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常微分方程Ordinary Differential Equations 第一讲可降阶的二阶微分方程内容提要实例可降阶的二阶微分方程的解法 模型求解与分析例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.背景这是历史上一个著名的力学问题,它最初是由雅克布.伯努利在1690 年提出的. 在此之前,伽里略曾关注过该问题, 并猜想这条曲线是抛物线, 但后来发现是不对的,最后是由约翰.伯努利解决的. 莱布尼兹将其命名为悬链线,它在工程中有广泛的应用.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线解第一步建立数学模型设绳索的最低点为D , 取y 轴通过点D 铅直向上, x 轴水平向右, 且点D 到原点O 的距离为一定值a . 由题意, 曲线在点D 处的切线斜率为零.如图, 建立坐标系.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线(,) ,,, .M x y DM s DM 设 为绳索上任一点 的弧长为 绳索的线密度为 下面分析弧段 的受力情况解第一步建立数学模型,.D M 由于绳索是柔弱的 故在点和处的张力沿切线方向例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线sin ,cos ,T gs T H θρθ==tan .gsH ρθ=于是可得解第一步建立数学模型, ,,D H MT 设点处的张力大小为点处的张力大小为 因弧段处于平衡状态 则有例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.解第一步建立数学模型tan .gsH ρθ=20tan ,1d ,xy s y x θ''==+⎰将代入上式并求导得21(1)1,(0),(0)0,.H y y y a y a a gρ''''=+===问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?背景这曾是美国原子能委员会提出的处理核废料的方案.生态学家和科学家担心这种做法不安全而提出疑问.原子能委员会向他们保证：圆桶绝不会破裂.经过周密的试验,证明圆桶的密封性是很好的.但工程师们又问：圆桶是否会因为与海底碰撞而发成破裂?随后他们进行了大量的试验后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s时,圆桶会因碰撞而破裂.那么圆桶到达海底时的速度到底是多少呢?它会因碰撞而破裂吗?问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?安全隐患:(1) 圆桶密封性; (2) 圆桶因碰撞而破裂实验结论:(1) 圆桶所受阻力与圆桶的下沉方位无关,与下沉速度成正比, 比例系数k=0.12;(2) 圆桶速度超过12.2米时,圆桶会因碰撞而破裂.核废料的定义：核废料泛指在核燃料生产、加工和核反应堆用过的不再需要的并具有放射性的废料.核废料的特征：①放射性: 核废料的放射性不能用一般的物理、化学和生物方法消除, 只能靠放射性核素自身的衰变而减少.②射线危害: 核废料放出的射线通过物质时, 发生电离和激发作用, 对生物体会引起辐射损伤.③热能释放: 核废料中放射性核素通过衰变放出能量，当放射性核素含量较高时, 释放的热能会导致核废料的温度不断上升, 甚至使溶液自行沸腾, 固体自行熔融.处理方法:核废料的处理，国际上通常采用海洋和陆地两种方法处理核废料. 一般是先经过冷却、干式储存，然后再将装有核废料的金属罐投入选定海域4000米以下的海底,或深埋于建在地下厚厚岩石层里的核废料处理库中. 美国、俄罗斯、加拿大、澳大利亚等一些国家因幅员辽阔、荒原广袤, 一般采用陆地深埋法.封装处置法盛放曼哈顿计划核废料的瓶子问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?所用常数:圆桶重量: W=239.456 Kg海水浮力: 1025.94kg/m3圆桶体积: V=0.208 m3问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?解如图, 建立坐标系设W 表示重量,B 表示浮力, D 表示阻力, 则F =W －B －D,B=1025.94×V =213.396,D=kv=0.12v .x Oy y 根据牛顿第二定律F =ma ,得.0)0()0(,0)0(=='=v y y 22d d (2),d d y y W B k m t t--=可降阶的二阶微分方程的类型型微分方程(,)y f x y'''=型微分方程(,)y f y y'''=(),y p x '=设,y p '''=则特点.y 右端不含解法),(.1y x f y '=''二、解法(),.p x y 先求出然后求() p x 于是原方程化为关于函数的一阶方程(,).p f x p '=(),y p y '=设d d d ,d d d p y p y p y x y''=⋅=则():p y 代入原方程得到新函数的一阶方程特点.x 右端不显含自变量解法d (,).d p p f y p y=),(.2y y f y '=''(),.p y y 先求出然后求例1211,(0),(0)0.y y y a y a''''=+==(),,y p x y p ''''==令则于是原方程化为,cosh .x y p y a a '==将 代入并积分 解得悬链线方程为22221cosh 1()21cosh .2x x x o x a ax y a y a x a a =++==+ 当||很小时，由泰勒展开知悬链线方程近似于抛物线注记211.p p a'=+三、模型求解解2ln(1 ), sinh x x p p p a a++==积分并代入初值可得即.解法1(),,y v x y v ''''==令则于是原方程化为(1),k t m W B v e k--=-解得2d d t t2()().k t m W B m W B m y t e k kk ---=+-.k W B v v m m-'+=91,.y t v =需要令求出时间然后求出速度问题回答非常困难!!解法22d d t t(),,y v y y v v ''''==令则于是原方程化为2()ln().mv m W B W B kv y k k W B---=---求解可得91?y v =令求问题.v 仍难求的精确值回答13.64(m /s).v ≈通过近似方法，如牛顿法，求出(m/s)(m/s),13.6412..2>因为所以圆桶可能发生破裂.这种处理核废料全的方法不安结论.mv v W B kv '=--补充利用软件Mathematica 计算v 的近似值2()ln(),=91.mv m W B W B kv y y k k W B---=---感谢大家的聆听！参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 周义仓, 靳祯, 秦军林. 常微分方程及其应用(第二版).北京: 科学出版社, 2010.[3] 王树禾. 数学模型选讲(第二版). 北京: 科学出版社,2008.[4] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations withModeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 王树禾. 数学模型选将. 北京: 科学出版社, 2008.[3] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.。
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
