22.一阶线性微分方程、可降阶的二阶微分方程

常微分方程Ordinary Differential Equations 第一讲可降阶的二阶微分方程内容提要实例可降阶的二阶微分方程的解法 模型求解与分析例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.背景这是历史上一个著名的力学问题,它最初是由雅克布.伯努利在1690 年提出的. 在此之前,伽里略曾关注过该问题, 并猜想这条曲线是抛物线, 但后来发现是不对的,最后是由约翰.伯努利解决的. 莱布尼兹将其命名为悬链线,它在工程中有广泛的应用.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线解第一步建立数学模型设绳索的最低点为D , 取y 轴通过点D 铅直向上, x 轴水平向右, 且点D 到原点O 的距离为一定值a . 由题意, 曲线在点D 处的切线斜率为零.如图, 建立坐标系.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线(,) ,,, .M x y DM s DM 设 为绳索上任一点 的弧长为 绳索的线密度为 下面分析弧段 的受力情况解第一步建立数学模型,.D M 由于绳索是柔弱的 故在点和处的张力沿切线方向例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线sin ,cos ,T gs T H θρθ==tan .gsH ρθ=于是可得解第一步建立数学模型, ,,D H MT 设点处的张力大小为点处的张力大小为 因弧段处于平衡状态 则有例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.解第一步建立数学模型tan .gsH ρθ=20tan ,1d ,xy s y x θ''==+⎰将代入上式并求导得21(1)1,(0),(0)0,.H y y y a y a a gρ''''=+===问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?背景这曾是美国原子能委员会提出的处理核废料的方案.生态学家和科学家担心这种做法不安全而提出疑问.原子能委员会向他们保证：圆桶绝不会破裂.经过周密的试验,证明圆桶的密封性是很好的.但工程师们又问：圆桶是否会因为与海底碰撞而发成破裂?随后他们进行了大量的试验后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s时,圆桶会因碰撞而破裂.那么圆桶到达海底时的速度到底是多少呢?它会因碰撞而破裂吗?问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?安全隐患:(1) 圆桶密封性; (2) 圆桶因碰撞而破裂实验结论:(1) 圆桶所受阻力与圆桶的下沉方位无关,与下沉速度成正比, 比例系数k=0.12;(2) 圆桶速度超过12.2米时,圆桶会因碰撞而破裂.核废料的定义：核废料泛指在核燃料生产、加工和核反应堆用过的不再需要的并具有放射性的废料.核废料的特征：①放射性: 核废料的放射性不能用一般的物理、化学和生物方法消除, 只能靠放射性核素自身的衰变而减少.②射线危害: 核废料放出的射线通过物质时, 发生电离和激发作用, 对生物体会引起辐射损伤.③热能释放: 核废料中放射性核素通过衰变放出能量，当放射性核素含量较高时, 释放的热能会导致核废料的温度不断上升, 甚至使溶液自行沸腾, 固体自行熔融.处理方法:核废料的处理，国际上通常采用海洋和陆地两种方法处理核废料. 一般是先经过冷却、干式储存，然后再将装有核废料的金属罐投入选定海域4000米以下的海底,或深埋于建在地下厚厚岩石层里的核废料处理库中. 美国、俄罗斯、加拿大、澳大利亚等一些国家因幅员辽阔、荒原广袤, 一般采用陆地深埋法.封装处置法盛放曼哈顿计划核废料的瓶子问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?所用常数:圆桶重量: W=239.456 Kg海水浮力: 1025.94kg/m3圆桶体积: V=0.208 m3问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?解如图, 建立坐标系设W 表示重量,B 表示浮力, D 表示阻力, 则F =W －B －D,B=1025.94×V =213.396,D=kv=0.12v .x Oy y 根据牛顿第二定律F =ma ,得.0)0()0(,0)0(=='=v y y 22d d (2),d d y y W B k m t t--=可降阶的二阶微分方程的类型型微分方程(,)y f x y'''=型微分方程(,)y f y y'''=(),y p x '=设,y p '''=则特点.y 右端不含解法),(.1y x f y '=''二、解法(),.p x y 先求出然后求() p x 于是原方程化为关于函数的一阶方程(,).p f x p '=(),y p y '=设d d d ,d d d p y p y p y x y''=⋅=则():p y 代入原方程得到新函数的一阶方程特点.x 右端不显含自变量解法d (,).d p p f y p y=),(.2y y f y '=''(),.p y y 先求出然后求例1211,(0),(0)0.y y y a y a''''=+==(),,y p x y p ''''==令则于是原方程化为,cosh .x y p y a a '==将 代入并积分 解得悬链线方程为22221cosh 1()21cosh .2x x x o x a ax y a y a x a a =++==+ 当||很小时，由泰勒展开知悬链线方程近似于抛物线注记211.p p a'=+三、模型求解解2ln(1 ), sinh x x p p p a a++==积分并代入初值可得即.解法1(),,y v x y v ''''==令则于是原方程化为(1),k t m W B v e k--=-解得2d d t t2()().k t m W B m W B m y t e k kk ---=+-.k W B v v m m-'+=91,.y t v =需要令求出时间然后求出速度问题回答非常困难!!解法22d d t t(),,y v y y v v ''''==令则于是原方程化为2()ln().mv m W B W B kv y k k W B---=---求解可得91?y v =令求问题.v 仍难求的精确值回答13.64(m /s).v ≈通过近似方法，如牛顿法，求出(m/s)(m/s),13.6412..2>因为所以圆桶可能发生破裂.这种处理核废料全的方法不安结论.mv v W B kv '=--补充利用软件Mathematica 计算v 的近似值2()ln(),=91.mv m W B W B kv y y k k W B---=---感谢大家的聆听！参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 周义仓, 靳祯, 秦军林. 常微分方程及其应用(第二版).北京: 科学出版社, 2010.[3] 王树禾. 数学模型选讲(第二版). 北京: 科学出版社,2008.[4] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations withModeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 王树禾. 数学模型选将. 北京: 科学出版社, 2008.[3] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.。

第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。

高等数学之一阶微分方程和可降阶微分方程问题的解法总结
常微分方程这部分内容，每年试题一般是一个小题，也会和其它知识点结合在一起出一个大题，分数一般在4分左右，难度不是很大。

除了各种微分方程的求解，对常系数线性微分方程解的结构和性质的考查也是考试的一个重要方面。

一阶微分方程的重点知识点如下：
（1）变量可分离的微分方程
（2）齐次方程
（3）一阶线性微分方程
（4）伯努利方程
（5）全微分方程：若存在二元函数u(x,y)，使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，则称微分方程
P（x,y)dx+Q（x,y)dy=0为全微分方程，它的通解为u(x,y)=C.
从上述总结的一阶微分方程的种类及解法可以看出，这类题目的题型多变，同学们需要强化记忆理解相关概念，注意区分，对不同类型的题目采取相对应的解法。

（6）可降阶的高阶微分方程
题型一：可降阶且不显y的微分方程
例1：（2007年考研真题)
分析：本题是可降阶且不显y的微分方程，可以通过令p=y'，把原方程化解程一阶线性微分方程。

解：
题型二：积分方程化为微分方程求解
例2：（2008年考研真题）
分析：本题是求旋转体的侧面积和体积以及微分方程的综合题，考察学生是否熟练掌握了旋转体的侧面积和体积的求法，其次考察了把积分方程转化为微分方程来求解的技巧。

解：
总结：
（1）一阶线性微分方程是考试的重点；
（2）可降阶的高阶微分方程经常考，07，08，09三年都有考。

认识微分方程的各类类型与解法微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系，是许多自然科学领域中理论和实际问题的数学描述工具。

微分方程的解法分为几个主要类型，包括一阶线性微分方程、一阶可分离变量微分方程、一阶齐次微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等。

本文将介绍这些类型的微分方程和相应的解法。

1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程具有以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知的函数。

解这类微分方程的方法是通过乘积因子来将其转化为可积分的形式。

乘积因子是一个与y相关的因子，通过选择合适的乘积因子可以将方程变为可分离变量的形式。

2. 一阶可分离变量微分方程一阶可分离变量微分方程具有以下形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知的函数。

这类微分方程可以通过分离变量的方式解决。

将方程两边同时乘以dy和dx的倒数，然后将包含y的项移到一个方程的一边，包含x的项移到另一个方程的一边。

然后分别对两个方程进行积分，得到y的函数和x的函数。

3. 一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程具有以下形式：dy/dx = f(y/x)，其中f(y/x)是一个关于y/x的函数。

这类微分方程可以通过变量代换来求解。

令v=y/x，将原方程转化为关于v的常微分方程。

然后对v进行求导，将得到的结果带入常微分方程，最后对常微分方程进行求解，得到v的解，再通过v与y/x的关系求得y的解。

4. 二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程具有以下形式：d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知的函数。

这类微分方程可以通过特征方程法来解决。

首先假设y=e^(rx)是方程的解，带入微分方程得到一个关于r的方程，解这个方程得到r的值。

然后根据r的值，得到y的通解。

除了以上介绍的几种类型外，还有许多其他类型的微分方程，如高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程、变系数线性微分方程等。