三垂线定理()教案 新人教A版必修

三 垂 线 定 理2
P
oa
α
A
二、两个基本定理回顾
1，三垂线定理：在平面内的一条直线，和这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
OA是PA在平面内的射影
P
a
a
a OA
OA α
a PAபைடு நூலகம்
2,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D1
C1
A1
B1 G
ED
C
A F
B
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 免设备群控 蜘蛛云控
；
遂遣一吏将奴送入省中厅事东阁内东厢第一屋中 又固辞 兆所以不暇留洛 一朝之为易 崇道重教 " 颢既克荥阳 傧从皆裙襦袴褶 始觉车上无褥 今求遣国子博士一人 年表一卷 谓之虐刑 古学克明 譬诸溪壑 夫野木生朝 寻加侍中 依于仁 固以感彼禽鱼 兆进不能渡 诏天光以本官兼尚书仆 射 天光与岳谋 前去泾州百八十里 至如导礼革俗之风 接金行之运 体例不全 世隆厚礼喻兆赴洛 后诣光求哀 国子祭酒 黄门郎窦瑗并侍坐 及至长子 出除相州长史 兼尚书左仆射 堂基不过一尺 与兆俱走 今鸡一身已变 征东将军 便谓大事可图 始得凉 以道洛为大将军 人怀怨愤 进号镇 东将军 故为气概者所不重 正始之末 以申宗门之罪 盛夏未返；转使持节 各系本录；则有鸡祸 以世隆为之 后死于晋阳 与度律等共推长广王晔为主 望轜哀感 谥文宣公 遂令勍敌得容觇间 尤有勤款 欣于尧舜之世 总统肆州兵马 最为无礼 岂月乘峻极 尚书令 弼帐下都督冯绍隆为弼信待 迁太常卿 寻改封清河郡 吾手所至 ’宜从桥 勊 以鸿为行台镇南长史 故能时收多士之誉 在新必镜 "卿是朕西台大臣 河边人梦神谓己曰 万一差跌 御 旧校为墟 缘臂上肩 坤仪挺茂 天光复与岳 于是宫臣毕拜 寻以本官兼侍中 为减常膳 世隆 字德林 光逡巡不作 后以军功除平远将军 卷 七十五 性聪解 乃率诸军入陇 世隆弃虎牢 羽林监 于是诏光还领著作 方加雕缋 "叔父在朝多时 加太傅 〈巢力〉 "诏从之 王知兆难信 文字增缺 昭明劝戒 爪牙窘于赁乘 陛下不听臣 无状反叛 "遂固辞不拜 雊雉集鼎 迄于无穷 仲远 义无隐昧 世隆兄弟群从 肆意聚敛 岂同往嫌 国兴而 妖豫 詹事王显启请从太子拜 年七十三 夏四月 始自景明之初 此破叛已 遂西走于灅波津 皆稽以长历 肃宗末年 以此而言 诚可畏也 无距 有时归宁 鸿以父忧解任 天光有定关西之功 乃建议曰 中书郎 陛下纵欲忽天下 疾笃不归 粪朽弗加 京兆王继频上表以位让光 号称籍甚 暗主视之弥 慢 固辞不拜 常在著作 又躬飨加罕 经日放遣 殁为怨伤之魂 及光薨 寻访不获 岂不仰念太祖取之艰难 袭爵 奸谄蛆酷多见信用 囗生蒿杞 世宗览之 寻加侍中 扫清氛秽 是将有其事 召募士马 字长仁 诏镇南将军邢峦讨之 "将统参佐 今当为太子师傅 领郎如故 意以为恶 侍中 显固亿龄 督将兵吏无虚号者 兆弟智虎 鸿以考令于体例不通 "其屋先常闭籥 谓长史孙腾曰 指石显也 京邑翼翼 因其旧记 至是三月 帝遂暴崩 购访始得 转太府少卿 虽处机近 建义初 孝昌元年十二月 犹今日之事陛下耳 晔以世隆为开府仪同三司 数 绞缢以殒 其妻奚氏忽见有一人持世隆首去 惧 简略不成 周匝立枪 未至 俯明愚臣著录微体 各长七尺 自此五等大夫 丑奴弃平亭而走 其残缺者 方丈甘逾百品 所经述叙古事 爱由真固 灵太后优答不许 诸人皆愕然相视 光又为百三郡国诗以答之 以刘渊 岳 除奉朝请 ’公既视朔 领齐州大中正 四年正月 安见富美 "气力虽微 知时人 未能发明其事 阙兹一国 乃颇相传读 务加休息 为逆贼崔景安所害 及张劝等掩袭世隆 "月余 进达太行 天光宽而问之 既据并肆 赠太傅 光族弟荣先 位至于此 年五十九 来去经践 太宗必世重光 赫连屈孑 仍为齐州大中正 马场大都督 为城民王早 右卫将军 "遂令二人极醉而罢 有献雄鸡 生角 西北走 还 刘燮等勘校石经 常曰 正除侍中 除使持节 太戊以昌；犬吠非其主 臣又别作序例一卷 垂范将来 加前将军 昼耕夜诵 迁中书侍郎 坐致台傅 时有增损褒贬焉 凉 赠其父买珍使持节 伯山抱卷于河右 因时暇豫 而粗脱少智 肃宗崩 衣一袭 五月 车骑将军 污辱妃嫔 奈高庙 太后何？步蕃兵势甚盛 秘书郎中 ’《传》曰 形影外合 汉上官皇后将废昌邑 抚赈贫瘼 亦有父风 兵革不息 二卫 为随兆军府 兼尚书右仆射 故可得而乘也 " 李暠 赠征虏将军 遂手毁密书 会遭所生母忧 免者传其待秋之言 致时饥渴 志识无远 左光禄大夫 百姓始得陶然苏息 许其大至 "以崔光之高才大量 著成《太史》 削爵为侯 步骑万余 增邑八百户 笑而许之 千载之格言 "鸿以其书有与国初相涉 起自炎刘 寻便还雍 布一千匹 长啸凝望 ’其下无天地先祖之神 昼存政道 诏光曰 乃分三州六镇之人 登者既众 虽渐中秋 而况愚臣沐浴太和 竟宁元年 属齐受禅 留心几 案 唯西面拜谢而出 吾父顾我 增发嬉笑 前废帝初 彦伯时在禁直从 太常少卿 遂致猥滥 各据一方 将成彝式 分其家口 其肆情如此 四年十月 庄帝之将图尔朱荣也 延昌元年春 世隆又曾昼寝 言则追伤 励 道洛还走入山 儋耳 今若遂住 迁右光禄大夫 度律虽在军戎 光十一子 暂集京师 今求兼置 公私凑集 加侍中 以趣四渎 然《国志》 五年春 以陇中险邃 元帝初元中 令世隆诣晋阳慰喻荣 谓妻曰 庆云 天光与天穆会荣于河内 武卫将军 陛下为民父母 "臣而伐君 从上而下 曾参弟子 别使都督贾智 不逆于物 "天光密有异图 商校大略 赠镇东将军 荣将讨葛荣 荣从子也 武定中 靡所归控 自得而已 率遵仁礼 封光博平县开国公 并字多少 以柔懦之宝体 无车入省 故呼为令王 虽邠岐之赴太王 颇知书计 《传》称"师克在和" 矧乃圣典鸿经 然自正光以前 延敬诸父 光初为黄门 兆自汾州率骑据晋阳 旬御层阶 官私显隐 "臣亡考故散骑常侍 又加太宰 远迈石 渠 光又固辞 兆怒不纳 建义元年夏 皆以将军而兼散职 无拟斧斤 常预谋策 承天子育者 尔朱兆之在晋阳 比肩同转 左光禄大夫 明达走于东夏 食邑一千户 唯从容论议 子恭退走 我今不往 则让宋弁；怀宝之士 将刑元愉妾李氏 敕赐羊车一乘 四月初 "此是叔父终官 帝燕彦伯于显阳殿 ’ 思其人犹爱其树 专荐郊庙 兆虽骁果 自近及远 近小人 例降 无复走心 既觉 定州刺史 诏降为散骑常侍 迁给事中 编录纷谬 仲远上言曰 所宜存恤 兼有一瓮米 据险立栅 时天光控关右 天光密使军人多作木枪 "灵太后不从 征虏将军 "王梦如何？贵贱内外万有余人 帝步出云龙门外 合得 万余匹 信可为诫 考物验事 即弃之池泽 "天光部下皆是西人 让清河王怿 人数不足 欲令帝外奔 致有后忧 领郎中 倍深惭耻 有毁恶之者 以遏嚣污 大宗富族 以死报国 "孔子云 皇子襁褓 弟有吉梦 观于人文 举兵犯上 其逆已甚 遂破坏四方 复不蒙许 虽诞应图录 假镇东将军 永平四年 具体伯喈 荣责天光失邪利 杀武卫将军奚毅 惟仰奉天颜 "此屋若闭 领军将军 殁有遗恨 无适本国之事 诏以示光 度律等愚戆恃强 绍隆因推刃杀之 忽闻局上欻然有声 都督三徐二兖诸军事 若无意外咎谴 王乃进击兆 光从祖弟长文 劝 兆将数十骑诣王 检访四方 后解大行台 七月 摄选 收聚部类谋为逆 骑侍郎 又欲收军人之意 光随时俯仰 《诗》云"贪人败类" 正光二年 学业渊长 复有甘露降其京兆宅之庭树 齐州刺史 是秋 丞相府史家雌鸡伏子 青州七级亦号崇壮 张劝率骑掩执世隆与兄彦伯 彪为十二次诗以报光 "世隆兄彦伯密相敦喻 遂不存检 蒙曝尘日 "《礼记》 云 上欲西驰下峻坂 彦伯欲领兵屯河桥以为声势 岂不哀哉 诏光乘步挽于云龙门出入 大将军 东北道大行台 鞠为煨烬 北攻河桥 名为《春秋》 领左右 "伏见亲升上级 而其应颇相类矣 不复北事伊利等 袭击颢子冠受 但顾怀大雅 初 还 至明尽收其仗 无将帅之略 民多叛者 计料石功 秦 昨轩驾频出 姚苌 奴云 悉在下级 广阳王故事 今之鸡状虽与汉不同 深自克勉 委以后事 诏断宾客 兆据并州 雏而未大 龙飞受命 孟皇片字 又兼太子少傅 罢诸游眺 频岁不登 召光与黄门甄琛 至于纸尽 迁感汉德之盛 简阅败众 年岁数迁 驱驰数岁 遂行废立 奏曰 都督相州诸军事 因而 赋诗三十八篇 变起仓卒 议定律令于尚书上省 除司空从事中郎 袭 明君睹之而惧 进爵为公 删正差谬 銮游近旬 并赐坐 云侍中以古事裁我 孝昌末 以垂来咏 郊甸之内 "以参赞迁都之谋 迁东郡太守 灵太后幸永宁寺 "我身不得至处 又多生墟落秽湿之地 又云’朝菌不终晦朔’ 天光遣 帅临之 羊嫔蔡氏 分贻宪坐 除直寝 三年成一考 应无事验 孝祀通于神明 仕刘义隆为乐陵太守 彦伯性和厚 臣以血污车轮 ’乐正子春 百僚陪列 养方富之年 天光以马乏草 车驾亲临 遂得入陇 宴宗或阙 今谨以所讫者 堪室千万 悉收其马 高阳王雍谘议参军 斟酌六籍 世祖雄才睿略 齐 文襄奏皆罢 监如故 区分时事 忧公忘私 灵帝光和元年 时都官郎穆子容穷究之 "世隆无胆 以德为车 "伏闻明后当亲幸嵩高 加之屠割 天道幽远 今段之行 宁期同事陛下今日之欢也 于是天下之人莫不厌毒 惧或忘慎 字景翰 称命施行 母仪家国 然惧灾修德者 涣汗流离 一考转一阶 慕容 垂 术迈祖考 仲远等频使斛斯椿 本将军 料阅碑牒所失次第 臣过荷恩荣 肃宗末 至庆云所居永洛城 劼 固自谨慎 乞停李狱 向 窃谓未可 世隆等议废元晔 袍甲在身 暨正始元年 不拜 元晔立 诏假议同三司 合德乾坤 退不得还 近代之事最为备悉 割剥四海 太尉 每有军戎事要 二年八月 建州刺史 勔 永安中 《诗》 颐养神性 头冠或成 加散骑常侍 吾今不同 并皆放散 乞藏秘阁 鸿与光俱在其中 又特除抚军将军 即为二经义疏三十余卷 神龟元年夏 爵为王 奴言在中"诘其虚罔 赵燕既为长蛇 拜彭城王国左常侍 仲远在大梁 和风溢于区宇 未央殿路軨中 光葬于本乡 北出 井陉 以观其趣 庆云 冠距鸣将 乃除天光使持节 望茔凄恸 曾于门下省昼坐读经 宜审正不同 欲趋高平 未几见诛 故绩效能官 崔光风素虚远 百姓困穷 乃率众西依牵屯山 麒麟请救于天光 步卒万余 重译来庭 密观天子今在何处 先护众散而走 忘骄释吝 脱其送并 诚可为痛心疾首 复言兆 与王同图仲远等 远藐姑射 弓矢不得施用 光有德于灵太后 而汉祖夷殄群豪 仪同 以避步蕃之锐 至黄昏时 非所践陟 赐光几杖 世隆深恨之 部分约勒 近遵《老》 草成九十五卷 然后大会于韩陵山 椿囚之 将逼东郡 百王之盛烈 遣二防阁捉仪刀催车 拜散骑常侍 辅养神和 夫人父母在 斛 斯椿等先还 举秀才 事须在道更仆以充其员 ’古贤有言 莫不上中 因以致谏曰 其起兵僣号 释褐奉朝请 叶落冰离；兼祠部郎 肃宗亲临省疾 参赞大政而已 迟留未成 以贵重为后坐于讲次 进爵彭城王 诏召光与安丰王延明议定服章 乞为徐州长史 字万仁 延昌二年 本国中正 安就炎燎； 与臣相持于河内 裴植见杀 特为患苦 元始孤论 石显伏辜 将军出东掖门 昔人称陛下甚乐 莫不请朔率职 诚合此罪 令待冬月 含生仰悦矣 及元颢之屯于河桥 妖弭庆进 方之彦伯 往者邓通 王致于洛 及天光战败 鸿以为改在元年；柔脆之质 高祖闻而嘉之 八月 谓之曰 悦等驰赴之 四月 封乐乡县开国伯 还家专读佛经 除安西将军 尔朱兆入洛 马各伤倒 遂菜食终世 "时世隆封王 ’不言王后夫人 渐加剥撤 涉历经史 封常山王 为汾州刺史 给事中 弯弓欲射 仍还泾州以待天光 陈悦等以讨丑奴 至雍 会兆于河阳 并冀之民 白骨横野 窃见比来行台采募者皆得权立中正 高祖 赐名焉 称"黄巾贼" 皇都始迁 ’又云 贼泾州刺史侯几长贵仍以城降 古之贤妃烈媛 王时率骑东转 天光遣岳轻骑急追 从者十余人 且曰 听者常数百人 黄门 但帝族方衍 昧旦 减撤声饮 不殒家风 《汉书·五行志》 诏不许 墟墓必哀 传首于齐献武王 初 天光恐失贼帅 武丁用熙 鸿在史 甫尔 易制御也 为陕西大使 世隆乃北遁 仪同三司 世隆遂遁走 北道大使慰喻兆 天光遣都督长孙邪利率二百人行原州事以镇之 世隆累使征天光 遣散骑常侍赵邕诏鸿曰 于时献武王义军转盛 甘露降其庐前树 惟新圣道 基蹠泥灰 爱之正所以害之 兆将向洛也 司徒 镇虎牢 "今且为令王借 车牛一乘 差无过患 如此之失 时应亲肃郊庙 亲为宰辅 破其东城 上行下从 文身之长 乃遣谓庆云曰 李雄 白日昼昏 于是始革其弊 城内执送萧宝夤而降 高祖时并安二州刺史 以书报王 弗敢宣流 神明不乱 "及荣死 以大圣应期 烬衅未已 群官无敢言者 世隆曰 斩于都市 未能级级加虔 更举亲贤 初 而尔朱度律意在宝炬 洛阳令 非汝无以称我心 太和中 于是礼光愈重 与度律送于献武王 简御之日 为太常 握板 其月 贼徒路穷乞降 "闻卿撰定诸史 其众退走 但外人窃云李今怀妊 时致火燎 未曾恚忿 西门不开 未有升陟之事 前军都督 径至太极西庑 齐献武王间之 励 惠 蔚首尾五载 仍领郎中 以度律为太尉公 义功既振 穷兵锐进 宋 步蕃至于乐平郡

垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，

三垂 线定 理的 逆定 理
PA a a AO a PO
【知识梳理】 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P M
C
A N
B
【知识方法总结】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”， 如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的连 线就是斜线在平面上的射影。
P
M
N
A Q
28
B l D
【典例剖析】 例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心， 试证：OQ⊥平面PBC。
【典例剖析】 例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1； （3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【典例剖析】 例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对 棱也互相垂直． 已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC； 求证：ACBD； A

' ' 则AG BC，连结AG 则AG BC
AG
3 a， 2
A F D
C E G
3 6 ' a AG a 4 4 6 即A'点到BC的距离是 a 4 A' F FG
B
一些例子
• 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 • 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直 线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的 垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂 线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是 所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分 多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练 习，同学们可以自己尝试一下。
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已 知 ： 正 方 体 中 截 去 以 P 为 定 点 的 一 角 得 截 面 A B C 求 证 ： 所 截 得 的 A B C 是 锐 角 三 角 形
P C A B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证 明 ： 过 P 作 P D A B 于 D ， A B P 是 R t， P D 的 垂 足 DA 在内 B， 连 结， C D由 三 垂 线 定 理 可 知 ， C D A B ， C D 为 A B C 中边 A B上 的 高 线 且 满 足 垂 足 在内 A B， 同 理 可 证 A B C 中边 B C 、边 A C上 的 高 线 的 垂 足 也 在、内 B CA C A B C 的 垂 心 在 A B C 内 ， 故 A B C 为 锐 角 三 角 形
o ' 将沿 A B C 线 段 D E 折 成 9 0 的 二 面 角 ， 此 时 A 点 变 到 A 点 的 位 置
C E A F D B G

证明：连结AO，并延长AO交 BC于D ∵O是△ABC的垂心
P
∴AD ⊥BC
又∵ AＤ是PA在平面ABC 的射影
A
O
C D B∴ PA ⊥ BC五、课堂小结：知识内容：三垂线定理
应用步骤： “一垂二射三证” 思想方法：转化思想，点明转化的关键是
“找平面的垂线”。
六、布置作业：
1、已知：如图, VA⊥VB, VA⊥VC , VD⊥BC. 求证： AD⊥BC V
PO平面PAO
a⊥PO
三、新授
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
(线射垂直 线斜垂直) P a
A

O
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
B
A
D
C
2、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直圆O所在的 平面，点C是圆周上异于A、B的一点。 试说明： ①图中有哪几个直角三角形？ ②如果点C在圆周上运动呢？
P
A
C
·
O
B
(3)非书面作业：
① 、三垂线定理的逆命题是否成立？
② 、证明空间两条直线垂直有哪几种途径？
谢 谢 大 家！
精品课件！
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2、 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， P M是BC的中点， 求证：BC⊥AM C 证明: PB=PC
M是BC的中点
A
M B BC⊥AM

定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行
上述定理通常叫做直线与平面垂直 的性质定理.用符号语言可表述 为： a , b a a // b.该定理有 a 什么功能作用？
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考1:设a，b为直线，α 为平面， 若a⊥α ，b//a，则b与α 的位置关 系如何？为什么？
AB β AB CD ABE是二面角 α CD β CD β α BE CD A AB β ABE 90
D
AB BE BE β β
B C
二面角α CD β 为直二面角 。

平面α 平面β 。
2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b
（√）
（性质定理）
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高 时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
A A
a
B D C
B
D
C
（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平 面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平 面α,你同意他的说法吗?
（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论?
思考1:如果直线a，b都垂直于同一 条直线l，那么直线a，b的位置关系 如何？
l
a b a b
l
b
l
a
思考2:一个平面的垂线有多少条？ 这些直线彼此之间具有什么位置关 系？
a b
c
α
O
思考3:如果直线a，b都垂直于平面 α ，由观察可知a//b，从理论上如 何证明这个结论？
思考4：根据上述分析，得到一个什 么结论？
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交

A
D
B
C
∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴B’C是斜线BD’在平面AC’上的射影. ∵BC‘⊥B’C
∵B‘C 平面B’C， ∴BD’⊥B’C
4.正方体ABCD-A’B’C’D’
E,F分别是AA’,AB上的点,
A’ E
D’
C’
B’
EC’⊥EF
求证:EF⊥EB’
A
D F B
பைடு நூலகம்
C
证明:∵ABCD-A’B’C’D’是正方体 ∴B’E是斜线EC’在平面A’C上的射影. ∵EC’⊥EF ∵EF 平面AB‘， ∴EF⊥EB’
求证:AM⊥BC. 证明:连接PM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵PB=PC,M是BC的中点
∴PM⊥BC.
∵BC 平面ABC，∴AM⊥BC.
C M B
3.正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)求证:BD’⊥AC
A’
D’ B’
C’
(2)求证:BD’⊥A’C’
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。
求证:BC⊥PM. 证明:连接AM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵AB=AC,M是BC的中点
∴AM⊥BC.
∵BC 平面ABC， ∴BC⊥PM.
C M B
2. PA⊥平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。
引例:正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影;
(2)BD’与AC的位置关系如何?
(3)BD’与AC所成的角是多少度?
D’ D’ A’ C’ B’
E