抛物线中的内接三角形面积问题

2019-2020 年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题) 如图 1(1) ，已知抛物线经过A(3,0) ， B(0,3) 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图 1(1) ，动点E，从O点出发，沿着OA的方向以 1 个单位 / 秒的速度向终点 A 匀速运动，同时，动点 F 从点 A出发，沿着 AB 方向以 2 个单位/秒的速度向终点B 匀速运动，当 EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动. 连结EF，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，V AEF为直角三角形?(3)如图 1(2) ，取一根橡皮筋，两端点分别固定在 A ， B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点P 与 A ， B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标; 如果不存在，请简要说明理由.本题第 (3) 问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢 ?值得我们探究 .二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在 x 轴上:(这里约定A点的横坐标记为 x A，A点的纵坐标记为为 y A)如图 2(1) ，有S ABC 1 AB OC 1x A x B y C.2 2如图 2(2) ，有S ABC1AB DC 1x A x B y C .2 2如图 2(3) ，有SABC1 AB DC 1x A x B y C .22 x 轴平行 : 如图 3(1) ，有2. 抛物线内接三角形有一边与S ABC1AB DC 1x A x B y C y D , 2 1 AB OC 2 1 x B 或 S ABCx A y D y C ; 如图 3(2) 2 2 ，有SABC1AB DC 1x A x B y C y D ,2 1 2 1SABCx A y D y C . 或 2 AB OC 2 x B在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积 .三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时( 如图 4) ，三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决 .如图 4，过点 C 作“轴的垂线交 AB 于点 D , 则 ABC 被分成了两个以 CD 为一公共边的三角形 .过点 A 作 AECD 于点 E ，过 B 作 BF CD 于点 F ，则S ABCSCDAS ABC 1 1 CD BF CD ( AE BF ) ，CD AE2 2CD y C y D ，AE BF x C x A x B x C. Q x A x C x B,AE BF x A x B ,SABC 1x A x B y C y D.2ABC 的面积公式:综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接设 a x A x B , h y C y D.a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽 ; h表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高. 在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:SABC 1ah .2.此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设x A x C x B.则 a x A x B ，即是水平宽.过点 C 作x轴的垂线，与直线AB 的交点记为 D ，则 h y C y D，即是铅直高，于是有SABC 1ah1x A x B y C y D.2 2四、问题解决上述问题中，过点P 作 PN // x轴，垂足为 N ，交 AB 于点 M ( 如图 1(2)) ，抛物线解析式为y x2 2x 3 ,直线 AB 的解析式为y x 3 .设 N ( x, x 3) ，则 M ( x, x2 2x 3) .于是有SABC 1 x A x B y P x M21 (3 0) ( x2 2x 3) ( x 3)23 9x2 x2 23 (x 3 )2 27 ,2 2 8即当x 3 时， V ABP 面积最大，最大面积是27，此时 P 点的坐标为( 3 , 27 ).2 8 2 8五、模型应用 ( 动点B在定点A与C之内 )例 1 如图 5，二次函数与x 轴交于点C,与y轴交于点A，B为直线AC下方抛物线上一点，求V ABC 面积的最大值.解易得点 A(0, 4) ，点 C (6,0) ，则水平宽 a x A x C 6 .直线 AC 的解析式为 y 2 x 4 .设点 B 的坐标为 (x, 1x233 x 4) , 3 4则点 D 的坐标为 ( x, 2x 4) .3铅垂高 h y B y D 2 x 4 ( 1 2 4 x 4) 1 x2 2x ,3 2 3 3故 S ABC 1 6 ( 1 x2 2x) x2 6x ( x 3)2 9 .2 3Q 0 x 6 ,当 x 3 时，即当点B(3, 5) 时，ABC 面积最大，最大面积是9.评注题中的ABC 满足公式中的A, C 为定点，B为一动点，但在运动过程中，B的横坐标介于 A, C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得. 由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展 ( 动点P在定点A与C之外 )例 2 如图 6(1) ，二次函数与x 轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与 x 轴平行，且点 B 在抛物线上，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的动点，是否存在点 P ，使S P A C 2S A B,C若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.解析由题意不难得出S ABC 8 ,要使 S PAC 2S ABC，即求 S PAC 16 .因为PAC 为动点三角形，由通用公式S PAC ah ，其中 a 为水平宽， a x C x A 6 , h 为铅直高，应该过动点P 向x轴作垂线;交直线 AC 于点 D ，则h y P y D.问题是此时动点 P 不在两定点A,C之间，而是运动到了两定点A, C 之外，那么通用公式还成立吗 ?由图 6(2) 可知，当动点P 在两定点A, C之外时，SPAC SPDCSPDA1 1PD AF2PD CE1PD (CE1PD2 1ah .AF ) ( x C x A )2 2 2由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立. 区别是 : 动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算; 动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.。

面积的单位换算、公式及计算计算长方形：{长方形面积=长×宽}[1]正方形：{正方形面积=边长×边长}平行四边形：{平行四边形面积=底×高}三角形：{三角形面积=底×高÷2}梯形：{梯形面积=（上底+下底）×高÷2}圆形（正圆）：{圆形（正圆）面积=圆周率×半径×半径}圆环：{圆形（外环）面积={圆周率×（外环半径^2-内环半径^2）}扇形：{圆形（扇形）面积=圆周率×半径×半径×扇形角度/360}长方体表面积：{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}正方体表面积：{正方体表面积=棱长×棱长×6}球体（正球）表面积：{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4}椭圆(其中π(圆周率，a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长).半圆：(半圆形的面积公式=圆周率×半径的平方÷2）面积单位换算常用的面积单位有公顷、亩、平方公里、平方米、平方厘米等。

这里所说的换算，常指面积之间单位的互换计算。

如：1亩=0.0666666公顷=666.6666平方米等。

目录1常用公式2台湾公式3国外公式1常用公式常用土地面积换算公式 1亩=60平方丈=6000平方尺，1亩=666．6平方米其实在民间还有一个更实用的口决来计算：平方米换为亩，计算口诀为“加半左移三”。

1平方米=0.0015亩，如128平方米等于多少亩？计算方法是先用128加128的一半：128+64=192，再把小数点左移3位，即得出亩数为0.192。

亩换平方米，计算口诀为“除以三加倍右移三”。

如要计算24.6亩等于多少平方米，24.6÷3=8.2，8.2加倍后为16.4，然后再将小数点右移3位，即得出平方米数为16400。

习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。

关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理 1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有│AB│=ρ1+ρ2 = +=≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理 3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则│MA│m in =证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M 是抛物线上的动点,则y (│MA│+│MF│)min=a+p/2.Q MA(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知O Fx (│MA│+│MF│)m in =│AQ│= a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)于是利用(1)式由两切线方程yAM:y1y=p(x+x1),A BM:y2y=p(x+x2),M Fx 易得M的坐标(x,y)适合:B∵ kMF·kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当AB⊥x 轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2.y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB 得A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) Ox 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2 (2)于是B (S△OAB) 2=1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px 1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3)将(2)式代入(3)则得(S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。

接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。

我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。

由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。

因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。

我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。

这就是抛物线内接三角形的面积公式。

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它告诉我们：如果一个直角三角形的一个顶点在抛物线上，那么其它两个顶点的坐标也会在这个抛物线上。

本文将简要介绍抛物线内接直角三角形的定义、性质及其应用。

首先，抛物线内接直角三角形定义为：一个直角三角形，其中一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在抛物线上，且抛物线的准线和直角三角形的两条腰都相交。

因此，抛物线内接直角三角形的性质有以下三点：
1）直角三角形的一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在同一
条抛物线上；
2）抛物线的准线与直角三角形的腰相交；
3）抛物线内接直角三角形的面积小于等于抛物线面积的一半。

此外，抛物线内接直角三角形还有一些其它特性：抛物线内接直角三角形的高度等于抛物线的端点之间的距离；两点定理说明了任何一点到抛物线上的点的距离等于直角三角形的斜边的长度。

抛物线内接直角三角形有许多实际应用，其中最为重要的是在机械设计中，抛物线被用来设计螺旋形线路，使得机械运动更加均匀，减少了摩擦力，减少了损耗。

在建筑过程中，抛物线也被用来设计电梯的曲线，使其运行曲线十分柔和，降低了电梯的震动，减少了乘客的不适感受。

另外，抛物线内接直角三角形也被用于医学领域中的X 射线成像技术，使得X射线的扫描更加准确，精确诊断病症。

综上所述，抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形和抛物线之间的关系，它的定义、性质和应用在许多不同的领域中有广泛的应用，它能够减少摩擦力、降低震动，使X射线扫描更准确，为人类带来科学和技术上的进步。

《二次函数》专题训练（三）——抛物线的内接特殊三角形主备:鄢自红授课：鄢自红□自学导读【学习目标】（1）掌握二次函数图象内接特殊三角形的性质，并利用性质求解析式和参数的值。

（2）通过规律的推导和运用，提高类比推理和综合解题能力。

【重、难点】规律的推导和运用【读书思考】基础知识回顾:（1）抛物线顶点坐标公式:（_____, _________),简记为___________.（2）若抛物线与x轴有两个交点A(x1,0), B(x2,0)，AB=___________=________.（3）韦达定理：若ax2+bx+c=0(a≠0)有两实根x1,x2,则_________________________.□典题解析（一）抛物线与x轴两个交点和顶点确定的三角形例1.已知，二次函数y=x2+kx+1与x轴的两个交点A、B都在原点右侧，顶点为M。

当△ABM是等腰直角三角形时，（1）求k值。

（2）求判别式△.解析：先画出函数大致图象，再利用等腰三角形性质，结合直角三角形的性质求解。

问题1：例1中，如果把y=x2+kx+1换成y=ax2+bx+c，△ABM是等腰直角三角形时，△值不变吗？规律1：练习1（变式）. 已知抛物线y=x2—bx (b≠0)的顶点为M，与直线y=—2两交点分别为A、B，且△ABM为等腰直角三角形，则b=_______。

问题2：前面的问题中当△ABM为等边三角形时，y=ax2+bx+c的判别式△又是多少？导学设计教学重难点与抛物线内接特殊三角形有关的定值的推导和运用.教具准备多媒体．导学流程一、导入新课,揭示目标(2分钟) 情景导入：师生对照课件解读学习目标.二、新课导学基础知识回顾:（2分钟）（课件出示题目，点学生回答）自主探究完成例1（4分钟）（学生演板）追问拓展、合作探究：（3分钟）如果把y=x2+kx+1换成y=ax2+bx+c，△ABM是等腰直角三角形时，△还是4吗？规律小结（2分钟）：当y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B 两点，C是顶点，当△ABM为等腰直角三角形，则△=b2-4ac=4.练习1点拨：实质是把抛物线与y=0的交点变成了与y=-2的,但要注意△是方程x2-bx=-2的，而不是x2-bx=0的.自主探究问2（5分钟）1、先自主探究问题2，展示探究的结果.2、并利用探究的结论完成例2，利用例2检查学习效果。

46中学数学研究2021年第1期(上)圆锥曲线内接三角形的面积公式及其应用广西防城港市东兴市东兴中学(538100)吴中伟摘要求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•经过推导，发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式,并且这些表达式结构非常相似.关键词圆锥曲线；内接三角形;面积表达式求三角形面积的方法有很多，但对于无法确定形状的三角形，其面积没有统一的求法•笔者发现在参数方程条件下圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线与抛物线)的内接三角形的面积都有统一的表达式，并且这些表达式结构非常相似.引理在4ABC中，已知一B—(x i,y i),一1—(血,y2),则4ABC的面积S a abc—2|x i y2—血y i|.(x a cos a(a为y—b sin a参数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc——|sin(a2— a i)+sin(a i—a3)+sin(a3— a2)|.证明易知A(a cos a i,b sin a i),B(a cos a2,b sin a2), C(a cos a3,b sin a3),贝V a B—(a(cos a2—cos a i),b(sin a2—sin a i)),一1—(a(cos a3— cos a i),b(sin a3—sin a i)),由引理得，S a abc=2ab(cos a2— cos a i)(sin a3—sin a i)—ab(cos a3— cos a i)(sin a2—sin a i)ab=—cos a2sin a3— cos a2sin a i— cos a i sin a3+cos a i sin a i—(cos a3sin a2— cos a3sin a i S a abc-fx—a sec a，厶定理3已知A,B,C是双曲线|(a为参y—b tan a数)的三点，它们对应的参数分别为a i,a2,a3,则sin(a2—a i)+sin(a i—a3)+sin(a3—a2)cos a i cos a2cos a3x b tan a 同理可证,焦点在y轴的双曲线=(a为参y—a sec a数)的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的双曲线的完全一样.接下来推导在参数方程条件下，抛物线的内接三角形的面积的统一表达式.x—2p t2定理4已知A,B,C是抛物线｛(t为参y=2pt数p>0)上的三点，它们对应的参数分别为t i,t2,t3,则S a abc—2p2|(t i—t2)血—t3)(t3—t i)|.特别的，若点C 为坐标原点，则S a abc—2p2|(t i—t2)t i t21证明易知A(2pt f,2pt i),B(2pt2,2pt2),C(2pt|,2pt3),则S a abc=2a B—a1=2p2|(t2—ti)(t3—t1)—(t3一ti)(t2一t1)=2p2(t i一 t2)(t2一t3)(t3一t i).显然，若C为原点，则S a abc—2p2|(t i— t2)t i t2〔.同理可证,其他情形的抛物线的内接三角形的面积表达式与定理4相同.基于以上的结论,本文从—cos a i sin+cos a i sin a i)豊|sin(a2-a i)+sin(a i— a3)+sin(a3-a2)同理可证,焦点在y轴的椭圆的内接三角形的面积表达式与焦点在x轴的椭圆的完全一样.利用类似的方法也易证得以下定理.亠.—x—a+r cos a「厶“定理2对于圆(a为参数)，A,B,Cy—b+r sin a是其三点，对应的参数分别为a i,a2,a3,则S a abc r2—|sin(a2— a i)+sin(a i— a3)+sin(a3— a2)|.实例的角度，阐述这些公式在解决圆锥曲线的内接三角形面积问题的作用.例1已知椭圆C1:x+务=1(a>b>0)的左、右焦点为F i、F2,|F i F2—l/l,若圆Q方程(x—/l)l+(y—1尸=1,且圆心Q满足|QF i+|QF2=2a.(I)求椭圆C i的方程；(II)过点P(0,1)的直线l i:y—kx+1交椭圆C1于A、B两点，过P与l i垂直的直线h交圆Q于C、D两点, M为线段CD中点，若4MAB的面积为第1,求k的值.5解(I)略；(II)由(I)可知椭圆的参数方程为2021年第1期(上)中学数学研究47x—2cos ay=sin a(a为参数),与y—kx+1联立得V2sin a—2k cos a+1t i+t2—号,t i t2———.因为点M对应的参数为t—1,所以由定理3,得①S a ABM=8|(t i—t2)(t2—1)(1—t i)|代入sin2a+cos2a—1,整理得(2+4k2)cos2a+4k cos a—1=0.设A(2cos a.sin a i),B(2cos a2,sin a2)贝J-2k cos a i十cos a2=1+2k2联立①1①2得,■,■/2 sin a1十sin a2=1+2k2由①2①3得,|sin(a i-a2)|=|sin a2—sin a i|cos a i—cos a2—1 cos a i cos a2=2+4k2..1-4k2 sin a i sin a2=2+4k2V1+4k21+2k2，_2k/1+4k2=1+2k2，/2•/1+4k21+2k2因为Q(血,1)对应的参数为4,所以由定理1得①2①3S a qab=血 |sin(a i-a2)+sin(a2-寸)+sin(寸-a i)| =/2Lin(a i—a2)+(sin a2—sin a i)(cos a i—cos a2)=8J(t i+t2)2—4t i t2|—t i t2—1+t i+t2=\/(m2+4)(2m-3)2°令f(x)—(m2+4)(2m—3)2,贝」f z(m)—2(2m-3)(4m2-3m+8),33所以f z(m)—0的解为m=2,m e(—x>,2)时,f z(x)<0,322f(x)单调递减;m e$,+x>)时,f z(x)>0,f(x)单调递增;又因为m22,所以f(m)——f⑵—8,故三角形ABM面积的最小值为2/2.x2例3已知点F i是双曲线C:忑-y2—1的左焦点,点M为其右顶点，过点F i的斜率为1的直线交双曲线的左支于A,B两点，求AABM的面积.解由已知可知点F i(-/5,0),M(2,0),直线I ab:x—fx2sec a(a为参数),y—tan a得2sec a—tan a—a/5,即sin a—a/5cos a—2依题意得，sin(a i—a2)与cos a i—cos a2异号，所以①1S a qab—|sin a2-sin a i2W1+4k21+2k2因为M在线代入sin2a+cos2a—1,整理得6cos2a+cos a+3=0.段CD中点，所以MQ丄l2,又因为l i丄l2,所以MQ//l i,所以S a mab—S a qab,从而覚十誓—半，解得k—±/2.此时I2:y—士冷2x+1,圆心Q到^2的距离h=±畔x/2-1+1/<-,成立.例2在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2—设A(2sec a i,tan a i),B(2sec a2,tan02),贝」2/5一"3cos a i+cos a2联立①1①2得,sin a i+sin a2cos a i cos a212①24y,点P是C的准线I上的动点且其横坐标m22,过点P 作C的两条切线，切点分别为A,B.若点M的坐标为(4,4),求三角形ABM面积的最小值.{x—4t(t为参y=4t2数)，准线l:y——1,y z—1x.设A(4t i,4t f),B(4t2,4t2),点P(m,—1),则切线PA的方程为：y+1=2t i(x-m),把点A(4t i,4t f)代入上式，得4t f+1=2t i(4t i-m),即4t i-2mt i-1=0.同理可得,4t2-2mt2-1=0,故t i,t2是方程4t2-2mt-1—0的两个解.由根与系数关系得,23，2血I••=3,|s i n a2—sin a i1sin a i sin a2—------6①3^10因为由已知得M对应的参数为0,且sin(a i-a2)与由①①得，|sin(a i-a2)|sin a2—sin a i同号，所以由定理2,|sin(a i—a2)+sin a2+sin(—a i) S a abm—1----------------------------------------------|cos a i cos a22/2/10-丁；丁-竿(2+/5)2参考文献[1]吴中伟•一个三角形面积公式在解析几何中的应用[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(3):40-42.。

竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。