§8-3 可降为一阶的二阶微分方程的解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。

微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。

那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。

而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。

为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。

1　若特征方程有两个相异实根。

则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。

1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2　若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解　这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解　特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。

郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213指导教师程春蕊职称讲师2015年4月5号二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。

常微分方程在微分理论中占据首要位置•普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面，不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。

而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的•不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难，迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。

本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。

关于二阶常系数线性微分方程的求解问题，首先，我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。

关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。

对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。

关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式Order reduction method of second order ordinarydifferential equationsJingjing Jia Chun「ui Cheng 111106213AbstractOrdinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice ・ Ordinary differential equations in the theory of d if fere ntial occupied first place, it has been widely used in engi neering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem・ And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty? so far we haven't a well-established general method・This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly?we should use theintegral fact or times d if fere ntial equation and derivative operation and turn two order constant coefficient linear differential equation into the first order differential equation.Finally. We first order differential and integral form on both sides, solve the first order linear differential equations and find out a special solution or gen era I solution of the second orde r linear constant coefficie nt differential equation. We solve the problem of second order homogeneous linear differential equation with variable coefficients, and should be turned into the appropriate equation, through the order reduction method to solve the second order homogeneous general solution of differential equation with variable coefficients.Solving non-homogeneous linear differential equation, we need to calculate it by applying the method of constant variation of a particular solution, problem is solved accordingly.Keywordssecond order ordinary differential equation ；Order reduction method; Characteristic root;Constant variation method;A first order differential form.第一章预备知识 (2)第二章二阶常系数线性微分方程的降阶法 (5)2.2提出问题 (5)2.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法 (6)2.3举例 (6)2.4小结 (8)第三章二阶变系数线性常微分方程的降阶法 (9)3.2提出问题 (10)3.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法 (10)3.2.1求满足条件1的恰当方程的通解 (10)3.2.2求满足条件2的恰当方程的通解 (12)3.3小结 (14)第四章可降阶的二阶常微分方程 (15)4.1鬃= /（"）型的微分方程 (15)d'y _ f（ dy^4.2d'x L'd.J型的微分方程 (15)4.3=型的微分方程 (16)第五章可降阶的高阶常微分方程 (18)5.1= /（x）型的方程 (18)5.2%,严$叫...严）=o（i“s）型的方程.. (18)5.3F（y,y',y"，...,严）=0 的方程.. (19)54 F（x,y,〉「,...$"））=＜①（X,y"T）=o型的方程……20 d.x总结 (21)... (23)二阶常微分方程的降阶解法班级学号1111062贾静静指导教师程春蕊职称讲师第一章预备知识2•只有自变量、未知函数及函数的导数(或微分)构成的关系式，就是微分方程。

第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。

因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。

例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。