专题2 函数与导数(五)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

函数与导数（五）热点一 导数的几何意义1．函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．例1 (1)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x (2)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线，则实数b ＝_____. 及时归纳 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 (1)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．(2)若函数f (x )＝ln x (x >0)与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫ln 12e ，＋∞ B ．(－1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(－ln 2，＋∞) 热点二 利用导数研究函数的单调性1．f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.2．f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常函数，函数不具有单调性． 例2 已知函数f (x )＝2e x －kx －2. (1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)内的单调性；(2)若存在正数m ，对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立，求正实数k 的取值范围． 及时归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导函数f ′(x )．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0即可；②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 (1)已知f (x )＝()x 2＋2ax ln x －12x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．{1}B ．{－1}C ．(0,1]D ．[－1,0) (2)已知定义在R 上的偶函数f (x )(函数f (x )的导函数为f ′(x ))满足f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0， e 3f (2 018)＝1，若f (x )>f ′(－x )，则关于x 的不等式f (x ＋2)>1e x 的解集为( )A ．(－∞，3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞) 热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2018·北京)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．及时归纳 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫e ＋1e ln x ＋1x －x .(1)求函数f (x )的极值；(2)设g (x )＝ln(x ＋1)－ax ＋e x ，对于任意x 1∈[0，＋∞)，x 2∈[1，＋∞)，总有g (x 1)≥e2f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．课时作业1.已知函数xy me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，则m 的取值可以是（ ） A. －1 B. 1C. 2D. 32.已知函数f (x )的导函数为()f x '，()()0xf x f x '->对()0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A.()()f f e eππ>B.()()f f e eππ<C. ()()f f e π>D. ()()ff e π<3.已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a =（ ）A. 4或－3B. －4或3C. －3D. 44.已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A. 16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭D.746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.已知函数()()321ln 2f x x x ax ax a R =+-∈. （1）当0a =时，求f (x )的最值；（2）若函数()()f xg x x=存在两个极值点()1212,x x x x ≠，求()()12g x g x +的取值范围. 6.已知函数3()f x x x=-． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 7.已知函数()329f x x mx x n =+++在1x =处取得极值，且()02f =.（1）求实数m ，n 的值；（2）求函数f (x )的极大值和极小值. 8.已知函数(1)(1)()2ln x mx f x x x-+=-．（Ⅰ）当1m =时，试判断f (x )零点的个数； （Ⅱ）若1x ≥时，()0f x ≤，求m 的取值范围．函数与导数（五）答案热点一 导数的几何意义 例1 (1)答案 D解析 方法一 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.方法二 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数，∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D. (2)答案 ln 2解析 设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋1和曲线y ＝ln(x ＋2)的切点分别为(x 1，ln x 1＋1)，(x 2，ln(x 2＋2))．∵直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋2)的切线， ∴1x 1＝1x 2＋2，即x 1－x 2＝2.∴切线方程为y －(ln x 1＋1)＝1x 1(x －x 1)，即为y ＝x x 1＋ln x 1或y －ln(x 2＋2)＝1x 2＋2(x －x 2)，即为y ＝x x 1＋2－x 1x 1＋ln x 1，∴2－x 1x 1＝0，则x 1＝2，∴b ＝ln 2.跟踪演练1 (1)答案 2x －y ＝0解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. (2)答案 A解析 设公切线与函数f (x )＝ln x 切于点A (x 1，ln x 1)(x 1>0)，则切线方程为y －ln x 1＝1x 1(x－x 1)．设公切线与函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 切于点B (x 2，x 22＋2x 2＋a )(x 2<0)，则切线方程为y －(x 22＋2x 2＋a )＝2(x 2＋1)(x －x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝2(x 2＋1)，ln x 1－1＝－x 22＋a ，∵x 2<0<x 1，∴0<1x 1<2.又a ＝ln x 1＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12－1＝－ln 1x 1＋14⎝⎛⎭⎫1x 1－22－1，令t ＝1x 1，∴0<t <2，a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)，则h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0，∴h (t )在(0,2)上为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1＝ln12e，∴a ∈⎝⎛⎭⎫ln 12e ，＋∞. 热点二 利用导数研究函数的单调性例2 解 (1)由题意得f ′(x )＝2e x －k ，x ∈(0，＋∞)，因为x >0，所以2e x >2.当k ≤2时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．当k >2时，由f ′(x )>0得x >ln k2，此时f (x )单调递增；由f ′(x )<0得0<x <ln k2，此时f (x )单调递减．综上，当k ≤2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k 2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln k2，＋∞内单调递增． (2)①当0<k ≤2时，由(1)可得f (x )在(0，＋∞)内单调递增，且f (0)＝0，所以对于任意的x ∈(0，m )，f (x )>0.这时|f (x )|>2x 可化为f (x )>2x ，即2e x －(k ＋2)x －2>0.设g (x )＝2e x －(k ＋2)x －2， 则g ′(x )＝2e x －(k ＋2)，令g ′(x )＝0，得x ＝ln k ＋22>0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k ＋22内单调递减，且g (0)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，ln k ＋22时，g (x )<0，不符合题意．②当k >2时，由(1)可得f (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k2内单调递减，且f (0)＝0，所以存在x 0>0，使得对于任意的x ∈(0，x 0)都有f (x )<0.这时|f (x )|>2x 可化为－f (x )>2x ，即－2e x ＋()k －2x ＋2>0. 设h (x )＝－2e x ＋()k －2x ＋2，则h ′(x )＝－2e x ＋()k －2.(ⅰ)若2<k ≤4，则h ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，且h (0)＝0， 所以对于任意的x ∈(0，x 0)都有h (x )<0，不符合题意．(ⅱ)若k >4，令h ′(x )>0，得x <ln k －22，这时h (x )在⎝⎛⎭⎫0，ln k －22内单调递增，且h (0)＝0，所以对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，ln k －22，都有h (x )>0，此时取m ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0，lnk －22，则对于任意的x ∈(0，m )，不等式|f (x )|>2x 恒成立．综上可得k 的取值范围为()4，＋∞. 跟踪演练2 (1)答案 B解析 f (x )＝()x 2＋2ax ln x －12x 2－2ax ，f ′(x )＝2(x ＋a )ln x ，∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x ＝1时，f ′(x )＝0满足题意，当x >1时，ln x >0，要使f ′(x )≥0恒成立，则x ＋a ≥0恒成立．∵x ＋a >1＋a ，∴1＋a ≥0，解得a ≥－1，当0<x <1时，ln x <0，要使f ′(x )≥0恒成立，则x ＋a ≤0恒成立，∵x ＋a <1＋a ，∴1＋a ≤0，解得a ≤－1.综上所述，a ＝－1. (2)答案 B解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )，f ′(x )＝[]f (－x )′＝－f ′(－x )，∴f ′(－x )＝－f ′(x )，f (x )>f ′(－x )＝－f ′(x )，即f (x )＋f ′(x )>0，设g (x )＝e x f (x )，则[]e x f (x )′＝e x []f (x )＋f ′(x )>0， ∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，由f ⎝⎛⎭⎫x －12＋f (x ＋1)＝0，得f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋f ()x ＋3＝0，相减可得f (x )＝f ()x ＋3，f (x )的周期为3，∴e 3f ()2 018＝e 3f (2)＝1，g (2)＝e 2f (2)＝1e ，f (x ＋2)>1e x ，结合f (x )的周期为3可化为e x －1f (x －1)>1e ＝e 2f (2)，g (x －1)>g (2)，x －1>2，x >3，∴不等式的解集为()3，＋∞，故选B. 热点三 利用导数求函数的极值、最值例3 解 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x－2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.跟踪演练3 解 (1)f ′(x )＝e ＋1e x －1x 2－1＝－()x －e ⎝⎛⎭⎫x －1e x 2，令f ′(x )＝0，可得x ＝1e 或x ＝e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2e ，极大值为f (e)＝2e. (2)由(1)可知，当x ∈[1，＋∞)时，函数f (x )的最大值为2e ，对于任意x 1∈[0，＋∞)，x 2∈[1，＋∞)，总有g (x 1)≥e2f (x 2)成立，等价于对于任意x ∈[0，＋∞)，g (x )≥1恒成立，g ′(x )＝e x＋1x ＋1－a (x ≥0)， ①当a ≤2时，因为e x ≥x ＋1，所以g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ≥x ＋1＋1x ＋1－a ≥2－a ≥0，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (0)＝1恒成立，符合题意．②当a >2时，设h (x )＝e x＋1x ＋1－a (x ≥0)，h ′(x )＝e x－1(x ＋1)2＝(x ＋1)2e x －1(x ＋1)2≥0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，且g ′(0)＝2－a <0，则存在x 0∈(0，＋∞)，使得g ′(x 0)＝0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，又g (x 0)<g (0)＝1， 所以g (x )≥1不恒成立，不符合题意．综合①②可知，实数a 的取值范围是(]－∞，2.课时作业1.BCD 【分析】将函数xy me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，转化为函数()2xf x me x m =--有两个零点，导函数为()1xf x me '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点；当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，函数在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增，()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-，再令()ln 0f m -<求解即可.【详解】因为函数xy me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，所以函数()2xf x me x m =--有两个零点，求导得：()1xf x me '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点； 当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，当(),ln ∈-∞-x m 时，()0f x '<，当()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x '>， 所以函数在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-. 令()()1ln 20g m m m m =+->，则()12g m m'=-， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g m '>，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g m '<，所以()g m 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. 所以()max 1ln 202g m g ⎛⎫==-<⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小值()ln 0f m -<，则m 的取值范围是()0,∞+.所以m 可以取 1，2，3.故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.2.A【分析】构造函数()()f x g x x =，求导()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由()()0xf x f x '->，得()f x y x =在()0,∞+上单调递增，再根据e π<求解.【详解】令()()f x g x x= 因为()()()2f x xf x f x x x ''-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且()()0xf x f x '->， 所以()f x y x =在()0,∞+上单调递增，因为e π<，所以()()f f e eππ>. 故选：A【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了构造函数的方法，属于中档3.D【分析】根据函数()f x 在1x =处取得极值10，得()()'10110f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此求得,a b 的值，再验证,a b 是否符合题意即可.【详解】函数1,)+∞（在1x =处取得极值10， 所以()2'32f x x ax b =++， 且()()2'1320,1110f a b f a b a =++==+++=， 解得4,11a b ==-或3,3a b =-=，当3,3a b =-=时，()()22'363310f x x x x =-+=-≥，根据极值的定义知道，此时函数()f x 无极值；当4,11a b ==-时，()2'3811f x x x =+-， 令()'0f x =得1x =或113x =-，符合题意； 所以4a =，故选D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目. 4.D【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 下面讨论()g x 的单调性：当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,x e ∈时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e >时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154a lna e+<-≥，解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.5.（1）最小值是1e-，无最大值；（2）(,3ln 4)-∞--．【分析】（1）求出导函数()f x '，由导函数确定函数的单调性得最值； （2）求出()g x '，有函数有两个极值点，即方程有两个不等正根，得a 的范围，同时求出1212,x x x x +，可得12()()()h a g x g x =+，由单调性可得所求取值范围．【详解】（1）由题意()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，易知1(0,)x e ∈时，()0f x '<，()f x 递减，1(,)x e∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增． ∴()f x 有极小值1111()ln f e e e e==-，也是最小值，无最大值． （2）由题意21()ln 2g x x ax ax =+-，211()ax ax g x ax a x x-+'=+-=， ()g x 在两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根， ∴2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，∴4a >，121x x =+，121x x a =， ∴221211122211()()()ln ln 22h a g x g x x ax ax x ax ax =+=+-++-2121212121112ln()[()2]()ln (1)22x x a x x x x a x x a a a a=++--+=+--1ln 12a a =---， 显然1()ln 12h a a a =---是关于a 的减函数， ∴()(4)3ln 4h a h <=--，∴12()()g x g x +的取值范围是(,3ln 4)-∞--．【点睛】本题考查导数与函数的最值，考查与函数极值点有关的范围问题，解题时可根据极值点的定义找到极值点与参数a 的关系，把待极值点的问题化为a 的函数，然后利用a 的范围求出结论．6.（1）734y x =-（2）见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程，求出切线与直线0x =和直线y x =的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案.【详解】（1）31(2)222f =-= 23()1f x x '=+，37(2)144f '∴=+= 则曲线()y f x =在2x =处的切线方程为17(2)24y x -=-，即734y x =- （2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程为231()y n x m m ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭即2331()y m x m m m ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得6y m=- 令y x =，得2y x m ==从而切线与直线0x =的交点为60,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线与直线y x =的交点为(2,2)m m ∴点(,)P m n 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积16|2|62S m m =⋅-⋅=，为定值.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.7.（1）6,2m n =-=；（2）极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =．【分析】（1）求出导数()f x '，由()01f '=和(0)2f =可求得,m n ；（2）由导数确定函数的单调性，得极值．【详解】（1）由题意2()329f x x mx '=++，∴(1)3290f m '=++=，6m =-，又(0)2f n ==．∴6,2m n =-=；（2）由（1）32()692f x x x x =-++，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，当1x <或3x >时()0f x '>，13x <<时，()0f x '<，∴()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上递增，在(1,3)上递减．()f x 的极大值为(1)6f =，极小值为(3)2f =．【点睛】本题考查导数与函数的极值之间的关系，掌握极值的概念和求法是解题关键． 8.（Ⅰ）f (x )有且只有一个零点；（Ⅱ）[1,)+∞．【分析】（Ⅰ）求导数判断函数的单调性及(1)0f =即可确定函数的零点；（Ⅱ）分0m ≤和0m >两种情况，分别判断函数的单调性，根据单调性求函数()f x 的最大值，由max ()0f x ≤求解即可．【详解】（Ⅰ）当 1 m =时，(1)(1)()2ln x x f x x x-+=-， 22(1)()x f x x--'=． 所以()0f x '≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0f =，∴()f x 有且只有一个零点．（Ⅱ）∵()10f =，2221()mx x f x x-+-'=． （1）当0m ≤时，在[1,)+∞上()0f x '≥恒成立，∴()f x 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0f x f ≥=，不符合题意．（2）当0m >时，设2()21g x mx x =-+-，当440m ∆=-≤即m 1≥时，2()210g x mx x =-+-≤恒成立，所以在[1,)+∞上()0f x '≤恒成立，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，∴()(1)0f x f ≤=，符合题意，∴m 1≥．当440m ∆=->即01m <<时，()0g x =有两不等实根，设为12,x x 因为(1)10g m =->，可知121x x ，所以()21,x x ∈时()0f x '>，()2,x x ∈+∞时()0f x '<即()f x 在区间()21,x 上单调递增，()2,x +∞单调递减所以()2(1)0f x f >=，不符合题意．综上，m 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，零点，最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。

第一篇教材考点再排查专题 2函数与导数1.理解函数定义时，函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多，定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，定义域、对应法则确定，值域也就确定，注意对应法则相同，定义域不同的函数不是同一函数.2.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组 )求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏 , 实际问题要考虑变量的实际意义，注意挖掘隐含条件．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．3.求函数解析式的方法：有直接法、待定系数法、配凑法、配方法、换元法；用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个f1 ( x), x A1函数，而不是几个函数，用解析式表示分段函数时，注意要书写正确，即 y f2 ( x), x A2，Lf n ( x), x A n分段函数的值域是各段函数值域的并集.5.求函数最值 ( 值域 ) 常用的方法：(1)单调性法：适合已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合已知或易作出图象的函数，特别是二次函数在某个区间上的最值．(3)基本不等式法：特别适合分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合可导函数．(5)换元法: 适应复合函数，即先由定义域求出内函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为函数的值域，利用换元法求值域时，要特别注意新元的范围．(6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．6.函数的奇偶性(1) f (x) 是奇函数对定义域内任意，都有 f (x) f ( x)对定义域内任意，都有f (x) f ( x) 0 f ( x) 图像关于原点对称；（ 2）f( x) 是偶函数对定义域内任意，都有 f (x) f ( x)对定义域内任意，都有f (x) f ( x) 0 f ( x) 图像关于 y 轴对称；（ 3）y f ( x a) 是偶函数对定义域内任意都有 f ( a x) = f (a x)y f ( x) 的图象关于直线x a 对称；（ 4）y f ( x a) 是奇函数对定义域内任意都有 f ( a x) =－ f (a x)y f (x)的图象关于点(a,0) 对称；判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．7.函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若 f(x)为偶函数，则f(－x)=f(x)=f(|x|)．(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故“ f(0)＝ 0”是“ f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件，已知函数奇偶性求参数常用特值法 .8.函数的单调性(1)判定函数单调性方法：①定义法：若 x ，x a, b , x x ，那么 f (x1) f (x2 )设 x1 x2a, b , x1 x2，1212那么( x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )f ( x1 ) f ( x2 )0 f ( x) 在a, b上是增函0x1x2数；若 x1，x2a,b , x1x2，那么 f ( x1) f ( x2 )设 x1x2a,b , x1x2，那么( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0f ( x1) f ( x2 )0 f (x)在 a,b上是减函数 .x1x2②求导法：设函数y f ( x) 在某个区间内可导，如果f( x)0，则 f (x) 为增函数；如果f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .③性质法 : 如果函数f (x) 和 g( x) 在相同区间上是单调函数, 则（ i ）增函数 +增函数是增函数；（ii ）减函数 +减函数是减函数；（ iii ）增函数 - 减函数是增函数； （ iv ）减函数 - 增函数是减函数；④复合函数单调性 : “同增异减”（ 2）已知含参数的可导函数在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单f ( x) 0 （ 0 ）恒成立（且不恒为 0）问题，验证参数取等号时是否符合题意.（ 3）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接， 或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替 ．9. 函数 y f ( x) 的图象的对称性结论①若函数 yf (x) 关于 x a 对称对定义域内任意都有f (a x) = f (a x)对定义域内任意都有 f ( x) = f (2 a x) ；②函数 yf ( x) 关于点（， 0） 对定义域内任意都有 f (a x) =－f (a x)f (2 a x) =－ f ( x) ；③若函数 yf (x) 对定义域内任意都有f ( x a)f (bx) , 则函数 f ( x) 的对称轴是a bx；2④若函数 yf (x) 对定义域内任意都有 f (xa)f (b x) , 则函数 f ( x) 的对称轴中心为 (ab,0) ；2⑤函数 yf (| x a |) 关于 x a 对称 .10. 两个函数对称的结论①两个函数 y f (x a) 与 yf (b x) 的图象关于直线abx对称 .2②函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于直线 x 0 ( 即 y 轴 ) 对称 .③函数 y f ( x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 y0( 即 x 轴 ) 对称。

第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222ba b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f ；⑶)(x f 是偶函数1)()(0)()()()(=-⇔=--⇔=-⇔x f x f x f x f x f x f ；⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性⑴单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2121<>--⇔x x x f x f ；⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2 （2））；④图像法。

高考考点考点解读－＝2(x－1)－2.所以M (a )<M (1)＝0，故g ′(a )<0，所以g (a )＝1－aln a 在a ∈(1,2)上单调递减，所以m ≤g (2)＝1－2ln 2＝－log 2e ，即实数m 的取值范围为(－∞，－log 2e]．命题方向3 利用导数解决生活中的优化问题例3某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．[解析] (1)由题意知，M 点的坐标为(5,40)，N 点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C 的方程y ＝ax2＋b 可得：⎩⎪⎨⎪⎧40＝a52＋b ，2.5＝a202＋b .解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知曲线C 的方程为y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x3，所以y ′|x ＝t ＝－2 000t3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t2，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2， 所以l 的方程为y －1 000t2＝－2 000t3(x －t )．。

14 第三章 导数及其应用一、知识梳理（一）导数的概念1、平均变化率、瞬时速率、膨胀率、瞬时变化率；2、某点处的导数、导函数的定义以及公式表示；3、导数的几何意义、物理意义；切线方程000()()y y f x x x -='-；4、求函数导数的基本步骤；5、极限（1）极限的定义、表示；（2）函数极限的四则运算法则：若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则 ①0lim[()()]x x f x g x a b →±=±；②0lim[()()]x x f x g x ab →⋅=；③0()lim ()x x f x ag x b →=；（3）几个常用极限：①1lim 0n n →∞=；②lim 0n n a →∞=（||1a <）；（4）两个重要极限：①0sin lim 1x x x →=；②01lim(1)x x e x →+=；（二）导数的计算1、基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；（2）若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；（6）若()x f x e =，则()x f x e '=；（7）若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=；（8）若()ln f x x =，则1()f x x '=；2、导数的运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x ±'='±'；（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅'='⋅+⋅'；（3）2()()()()()[]()[()]f x f x gx f x g x g x g x '⋅-⋅''=；3、复合函数求导：()y f μ=和()g x μ=，则(())y f g x =为一个复合函数，所以(())()y f g x g x '='⋅'；（三）导数的应用1、函数的单调性（1）基本概念；（2）务必，首先考虑函数的定义域；（3）利用导数求函数单调性的基本步骤；2、函数的极值（1）基本概念；（2）利用导数求函数极值的基本步骤；3、函数的最大（小）值15（1）基本概念；（2）利用导数求函数最大（小）值的基本步骤；4、解决不等式的有关问题；5、在实际生活中的应用；6、常用的近似计算公式（当||x 充分小时）（1112x +11x n+； （2）(1)1()x x R ααα+≈+∈；111x x ≈-+； （3）1x e x ≈+；（4）ln(1)x x +≈；（5）sin x x ≈（x 为弧度）；（6）tan x x ≈（x 为弧度）；（7）ln20.6931≈、ln3 1.0986≈、lg20.3010≈、lg50.6990≈；7、分离参数的方法（1）常规法分离参数：如()()f x g x λ=； （2）倒数法分离参数：如1()()f x g x λ=； （3）讨论法分离参数：如()()g x f x λ≥（讨论()g x ）、(1)()n f x λ-≥（讨论n 奇偶性）；（4）整体法分离参数：如2()f x λλ+=；（5）不完全分离参数：如2ln b x x x x=+-； （6）作商法凸显参数，换元法凸显参数； 8、任意与存在的转化：若有多个并存，则处理1()f x 时，把2()g x 看作常数；处理2()g x 时，把1()f x 看作常数；9、常用函数的构造（1）关系为“加”型：①()()0f x f x '+≥，构造[()](()())x x e f x e f x f x '=+'；①()()0xf x f x '+≥，构造[()]()()xf x f x xf x '=+'；①()()0xf x nf x '+≥，构造11[()]()()[()()]n n n n x f x nx f x x f x x nf x xf x --'=+'=+'；（2）关系为“减”型：①()()0f x f x '-≥，构造()()()[]x xf x f x f x e e '-'=； ①()()0xf x f x '-≥，构造2()()()[]f x xf x f x x x '-'=； ①()()0xf x nf x '-≥，构造1()()()[]n n f x xf x nf x x x +'-'=； 二、考前必看1、求函数单调区间，必须优先考虑定义域；2、单调区间必须写成区间的形式，不能写成集合或不等式的形式；。

回顾2 函数与导数［必记知识］函数的奇偶性、周期性（1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称）,都有f(－x)＝－f(x）成立，则f（x）为奇函数（都有f(－x)＝f(x)＝f（|x|)成立，则f(x）为偶函数)．（2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值:若f(x＋T）＝f（x)(T≠0），则f(x）是周期函数，T是它的一个周期．指数与对数式的运算公式a m·a n＝a m＋n;(a m）n＝a mn；（ab)m＝a mb m(a，b>0）．log a（MN)＝log a M＋log a N；log a错误!＝log a M－log a N；log a M n＝n log a M；a log a N＝N；log a N＝错误!(a〉0且a≠1，b〉0且b≠1,M>0，N〉0)．指数函数与对数函数的对比区分表解析y＝a x（a>0且a≠1）y＝log a x（a>0且a≠1）式图象定义域R（0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0〈a<1时，在R上是减函数；a〉1时,在R上是增函数0〈a<1时，在(0，＋∞）上是减函数；a〉1时，在(0，＋∞）上是增函数方程的根与函数的零点(1）方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y＝f（x）的零点就是方程f(x）＝0的实数根,也就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f（x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2）函数零点的存在性如果函数y＝f(x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f（b）〈0，那么函数f（x)在区间(a,b）内至少有一个零点，即存在c∈(a，b),使得f（c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．导数公式及运算法则（1)基本导数公式c′＝0(c为常数)；（x m）′＝mx m－1(m∈Q）；（sin x）′＝cos x；(cos x）′＝－sin x；(a x)′＝a x ln a(a〉0且a≠1);(e x）′＝e x;(log a x)′＝错误!(a〉0且a≠1)；（ln x)′＝错误!.（2)导数的四则运算(u±v)′＝u′±v′;(uv）′＝u′v＋uv′；错误!′＝错误!(v≠0）．导数与极值、最值(1）函数f（x)在x0处的导数f′（x0）＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值;函数f（x）在x0处的导数f′(x0）＝0且f′（x）在x0附近“左负右正”⇔f(x）在x0处取极小值．（2)函数f(x）在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值"；函数f（x）在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”.［必会结论]函数单调性和奇偶性的重要结论（1)当f(x)，g（x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增（减)函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．（3)f(x）为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f（x)为偶函数⇔f(x）的图象关于y轴对称．（4)偶函数的和、差、积、商是偶函数,奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．（5）定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点即有f（0)＝0。

2020上海高考数学基础知识回顾：第三讲函数二一、函数的图像的变换★1、满足条件()()f x a f b a +=-的函数的图像关于直线2a bx +=对称； ★2、点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；★3、点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；★4、点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；★5、()y f x a =+是将()y f x =的图像向左(0)a >（右(0)a <）平移a 个单位得到； ★★6、曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=； ★★7、形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=-由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-；★★8、|()|f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，作出x 轴下方的图像关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；(||)f x 的图像先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后作出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到；★★9、()y f ax =是将()y f x =的图像横坐标扩大(01)a <<（缩小(1)a >）1个单位得到； ★10、函数()x f y =+a 的图像是把函数()x f y =助图像沿y 轴向上)0(>a (向下)0(<a )平移a 个单位得到的.二、函数的单调性★★1、定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 基础知识[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. ★★2、如果函数)(x f 和)(x g 都是增（减）函数，则在公共定义域内，和函数)()(x g x f +也是增（减）函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增（减）函数，则复合函数)]([x g f y =是增（减）函数（同增异减）.★3、利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取D x x ∈21,，且21x x <；② 作差)()(21x f x f - （偶有做商比较大小的）； ③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差)()(21x f x f -的正负）；⑤下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）. 三、函数的奇偶性★1、偶函数的定义： 如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数；奇函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数（定义域是否是关于原点对称是判断前提）.★2、图像：)(x f 为奇函数⇔)(x f 图像关于原点对称；)(x f 为偶函数⇔)(x f 图像关于y 轴对称．★3、根据规律判断函数的奇偶性：偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+奇函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数； 奇函数×奇函数=偶函数； 偶函数×奇函数=奇函数． ★★4、函数奇偶性的性质：① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． ② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数； ③ 若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==；④ 若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =．故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件；⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．★★5、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 四、函数的周期性★1、定义：设函数)(x f ，D x ∈，如果存在非零常数T ，使得对任意的D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则称)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期，周期函数的周期往往不唯一．★★★2、和周期函数有关的常见结论： （1）若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； （2）若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； （3）若f (x ＋a )＝－1f （x ），则函数的周期为2a ；（4）函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |；（5）若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； （6）若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，函数f (x )的周期是4|b －a |； （7）若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； （8）若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . 五、函数的对称性★★★1、函数()y f x =的图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. （2）函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称 ()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.★★★2、两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. （2）函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. （3）函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.一、函数图象的变换对较为复杂的函数能够利用函数图象的平移、对称、旋转、翻折进行处理.【例1】将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图像关于y x =对称，那么（ ）A .1,0a b =-≠B .1,a b R =-∈C . 1,0a b =≠D .0,a b R =∈【难度】★ 【答案】C【例2】函数213||4y x x =-+的单调增区间为__________. 【难度】★ 【答案】3[,0]2-和3[,)2+∞【例3】已知222)(--=x x f ，且关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有k （*N k ∈）个根，则这k 个根的和可能是 .（请写出所有可能值）【难度】★★【答案】4、6、8、10、12、14、16【巩固训练】1．已知函数1)(---=a x x a x f 的反函数)(1x f -的图像的对称中心)3,1(-，则实数a 的值为_____________． 【难度】★★ 【答案】22．将函数12log y x =的图像沿x 轴向右平移1个单位，得到图像C ，图像1C 与C 关于原点对称，图像2C 与1C 关于直线y x =对称，则2C 对应的函数解析式为______________. 【难度】★ 题型与方法【答案】1()12x y -=--3．函数c bx x x x f ++=)(给出四个命题： ①当0=c 时，)(x f y =是奇函数；②当0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实数根； ③)(x f y =的图像关于点()c ,0对称； ④方程0)(=x f 至多只有两个实数根. 上述命题中，所有正确命题的序号是_______. 【难度】★★ 【答案】①②③二、函数的单调性掌握函数单调性的判断和证明，会求简单的复合函数的单调性，讨论单调函数与不等式的关系，以及利用函数的单调性求函数的最大值、最小值问题，同时也要注意复合函数单调性的判断“同增异减，内外兼顾”.【例4】函数22log (1)y x =-的单调递减区间是 ．【难度】★ 【答案】)1,(-∞【例5】已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx a x a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，【例6】函数()1sin sin 2+-=x x x f []()π20，∈x 的单调递增区间为 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡26ππ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2365ππ，【例7】已知在关于x 的不等式()()()10136log 4log 2<<->-a a x x a a 的解集中，有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】1312139<≤a【巩固训练】1．设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【难度】★★ 【答案】C2．已知函数()()()()⎩⎨⎧>+-≤=0430x a x a x a x f x ，满足()()[]()02121<--x x x f x f 对定义域中任意的1x 、2x 成立，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛410，3．函数()1log 2log 221221+-=x x x f 的单调递减区间为 ．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛220，4．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．【难度】★★★ 【答案】1x <-或3x >三、函数的奇偶性对函数奇偶性的判断和证明主要利用定义或者一些特殊函数的奇偶性的复合来进行求解．【例8】设R a ∈，22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+，若函数)(x f 是奇函数，则a 的值为 ． 【难度】★ 【答案】1【例9】若定义在R 上的函数)(x f ，)(x g 均为奇函数，设1)()()(++=x bg x af x F ，若10)2(=-F ，则)2(F 的值为 ． 【难度】★★ 【答案】8-【例10】定义在R 上的奇函数()()2+=x f x f ，且当()01，-∈x 时，()212-=x x f ，则()=18log 2f ．【难度】★★ 【答案】187-【例11】若定义在R 上的函数()x f 满足对任意1x 、R x ∈2都有()()()12121++=+x f x f x x f ，则下列说法一定正确的是（）A 、()x f 为奇函数B 、()x f 为偶函数C 、()1+x f 为奇函数D 、()1+x f 为偶函数【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．设)(x f 是定义在R 上的函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，当)(x f 为奇函数时，函数)(x f 的解析式是 ； 当)(x f 为偶函数时，函数)(x f 的解析式是 ．【难度】★【答案】()⎩⎨⎧<--≥-=020222x x x x x x x f ，，，()⎩⎨⎧<+≥-=020222x x x x x x x f ，，．2．93()2f x ax bx cx =+++，若(1)1f -=，则(1)f = ． 【难度】★★ 【答案】33．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+=022x bx ax x x x x f ，，为奇函数，则=+b a ．【难度】★★ 【答案】04．设函数()x f 和()x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （）A 、()()x g x f +为偶函数B 、()()x g x f -为奇函数C 、()()x g x f +为偶函数D 、()()x g x f -为奇函数【难度】★★ 【答案】A四、函数的周期性对函数周期性的判断和证明常利用一些公式模型来套用，或是利用赋值法恒等化简，找到()()x f T x f =+即可，也可以利用特殊函数来进行简化计算．【例12】已知奇函数)(x f 满足条件)()3(x f x f =+，当)1,0(∈x 时，13)(-=xx f ，则)36(log 31f ＝_____． 【难度】★ 【答案】13【例13】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2014(f 的值为____．【难度】★★ 【答案】1【例14】设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-【难度】★★★ 【答案】D【巩固训练】1．)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 关于21=x 对称，则=+++)100()1()0(f f f Λ_____． 【难度】★★ 【答案】02．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x Z ∈，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=______．【难度】★★★ 【答案】5-3．设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ．【难度】★★★ 【答案】[15,11]-五、函数性质与图像综合应用对函数性质和图象的综合运用，可以利用函数与方程的方法、数形结合的方法、转化与划归的方法等来进行解决．【例15】已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】B【例16】已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是_________．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0【例17】定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；【难度】★★★ 【答案】A【巩固训练】1．若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为_____个．【难度】★★ 【答案】102．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________．【难度】★★★ 【答案】436-3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为____________． 【难度】★★★【答案】（264-，436-）【例1】设函数()()R x xxx f ∈+-=1，[]()b a b a M <=,，集合(){}M x x f y y N ∈==,，则使N M =成立的实数对()b a ,有 个．【难度】★★ 【答案】0【解析】函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>++-=+-=0,1110,00,1111x x x x x x x x f ，如图，从图形可以看出，函数单调递减，所以()()⎩⎨⎧==ab f ba f ，解得0==b a ，与b a <矛盾，故只有0个．【易错点】画出图象可以很容易判断函数的单调性，从而借助方程思想和数形结合思想，在函数值域一定的条件下去研究定义域就会变得简单了．【变式训练】1．设函数()()R x x xx f ∈+=12，区间[]b a M ,=（其中b a <），集合(){}M x x f y y N ∈==,，易错题型则使N M =成立的实数对()b a ,共有 对． 【难度】★★ 【答案】3【例2】若函数()()()a bx a x x f 2++=（常数a 、R b ∈）是偶函数，且它的值域为(]4，∞-，则该函数的解析式()=x f ． 【难度】★ 【答案】422+-x【解析】函数可化为()()2222a x ab a bx x f +++=，由偶函数知02=+ab a ，又因为值域为(4，∞-，所以0<b ，422=a ，解得2±=a ，2-=b ，所以()422+-=x x f ．【易错点】函数的奇偶性需要判断两点，一是定义域的对称性，而是()x f 解析式与()x f -的关系．【变式训练】1．若函数()()θ+=x x f 3sin 2，[]a a x 3,52π-∈为奇函数，其中()πθ2,0∈，则=-θa ． 【难度】★ 【答案】0【例3】设函数()⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x D ，，01，则下列结论错误的是（ ）A 、()x D 的值域为{}10，B 、()x D 是偶函数C 、()xD 不是周期函数 D 、()x D 不是单调函数【难度】★★ 【答案】C【解析】任取非零有理数T ，若x 为有理数，则T x +也为有理数；若当x 为无理数时，T x +也为无理数，故有()()x D T x D =+，则()x D 是周期函数，同理可证明()x D 为偶函数． 【易错点】分段函数的周期性和奇偶性按照定义证明即可．【变式训练】1．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}m x =．在此基础上给出下列关于函数(){}x x x f -=的四个命题：①函数()x f y =的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，；②函数()x f y =的图象关于直线()Z k kx ∈=2对称；③函数()x f y =是周期函数，最小正周期为1；④函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121，上是增函数．其中正确的命题的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①②③【例4】设函数()()1sin 122+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M ．【难度】★★ 【答案】2【解析】原函数可化为()()1sin 211sin 211sin 122222+++=++++=+++=x x x x x x x x x x x f ，令()1sin 22++=x xx x g ，则()x g 为奇函数且()()x g x f +=1，则()()M x g x f =+=max max 1，()()m x g x f =+=min min 1，因为()x g 为奇函数，所以()()0min max =+x g x g ，故2=+m M ．【易错点】奇函数的图象关于原点对称，其最大值和最小值肯定也关于原点对称，即互为相反数．【变式训练】1．函数()x x x f sin tan +=，项数为27项的等差数列{}n a ，22ππ<<-n a ，公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f Λ，则()=14a f ．【难度】★★ 【答案】0【例5】设()x f 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1-∈x 时，()⎩⎨⎧<≤<≤-+-=1001242x x x x x f ，，，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可知()1221421223232=+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f【易错点】根据函数的周期性将待求函数值的自变量转化为分段函数中定义域范围内求解是关键．【变式训练】1．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=02101log 2x x f x f x x x f ，，，则()2015f 的值为 ．【难度】★★ 【答案】1【例6】已知函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f ．【难度】★★ 【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ．所以()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f ．【易错点】抽象函数的常见解题方法是利用赋值法、换元法、具体化法来解决．【变式训练】1．已知()x f 为R 上的增函数，且对任意R x ∈，都有()[]43=-xx f f ，则()=2f ．【难度】★★ 【答案】10【例7】已知函数()x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛，()12=f ，则不等式()231≤⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f 的解集为 ． 【难度】★★【答案】(]43，【解析】由题意得()()x f y f y x f =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，令4=x ，2=y 则有()()()422f f f =+，即()24=f ，所以原不等式变为()[]()43f x x f ≤-，再结合函数的定义域、单调性可得()⎪⎩⎪⎨⎧>->≤-03043x x x x ，解得43≤<x ．【易错点】抽象函数不等式的解题问题都是利用题中的恒等式进行赋值合并再利用单调性求解．【变式训练】1．已知()x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且()()()y f x f y x f =+，()31=f ，则不等式()()2732≤-x f x f 的解集是 ．【难度】★★ 【答案】(]23，【例8】已知函数()()()⎩⎨⎧>≤≤=1log 10sin 2014x x x x x f π，若a 、b 、c 互不相等，且()()()c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】()20152，【解析】由()()()m c f b f a f ===，不妨设c b a <<，由正弦函数图象的对称性，可得()m a ,与()m b ,关于直线21=x 对称，因此1=+b a ．当直线1==m y 时，由1log 2014=x 得2014=x ，可得20141<<c ，所以20152<++<c b a ．【易错点】利用函数图象的对称性找到等高线函数值对应的横坐标的取值范围．【变式训练】1．已知()⎩⎨⎧>≤--=0,lg 0,22x x x x x x f ，若关于x 的方程()a x f =有四个实根1x 、2x 、3x 、4x ，则这四根之和4321x x x x +++的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛10810，【例9】已知关于x 的方程()()0368lg 20lg 2=---+a x x x 有唯一解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡--216163， 【解析】方程可转化为()()368lg 20lg 2--=+a x x x ，从而得368202--=+a x x x 且方程两边都是正数，正面讨论比较麻烦，可以将方程左右两边看成二次函数x x y 202+=及一次函数368--=a x ，则只需要考虑这两个函数图象在x 轴上恒有唯一交点即可．【易错点】利用方程和的结构等价转化为图象交点问题．【变式训练】1．设函数()x x a x f 42--+=，()134+=x x g ，已知[]0,4-∈x 时恒有()()x g x f ≤，则a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】5-≤a。

第2讲 导数与函数的单调性基础知识整合函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内□01单调递增； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内□02单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是□03常数函数．1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．1．(2019·许昌模拟)函数f (x )＝ln xx的单调递减区间是( )A ．(e ，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，e)D ．(0,1)答案 A解析 f ′(x )＝1－ln x x2，由x >0及f ′(x )<0解得x >e.故选A. 2．函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a >0答案 B解析 函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的充分必要条件是f ′(x )＝3x 2－a ≥0在R 上恒成立，所以a ≤(3x 2)min .因为(3x 2)min ＝0，所以a ≤0.而(－∞，0)⊆(－∞，0]．故选B.3．当x >0时，f (x )＝x ＋4x的单调减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)答案 B解析 f ′(x )＝1－4x2，令f ′(x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4x2<0，x >0，∴0<x <2.∴f (x )的减区间为(0,2)．4．(2019·芜湖模拟)函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)答案 D解析 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )>0，解得x >1.故选D. 5．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x >0时，f ′(x )<f xx，且f (－1)＝0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)答案 B6．(2019·九江模拟)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，因为g (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，所以g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝83，所以2a ≥83，即a ≥43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.核心考向突破考向一 利用导数求函数的单调区间例1 (1)(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)答案 C解析 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x＝x －x －x>0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．(2)设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，－1)，(0，＋∞) [－1,0] 解析 ∵f (x )＝x (e x－1)－12x 2，∴f ′(x )＝e x－1＋x e x－x ＝(e x－1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0. 当x ∈[－1,0]时，f ′(x )≤0. 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． 触类旁通 当方程fx ＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f x ＝0，求出实数根，把函数f x 的间断点即f x 的无定义点的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定fx 在各个区间内的符号，从而确定单调区间.即时训练 1.(2019·陕西模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a－x 2x 2＋2＝a －x ＋xx 2＋2.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．函数f (x )＝x ＋2cos x (x ∈(0，π))的单调递减区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )<0得sin x >12，故π6<x <5π6.考向二 利用导数讨论函数的单调区间例2 (1)(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx＞0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x＜0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．由①②知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．解 f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )， 若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0，∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)， 单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． 触类旁通研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f x＝x 3，fx ＝3x2f x ＝0在x ＝0时取到，f x 在R 上是增函数.即时训练 3.已知函数f (x )＝e x(ax 2－2x ＋2)(a ＞0)，试讨论f (x )的单调性． 解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.(1)当0＜a ＜1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；(2)当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(3)当a ＞1时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 4．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，a ∈R ，试讨论f (x )的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.(1)当a ≥1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)当a ≤0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当0＜a ＜1时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝1－a2a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )＞0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增． 考向三 利用导数解决函数单调性的应用问题角度1 比较大小或解不等式例3 (1)已知函数f (x )＝－xex ＋ln 2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的大小关系无法确定 答案 C解析 f ′(x )＝－e x－－xxe x ·ex＝x －1ex，当x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．∵1e <12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.故选C. (2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．答案 (4，＋∞)解析 令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．触类旁通利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．即时训练 5.(2019·青岛二中月考)已知定义域为R 的函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f ′(x )<2x ，f (2)＝3，则不等式f (x )>x 2－1的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)答案 D解析 令g (x )＝f (x )－x 2，则g ′(x )＝f ′(x )－2x <0，即函数g (x )在R 上单调递减．又不等式f (x )>x 2－1可化为f (x )－x 2>－1，而g (2)＝f (2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化为g (x )>g (2)，故不等式的解集为(－∞，2)．故选D.6．(2019·河北石家庄模拟)已知f (x )＝ln x x，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (e)>f (2)>f (3)D ．f (e)>f (3)>f (2)答案 D解析 f ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)．f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96， f (e)>f (3)>f (2)．故选D.角度2 根据函数的单调性求参数例4 (1)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]答案 A解析 因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上函数f (x )是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.故选A.(2)(2019·西宁模拟)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 触类旁通(1)f (x )在区间D 上单调递增(减)，只要f ′(x )≥0(≤0)在D 上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．二次函数在区间D 上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数图象的对称轴与区间D 的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.即时训练 7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3，∴a ≥3.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.故填(0,1)∪(2,3)．1．(2019·天津模拟)设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴[f (x )－g (x )]′>0. ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数． ∴f (a )－g (a )<f (x )－g (x )． 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．2．f (x )为定义在R 上的可导函数，且f ′(x )>f (x )，对任意正实数a ，则下列式子成立的是( )A ．f (a )<e af (0) B ．f (a )>e af (0) C ．f (a )<feaD ．f (a )>fea答案 B 解析 令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x x－f xxx2＝f x －f xex>0.∴g (x )在R 上为增函数，又∵a >0，∴g (a )>g (0)，即f aea>fe.故f (a )>e af (0)．答题启示(1)若知xf ′(x )＋f (x )的符号，则构造函数g (x )＝xf (x )；一般地，若知xf ′(x )＋nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝x nf (x )．(2)若知xf ′(x )－f (x )的符号，则构造函数g (x )＝f xx；一般地，若知xf ′(x )－nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝f xx n.(3)若知f ′(x )＋f (x )的符号，则构造函数f (x )＝e xf (x )；一般地，若知f ′(x )＋nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝e nx·f (x )．(4)若知f ′(x )－f (x )的符号，则构造函数f (x )＝f xex；一般地，若知f ′(x )－nf (x )的符号，则构造函数g (x )＝f xenx.对点训练1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤bf (b )D ．bf (b )≤af (a )答案 A解析 设函数F (x )＝f x x (x >0)，则F ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＝xfx －f xx 2.因为x >0，xf ′(x )－f (x )≤0，所以F ′(x )≤0，故函数F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又0<a <b ，所以F (a )≥F (b )，即f a a ≥f bb，则bf (a )≥af (b )． 2．(2018·南昌调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则( )A ．4f (－2)<9f (3)B ．4f (－2)>9f (3)C ．2f (3)>3f (－2)D ．3f (－3)<2f (－2)答案 A解析 根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，则当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，则有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3)．故选A.。

回扣8 函数与导数1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域. (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}.2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期；②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期.(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ,0)对称； ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.4.函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.①单调性的定义的等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数.②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性.5.函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――――→h >0，左移h <0，右移y ＝f (x ＋h )，简记为“左加右减”； y ＝f (x )――――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k ，简记为“上加下减”. (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )―――――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x ). (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x ).6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0,1)点； y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减. 7.函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点. (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点存在性定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点；③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解. 8.导数的几何意义(1)f ′(x 0)的几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0).(2)切点的两大特征：①在曲线y ＝f (x )上；②在切线上. 9.利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f (x )的定义域； ②求导函数f ′(x )；③由f ′(x )>0的解集确定函数f (x )的单调增区间，由f ′(x )<0的解集确定函数f (x )的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f (x )在区间M 上单调递增，则f ′(x )≥0(x ∈M )恒成立；若可导函数f (x )在区间M 上单调递减，则f ′(x )≤0(x ∈M )恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集； ③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，则I 是其单调区间的子集.10.利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f ′(x )＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点.(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.11.定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b).(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y＝a x(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论，忽视a x>0；对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件.6.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.7.已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(<0)的解集为(a ，b ).8.f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析 当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，…，由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象，如图所示.由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)·(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73，故选B.1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中，正确信息的序号是________.答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误.素养2直观想象例2(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线.2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，P A＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以P A⊥AD，P A⊥AB，P A⊥BC.又BC⊥AB，AB∩P A＝A，AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△P AB，△P AD，△PBC，共3个.故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理例3(2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B.3 C.2 3 D.4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x . 设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33， 所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示. 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.素养4 数学运算例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3，故选B.4.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm答案B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.5.(2019·北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________. 答案 130 15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元，由题意知，当0<m <120时，x ＝0，当m ≥120时，(m －x )×80%≥m ×70%，得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立，又m8≥15，所以x 的最大值为15.素养6 数据分析例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6.某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y ^＝0.004x ＋a ^，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？解 (1)从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为{7.4,7.0}，{7.4,9.2}，{7.4,7.9}，{7.4,10.0}，{7.0,9.2}，{7.0,7.9}，{7.0,10.0}，{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共3个.所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P ＝310.(2)因为x ＝1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 1005＝8 5005＝1 700， y ＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3. 又直线y ^＝0.004x ＋a ^过点(x ，y )， 所以8.3＝0.004×1 700＋a ^， 解得a ^＝1.5， 所以y ^＝0.004x ＋1.5.当x ＝1 800时，y ^＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6， 所以预测该水电站2019年能完成发电任务.。

函数与导数（六）热点一 利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．例1 已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立． (1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.及时归纳 用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f (x )在[a ，b ]上是增函数，则①∀x ∈[a ，b ]，则f (a )≤f (x )≤f (b )；②对∀x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f (x )在某个范围D 内有最大值M (或最小值m )，则对∀x ∈D ，有f (x )≤M (或f (x )≥m )．(3)证明f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，证明F (x )<0. 跟踪演练1 已知函数f (x )＝ax －ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－1e 2，求证：f (x )≥2ax －x e ax －1. 热点二 利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．例2 设函数f (x )＝e x －2a －ln(x ＋a )，a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)若a >0，且函数f (x )在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若0<a <23，试判断函数f (x )的零点个数．及时归纳 (1)函数y ＝f (x )－k 的零点问题，可转化为函数y ＝f (x )和直线y ＝k 的交点问题． (2)研究函数y ＝f (x )的值域，不仅要看最值，而且要观察随x 值的变化y 值的变化趋势． 跟踪演练2 (2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，求a .热点三 利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优．例3 罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y 最小？ 及时归纳 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)作答：回归实际问题作答．跟踪演练3 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB ＝2x ，BC ＝y .(1)写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度最大．课时作业1.已知函数1π()4cos()23xf x x e =--，()f x '为()f x 的导数，证明：（1）()f x '在区间[π,0]-上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[π,0]-上有且仅有一个零点．2.如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切． （1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）3.若函数()x xf x e ae mx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ． （1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围；（3）若02()f x e ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．4.已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：()f x '在区间()0,π上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意[]10,x π∈，均存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围.5.已知函数()21ln 12f x x ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）若函数10g x f xa x a ，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若()()1212124,32a f x f x x x x x =-++++=，证明：1212x x +≥. 6.已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线y =f (x )存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求f (x )的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当﹣1＜a ＜0时， g (x )在(1,+∞)上存在极小值. 7.已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求f (x )的单调区间；（3）若对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.8.已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性；（Ⅰ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.函数与导数（六）答案热点一 利用导数证明不等式例1 (1)解 由f (x )＝e x (a e x －a －x )≥0对于x ∈R 恒成立，设函数g (x )＝a e x －a －x ，可得g (x )＝a e x－a －x ≥0对于x ∈R 恒成立，∵g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)，从而x ＝0是g (x )的一个极小值点，∵g ′(x )＝a e x －1，∴g ′(0)＝a －1＝0，即a ＝1.当a ＝1时，g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，∵x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，故a ＝1.(2)证明 当a ＝1时，f (x )＝e 2x －e x －x e x ，f ′(x )＝e x (2e x －x －2)．令h (x )＝2e x －x －2，则h ′(x )＝2e x －1，∴当x ∈(－∞，－ln 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数，∵h (－1)<0，h (－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x ＝x 0满足h (x 0)＝0，∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数，∴当x ∈(－∞，x 0)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数，当x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数，当x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数，当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0，综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0，且x 0∈(－2，－1)．∵h (x 0)＝0，∴20e x －x 0－2＝0，∴f (x 0)＝02e x －0e x －x 00e x＝⎝⎛⎭⎫x 0＋222－⎝⎛⎭⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)，∵当x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14，∴f (x 0)<14；∵ln 12e ∈(－2，－1)，∴f (x 0)≥f ⎝⎛⎭⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2；综上知ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14. 跟踪演练1 (1)解 由题意得f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x >0)，①当a ≤0时，则f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a >0时，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． (2)证明 令g (x )＝f (x )－2ax ＋x e ax －1＝x e ax －1－ax －ln x ，则g ′(x )＝e ax －1＋ax e ax －1－a －1x ＝(ax＋1)()e ax －1－1x ＝(ax ＋1)(x e ax －1－1)x(x >0)，设r (x )＝x e ax －1－1(x >0)，则r ′(x )＝(1＋ax )e ax －1(x >0)，∵e ax －1>0，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，r ′(x )>0，r (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，r ′(x )<0，r (x )单调递减．∴r (x )max ＝r ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－⎝⎛⎭⎫1a e 2＋1≤0⎝⎛⎭⎫a ≤－1e 2，∴当0<x <－1a时，g ′(x )<0，当x >－1a时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递增，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－1a ，设t ＝－1a ∈(]0，e 2，则g ⎝⎛⎭⎫－1a ＝h (t )＝t e 2－ln t ＋1(0<t ≤e 2)，h ′(t )＝1e 2－1t≤0，h (t )在(]0，e 2上单调递减，∴h (t )≥h (e 2)＝0；∴g (x )≥0，故f (x )≥2ax －x e ax －1. 热点二 利用导数讨论方程根的个数解 (1)∵函数f (x )在[0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝e x －1x ＋a ≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a ≥e －x －x 在[0，＋∞)内恒成立．记g (x )＝e －x －x ，则g ′(x )＝－e －x －1<0恒成立， ∴g (x )在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g (x )≤g (0)＝1，∴a ≥1， 即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)∵0<a <23，f ′(x )＝e x －1x ＋a (x >－a )，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1(x ＋a )2>0，知f ′(x )在区间()－a ，＋∞内单调递增．又∵f ′(0)＝1－1a <0，f ′(1)＝e －1a ＋1>0，∴f ′(x )在区间()－a ，＋∞内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0e x －1x 0＋a ＝0，于是0e x ＝1x 0＋a ，x 0＝－ln ()x 0＋a .当－a <x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )min＝f (x 0)＝0e x－2a －ln ()x 0＋a ＝1x 0＋a －2a ＋x 0＝x 0＋a ＋1x 0＋a －3a ≥2－3a ，当且仅当x 0＋a＝1时，取等号．由0<a <23，得2－3a >0，∴f (x )min ＝f (x 0)>0，即函数f (x )没有零点．跟踪演练2(1)证明 当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1， 则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x ＝－(x －1)2e －x .当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1.(2)解 设函数h (x )＝1－ax 2e －x .f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x .当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①若h (2)>0，即a <e 24，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e 24，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③若h (2)<0，即a >e 24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点；由(1)知，当x >0时，ex>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e4a＝1－16a 3(e 2a )2>1－16a 3(2a )4＝1－1a >0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24.热点三 利用导数解决生活中的优化问题例3 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝32n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝32⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝m ⎝⎛⎭⎫32x ＋x ＋2m －32(0<x <m )． (2)当m ＝96时，f (x )＝96⎝⎛⎭⎫32x ＋x ＋160，则f ′(x )＝96⎝⎛⎭⎫12x －32x 2＝48x 2(32x －64)．令f ′(x )＝0，得32x ＝64，所以x ＝16.当0<x <16时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,16)内为减函数； 当16<x <96时，f ′(x )>0，f (x )在区间(16,96)内为增函数，所以f (x )在x ＝16处取得最小值，此时n ＝9616－1＝5.答 需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y 最小．跟踪演练3 解 (1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx .所以4＝2x ＋2y＋πx ，得y ＝4－(2＋π)x 2.依题意知0<x <y ，得0<x <44＋π.所以y ＝4－(2＋π)x 2 ⎝⎛⎭⎫0<x <44＋π.(2)依题意，得T ＝AB ·S ＝2x ⎝⎛⎭⎫2xy －12πx 2＝8x 2－(4＋3π)x 3.令T ′＝16x －3(4＋3π)x 2＝0，得x ＝0或x ＝169π＋12.因为0<169π＋12<4π＋4，所以当0<x <169π＋12时，T ′>0，T 为关于x 的增函数；当169π＋12<x <44＋π时，T ′<0，T 为关于x 的减函数，所以当x ＝169π＋12时凹槽的强度最大. 课时作业1.（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）由题意知：定义域为，且．令，，，．∵在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减．又，， ∴，使得，()f x (,)-∞+∞1π()2sin()23xf x x e '=---1π()2sin()23xg x x e =---[π,0]x ∈-1π()cos()23xg x x e '=---[π,0]x ∈-xy e =-[π,0]-1πcos()23y x =--[π,0]-()g x '[π,0]-π(0)cos()103g '=---<ππππ1(π)cos()023g e e-'-=----=>0(π,0)x ∃∈-0()0g x '=∴当时，；当时，，即在区间上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点．（2）由（1）知，且在区间存在唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，而， ，故在上恒有，∴在上单调递增， 又，， 因此，在上有且仅有一个零点． 2.解：（1）设⊙P 半径为r ，则)2(4r AB -=， 所以⊙P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得4162+≤πr ，故⊙P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分0[π,)x x ∈-()0g x '>0(,0]x x ∈()0g x '<()g x 0[π,)x -0(,0]x 0x x =()g x ()f x '[π,0]-0x 1π()2sin()23xf x x e '=---()f x '[π,0]-()f x '0[π,)x -0(,0]x ππππ1(π)2sin()1023f e e-'-=----=->π(0)2sin()1103f '=---=>()f x '[π,0]-()0f x '>()f x [π,0]-ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<π(0)4cos()1103f =--=>()f x [π,0]-（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：⊙P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分 3.解：（1）由函数为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--xx e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，)(x f所以xx x xx e me e m ee xf 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立， 即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f xx --=-)(，令m e e x f x g xx -+='=-)()(， 则xx xx ee ee x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=m t g ，又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f xx--=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， (11)分构造函数，所以，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e， 所以当0≥x 时，恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中， ……13分则02()f x e ≥-可转化为0()(1)h x h ≥，故10≤x ，由m e e x x =+-00，设xx e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-xx ee y ，x x e e y -+=在上递增，故ee m 1+≤， xxex e x x h -+--=)1()1()()()(x xe ex x h -='-0)(≤'x h eh 2)1(-=]1,0(综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分4.（Ⅰ）0y =；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）(),1-∞. 【分析】（Ⅰ）将0x =代入()f x 求出切点坐标，由题可得()cos sin 1f x x x x +'=-，将0x =代入()f x '求出切线斜率，进而求出切线方程．（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=，由导函数研究()()g x f x '=的单调性进，而得出答案．（Ⅲ）题目等价于min min f g >，易求得min (1)1g g a ==-，利用单调性求出()f x 的最小值，列不等式求解．【详解】（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x +'=-，所以(0)0f '=，即切线的斜率0k =，且(0)0f =，从而曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程为0y =.（Ⅱ）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（Ⅲ）由已知，转化为min min f g >， 且2()2()g x x x a a R =-+∈的对称轴1x =[]1,2∈所以min (1)1g g a ==- .由(Ⅱ)知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以当[0,π]x ∈时，min 0f =. 所以01a >-，即1a <，因此，a 的取值范围是(),1-∞.【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．5.(1) 1ln 2a a-；(2)证明见解析.试题分析：(1)由题意可得：0b =.结合导函数研究函数的单调性可得()max 1ln 2g x a a=-. (2)由题意结合(1)的结论有()()()()2121212*********ln 222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++-+=，构造函数()ln m m m ϕ=-，结合函数的特征即可证得题中的结论. 试题解析： （1）由()1f x ax b x-'=+，得()11f a b ='-+， l 的方程为()()11112y a b a b x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，又l 过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()111111222a b a b ⎛⎫⎛⎫--++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0b =. ∵()()()()211ln 112g x f x a x x ax a x =--=-+-+， ∴()()()2111111(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=-+-==>'， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减. 故()()2max111111ln 11ln 22g x g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）证明：∵4a =-，∴()()22121212112212123ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，()()212121212ln 222x x x x x x x x =++++-+=，∴()()2121212122ln x x x x x x x x +++=- 令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，()1m m mϕ'-=，令()0m ϕ'<得01m <<；令()0m ϕ'>得1m >.∴()m ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，∴()()11m ϕϕ≥=，∴()2121221x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥. 6.(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出函数()g x ，根据()0af e e=->，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析：（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x +=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f xx g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.7.（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）1a e ≥-.【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间； （3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1ln g x x x=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围.【详解】（1）因为函数()ln f x x x =， 所以()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-. （2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+， 由（1）可知，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=解得1x e=. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.（3）当1x e e≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”.令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令()0g x '=解得1x =，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增.而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11ln 1 1.5g e e e e=+=+<. 所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.8.（Ⅰ）y x =；（Ⅰ）分类讨论，详见解析；（Ⅰ）15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（Ⅰ）当1a =时，求出()f x '可得切线的斜率，从而得到切线方程. （Ⅰ）求出()f x '后就1,1,1a a a >=<讨论其符号后可得函数的单调区间.（Ⅰ）就0a ≤、01a <<、1a =、12a << 、2a ≥分类讨论后可得()f x 的最大值和最小值，从而得到关于a 的不等式组，其解即为所求的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，因为()3213x x x f x =-+所以()221x x f x =-+'，(0)1f '=. 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y x =.（Ⅰ）因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =.若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时，故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a .若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时，故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .（Ⅰ） 由题设，只要()()max min 23f x f x -≤即可. 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，(),()f x f x ' 变化情况如下表：由表可知(0)0(1)f f =>，此时2(2)(1)3f f -> ，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()'f x f x , 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,,， 且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，因()()2203f f -=，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤⎧⎨≥⎩， 即3211262311026a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ ，解得113a ≤<. 当1a =时，由（Ⅰ）知()f x 在[]0,2为增函数，此时()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，符合题意. 当12a <<时， 同理只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤⎧⎨≥⎩，即3211226311062a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ ，解得513a <≤. 当2a ≥时，2()(1)32f f >=，()2()0(311)f f f =->，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查曲线的切线、函数的单调性以及不等式的恒成立，注意导数符号的讨论需按导数的零点是否存在、根存在的条件下根的大小关系来分类讨论，本题属于难题.。

函数与导数（四）热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)已知f (x )＝2|x |x ＋x －2x ，则y ＝f (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)关于x 的方程(x 2－2x )2e 2x －(t ＋1)(x 2－2x )e x －4＝0(t ∈R )的不等实根的个数为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．1或5 及时归纳 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定． (2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x－1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 (2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例2 (1)已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞) 及时归纳 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数． (2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，3x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(－∞，1) (2)函数f (x )＝|x |e x ，方程[f (x )]2－(m ＋1)f (x )＋1－m ＝0有4个不相等实根，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，＋∞热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？及时归纳 (1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？课时作业1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++ （x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤2.如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.3一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元.设该公司一个月内生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为4x -万元，且每万件国家给予补助2ln 12e x e x x--万元. （e 为自然对数的底数，e 是一个常数.） （Ⅰ）写出月利润()f x （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式；（Ⅱ）当月生产量在[1]2e ,万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）. 4.如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切． （1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）5.某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大. 6.两县城A 和B 相距30km ，现计划在两县城外位于线段AB 上选择一点C 建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和. 记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ；且当垃圾处理厂C 与城A 距离为10km 时对城A 和城B 的总影响度为0.029. (1) 将y 表示成x 的函数；(2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．7.已知梯形ABCD顶点B，C在以AD为直径的圆上，AD＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB，BC，CD组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧AB，CD和弦BC这三部分组成，在弧AB，CD上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2函数与导数（四）答案热点一 函数的零点 例1 (1)答案 C解析 令2|x |x ＋x －2x＝0，化简得2|x |＝2－x 2，画出y 1＝2|x |，y 2＝2－x 2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点． (2)答案 B解析 设f (x )＝(x 2－2x )e x ，则f ′(x )＝(x ＋2)(x －2)e x ，所以函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→0，f (－2)＝(2＋22)e －2，f (0)＝0，f (2)＝(2－22)·e 2，当x →＋∞，f (x )→＋∞，由此画出函数y ＝f (x )的草图，如图所示．关于x 的方程(x 2－2x )2e 2x －(t ＋1)(x 2－2x )e x －4＝0，令u ＝f (x )，则u 2－(t＋1)u －4＝0，Δ＝(t ＋1)2＋16>0，故有两个不同的解u 1，u 2，又u 1u 2＝f (－2)f (2)＝－4，所以不等实根的个数为3. 跟踪演练1 (1)答案 B解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )周期为2，作函数f (x )和g (x )的图象， 图中，g (3)＝3－log 23>1＝f (3)，g (5)＝3－log 25<1＝f (5)，可得有两个交点，所以选B. (2)答案 A解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．热点二 函数的零点与参数的范围 例2 (1)答案 (3,5)解析 ∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f (x －1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2，在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，解得3<a <5.(2)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.跟踪演练2 (1)答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，3x －a ，x >0(a ∈R )在R 上有两个零点，且x ＝a3是函数f (x )的一个零点，∴方程2x －a ＝0在(－∞，0]上有一个解，再根据当x ∈(－∞，0]时，0<2x ≤20＝1，可得0<a ≤1.故选A. (2)答案 C解析 根据题意画出函数f (x )的图象．当x >0时，f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝1－x e x (x >0)，故f (1)＝1e为f (x )在(0，＋∞)上的最大值．设t ＝f (x )，t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0 有两个根t 1，t 2，由图可知，对应两个x 值的t 值只有一个，故可设t 1对应一个x 值，t 2对应3个x 值．情况为⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0，t 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e 或⎩⎨⎧t 1>1e ，t 2∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，当属于第一种情况时，将0代入方程得m ＝1，此时二次方程t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>1e，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，⎩⎪⎨⎪⎧1e 2－m ＋1e ＋1－m <0，1－m >0，即e 2－e ＋1e 2＋e<m <1.热点三 函数的实际应用问题例3 解 (1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，当x ＝65时，y有最小值175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10.因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低． (2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x.①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数．当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少．跟踪演练3 解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．课时作业1.B 【分析】销售的利润为321911()181622g x x ax x x =-++--，利用(2) 2.5g =可得a ，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为()g x ，由题意，得321911()181622g x x ax x x =-++--，(]0,8x ∈ 即3219()8161g x x ax =-+-，当2x =时，95(2)1142g a =-+-=，解得2a =， 故3219()1,88g x x x =-+-23()8g x x '=-+93(6)48x x x =--， 当(0,6)x ∈时，'()0g x >，当(6,8)x ∈时，)'(0g x <，所以函数()g x 在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以6x =时，利润最大，故选B. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．2.3227π【分析】根据题意，设小圆柱体底面半径为cos θ，则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，小圆柱体体积()2cos 1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()321V t t t π=⋅--++，利用导数性质能求出小圆柱体体积的最大值.【详解】由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ，则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，， 小圆柱体体积()2cos1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()()()232111V tt tt t ππ=⋅-+=⋅--++则()()()2321311V t t t t ππ'=⋅--+=⋅-++当13t =时，max 3227V π= 故答案为：3227π 【点睛】本题考查圆柱体体积的最值问题，根据圆柱体积公式构建函数，求导研究函数的性质，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题. 3.（Ⅰ）2()2(1)2ln 2(0)f x x e x e x x =-++-->； （Ⅱ）月生产量在[1]2e ,万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为2()2f e e =-，此时的月生产量值为e （万件）【分析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得利润()f x （万元）关于月产量（万件）的函数解析式2()2(1)2ln 2(0)f x x e x e x x =-++-->； （Ⅱ）先求函数()f x 的导数，再利用导数()f x '的符号判断函数在[1]2e ,的单调性并进一步据此求出其最大值及最大值点.试题解析：解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得22ln 1()(422)12(1)2ln 2(0)e xf x x x e x xx e x e x x =-+----=-++--> （Ⅱ）2()2(1)2ln 2f x x e x e x =-++--的定义域为[1]2e ,， 且22(1)()()22(1)(0)e x x e f x x e x x x--=-++-=->' 列表如下：由上表得：2()2(1)2ln 2f x x e x e x =-++--在定义域[1]2e ,上的最大值为()f e . 且2()2f e e =-.即：月生产量在[1]2e ,万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为2()2f e e =-，此时的月生产量值为e （万件）.考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用. 4.解：（1）设⊙P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以⊙P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故⊙P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增， 即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：⊙P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分5.（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.试题分析：（Ⅰ）由题意可得5x =时，11y =，代入函数解析式可得a 的值；（Ⅱ） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.试题解析：解：（Ⅰ）因为5x =时，11y =，所以10112a +=，故2a = （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量()221063y x x =+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 ()()()221036f x x x =+--从而()()()3064f x x x -'=-于是，当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：由上表可得，4x =是函数()f x 在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点.所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.6.（1）()222.70.8(030)30y x x x =+<<-；（2）函数在()018，内单调递减，在()1830，内单调递增；在线段AB 上存在C 点符合题意，该点与城A 的距离18km x =.【分析】（1）先求出垃圾处理厂对城B 的影响度比例系数k ，然后根据题意求y 与x 的函数关系； （2）应用导数求解.【详解】⑴据题意，km AC x =，()30km BC x =-，0,300030x x x >->∴<<且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为22.7x ， 对城B 的影响度为()230kx -， 因此总影响度()222.7(030)30k y x x x =+<<-．又因为当垃圾处理厂C 与城A 距离为10km 时对城A 和城B 的总影响度为0.029. 所以222.70.0290.81020k k +=∴=． 所以()222.70.8(030)30y x x x =+<<-． (2) 因3333332.70.827(30)8220.2(30)(30)x x y x x x x --'=-⋅+⋅=-⋅--． 由0y '=解得()()33330(2)330218x x x x x -=∴-=∴=⎡⎤⎣⎦．由0y '<解得()()33330(2)330218x x x x x ->∴->∴<⎡⎤⎣⎦ 由0y '>解得()()33330(2)330218x x x x x -<∴-<∴>⎡⎤⎣⎦ 所以y ，y '随x 的变化情况如下表：由表可知，函数在()018，内单调递减，在()1830，内单调递增， 当18x =时，172y =最小值， 故在线段AB 上存在C 点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小， 该点与城A 的距离18km x =．【点睛】本题考查函数在实际生活中应用问题.涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题，关键点在于把实际问题转化为数学关系式.7.解：设， -------1分（1），------2分， ----------3分总热量单位--------5分 当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分 当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分。