2016高考数学大二轮总复习与增分策略专题二 函数与导数 第3讲

第1讲函数的图象与性质1．(2015·天津）已知定义在R上的函数f（x）＝2｜x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53),b＝(log25),c＝f(2m），则a，b，c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a2．（2014·福建）若函数y＝log a x（a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是（）3．（2015·课标全国Ⅱ）设函数f（x）＝错误!则f(－2）＋f（log212)等于( ）A．3 B．6 C．9 D．124．（2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f（x)在[0，＋∞)单调递减，f(2）＝0.若f(x－1)〉0,则x的取值范围是_________________________．1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2。

对图象的考查主要有两个方面：一是识图,二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题。

3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大。

热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f（a＋x）＝f(x）(a不等于0），则其一个周期T＝｜a|.例1 （1)设奇函数y＝f(x) (x∈R），满足对任意t∈R都有f(t）＝f （1－t),且x∈错误!时，f（x)＝－x2，则f(3）＋f错误!的值等于________．（2）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,＋∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f（log12a)≤2f（1），则a的取值范围是________．思维升华(1）可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)〈f（x2）的形式．跟踪演练1 (1)已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f（x－1)＝f（x＋1)成立,当x∈[－1，0］时，f（x)＝2x－1，则f(2 017）＝________。

高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

第3讲 导数及其应用1．(2015·)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数2．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)3．(2014·)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]4．(2013·)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．61.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型.热点一 导数的几何意义1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________________________________________________________________________. (2)(2015·市质量诊断)设函数f (x )＝ax 3＋3x ，其图象在点(1，f (1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．1 B ．3 C ．9D ．12思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________． 热点二 利用导数研究函数的单调性1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性．例2 (2015·)设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值围．思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 (1)函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值围是________．热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 设函数f (x )＝px －p x－2ln x ，g (x )＝2ex，其中p >0.(1)若f (x )在其定义域是单调增函数，数p 的取值围；(2)若在[1，e]上存在点x 0，使得f (x 0)>g (x 0)成立，数p 的取值围； (3)若在[1，e]上存在点x 1，x 2，使得f (x 1)>g (x 2)成立，数p 的取值围．思维升华 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值； (2)若f (x )<0在定义域恒成立，数a 的取值围．1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－233．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于________． 4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值围是__________．提醒：完成作业 专题二 第3讲二轮专题强化练专题二第3讲 导数及其应用A 组 专题通关1.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )2．(2015·第一次检测)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．(2015·)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －14．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]5．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2015·)函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________．7．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值围是________． 8．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________．9．(2015·)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性．10．已知函数f (x )＝x 28－ln x ，x ∈[1,3]．(1)求f (x )的最大值与最小值；(2)若f (x )<4－at 对任意的x ∈[1,3]，t ∈[0,2]恒成立，数a 的取值围．B 组 能力提高11．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3D ．012．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值围为________． 13．设函数f (x )＝a e x(x ＋1)(其中，e ＝2.718 28…)，g (x )＝x 2＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值； (3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，数k 的取值围．学生用书答案精析第3讲 导数及其应用 高考真题体验1．A [易知函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．故选A.] 2．B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)， 则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，23)时，f ′(x )<0；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f (23)＝59>0，则f (x )的大致图象如图1所示．不符合题意，排除A 、C.图1当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈(－∞，－32)时，f ′(x )<0，x ∈(－32，0)时， f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f (－32)＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示．不符合题意，排除D.图2]3．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝2x －4x 3－x 2－4x －33x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－x －9x ＋1x4>0， ∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6. 当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－x －9x ＋1x4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0. ∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值， 即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.]4．A [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ；由已知x 1，x 2是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的不同两根， 当f (x 1)＝x 1<x 2时，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点． 即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．] 热点分类突破 例1 (1)1 (2)B解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. (1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)． 将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )，解得a ＝1.(2)f ′(x )＝3ax 2＋3，由题设得f ′(1)＝－6，所以3a ＋3＝－6，a ＝－3.所以f (x )＝－3x3＋3x ，f (1)＝0，切线l 的方程为y －0＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋6.所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×1×6＝3.选B.跟踪演练1 4解析 设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA＝－x 0y 0，又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 30， 又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32，代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.例2 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝6x ＋ae x－3x 2＋ax e x e x 2＝－3x 2＋6－a x ＋aex， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋6－a x ＋aex. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， 故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.跟踪演练2 (1)B (2)(－19，＋∞)解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值围是(－19，＋∞)．例3 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ＝px 2－2x ＋px 2.由条件知f ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立， 即p ≥2xx 2＋1恒成立． 而2x x 2＋1≤2x 2·x ·1＝1，当x ＝1时等号成立，即2xx 2＋1的最大值为1， 所以p ≥1，即实数p 的取值围是[1，＋∞)． (2)设h (x )＝f (x )－g (x )，则已知等价于h (x )>0在[1，e]上有解，即等价于h (x )在[1，e]上的最大值大于0.因为h ′(x )＝p ＋p x2－2x＋2e x2＝px 2＋p ＋2e －x x 2>0，所以h (x )在[1，e]上是增函数， 所以h (x )max ＝h (e)＝p e －pe－4>0，解得p >4e e 2－1. 所以实数p 的取值围是(4e e 2－1，＋∞)． (3)已知条件等价于f (x )max >g (x )min .当p ≥1时，由(1)知f (x )在[1，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝p e －pe－2. 当0<p <1时，令f ′(x )＝0，得x ＝1±1－p 2p， 可知f (x )在(1，1＋1－p 2p )上是减函数，在(1＋1－p 2p，e)上是增函数． 若f (x )max ＝f (1)＝0，由于g (x )min ＝2，所以此时无解．所以f (x )max ＝f (e)＝p e －p e－2>0. 综上可知，应用p e －pe－2>2， 解得p >4e e 2－1. 所以实数p 的取值围是(4e e 2－1，＋∞)． 跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1. 经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1.(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域不满足f (x )<0；当a >0时，令f ′(x )＝2ax ＋1－ax ＋1x ＝0，得 x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a， 所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，1a ) 1a (1a，＋∞)f ′(x )＋ 0 － f (x )极大值 所以f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a<0， 所以a >1.综上可得a 的取值围是(1，＋∞)．高考押题精练1．C [y ＝f (x )＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率k ＝f ′(x 0)＝1x 0.∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.] 2．A [由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.] 3．2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 4.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1x ＋12>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1， 即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x能成立，令h (x )＝x 2＋52x， 则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在x ∈[1,2]上单调递减， 所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.二轮专题强化练答案精析第3讲 导数及其应用1．C [根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.]2．C [f ′(x )＝1－ln x x 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.]3．C [∵导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1， ∴f ′(x )－k ＞0，k －1＞0，1k －1＞0，可构造函数g (x )＝f (x )－kx ，可得g ′(x )＞0， 故g (x )在R 上为增函数，∵f (0)＝－1， ∴g (0)＝－1，∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＞－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴选项C 错误，故选C.] 4．C [f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，当f (x )在[1,3]上单调递减时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1≤0，f ′3≤0得a ≤－3；当f (x )在[1,3]上单调递增时，f ′(x )≥0恒成立，则有Δ＝4a 2－4×5≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－a <1f ′1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－a >3，f ′3≥0，得a ∈[－5，＋∞)．综上a 的取值围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C.]5．A [令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，∴f (x )在[12，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴[f (x )]min ＝f (1)＝0，∴a ≤0.]6．y ＝－1e解析 设y ＝f (x )＝x e x ，令y ′＝e x ＋x e x ＝e x(1＋x )＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，y ′＜0；当x ＞－1时，y ′＞0，故x ＝－1为函数f (x )的极值点，切线斜率为0，又f (－1)＝－e －1＝－1e ，故切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，切线方程为y ＋1e ＝0(x ＋1)，即y ＝－1e .7．a ≤12解析 f ′(x )＝ax ＋1′x ＋2－x ＋2′ax ＋1x ＋22 ＝a x ＋2－ax ＋1x ＋22＝2a －1x ＋22，令f ′(x )≤0，即2a －1≤0，解得a ≤12. 8．1 解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1. 9．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4.当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)为增函数．10．解 (1)∵函数f (x )＝x 28－ln x ， ∴f ′(x )＝x 4－1x， 令f ′(x )＝0得x ＝±2，∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2； 又f (1)＝18，f (3)＝98－ln 3， ∵ln 3>1，∴18－(98－ln 3)＝ln 3－1>0， ∴f (1)>f (3)，∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为12－ln 2. (2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤18， 故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <318恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g0<318，g 2<318，解得a <3116， ∴实数a 的取值围是(－∞，3116)． 11．A [因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.]12．(0，12) 解析 f ′(x )＝ln x ＋1－2ax (a >0)，问题转化为a ＝ln x ＋12x在(0，＋∞)上有两个实数解． 设g (x )＝ln x ＋12x ，则g ′(x )＝－ln x 2x2. 所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g (x )在x ＝1处取得极大值也是最大值，即g (x )max ＝g (1)＝12. 注意g (1e)＝0，当x >1时，g (x )>0， 则g (x )的大致图象如图所示．由图象易知0<a <12时，a ＝ln x ＋12x在(0，＋∞)上有两个实数解． 13．解 (1)f ′(x )＝a e x (x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b .由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线．∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2＋4x ＋2.(2)由(1)知f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2e －2－3<t <－2，2e t t ＋1t ≥－2. (3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0.∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1k， ∴x >ln 1k； 由F ′(x )<0得x <ln 1k， ∴F (x )在(－∞，ln 1k)单调递减， 在[ln 1k，＋∞)单调递增． ①当ln 1k<－2， 即k >e 2时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增， F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e 2(e 2－k )<0，不满足F (x )min ≥0.②当ln 1k＝－2，即k ＝e 2时，由①知， F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k，＋∞)单调递增． F (x )min ＝F (ln 1k)＝ln k (2－ln k )>0， 满足F (x )min ≥0.综上所述，满足题意的k 的取值围为[1，e 2]．。

第2讲 函数的应用1．(2016·天津)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0，x ∈R )．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 答案 D解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4.因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，所以πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4 (k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0<ω≤18或14≤ω≤58.2．(2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log ax ＋1＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧02＋4a －3·0＋3a ≥f 0＝1，3－4a2≥0，⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.3．(2016·山东)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 答案 (3，＋∞) 解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3. 4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案33解析 由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33.1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)已知实数a >1,0<b <1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 (1)B (2)A解析 (1)因为a >1,0<b <1，f (x )＝a x＋x －b ，所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点． (2)当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,10)(2)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵f (2)＝lg 2－12<0，f (3)＝lg 3－13>0，∴f (2)f (3)<0，故f (x )的零点在区间(2,3)内．(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点即2x|log 0.5x |－1＝0的解，即|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解，作出函数g (x )＝|log 0.5x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1有2个零点．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)答案 D解析 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同的交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．①若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；②确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 ①∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e(x >0)，当且仅当x ＝e 2x时取等号，∴当x ＝e 时，g (x )有最小值2e.∴g (x )＝m 有零点，只需m ≥2e.∴当m ∈[2e，＋∞)时，g (x )＝m 有零点．②若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，则函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点． 如图，作出函数g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其对称轴为x ＝e ，f (x )max ＝m －1＋e 2.若函数f (x )与g (x )的图象有两个交点，则m －1＋e 2>2e ，即当m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；(2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_________________． (2)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (1)(－∞，2ln 2－2] (2)(0,2)解析 (1)f ′(x )＝e x－2，当x ∈(－∞，ln 2)时，f ′(x )<0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (ln 2)＝2－2ln 2＋a .由于2()e 0,2aaf =>所以f (x )有零点当且仅当2－2ln 2＋a ≤0，所以a ≤2ln 2－2.(2)将函数f (x )＝|2x－2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x－2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解．由f (x )＝|2x－2|－b ＝0， 得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示．则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20<x <180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值． 解 (1)当20<x <180时， 由⎩⎨⎧a －b ·20＝60，a －b ·180＝0，得⎩⎨⎧a ＝90，b ＝3 5.故q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35·x ，20<x <180，0，x ≥180.(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，由(1)得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000xx ＋1，0<x ≤20，9 000x －3005·x x ，20<x <180，0，x ≥180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000. 当x >180时，f (x )＝0.答 当x 等于80元时，总利润取得最大值240 000元．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 (1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为( ) A ．3 000元 B ．3 800元 C ．3 818元D ．5 600元(2)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元． 答案 (1)B (2)4 050解析 (1)假设个人稿费为x 元，所缴纳税费为y 元，由已知条件可知y 为x 的函数，且满足y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，y ＝0，0.14x －800，800<x ≤4 000，y ∈0，448]，0.11x ，x >4 000，y ∈440，＋∞，共纳税420元，所以有0.14(x －800)＝420⇒x ＝3 800，故选B.(2)设每辆车的月租金为x (x >3 000)元，则租赁公司月收益为y ＝(100－x －3 00050)·(x －150)－x －3 00050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.所以当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元.1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 B解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．(－2,2]D ．[－1,2)押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 D解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )． 再借助数轴，可得－1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[－1,2)，故选D.3．函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)押题依据 确定图象交点横坐标的范围和函数零点存在性定理相结合，本题转化思想应用灵活． 答案 B解析 令f (x )＝ln(x ＋1)－1x ，因为f (2)＝ln 3－12>0，f (1)＝ln 2－1<0，又函数f (x )在(1,2)上的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f (x )在区间(1,2)内有零点，此零点即函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标．4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点． 答案 20 解析 如图，过A 作AH ⊥BC 交于点H ，交DE 于点F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x ，则S ＝x (40－x )≤(402)2，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号，所以满足题意的边长x 为20 m.A 组 专题通关1．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间是(e≈2.718 28)( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)答案 A解析 ∵f (x )＝e x＋x －2，∴f (0)＝1－2＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0， ∴f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，∴函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个答案 B解析 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点的存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2. 所以已知函数有2个零点．故选C.4．若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a 等于( ) A.32或－32 B ．－32C.32D ．以上都不对答案 C解析 令|x |＝t ，原函数的零点有且只有一个，即方程t 2＋2at ＋4a 2－3＝0只有一个0根或一个0根、一个负根，∴4a 2－3＝0，解得a ＝32或－32，经检验，a ＝32满足题意．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|x ≠1，1 x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于( )A ．13 B.2b 2＋2b2C ．5 D.3c 2＋2c2答案 C解析 作出f (x )的图象，如图所示．由图象知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根；∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3， ∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0， 故可得x 21＋x 22＋x 23＝5，故选C.6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 A解析 因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝(12)|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－(12)|x |在区间[－3,3]上的零点的个数为5，故选A.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.8．我们把形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1.在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．9．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案 4解析 因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2>0.02，又由x >1，得35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤150，得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤130，所以x ≥4. 故至少要过4小时后才能开车．10．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.①当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；②当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大； 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．B 组 能力提高11．设定义在R 上的函数f (x )满足： (1)对任意的实数x ，都有f (－x )－f (x )＝0； (2)对任意的实数x ，都有f (x ＋π)＋f (x )＝1； (3)当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；(4)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)．则方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上的根的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由(1)知，函数f (x )为偶函数； 由(2)知，f (x ＋π)＝1－f (x )，故f (x ＋2π)＝1－f (x ＋π)＝1－[1－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是周期函数，其周期为2π.由(3)知，函数f (x )的图象在y ＝0与y ＝1之间．由(4)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )>0， 故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增．综上，当x ∈[0，π]时，f (x )＝|1－2πx |，画出函数f (x )和y ＝|sin x |在[－2π，2π]上的图象，如图所示，两函数在[－2π，2π]上共有8个交点，所以方程f (x )＝|sin x |在[－2π，2π]上共有8个零点，故选C.12．(2015·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 根据图象所给数据，逐个验证选项．根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．13．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是__________． 答案 (1515，33) 解析 因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是偶函数，所以f (x －1)＝f (1＋x )，即有f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期为2的函数．由y ＝2x －x 2，得x 2－2x ＋y 2＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，画出函数f (x )和直线y ＝k (x ＋1)的示意图．因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，所以根据示意图易知，1515<k <33. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0，若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为______．答案 (1,2)解析 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝a |x |的图象，由图知，当a<0时，函数y＝f(x)与y＝a|x|无交点；当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点，故a>0.当x>0，a≥2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有一个交点；当x>0,0<a<2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0时，若y＝－ax与y＝－x2－5x－4(－4<x<－1)相切，则由Δ＝0得a＝1或a＝9(舍)．因此当x<0，a>1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0，a＝1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点；当x<0,0<a<1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有四个交点．所以当且仅当1<a<2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|恰有4个零点．。

第1讲 函数的图象与性质1．(2016·课标全国乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.2．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D解析 当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.3．(2016·上海)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D解析 ①不成立，可举反例，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，－x ＋3，x >1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x <1，2x ，x ≥1，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，2x ，x >0.②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )，f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )，g (x )＋h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )，前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )， 结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )， 也有f (x )＝f (x ＋T )． ∴②正确．故选D.4．(2016·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2.所以a ＜－1.1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |.常见结论：(1)f (x ＋a )＝－f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0) (2)f (x ＋a )＝1f x⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0)(3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b2对称．例1 (1)已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( )A.14≤m <2 B.14≤m ≤2 C ．2<m ≤4D ．2≤m ≤4(2)(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案 (1)A (2)－25解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4m ＋2≤2，log 2m <log4m ＋2，m >0，m ＋2>0，解－2≤log 2m ≤2，得14≤m ≤4；解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得116≤m ＋2≤16， 即－3116≤m ≤14.由log 2m <log 4(m ＋2)，得log 4m 2<log 4(m ＋2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，m ＋2>0，m 2<m ＋2，解得－1<m <2，且m ≠0.综上可知，m 的取值范围是14≤m <2，故选A.(2)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1， 其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 (1)－2 (2)－10解析 (1)因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 121()42,2f == 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2(1)函数y ＝sin 2x2x ＋2－x 的图象大致为( )(2)已知函数f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )．在同一直角坐标系中，函数f ′(x )与g (x )的图象不可能的是( )答案 (1)A (2)B解析 (1)首先根据函数表达式可知y ＝sin 2x2x ＋2－x 为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (0)＝0，排除C ，D ；当x ＝1100时，111001002sin 100022->+，显然排除B ，故选A. (2)因为f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，所以f ′(x )＝ax 2－x ＋a2，若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>12，又a <0，所以a <－22.二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝12a ；三次函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a ， 令g ′(x )>0，得x <1a 或x >13a ，令g ′(x )<0，得1a <x <13a，所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝13a ；由B 中的图象知13a <12a .但a <－22，所以13a >12a ，所以选项B 的图象是错误的，故选B.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )答案(1)D (2)B解析 (1)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D.(2)因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A 、D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C ，选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2015·山东)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a(2)若函数212log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)C (2)C解析 (1)根据指数函数y ＝0.6x在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x 在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b ＜a ＜c .(2)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 故选C.方法二 对a 分类讨论：当a >0时，212log log a a >Q ，∴a >1.当a <0时，122log ()log ()a a >Q －－，∴0<－a <1，∴－1<a <0，故选C.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练 3 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2f (ln 2)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b答案 (1)D (2)C解析 (1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．(2)构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，所以函数y ＝g (x )在(－∞，0)上单调递减．因为函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，所以y ＝f (x )是奇函数，由此可知函数y ＝g (x )是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln 2<20.2<2，所以c >a >b .1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 B解析 因为y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除．方法一 如果注意到y ＝log a (－x )的图象和函数y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，则可直接选定B.方法二 首先，曲线y ＝a x只可能在x 轴上方，y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.故选C.3．已知函数f (x )＝1lnx ＋1－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1， 当－1<x <0时，g ′(x )>0； 当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解：f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0，排除C ，D ，选B. 4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝(12)xD ．f (x )＝3x答案 D解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12， 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 不满足题意．f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，B 不满足题意．f (x )＝(12)x ，f (x ＋y )＝(12)x ＋y ＝(12)x ·(12)y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝(12)x 不是增函数，C 不满足题意．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，D 满足题意．3．函数f (x )＝x ＋cos x 的大致图象是( )答案 B解析 ∵f (x )＝x ＋cos x ，∴f (－x )＝－x ＋cos x ， ∴f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )， 故函数f (x )是非奇非偶函数，排除A 、C ； 当x ＝π2时，x ＋cos x ＝π2＝x ，即f (x )的图象与直线y ＝x 的交点中有一个点的横坐标为π2，排除D.故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1 的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12，故选C.5．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 答案 A解析 函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1单调递减，所以由43<32<53，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53. 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选A. 6．(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝－sgn x C ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故B 正确． 7．(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.8．给出下列四个函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x . 当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22恒成立的函数的序号是________．答案 ②④解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－ax －a x <1，log a x x ≥1在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a －a ≤log a 1，解得32≤a <3.10．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a ＋12－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －12≤0.∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．B 组 能力提高11．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f x 1－f x 2x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．(－∞，3] D ．(0,3]答案 C解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．12.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x )，则y＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时，O 1P →＝O 2P →－O 2O 1→，设O 2P →与O 2O 1—→的夹角为θ，|O 2P →|＝1，|O 2O 1—→|＝2，所以θ＝x －π，所以y ＝|O 1P →|2＝(O 2P →－O 2O 1—→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →，OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，所以α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P →|2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.13．(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2，此时m ＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m ，故选B.方法二 由题设得12[f (x )＋f (－x )]＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))，关于点(0,1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0,1)对称．则∑i ＝1m(x i ，y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x； ②f (x )＝ln 5－x5＋x ；③f (x )＝tan x2；④f (x )＝4x 3＋x .答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan－x2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．。

第2讲函数的应用1．(2014·北京）已知函数f（x)＝6x－log2x,在下列区间中，包含f（x)零点的区间是（）A．(0，1) B．(1,2)C．(2,4) D．（4,＋∞)2．(2015·天津)已知函数f（x)＝错误!函数g(x)＝3－f(2－x），则函数y＝f(x)－g(x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·四川）某食品的保鲜时间y(单位:小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx＋b（e＝2。

718…为自然对数的底数,k,b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．4．（2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位:辆/时）与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位：米/秒)，平均车长l(单位：米）的值有关，其公式为F＝错误!。

（1)如果不限定车型,l＝6。

05,则最大车流量为________辆/时；(2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加________辆/时．1。

函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现。

2。

函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题．热点一函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f（a)·f(b）<0，那么，函数y＝f（x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈(a，b）使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F（x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x）的根，即函数y＝f （x)的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标．例1 (1)(2015·黄冈中学期中）函数f(x）＝lg x－错误!的零点所在的区间是（）A．（0,1) B．（1,2）C．(2,3）D．(3,10)(2）已知函数f（x）＝e x＋x，g(x）＝ln x＋x，h（x)＝ln x－1的零点依次为a,b,c，则( ）A．a<b<c B．c<b<aC．c<a〈b D．b<a〈c思维升华函数零点(即方程的根）的确定问题，常见的有（1)函数零点值大致存在区间的确定;（2）零点个数的确定；(3）两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．跟踪演练1 (1）函数f（x)＝x2－2x在x∈R上的零点的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3（2）设x1，x2是方程ln｜x－2｜＝m（m为实常数）的两根，则x1＋x2的值为( ）A．4 B．2C．－4 D．与m有关热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 （1)对任意实数a，b定义运算“⊗"：a⊗b＝错误!设f(x）＝(x2－1)⊗（4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点,则k的取值范围是( )A．(－2，1) B．［0，1］C．[－2，0) D．[－2,1)(2）已知函数f（x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R都有f （x＋2）＝f（x）．当0≤x≤1时，f（x）＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f（x）的图象在[0,2］内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )A．0 B．0或－错误!C．－错误!或－错误!D．0或－错误!思维升华(1）f（x）＝g（x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g（x）图象交点的个数；(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x）的值域．跟踪演练2 （1)（2015·兰州第一中学期中）若函数f(x)＝m＋log2x （x≥1）存在零点，则实数m的取值范围是（）A．（－∞，0］B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．（0，＋∞)(2）（2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是（1）阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3）解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示）,如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．（1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价；（2）若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．思维升华（1）关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 (1）国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p％，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25）％，则该公司的年收入是（）A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元（2）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元。