§4.04-同角三角函数的基本关系式(2)

同角三角函数关系公式三角函数是数学中的一个重要的概念，它可以描述函数的变化以及计算函数的物理量。

在同一个角度下，尽管三角函数的取值可能不同，但它们之间仍然存在着古老的关系公式，这些公式被称为“同角三角函数关系公式”。

同角三角函数关系公式是以三角函数的参数θ为界，它代表了三角平面在x轴和y轴上所指定的角度大小。

当θ给定时，由其可以确定出三角函数的取值。

而三角函数之间的关系公式恰好就是这种特殊性质的体现。

同角三角函数关系公式的内容可以由定义公式决定，例如：sin2θ=2sinθcosθ 7 cos2θ=cos2θ-sin2θ 8 tan2θ=2tanθ/(1-tan2θ) 。

这些公式表明了同角三角函数之间的关系，它们是由其参数θ决定的。

这样，只要三角函数的参数θ给定，就可以由其确定出三角函数的取值，并且可以通过同角三角函数关系公式来求解函数物理量。

另外，对于同角三角函数关系公式也是有一定程度的推广和变形。

例如，由上述公式可以进一步得到以下变形公式：sin 2θ＝cos 2θ＝1-2 sin2θ。

这些公式使得微分方程中的有关求解变得更加方便。

而在数学上，同角三角函数关系公式也用于提供数学归纳法的计算。

例如，通过计算sin 2θ＝2sinθcosθ，我们可以得到sin 3θ＝3sinθ-4sin3θ。

此外，在实际的科学应用中，同角三角函数关系公式也可以用来解决实际问题，例如求出卫星的运行轨迹，分析信号传输的特性等等。

总之，同角三角函数关系公式是一种有着古老历史的数学公式，它可以为我们提供许多有用的信息。

只要给定了三角函数参数θ，我们就可以利用它来计算三角函数的取值，并且可以用它来求解函数物理量、解决数学推广问题，甚至是解决实际问题。

同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－tanαcot（－α）＝－cotα两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β）＝—————-1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2（α/2）1－tan2(α/2）cosα＝—————-1＋tan2(α/2）2tan（α/2) tanα＝——————1－tan2（α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝--———1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βc osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。

高一数学同角三角函数的基本关系式【本讲主要内容】同角三角函数的基本关系式【知识掌握】 【知识点精析】1. 同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin cos tan sec cot csc 222222111αααααα+=+=+=，， （2）商数关系：tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）倒数关系：tan cot cos sec sin csc αααααα⋅=⋅=⋅=111，，应用公式时需注意：①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，等式中涉及的角是同一个角，如sin cos 22331αα+=，tan()cot()-⋅-=1001001，而sin cos 221αβ+=就不一定成立。

②利用平方关系进行开方运算，要注意结果的符号，必要时，要进行分类讨论。

③这些关系式是对使它们有意义的那些角而言的。

如：tan sin cos ααα=是当αππ≠+∈k k z 2()时才有意义。

④在计算、化简、证明三角函数式时常用技巧有：i ）“1”的代换。

根据需要，常将算式中的“1”用“sin cos 22αα+”；“sec tan 22αα-”；“sin csc αα⋅”；“tan cot αα⋅”代换。

ii ）切化弦。

利用商数把正切、余切化为正弦、余弦函数。

iii ）整体代换。

将算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。

⑤公式应用非常广泛，因此除牢记公式原型外，还应注意公式的逆用，变形用。

如：cos sin 221αα=-，sin tan cos ααα=⋅，sin cos (sin cos )αααα⋅=+-212等等。

2. 同角三角函数基本关系式的应用（1）已知一个角的某个三角函数值，求它的其他三角函数值。

①尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号。

②尽量避免使用平方关系（在一般情况下只能使用一次）。

同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin ,1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sin cos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。

【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。

【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα==-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。

【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。

①又sin 2α+cos 2α=1， ②由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即21cos 5α=。

当α为第二象限角时，cos α=，代入①得sin α=。

当α为第四象限角时，cos 5α=，代入①得sin 5α=-。