y=sinxC. y=x−x3D. y=2x4.向量a⃗=(3,m),b⃗ =(1,2)，若(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，则m=()A. −4B. −32C. 0D. 65.已知x，y∈R，命题“若x2+y2=0，则x=0或y=0”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为()A. 0B. 2C. 3D. 46.2019年被誉为“5G商用元年”.6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的()A. 相关活动是5G信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势7.椭圆x27+y2b2=1，过原点O斜率为√3的直线与椭圆交于C，D，若|CD|=4，则椭圆的标准方程为()A. x27+y24=1 B. x27+y23=1 C. x27+y26=1 D. x27+2y27=18.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为()A. 43B. 83C. 4D. 89.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1−x)，且x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(log28)=()A. −1B. 1C. 7D. −1210.点P在函数y=lnx的图象上，若满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则实数a的值为()A. 1B. −3C. 2D. −2√211.重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是()A. y=0.45cos23x B. y=4.5cos23x C. y=0.9cos32x D. y=9cos32x12.若P是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)在第一象限上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，|PF2|=2b，Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，则双曲线C的离心率为()A. 53B. 32C. 43D. 54二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若变量x，y满足约束条件{x+y−1≤03x−y+1≥0x−y−1≤0，则z=2x+3y的最大值为______．14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2,b=1,c=√7，则BC边上的高为______．15.《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体(图中长度单位为米)，则该粮仓能容纳的体积为______立方米．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知f(x)=4sinx+3cosx，f(x)向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tanα=(1)，若方程f(x)−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n+n}的前n项和T n．18.在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如图．(1)计算a，b，c；(2)在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．(ⅰ)写出各组中抽取人数；(ⅰ)访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．19.正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，AB=2．(1)求证：平面ADB1⊥平面ABB1A1；(2)若AD与平面ABB1A1所成角为π，求四棱锥A−BCDB1的体积．420. 已知圆C ：x 2+(y −3)2=8和动圆P ：(x −a)2+y 2=8交于A ，B 两点．(1)若直线AB 过原点，求a ；(2)若直线AB 交x 轴于Q ，当△PQC 面积最小时，求|AB|． 21. 已知f(x)=−12x 2+x −cosx −k ．(1)若f(x)的一条切线为y =x ，求此时的k ； (2)求使得f(x)>0有解的最大整数k ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =2√33+tsinα(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； (2)求MN 中点P 轨迹的参数方程．23. 已知对于任意x ≥−1，不等式(1+x)3≥1+3x 成立．(1)求证：对于任意x ≥−1，(1+x)4≥1+4x ； (2)若a >0，b >0，求证：(a +b)4≥a 4+4a 3b.答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x||x|≤1,x∈Z}={x|−1≤x≤1,x∈Z}={−1,0，1}，B={1,2，3}，∴A∩B={1}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，∴z−=12−12i．故选：D．3.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3+1，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=sinx，为正弦函数，是奇函数，但值域不是R，不符合题意；对于C，y=x−x3，有f(−x)=(−x)−(−x)3=−(x−x3)=−f(x)，为奇函数，其值域为R，符合题意；对于D，y=2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及值域是否为R，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的分析判断，涉及函数的值域，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(3,m),b⃗ =(1,2)，∴(a⃗+b⃗ )=(4,m+2)，若(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，则(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =(4,m+2)⋅(1,2)=4+2m+4=0，则m=−4，故选：A．由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求出m的值．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：“若x2+y2=0，则x或y=0”，是真命题，其逆命题为：“若x或y=0，则x2+y2=0”是假命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为假命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为2．故选：B．先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．6.【答案】B【解析】解：由题知6月、9月、11月、12月活动月的走势均有明显提升，故相关活动是5G信息走势的关键性节点，即A正确；由统计图可知第四季度信息量呈直线增长态势，月信息量未出现持续下降态势，故CD正确；故选：B．根据所给统计图，利用排除法可得答案本题考查统计的相关知识，考查学生合情推理的能力，属于基础题7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆方程的求法，主要运用到弦长公式和两点间距离公式，考查学生的运算能力，属于基础题．设点C的坐标为(m,n)，则D(−m,−n)，由弦长公式可知|CD|=√1+(√3)2⋅2|m|=4，由两点间距离公式可知|CD|=2√m2+n2=4，从而解得|m|=1，|n|=√3，代入椭圆方程求出b2的值即可得解．【解答】解：设点C的坐标为(m,n)，则D(−m,−n)，由弦长公式可知，|CD|=√1+(√3)2⋅2|m|=4，∴|m|=1，由两点间距离公式可知，|CD|=√(m+m)2+(n+n)2=2√m2+n2=4．∴|n|=√3，代入椭圆方程有，17+3b2=1，∴b2=72．∴椭圆的方程为x27+2y27=1．故选：D．8.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V=13×12×2√2×2√2×2=83．故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：根据题意，log28=3，函数f(x)满足f(x+1)=f(1−x)，令x=2可得：f(2+1)=f(1−2)，即f(3)=f(−1)，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=2−1=1，则f(1)=−1，故f(log28)=f(3)=−1；故选：A．根据题意，在f(x+1)=f(1−x)中，令x=2可得f(3)=f(−1)，结合函数的奇偶性与解析式可得f(−1)的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：过函数y=lnx的图象上点P(x0,y0)作切线，使得此切线与直线y=x+a平行，又y′=1x ，于是1x0=1，则x0=1，y0=0，∴P(1,0)，当点P到直线y=x+a的距离为√2时，则满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，∴d=√1+1=√2，解得a=1或a=−3，又当a=1时，函数y=lnx的图象与直线y=x+1没有交点，只有两个点到直线距离为√2，所以不满足条件，故a=−3．故选：B．要满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y=lnx的图象相交，而且点P 在函数y=lnx的图象上满足在直线一侧有一个点到直线距离为√2，另外一侧两个点到直线距离为√2，于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点，进一步求出实数a的值．本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的转化能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示；则f(x)=Acosωx；其中A=89.52≈45，T=552+190+190=932≈900，若按100：1的比例缩小，则A′=0.45，T′=9，ω=2πT′≈2×39=23，所以函数y=0.45cos23x.故选：A．由题意建立平面直角坐标系，设f(x)=Acosωx，求出A、T的值，再按100：1的比例缩小，求出函数y的解析式．本题考查了余弦函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由题意可知双曲线的图形如图；F1，F2为双曲线C的左、右焦点，|PF2|=2b，则|PF1|=2a+2b，Q到直线PF1，PF2的垂足分别为：N，M，Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，可得：MQ=QN，设∠PF2O=θ，所以P的纵坐标：2bsinθ，QM=(c−a2)sinθ，△PF1F2的面积为：12(2a+2b+2b)×(c−a2)sinθ=12×2c×2bsinθ，化简可得：a+2b=2c，即2b=2c−a，所以4(c2−a2)=(2c−a)2，化简可得5a=4c，可得离心率为：e=ac =54．故选：D．画出图形，利用双曲线的定义，结合距离相等，三角形的面积关系．列出方程求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，中档题．13.【答案】3【解析】解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z=2x+3y，得y=−23x+13z，平移直线y=−23x+13z，由图象可知当直线y=−23x+13z经过点B(0,1)时，直线y=−23x+13z的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=2×0+3×1=3，故答案为：3．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14.【答案】√32【解析】解：由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=2×2×√7=2√7 则sinB =√1−cos 2B =√32√7， ∴BC 边上的高为csinB =√7√32√7=√32， 故答案为：√32．先由余弦定理求出cos B ，再根据同角的三角形函数的关系求出sin B ，即可求出BC 边上的高． 本题考查了余弦定理，和同角的三角函数关系，以及解直角三角形，属于基础题． 15.【答案】21π【解析】解：由已知图形可知，粮仓是一个组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为3，高为1， 圆柱的底面半径为3，高为2．则该粮仓的体积V =13π×32×1+π×32×2=21π．故答案为：21π．由已知图形可知，粮仓是一个组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为3，高为1，圆柱的底面半径为3，高为2.分别求出圆锥与圆柱的体积，作和得答案． 本题考查圆锥与圆柱体积公式的应用，是基础的计算题．16.【答案】34[245,5)【解析】解：f(x)=4sinx +3cosx =5sin(x +θ)，其中sinθ=35，cosθ=45， 则其向右平移α后f(x)=5sin(x +θ−α)，因为此时函数为奇函数，故f(0)=5sin(θ−α)=0，则θ−α=2kπ或θ−α=π+2kπ，即α=θ−2kπ或α=θ−π−2kπ，k ∈Z ， 因为0<α<π，故只能α=θ，即此时有sinα=sinθ=35，cosα=cosθ=45， 所以tanα=3545=34；方程f(x)−m =0在[α,π]上恰有两个不等的根等价于函数f(x)与y =m 在[α,π]图象有2个不同的交点， 作出函数f(x)的图象如下：由图可得m∈[245,5)．根据平移后函数为奇函数，结合α得范围可得sinα=sinθ=35，cosα=cosθ=45；方程有不等两根等价于函数f(x)与y=m图象有2个交点，数形结合即可．本题考查三角函数相关性质，考查方程根与图象交点个数之间的转化，涉及数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)若公比q=1，2a1+16a1=6a1，不成立；则q≠1，a1(1−q 2)1−q +4a1(1−q4)1−q=a1(1−q6)1−q，由于{a n}为正项等比数列，1−q2≠0，所以1+4(1+q2)=1+q2+q4，即q4−3q2−4=0，解得q2=4，即q=2，所以a n=2n−1，n∈N∗；(2)T n=(1+2+⋯+2n−1)+(1+2+⋯+n)=2n−1+n(n+1)2．【解析】(1)首先判断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；(2)可得a n+n=2n−1+n，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意得：{27+a +b +4=4630+a +c +4=4918+b +c +4=34，解得：{a =9c =6b =6．(2)记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A 组， “同时观看了《机长》和《攀登者》”为B 组， “同时观看《祖国》和《攀登者》“为C 组， ∴按分层抽样，A ，B ，C 组人数分别为3，2，2， 在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人， 设这七个人分别为A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2， 则还会继续观看第三部的2人可能是：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3B ， 1B 2C 1，C 2A 1，B 1A 1，B 2A 2B ， 1A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 1C 1， A 2C 1，A 3C 1，A 1C 2，A 2C 2，A 3C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共21种， 则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有B 1B 2一种， ∴这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率是p =121．【解析】(1)由题意列出方程组，能求出a ，b ，c ．(2)记“同时观看了《机长》和《祖国》”的为A 组，“同时观看了《机长》和《攀登者》”为B 组，“同时观看《祖国》和《攀登者》“为C 组，按分层抽样，A ，B ，C 组人数分别为3，2，2，在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，设这七个人分别为A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2，利用列举法能求出这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型、统计图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)证明：取AB 1中点E ，连接DE ，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1， 由于三棱柱ABC −A 1B 1C 1是正棱柱，故CC 1⊥面A 1B 1C 1，从而CC 1⊥FC 1， 由于D 为CC 1中点，CC 1⊥AC ，CC 1⊥B 1C 1，所以AD =√22+CD 2,B 1D =√22+C 1D 2AD =B 1D ，则由三线合一性DE ⊥AB 1①， 因为E ，F 分别为AB 1，A 1B 1中点，所以EF//=12AA 1//=DC 1，则四边形EFC 1D 为平行四边形从而DE//FC 1，由于是正棱柱，CC 1⊥面A 1B 1C 1，从而CC 1⊥FC 1，则CC 1⊥DE②， 综合①②可知，DE ⊥面ABB 1A 1，而DE ⊂面ADB 1， 所以平面ADB 1⊥平面ABB 1A 1．(2)解：由DE ⊥面AA 1B 1B 知AD 与平面ABB 1A 1所成角即为∠EAD =π4， 而DE =FC 1=√3，则AD =√6=√4+CD 2，所以CD =√2,CC 1=2√2，所以S BCDB 1=(√2+2√2)⋅12⋅2=3√2，S BCB 1=2√2⋅12⋅2=2√2， 则V A−BCDB 1VA−BCB 1=32，而V A−BCB 1=V C−ABB 1=13S ABB 1⋅CF 1=13⋅2⋅2√2⋅12⋅√3=23√6， 所以四棱锥A −BCDB 1的体积为V A−BCDB 1=23√6⋅32=√6．【解析】(1)取AB 1中点E ，连接DE ，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC 1，推导出CC 1⊥FC 1，CC 1⊥AC ，CC 1⊥B 1C 1，DE ⊥AB 1，CC 1⊥FC 1，CC 1⊥DE ，从而DE ⊥面ABB 1A 1，由此能证明平面ADB 1⊥平面ABB 1A 1． (2)由DE ⊥面AA 1B 1B 知AD 与平面ABB 1A 1所成角即为∠EAD =π4，推导出V A−BCDB 1VA−BCB 1=32，V A−BCB 1=V C−ABB 1=13S ABB 1⋅CF 1，由此能求出四棱锥A −BCDB 1的体积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由于两圆有两个公共点，则圆心距小于半径之和， 即a 2+9<(4√2)2，解得a ∈(−√23,√23)，两圆相减得公共弦直线AB ：−6y +9=−2ax +a 2， 过原点得，a 2=9，a =±3，检验成立；(2)直线AB ：−6y +9=−2ax +a 2交x 轴，得x Q =12(a −9a )， 则|PQ|=|12(a −9a )−a|=12|a +9a |，S △PQC =12|PQ|⋅3=32|a +9a |≥9 在a =±3时取得最小值，满足a ∈(−√23,√23)，成立，此时直线AB ：y =±x ，圆心到直线距离为√2，弦长为2√8−(√2)2=√14．【解析】(1)根据两圆相交可得圆心距<半径之和，进而求出a 的范围，再代入原点坐标，可得a 的值； (2)表示出点Q 坐标，|PQ|长度，面积表达式，根据弦长公式可求得|AB| 本题考查圆与圆的位置关系，考查相交弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：(1)设切点横坐标为t ，f′(t)=−t +1+sint =1，sint −t =0， 令g(x)=sinx −x ，g′(x)=cosx −1≤0，所以g(x)恒单减，而g(0)=0， 所以t =0，从而f(0)=0得k =−1．(2)由题意，要使得−12x 2+x −cosx >k 有解，即求ℎ(x)=−12x 2+x −cosx 的最大值， ℎ′(x)=−x +1+sinx ，ℎ′′(x)=−1+cosx ≤0， 从而ℎ′(x)单减，而ℎ′(π2)=2−π2>0,ℎ′(2π3)=1+√32−2π3<2−2π3<0所以ℎ′(x)在(π2,2π3)有唯一零点x 0，所以ℎ(x)在(−∞,x 0)单增，(x 0,+∞)单减，则ℎ(x)≤ℎ(x 0)=−12x 02+x 0−cosx 0，而ℎ′(x 0)=−x 0+1+sinx 0=0， 所以ℎ(x 0)=−12(1+sinx 0)2+1+sinx 0−cosx 0=−12[1+(sinx 0)2]+1−cosx 0=−12[2−cos 2x 0]+1−cosx 0=12cos 2x 0−cosx 0，由于x 0∈(π2,2π3),cosx 0∈(−12,0)，ℎ(x 0)=12(cosx 0−1)2−12∈(0,34)，所以整数k 最大值为0．【解析】(1)只需令切点处的导数为1，然后结合导数的单调性，确定导数零点的唯一性；(2)分离整数k ，然后利用导数研究函数ℎ(x)=−12x 2+x −cosx 的单调性、零点情况，最终解决问题． 本题研究导数的几何意义及综合应用，通过导数研究函数的单调性，进而研究函数的相关性质，是此类问题的基本路子，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =2√33+tsinα(t 为参数).转换为直线l 的普通方程为：sinα⋅x =cosα(y −2√33)；曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=4(y ≥0) 直线l 为过(0,23√3)，倾斜角为α的直线， 由于直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．所以：当直线的倾斜角的范围在α∈[0,π6]∪[5π6,π)时，直线与曲线有两个交点． (2)直线l 代入曲线C ：t 2+43√3sinα⋅t +43=0,t P =t 1+t 22=−23√3sinα，代入得到中点P 轨迹的参数方程：{x =−2√33sinαcosαy =2√33−2√33sin 2α(α为参数，a ∈[0,π6]∪[5π6,π)).【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)liy9ong 直线和曲线的位置关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】证明：(1)∵x ≥−1，∴x +1≥0． 又对于任意x ≥−1，不等式(1+x)3≥1+3x 成立，∴(1+x)4=(1+x)3(1+x)≥(1+3x)(1+x)=1+4x +3x 2≥1+4x ， 即(1+x)4≥1+4x ；(2)欲证(a +b)4≥a 4+4a 3b ， 只需(a+b a)4≥1+4a 3b a 4，即证(1+b a )4≥1+4⋅ba∵a ，b >0，∴ba >0>−1，由(1)知取x =ba 时上式成立，从而原不等式得证．【解析】(1)由x ≥−1，得x +1≥0，结合已知等式再由不等式的可乘积性，即可证明(1+x)4≥1+4x ； (2)欲证(a +b)4≥a 4+4a 3b ，即证(1+ba )4≥1+4⋅ba ，再由ba >−1，结合(1)得结论．本题考查不等式的证明，训练了利用分析法与综合法证明不等式，考查推理论证能力，是中档题．。

2022年重庆市南开中学高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{x |x ﹣6≤0}，B ＝{x |x ＜2}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[2，6]B ．（﹣∞，2]C ．（2，6]D ．[6，+∞）2．（5分）已知命题P ：“∃x ∈[12，4]，x 2−ax +4＞0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜4B ．a ＜172C ．a ＜133D ．a ＞53．（5分）已知tan(θ+π4)=−3，则sin2θ＝（ ） A ．45B ．−45C ．35D ．−354．（5分）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5，6），（3，﹣4），则这个圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2+4x ﹣2y +7＝0 B ．x 2+y 2﹣8x ﹣2y ﹣9＝0 C ．x 2+y 2+8x +2y ﹣6＝0D ．x 2+y 2﹣4x +2y ﹣5＝05．（5分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．78B ．−78C ．−725D ．7256．（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，……，则下列选项不正确的是（ ）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第n （n ≥5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有2n+1−(−1)n4个数D ．在第11条斜线上，最大的数是C 737．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝3，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形A 1BD 内有一动点P （包括边界），则|P A |+|PE |的最小值是（ ） A ．2B ．2√2C ．3D ．3√38．（5分）已知函数f(x)=e xx 4−klnx ，当x ＞1时，不等式f （x ）≥x +1恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣e ]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，﹣e 2]D ．（﹣∞，0]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆南开中学高2020级一诊模拟考试数学试题卷(文史类)考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分l50分， 考试时间l20分钟．答题前，务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚；选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，字迹清楚；请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿 纸、试题卷上答题无效；保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+-=Z x x x x A ，211的子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知R m ∈，复数i im ++1的实部和虚部相等，则m 的值为( )A ．21B ．0C ．1D ．1-3．下列命题的否定为假命题的是( )A ．0222≤+-∈∃x x R x ， B ．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C ．样本的中位数一定在样本中D ．线性回归直线一定经过样本中心点()y x ，4．某工厂从2020件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2020件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率( )A ．均不相等B ．都相等，且为40320C ．不全相等D ．都相等，且为2015．将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 2πx y 的图象向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．3π-=x B ．6π-=x C ．6π=x D ．3π=x6．执行如图所示的程序框图，若输10=n ，则输出的=S ( )A ．115B ．1110C ．5536D ．55727．已知圆014222=++-+y x y x C ：，在区间[]64，-上任取整数m ，则直线0=++m y x l ：与圆C 相交所得ABC ∆为钝角三角形(其中B A 、为交点，C 为圆心)的概率为( )A ．52B ．112C ．113D ．1148．已知ABC ∆满足OAB ，4=是ABC ∆所在平面内一点，满足222OC OB OA ==，且R AC OB OA ∈=+λλ，，则BA BO •= ( )A ．28B ．8C ．24D ．49．已知实数y x ，满足可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+09301033y x y x y x D ：，曲线5=+-+Γa y x ：，恰好平分可行域D的面积，则a 的值为( )A ．4-B ．24-C ．6-D ．8-10．已知实数d ，6，c ，d 满足12ln 22=--=c dd b a ，则()()22d b c a -+-的最小值为( )A ．12-B ．22-C ．223-D ．221-第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年重庆南开中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，把的图象按平移后得到的函数图象，则函数的对称中心坐标为（）A. B.C. D.参考答案：答案:B2. （5分）（2015?钦州模拟）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可．解：1、2、3、4、5大小相同的5个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故选：D．【点评】：本题考查了条件概率的求法，属于基础题．3. 已知集合，，则=（）A．{0,1,2} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{2,3}参考答案：B4. 如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是( )A．i≤7B．i>7 C．i≤9D．i>9参考答案：B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S＝720，则应是10×9×8＝720，所以i＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．5. 设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 已知集合，.则（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 下列各对向量中，共线的是（）A.a=（2,3），b=（3，-2）B.a=（2,3）,b=（4，-6）C.a=（，-1），b=（1，)D.a=(1,),b=(,2)参考答案：D略8. 位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修门，则恰有人选修课程甲的概率是A. B. C.D.参考答案：A9. 在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值等于参考答案：答案：10. 设集合，，若，则（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 己知是虚数单位,若，则__________.参考答案：2+i12. 函数f（x）=的定义域是．参考答案：（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，解得﹣＜x＜2；∴函数f（x）的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．13. 若，则的最大值▲。