2011级高数第九章多元函数微分法及其应用

0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设z=ln（xy）,则其全微分dz=1 1dx dyx yC …A y • 2x , _ …,一3、函数u =1------- 的所有间断点是y2 -2x2{( x, y)| y =2x, x R, y R}、选择题（每小题3分，共15分）1、f (x, y) = 2xy 2 ,则极限lim f (x, y) = ( A ) x y x0x yy「0（A）不存在(B) 1 (C) 2 (D)0A当点P（x,y）沿曲y =kx趋向(0,0)时,m f(x,y)叩0 y zkxkx2x2 k2x2k ....................显然，当k取值不同是，极限也不相同。

1 k所以（x,y m0,0）说y不存在•2 32、在曲线x=t,y =—t ,z = t所有切线中，与平面x + 3y+3z = 4平行的切线（A ）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有3条；（D）不存在曲线的切向量T =(5'(t),5’(t), »(t))=(1,—2t,3t2),平面的法向量n = (1,3,3)9 9 9 1 1 ...............(1 -2t,3t2) (1,3,3) =1—6t +9t2 =0 ,(3t —1)2 = 0,彳#t =一.所以只有一条切线满足条件.3、点（0,0诞函数2=乂丫的（B ）（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对分析：令zx=y=0, zy=x = 0，得（0,0）是驻点，但点（0,0）是z = xy的鞍点，不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、& z =e u sin v, u =xy, v = x + y,求三和必ex tyz f 二f 二u 二f 二v解一=——■——■——■ ——x 二x 二u 二x v二x: e u sin v y , e u cosv = e x y[ y sin( x y) cos( x y)]u v u . u xy — —— 一 —— —— =e sin v x e cosv =e [x sin(x y) cos(x y)] y .:u .:y .:v .:y五、解答题(每小题分10,共20分)1、要造一个容积为定数 a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小?此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为x, y, z,则问题就是在条件 中(x, y, z) = xyz — a =0下求函数 S = xy 2xz 2yz (x . 0, y . 0, z . 0)的最小值.作拉格朗日函数L(x, y, z)= xy 2xz 2yz ——..(xyz - a),y + 2z + 九 yz = 0 , x + 2z + ?一 xz = 0 ,2 (x y ) - xy = 0 , xyz -a = 0.，口 11..、 …得 z = —x =-y,代入xyz —a = 0彳导2 21 3 二z = - J 2a,这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一 2定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为 疮 疡 工病时，最小2表面积 S =33(2a)2.0910B一、填空题(每小题2分，共10分)2、设函数z = f (x, y)是 由方程x 2+y 2 +z 2=4z 给出，则 全微分 dz =.一 一 一 xdx ydy 2xdx 2 ydy 2zdz =4dz , dz2 z3、曲面x 2十y 2+z 2=14在点P(1,2,3)处的切平面方程为 .切平面得法向量 汗⑼)=(2x,2y,2z)(1,2,3)=(2,4,6),切平面方程为 2(x —1)+4( y-2)+6(z — 3) = 0,或x + 2y + 3z —14 = 0. 二、选择题(每小题2分，共10分)1、二元函数f(x,y)在点(x 0,y 。

高等数学A(2)复习题第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1、设函数)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f2、数1412222-++--=y x y x z 的定义域是 .3、设函数f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则一阶偏导数(3,2)y f '= .4、设函数xy e y x z +=2，则=∂∂)2,1(y z . 5、设函数)32ln(),(xy x y x f += ，则偏导数=')0,1(y f . 6、设函数(,,),x z f x y f y =可微，则偏导数z y∂=∂ . 7、设函数)ln(2xy y z =，则=)2,1(y z∂∂ .8、设函数y z (sin x)=,则偏导数yz ∂∂= . 10、设函数2(,)cos()z f x y x y ==，则二元偏导数值(1,)2xx f π= . 11、设2ln ,z u v =而,32,x u v x y y ==-， 则y z ∂∂= 12、设函数y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则=dt dz . 13、设函数222),(y x y x f +=，则 =+),('),('y x f y x f y x .14、设函数(,)f x y =(1,2)x f '= .15、设函数)32ln(),(x y x y x f += ，则(1,0)y f = . 16、已知方程ln x x y z =确定隐函数(,)z z x y =，则z x∂=∂ . 17、已知由方程0323=+-y xz z 确定隐函数),(y x f z =，则z x ∂=∂ ． 18、设函数sin()2xy z =，则全微分=dz .19、设函数z x y x e y =--322，则全微分dz = .20、设函数)ln(2xy z =，则=dz .21设 )sin(xy z =可微， 则全微分=dz .22、设函数 xy e z =，则全微分dz ＝ .23、设函数xy z xe =，则全微分dz = .24、设函数)cos(2y x z =，则=dz .25、极限42lim 00+-→→xy xyy x = .26、极限=→→x xy y x sin lim 20 . 28、0x y →→=_______________.29、(,)(0,1)sin lim x y xy x→=___________. 30、极限42lim00+-→→xy xy y x = . 31、 极限(,)(0,0)sin lim x y xy x→=_____________． 32、极限02sin limx y xy x →→= . 33、极限=-+→→113lim00xy xy y x .34、曲面224z x y =--在点 处的切平面平行于平面220x y z ++=.35、设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，0),(00>y x f xx 0),(00>y x f yy 0),(00=y x f xy 则函数),(y x f 在),(00y x 处必有______________（填极大或极小）.36、若函数632),(22+++++=by ax y xy x y x f 在点)1,1(-处取得极值，则常数_____________,==b a37、设函数22),(xy y x y x f +=，则其在点（1,2）处的梯度为 .38、函数22y x z +=在点（1,2）处沿从点A （1,2）到点B （2,2＋3）的方向的方向导数等于 .39、函数yxe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数等于 ．40、函数x ye z 2=在点（0,1）处沿向量}21,21{-方向的方向导数为 . 41、设函数222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)2,2,1(grad -f 为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.42、设函数223),(xy y x y x f -=，则其在点(1,2)处的梯度为 _____________．44、 函数22z y xy x =-+在点(1,1)M 处沿向量{}6,8l =r 的方向导数为 45、 函数223u x y xy =+-在点(1,2)M -处沿其梯度方向l 的方向导数M u l ∂∂ .二、解答题1、设y x u arctan =，求y x u x u ∂∂∂∂∂222,.2、求三元函数zy x u =的全微分du3、设函数2z (,), ,x y z z f x y x y ∂∂=∂∂求 .4、设函数ln(z x =+，求x z ∂∂，2z x y ∂∂∂.5、已知函数z =，试求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 6、 设ln(ln )z x y =+，求2z x y∂∂∂. 7、设函数z = ，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 9、设函数2sin (sin sin )z y x F y x =+-，其中)(u F 可导，试求z z x y∂∂∂∂，． 10、 设函数22(,)z f xy x y =,且(,)f u v 具有二阶连续偏导，求2z x y ∂∂∂. 11、 设函数()2ln z x y =+，求y x z ∂∂∂2。

第九章 多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。

（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。

（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 。

（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。

（5）下列极限中存在的是（ ）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+； （4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+； （6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。

3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。

4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。

§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。

（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。

（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。

第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。