中考压轴题分类专题一《抛物线中的三角形面积》

抛物线上的三角形的面积
抛物线是一种二次函数的图像，其形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a$ 不等于0）。

如果在抛物线上存在一个三角形，则它的底边一定是抛物线的某一条直线切线，并且顶点在抛物线的极值处。

如果要计算抛物线上三角形的面积，可以使用以下步骤：
找出抛物线的极值点。

极值点的坐标为$(h,k)$，其中$h$ 是抛物线的横坐标，$k$ 是抛物线的纵坐标。

极值点的横坐标可以通过求解方程$ax^2+bx+c=0$ 来获得，其中$a$、$b$ 和$c$ 分别是抛物线的系数。

求出抛物线的切线方程。

切线的斜率为抛物线的导数$2ax+b$，可以使用斜截式$y=mx+b$ 来表示切线的方程，其中$m$ 是斜率，$b$ 是切线的截距。

求出抛物线的底边长。

底边的两个端点的坐标分别为抛物线的两个交点，可以使用切线的方程求解。

计算三角形的面积。

可以使用海伦公式求解三角形的面积，公式为$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s$ 为三角形的半周长，即$s=\frac{a+b+c}{2}$，$a$、$b$ 和$c$ 分别是三角形的三条边长。

因此，计算抛物线上三角形的面积的步骤如下：
求出抛物线的极值点$(h,k)$。

求出抛物线的切线方程$y=mx+b$。

求出抛物线的底边长$a$。

计算三角形的半周长$s$。

使用海伦公式计算三角形的面积。

举个例子，假设抛物线的方程为$y=x^2-2x+1$，底边长为$a=2$，那么抛物线上三角形的面积就是$\sqrt{s(s-2)(s-2)(s-2)}=\sqrt{s(s-2)^3}$。

中考数学抛物线压轴题之面积问题（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．2．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．3．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．13．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．15．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB ＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．17．已知抛物线y＝﹣x2+bx和直线l：y＝x﹣b．（1）求证：抛物线与直线l至少有一个公共点；（2）若抛物线与直线l交于A，B两点，当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时，求b的取值范围；（3）当b＞0时，将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l'，若抛物线y＝﹣x2+bx的顶点P在直线l'上，且与直线l'的另一个交点为Q，当点C在直线l'上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．20．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ 的长为d．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求d与m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．24．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．（1）求A、B的坐标．（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．（3）若a＝﹣1，过点D作x轴的垂线，垂足为H，当1≤t≤4时，DH+mHO的最大值为．求正实数m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A 的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．（1）求b和c的值；（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF ＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．27．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若＝，求a的值．29．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．35．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．2．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点M（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点M（，）；故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m ﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．4．【解答】解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．5．【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，n﹣m＝2＝＝，解得：k＝0（舍去）或1；将k＝1代入①式并解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，﹣）、（，）．（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则△KMG≌△GNR（AAS），GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，故m＝，故点K（1，）．6．【解答】解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c＝3，则函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b＝3a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝3a+1，即：﹣≥0，解得：a≥﹣，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，b＝3a+1＝﹣2二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝×3×PQ×＝，则PQ＝|y P﹣y Q|＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点Q（x，x+3），即：﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝±1，解得：x＝或，故点P（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）对称轴x＝，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝，联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得：x2+（﹣k）x+1＝0…①，m+n＝3﹣2k，mn＝﹣2，n﹣m＝＝＝解得：k＝0（舍去）或3；故y＝3x+1，则x2+x+2＝3x+1，解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，）；（3）设点K（，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，），过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M，交过点K与x轴的平行线于点N，则△GNK≌△K′MG（AAS），NK＝﹣＝＝MG，NG＝﹣m，则点K′（﹣m，）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m＝，故点K（，）或（，）．8．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．10．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．11．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．12．【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．13．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y|＝OC＝3，∴y＝±3．当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x＝+1．当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝2，x2＝0（舍去）．综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB′＝m，PB′＝2，设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．当0＜m≤2时，由已知得P′B＝2+m．∵OP′＝2﹣m，∴E（2﹣m，﹣m﹣）．由OB＝4得OP＝2，把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，∴D（2，﹣3），∴直线CD∥x轴．∵EP′＝m+，D′P＝3，∴ED′＝DP′﹣EP′＝3﹣m﹣＝﹣m+．过点F作FH⊥PD′于点H，则∠D′HF＝∠D′P′B′＝90°．∵∠HD′F＝∠P′D′B′，∴△D′HF∽△D′P′B′，∴＝．∵∠FCD′＝∠FBB′，∠FD′C＝∠FB′B，∴△CD′F∽△BB′F，∴＝．又∵CD′＝2﹣m，∴＝．设D′F＝k（2﹣m），B′F＝km，∴D′B′＝2k，∴＝．∴＝．∵P′B′＝2，∴HF＝2﹣m．∴S△ED′F＝ED′•HF＝×（﹣m+）×（2﹣m）．∵S△PB′D′＝PB′•PD′＝×3×2＝3，∴S＝S△PB′D′﹣S△ED′F＝3﹣×（﹣m+）×（2﹣m）＝﹣m2+m+．14．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，故直线AC为y＝x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得，x＝0或x＝1（舍去），∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），∵F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得x＝或x＝，。

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。

二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。

3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

抛物线与三角形面积抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。

本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。

其面积为：SΔ=|x1-x2|·||=··||（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。

其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。

其面积为：SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

二、1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。

解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,∴AB=|x2-x1|=|3-1|=2.=×2×=.∴SΔABC例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

解：如图1，S=SΔABC+SΔABD四边形ACBD=××||+××|2|=.例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

解：由得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=＝2，BC=＝3，AC=＝。

∵AC2+BC2=AB2，∴ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，AC·BC=××3=3。

专题一：抛物线中的面积问题（铅垂高）【导例引入】 导例：抛物线2123333y x x =-++交x 轴正半轴于点A （33，0），交y 轴于点B （0，3），且这个抛物线的顶点为C ．连接AB 、AC 、BC ，则抛物线的对称轴为直线 ，线段CD 的长为 ，△ABC 的面积为 ．【方法指引】如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S △PAB ＝·PQ·，根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ 最大时，S △PAB 取得最大值．导例答案：3 2 33【例题精讲】类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2﹣x﹣2），则DF＝﹣x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA＝EC＝EB＝，过D作Y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分为∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC两种情况列方程求解即可．类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM＝BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．类型三：由已知面积来定未知面积类问题例3. 如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．（2）①求证：抛物线l经过点C．②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标（2）由旋转的性质可求得点D和点C的坐标，将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y＝0，从而可证明点抛物线l经过点C；如图1所示；过点G作GE⊥y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积，最后依据S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可；（3）过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可．类型四：与面积倍分有关的综合题例4. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y＝﹣x﹣3，线段CD的长为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）将（2）中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN（点M，Q，N分别与点A，O，F对应），使点M，N在抛物线上，则点M，N的坐标分别为M，N．【分析】（1）根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C，顶点D的坐标，由顶点式可得抛物线的解析式；（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，求出BM的解析式，找到此解析式与抛物线的另一个交点，即为所求；（3）找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，M，N在抛物线上，求出与AF垂直的点M，N的坐标即可．【真题精炼】1．（2018•青海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．2．（2017秋•吴中区期末）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．3．（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．4．（2014秋•常熟市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时，求m的值．（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．5．（2013秋•苏州期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为（1，﹣4）．（1）求A的坐标及抛物线的解析式；（2）若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC 上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△P AA1面积的3倍，求点P的坐标．参考答案例1 【解答】解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），．设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AC＝，BC＝2，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，∴∠OEC＝2∠ABC．∴tan∠OEC＝＝．当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．∴点D的横坐标为2．当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．∵tan∠MGD＝，∴GM＝6k，GD＝3k，∴GC＝MG﹣CM＝2k，∴GR＝k，CR＝k．∴RD＝3k﹣k＝k．∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x ＝．∴点D的横坐标为．综上所述，当点D的横坐标为2或．【例2】解：（1）∵A（1，0），对称轴l为x＝﹣1，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM+∠NBQ＝90°．∵∠PMB＝90°，∴∠PBM+∠BPM＝90°．∴∠BPM＝∠NBQ．又∵∠BMP＝∠BNQ＝90°，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ．∴PM＝BQ．∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，且对称轴为x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣3，0），点Q的坐标为（﹣1，0）．∴BQ＝2．∴PM＝BQ＝2．∵点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上B、C之间的一个动点，∴结合图象可知点P的纵坐标为﹣2，将y＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3，得﹣2＝x2+2x﹣3，解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+（舍去），∴此时点P的坐标为（﹣1﹣，﹣2）；（3）存在．如图2，连接AC．可设点P的坐标为（x，y）（﹣3＜x＜0），则y＝x2+2x﹣3，∵点A（1，0），∴OA＝1．∵点C是抛物线与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝﹣3．即点C（0，﹣3）．∴OC＝3．由（2）可知S四边形PBAC＝S△BPM+S四边形PMOC+S△AOC＝BM•PM+（PM+OC）•OM+OA•OC＝（x+3）（﹣y）+（﹣y+3）（﹣x）+×1×3＝﹣y﹣x+．将y＝x2+2x﹣3代入可得S四边形PBAC＝﹣（x2+2x﹣3）﹣x+＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，﹣3＜x＜0，∴当x＝﹣时，S四边形PBAC有最大值．此时，y＝x2+2x﹣3＝﹣．∴当点P的坐标为（﹣，﹣）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为．例3：【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（1，0）．又∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3．∴B（0，3）．将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点G的坐标为（﹣1，4）．（2）①证明：由旋转的性质可知；OC＝OB＝3，∴C（﹣3，0）．当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3＝﹣9+6+3＝0，∴点抛物线l经过点C．②如图1所示；过点G作GE⊥y轴．∵GE⊥y轴，G（﹣1，4），∴GE＝1，OE＝4．∴S梯形GEOC＝（GE+OC）•OE＝×（1+3）×4＝8．∵由旋转的性质可知；OD＝OA＝1，∴DE＝3．∴S△OCD＝OC•OD＝×3×1＝，S△GED＝EG•ED＝×1×3＝．∴S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED＝8﹣﹣＝5．（3）如图2所示：过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．∵PG∥CD，∴△PCD的面积＝△GCD的面积．∵OD＝OA＝1，∴D（0，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b．∵将点C（﹣3，0）、D（0，1）代入得：，解得：k＝，b＝1，∴直线CD的解析式为y＝+1．∵PG∥CD，∴直线PG的一次项系数为．设PG的解析式为y＝x+b1．∵将点G的坐标代入得：+b1＝4，解得：b1＝，∴直线PG的解析式为y＝+．∵将y＝+与y＝﹣x2﹣2x+3联立．解得：，，∴P（﹣，）．例4：【解答】解：（1）作DW⊥x轴，CW⊥y轴交于W点．CW＝•cos∠DCW＝1．DW＝•sin∠DCW＝1．∴C点坐标为（0，﹣3），D点坐标为（1，﹣4），由顶点式可得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2分）（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，根据二次函数解析式可得：A（﹣1，0），由直线CD的解析式可知：E（﹣3，0），∵C（﹣3，0），∴∠AEH＝45°，∴△OEH是等腰三角形，∵OH⊥EC，∴H点的坐标是（﹣1.5，﹣1.5）∵AF∥CD，∴∠OAF＝45°，∴G（﹣0.5，﹣0.5），∵M是GH的中点，∴M（﹣1，﹣1），求出BM的解析式y＝x﹣，此解析式与抛物线的一个交点就是要求的P（﹣，﹣）．（3分）（3）△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，则直线MN的解析式为y＝x+b，∵MN＝AF，∴M（1，﹣4），N（2，﹣3）．（4分）【真题精讲】1、【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．2．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB＝2，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB＝∠ABC＝45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝1，BC＝2，CD＝d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴，∴CD＝AB＝1，∴d+2＝1，∴d＝﹣1，∴D（0，﹣1）②△BCD∽△ABC，∴，∴，∴d＝6，∴D（0，6）；（3）如图，∵CE∥轴，∴令y＝﹣2，∴﹣2＝﹣x2+3x﹣2，∴x＝0（舍）或x＝3，∴E（3，﹣2），∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），∵点F是线段BC上的点，∴0＜m＜2，HF＝﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，∴S△CHF+S△EHF＝HF×3＝（﹣m2+2m）＝﹣（m2﹣2m+1）+＝﹣（m﹣1）2+∴m＝1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．3．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP＝S△BPE+S CPE＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S△BCP最大＝（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，①m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝，②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），解得m＝﹣当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°，m2﹣4m+3＝0，解得m＝1或m＝3（舍）当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，解得m＝2或m＝3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．4．【解答】解：（1）由题意可得：y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，0＝m（x﹣3）（x+1），解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）如图1，∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，∴顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△，∠M为直角的直角三角形时，有：DM2+MB2＝BD2．DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．故m＝﹣时，△BDM为以∠M为直角的直角三角形；（3）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图2：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，则×（）2﹣﹣＝﹣，故P（，﹣）．5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，点B 的坐标为（1，﹣4），∴xy＝k＝1×（﹣4）＝﹣4，∴双曲线y＝﹣，∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A在第二象限内，∴可设A点坐标为：（﹣m，m）（m＞0），代入双曲线解析式得；m＝2，∴点A（﹣2，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，2），B（1，﹣4），O（0，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x；（2）由A（﹣2，2），B（1，﹣4），代入y＝kx+d得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x﹣2，设E（n，﹣n2﹣3n），过E作EF∥y轴，交AB于点F，则F点坐标为（n，﹣2n﹣2），∴EF＝（﹣n2﹣3n）﹣（﹣2n﹣2）＝﹣n2﹣n+2，∴S△ABE＝S△AEF+S△BEF＝×（﹣n2﹣n+2）×3＝﹣（n+）2+，∴S△ABE的最大值为：，此时，n＝﹣，﹣n2﹣3n＝，∴E（﹣，）；（3）∵B（1，﹣4）且直线BC∥x轴，∴令﹣x2﹣3x＝﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴C（﹣4，﹣4），∴S△ABC＝5×6×＝15，过点C作AB的平行线CD，交抛物线于点D，设直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x+t，则﹣4＝﹣2×（﹣4）+t，解得：t＝﹣12，∴直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x﹣12，令﹣2x﹣12＝﹣x2﹣3x，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去），当x＝3时，y＝﹣18，∴存在点D（3，﹣18）满足条件．6．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴×8•x＝×4×4，解得：x＝2，∴点E的坐标为（2，8）．（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4，∴∠ODB＝45°，BD＝4，∴∠BDC＝135°．∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8），∴CM＝PM＝1，∴∠CPM＝45°，CP＝，∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△CDB∽△CPQ，∴＝，即，解得：PQ＝2，∴点Q的坐标为（1，11）．7．【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，∴解得：∴b、c的值分别为﹣4，3；（2）∵A（0，3），B（1，0），∴OA＝3，OB＝1，可得旋转后C点的坐标为（4，1），当x＝4时，由y＝x2﹣4x+3得y＝3，可知抛物线经过y＝x2﹣4x+3经过点（4，3）∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．（3）∵点P在y＝x2﹣4x+1上，可设P点的坐标为（x0，x02﹣4x0+1），将y＝x2﹣4x+1配方得y＝（x﹣2）2﹣3∴对称轴为直线x＝2，∵S△PMM1＝3S△P AA1 MM1＝AA1＝2∴x0＜2，①当0＜x0＜2时，∵S△PMM1＝3S△P AA1，×2×（2﹣x0）＝3××2×x0，解得：x0＝，∴x0＝，此时x02﹣4x0+1＝﹣∴点P的坐标为（，﹣），②当x0＜0时，同理可得×2×（2﹣x0）＝3××2×（﹣x0）解得：x0＝﹣1，∴x0＝﹣1，此时x02﹣4x0+1＝6，∴点P的坐标为（﹣1，6），综上所述，可知：点P的坐标为（，﹣）或（﹣1，6）．。

抛物线中的面积与存在性问题1、如图，抛物线y ＝ax2－32x －2（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解：（1）∵抛物线y ＝ax2－32x －2经过点B （4，0） ∴0＝16a －3 2 ×4－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2x2－ 32x －2（2）在y ＝1 2x2－ 3 2 x －2中，令y ＝0，得1 2 x 2－ 32x －2＝0解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A （－1，0）令x ＝0，得y ＝－2，∴C （0，－2） ∴OA ＝1，OC ＝2，OB ＝4，AB ＝5∴AC 2＝12＋22＝5，BC 2＝42＋22＝20∴AC 2＋BC 2＝5＋20＝25＝AB 2∴△ABC 是直角三角形，且AB 为斜边∴△ABC 的外接圆的圆心是AB 的中点，即对称轴与x 轴的交点∵对称轴为x ＝－ －3 22×1 2＝ 3 2 ，∴圆心坐标为（32，0）（3）设BC 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0b ＝－2 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1 2b ＝－2∴y ＝ 1 2x －2 过M 作MN ⊥x 轴交BC 于N设M （x ，1 2x2－ 3 2 x －2），则N （x ，12x －2）∴MN ＝1 2x －2－(1 2x2－ 3 2 x －2 )＝－ 1 2x2＋2x∴S △MBC＝1 2OB ²MN ＝2MN ＝－x2＋4x ＝－(x －2)2＋4∴当x ＝2时，△MBC 的面积最大，最大值为4 当x ＝2时，1 2x2－ 3 2 x －2＝ 1 2 ×2 2－3 2×2－2＝－3∴此时M 点的坐标为（2，－3）2、我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示．如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2． （1）求C 1和C 2的解析式；（2）如图②，过点B 作直线BE ：y ＝13x －1交C 1于点E ，连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标；（3）如果（2）中直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，得A （－3，0），B （3，0），C （0，1），D （0，－3） 设C 1的解析式为y ＝a 1x2＋b 1x ＋c 1，∵C 1经过A 、B 、D 三点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 1－3b 1＋c 1＝09a 1＋3b 1＋c 1＝0c 1＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13b 1＝0c 1＝－3∴C 1的解析式为y ＝13x 2－3 设C 2的解析式为y ＝a 2x2＋b 2x ＋c 2，∵C 2经过A 、B 、C 三点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－3b 2＋c 2＝09a 2＋3b 2＋c 2＝0c 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－19b 2＝0c 2＝1∴C 2的解析式为y ＝－19x 2＋1 （2）设直线BE ：y ＝13x －1交y 轴于点F ，则F （0，－1）∴OC ＝OF ＝1，又∵OB ＝OB∴Rt △OBC ≌Rt △OBF ，∴∠OBC ＝∠OBF若点P 在点B 右侧，则由△PBC ∽△BOE ，得∠BCP ＝∠OBF 则∠BCP ＝∠OBC ，得CP ∥OB ∴点P 只能在点B 左侧 要使△PBC 与△BOE 相似，只需BPBC＝BOBE或BPBC＝BEBO∵B （3，0），C （0，1），E （－2，－53）图② 图①∴BO＝3，BC＝10，BE＝5310若BPBC＝BOBE，则BP10＝35310，∴BP＝95∴OP＝3－95＝65，∴P1（65，0）若BPBC＝BEBO，则BP10＝53103，BP＝509∴OP＝509－3＝239，∴P2（－239，0）（3）作EH⊥x轴于H，则OH＝2，BH＝OB＋OH＝5 在C1上取一点Q1，作Q1M⊥x轴，交BE于M在C2上取一点Q2，作Q2N⊥x轴，交BE于N则S△EBQ1＝12Q1M²BH＝52Q1M，S△EBQ2＝12Q2N²BH＝52Q2N而Q1M＝13x－1－(13x2－3)＝－13x2＋13x＋2＝－13(x－12)2＋2512当x＝12时，Q1M有最大值2512Q2N＝－19x2＋1－(13x－1)＝－19x2－13x＋2＝－19(x＋32)2＋94当x＝－32时，Q2N有最大值94∵94＞2512，∴当点Q在C2上，且x＝－32时，△EBQ的面积最大当x＝－32时，y＝－19×(－32)2＋1＝34∴此时点Q的坐标为（－32，34）△EBQ面积的最大值为52×94＝4583、如图，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与一直线相交于A （－1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一动点，求△APC 的面积的最大值．解：（1）∵抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过A （－1，0），C （2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－4＋2b ＋c ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3 ∴抛物线的函数关系式为y ＝－x2＋2x ＋3 设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋n∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋n ＝02k ＋n ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1n ＝1 ∴直线AC 的函数关系式为y ＝x ＋1（2）作N 点关于直线x ＝3的对称点N ′，则N ′（6，3）由（1）得D （1，4）∴直线DN ′的函数关系式为y ＝－1 5 x ＋215当M （3，m ）在直线DN ′上时，MN ＋MD 的值最小则m ＝－1 5 ×3＋21 5 ＝185（3）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4∴抛物线的对称轴为x ＝1把x ＝1代入直线AC 的函数关系式，得y ＝1＋1＝2 ∴B （1，2），∴BD ＝2∵点E 在直线AC 上，设E （x ，x ＋1）①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方 则F （x ，x ＋3）∵F 在抛物线上，∴x ＋3＝－x2＋2x ＋3 解得x ＝0或x ＝1（舍去） ∴E （0，1）②当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方， 则F （x ，x －1）∵F 在抛物线上，∴x －1＝－x2＋2x ＋3解得x ＝1－17 2 或x ＝1＋172∴E （1－17 2，3－17 2 ）或E （1＋17 2，3＋172）′综上，满足条件的点E 为E （0，1）或E （1－17 2，3－17 2 ）或E （1＋17，3＋17）（4）过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q，过点C 作CG ⊥x 轴于点G设P （x ，－x2＋2x ＋3），则Q （x ，x ＋1）∴PQ ＝－x2＋2x ＋3－( x ＋1)＝－x2＋x ＋2又S △APC＝S △APQ＋S △CPQ ＝1 2 PQ ²AG ＝ 1 2 (－x2＋x ＋2 )²3＝－ 3 2 ( x － 1 2 )2∴△APC 的面积的最大值为2784、如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝13，A （3，0），D （－1，0），E （0，3）． （1）求抛物线的解析式及点B 的坐标； （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．（1）解：由题意，设抛物线解析式为y ＝a (x －3 )( x ＋1) 将E （0，3）代入上式，解得a ＝－1∴y ＝－x2＋2x ＋3 则点B （1，4）（2）证明：过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M （0，在Rt △AOE 中，OA ＝OE ＝3∴∠1＝∠2＝45°，AE ＝OA 2＋OE 2＝3 2 在Rt △EMB 中，EM ＝OM －OE ＝1＝BM∴∠MEB ＝∠MBE ＝45°，BE ＝EM 2＋BM 2＝ 2 ∴∠BEA ＝180°－∠1－∠MEB ＝90° ∴AB 是△ABE 外接圆的直径在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BEAE＝13＝tan ∠CBE ∴∠BAE ＝∠CBE在Rt △ABE 中，∠BAE ＋∠3＝90°，∴∠CBE ＋∠3＝90° ∴∠CBA ＝90°，即CB ⊥AB ∴CB 是△ABE 外接圆的切线（3）P 1（0，0），P 2（9，0），P 3（0，－13）（4）解：设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b 将A （3，0），B （1，4）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴y ＝－2x ＋6过点E 作射线EF ∥x 轴交AB 于点F 当y ＝3时，得x ＝3 2，∴F （32，3）情况一：当0＜t≤32时，设△AOE 平移到△RNM 的位置，MR 交AB 于点H ，MN 交AE 于点G则ON ＝AR ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交EF 于点L 由△AHR ∽△FHM ，得ARFM＝HKHL即t32－t＝HK3－HK，解得HK ＝2t ∴S ＝S △MNR－S △GNA－S △HAR＝1 2 ×3×3－ 1 2 ( 3－t )2－ 1 2 t ²2t ＝－ 3 2t2＋3t 情况二：当32＜t≤3时，设△AOE 平移到△PQS 的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V由△IQA ∽△IPF ，得AQFP＝IQIP即3－tt －3 2＝IQ3－IQ，解得IQ ＝2(3－t)∴S ＝S △IQA－S △VQA＝1 2 (3－t )²2( 3－t )－ 1 2( 3－t)2 ＝1 2 (3－t )2＝ 1 2 t 2－3t ＋9 2综上所述：S ＝⎩⎨⎧－32t2＋3t （0＜t≤3 2）1 2 t 2－3t ＋ 9 2 （32＜t≤3）5、如图，抛物线y ＝ax2－4ax ＋b 交x 轴于A （1，0）、B 两点，交y 轴于C （0，3）点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使∠PCB ＋∠ACB ＝45°？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．问是否存在M 、N 使四边形ACMN 为等腰梯形？若存在，求出M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2－4ax ＋b 过点A （1，0）、C （0，3）∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋b ＝0b ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3 （2）假设存在令x2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 ∴B （3，0），∴OB ＝OC ＝3∴BC ＝32，∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∴∠OCA ＋∠ACB ＝45° ∵∠PCB ＋∠ACB ＝45°，∴∠OCA ＝∠PCB 设直线PC 交x 轴于点D ①当P 点在BC 上方时在CO 上取点E ，使∠CAE ＝∠CDB则∠CEA ＝∠CBD ，∴∠OEA ＝∠OBC ＝45° ∴OE ＝OA ＝1，∴EA ＝2，EC ＝OC －OE ＝3－1＝2 易证△ECA ∽△BCD ，∴ ECBC＝EABD∴232＝2BD，∴BD ＝3，∴D （6，0） 易得直线CD 的解析式为y ＝－12x ＋3 令－12x ＋3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝0（舍去），x 2＝72∴P 1（72，54）②当P 点在BC 下方时在y 轴负半轴上取点F ，使OF ＝OA ＝1 则CF ＝4，AF ＝2，∠OF A ＝45°备用图易证△FCA ∽△BCD ，∴FCBC＝F ABD∴432＝2BD，∴BD ＝32，∴D （32，0） 易得直线CD 的解析式为y ＝－2x ＋3令－2x ＋3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝0（舍去），x 2＝2∴P 2（2，－1）（3）连接NA 并延长交OC 于G∵四边形ACMN 为等腰梯形，且AC ∥MN∴∠ANM ＝∠CMN ，∠ANM ＝∠GAC ，∠GCA ＝∠CMN ∴∠GAC ＝∠GCA ，∴GA ＝GC 设GA ＝x ，则GC ＝x ，OG ＝3－x在Rt △OGA 中，OA 2＋OG 2＝AG 2∴12＋(3－x )2＝x 2，解得x ＝5 3∴OG ＝3－x ＝43，∴G （0，43） 易得直线AG 的解析式为y ＝－43x ＋43令－43x ＋4 3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝1（舍去），x 2＝5 3∴N （5 3，－8 9）∴CM ＝AN ＝(1－53)2＋(8 9 ) 2＝109∴OM ＝OC ＋CM ＝3＋10 9＝37 9∴M （0，379）∴存在M （0，37 9 ）、N （5 3，－89）使四边形ACMN 为等腰梯形6、如图，抛物线y ＝1 2 x 2－ 32x －9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．解：（1）当y ＝0时，1 2x2－32x －9＝0解得x 1＝－3，x 2＝6∴A （－3，0），B （6，0），∴AB ＝9 当x ＝0时，y ＝－9 ∴C （0，－9），∴OC ＝9（2）∵l ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADES △ACB＝(AEAB)2∵S △ACB＝1 2 AB ²OC ＝ 1 2 ×9×9＝812∴S ＝S △ADE＝(AEAB)2²S △ACB＝(m 9 )2×81 2 ＝ 1 2m2即S ＝12m2（0＜m＜9）（3）∵S △AEC＝1 2 AE ²OC ＝ 1 2 m ×9＝ 92m∴S △CDE＝S △AEC－S △ADE ＝9 2 m － 1 2 m 2＝－ 1 2 ( m － 9 2 )2＋818∵0＜m＜9，∴当m ＝9 2 时，S △CDE取得最大值，最大值为818此时，BE ＝AB －AE ＝9－9 2 ＝92∴S △EBC＝1 2 S △ABC ＝814设⊙E 与BC 相切于点M ，连接EM ，则EM ⊥BC ，设⊙E在Rt △BOC 中，BC ＝OB2＋OC 2＝9 2＋62＝117 ∵S △EBC ＝ 1 2 BC ²EM ，∴1 2 ×117r ＝ 81 4，∴r ＝812117∴所求⊙E 的面积为：π(812117)2＝72952π 7、已知抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2（a 、t 是常数，且a ≠0，t ≠0）的顶点是P 点，与x 轴交于A （2，0）、B 两点．（1）①求a 的值；②△P AB 能否构成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；（2）若t ＞0，点F （0，－1），把抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2向左平移t 个单位后与x 轴的正半轴交于M 、N 两点，当t 为何值时，过F 、M 、N 三点的圆的面积最小？并求这个圆面积的最小值．解：（1）①∵抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2经过点A （2，0）∴a (2－t －2)2＋t 2＝0，即at 2＋t2＝0 ∵t ≠0，∴a ＝－1②由①知，抛物线为y ＝－(x －t －2)2＋t2∴P （t ＋2，t2）∵y ＝－(x －t －2)2＋t2＝－( x －2)(x －2t －2) 又A （2，0），∴B （2t ＋2，0）作PC ⊥AB 于C ，则C （t ＋2，0）∴PC ＝t2，AC ＝|t ＋2－2|＝|t |，BC ＝|2t ＋2－(t ＋2)|＝| t| 若△P AB 为直角三角形，只能∠APB ＝90°由抛物线的对称性可知△P AB 为等腰直角三角形∴PC ＝AC ，即t2＝|t| ∵t ≠0，∴t ＝±1∴△P AB 能构成直角三角形，此时t ＝±1（2）把抛物线y ＝－(x －t －2)2＋t2向左平移t 个单位后抛物线的解析式为y ＝－(x －2)2＋t2令y ＝0，得－(x －2)2＋t2＝0，∴x 1＝2－t ，x 2＝2＋t ∴MN ＝| x 2－x 1|＝2| t|由于过F 、M 、N 三点的圆的圆心必在抛物线的对称轴即直线x ＝2所以要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即圆的半径应等于点F 到直线x ＝2的距离 ∵F （0，－1），∴此时圆的半径为2，面积为4π设圆心为D ，直线x ＝2与x 轴交于点E ，连接DM ，则DM ＝2，DE ＝1 在Rt △MDE 中，ME ＝DM 2－DE 2＝22－12＝3∴MN ＝23，∴2|t|＝2 3∵t ＞0，∴t ＝ 3∴当t ＝3时，过F 、M 、N 三点的圆的面积最小，最小面积为4π8、如图，正方形ABCD 的边AB 在直线y ＝x －4上，顶点C 、D 在抛物线y ＝x2上． （1）求正方形ABCD 的面积；（2）如何平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD 的另两个顶点A 、B ？并求出平移后抛物线的解析式．（3）若抛物线的顶点沿直线．．AD 平移，当抛物线同时与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交时，直接写出抛物线的顶点横坐标h 的取值范围．解：（1）∵AB 在直线y ＝x －4上，CD ∥AB ∴设边CD 所在直线的解析式为y ＝x ＋b由⎩⎨⎧y ＝x ＋b y ＝x2消去y 并整理，得x2－x －b ＝0 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－b∴CD ＝(x 2－x 1 )2＋( y 2－y 1 )2＝2²( x 2－x 1 )2＝2²( x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2²1＋4b 连接CA 、DB ，设直线y ＝x －4分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，CD 交y 轴于点G则OE ＝OF ＝4，∴∠OEF ＝∠OFE ＝45°x －4∵∠DBA ＝45°，∴DB ∥OE∵CA ⊥DB ，∴CA ⊥OE ，∴CA ∥GF又CG ∥AF ，∴四边形AFGC 是平行四边形 ∴CA ＝GF ＝b ＋4，∴CD ＝22(b ＋4) ∴2²1＋4b ＝22(b ＋4) 解得b 1＝2，b 2＝6，∴CD ＝32或CD ＝5 2 ∴S 正方形ABCD＝CD 2＝18或50 （2）由（1）知，A （2，－2）设平移后的抛物线解析式为y ＝(x －h)2＋k ①当b ＝2时，点G 坐标为（0，2），∴D （－1，1） ∵BD ＝CA ＝b ＋4＝6，∴B （5，1）∵平移后的抛物线y ＝(x －h)2＋k 经过点A 、B∴⎩⎨⎧(2－h)2＋k ＝－2( 5－h)2＋k ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝3k ＝－3 ∴y ＝(x －3)2－3∴应将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移3个单位（或先向右平移3个单位，再向下平移3个单位） ②当b ＝6时，点G 坐标为（0，6 ），∴D （－3，3） ∵BD ＝CA ＝b ＋4＝10，∴B （7，3）∵平移后的抛物线y ＝(x －h)2＋k 经过点A 、B∴⎩⎨⎧(2－h)2＋k ＝－2( 7－h)2＋k ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝4k ＝－6 ∴y ＝(x －4)2－6∴应将抛物线先向下平移6个单位，再向右平移4个单位（或先向右平移4个单位，再向下平移6个单位）（3）当正方形ABCD 的边长为32时：158≤h≤3当正方形ABCD 的边长为52时：158≤h ≤15－41 2提示：易求直线AD 的解析式为y ＝－x①当正方形ABCD 的边长为32时若抛物线恰好经过正方形ABCD 的顶点A 、B则抛物线与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交 由（2）知，此时顶点坐标为（3，－3），在直线AD 上 ∴h ＝3当抛物线与AB 边只有一个公共点时，抛物线与边AB 、BC 、CD 都相交 ∵抛物线的顶点在直线AD 上，∴设顶点坐标为（h ，－h ）∴抛物线为y ＝(x －h)2－h令( x －h)2－h ＝x －4，得x2－( 2h ＋1 )x ＋h2－h ＋4＝0 ∵抛物线与AB 边只有一个公共点∴△＝[－(2h ＋1 )]2－4( h 2－h ＋4)＝0解得h ＝158x －4－4－4∴158≤h≤3②当正方形ABCD 的边长为52时 若抛物线的对称轴右侧图象经过点B 时则抛物线与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交将B （7，3）代入y ＝(x －h)2－h得3＝(7－h )2－h ，解得h ＝15－41 2 或h ＝15＋412（舍去） ∴h ＝15－412当抛物线与AB 边只有一个公共点时，抛物线与边AB 、BC 、CD 都相交 由①知，此时h ＝158∴158≤h ≤15－41 29、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A B C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ，当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t > 0），△MP Q 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为_____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段BC 上运动时，设PM 的延长线与直线l相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论 专题：压轴题－4－4分析：⑴由题意不难得出点C 的坐标为(3，4)．因为直线l 经过O 、C 两点，所以设其解析式为y kx =，将点C (3，4)代入，解得43k =，所以直线l 的解析式为43y x =． ⑵求 S 与t 的函数关系式，关键是确定MP 及点Q 到MP 的距离．根据题意，得OP ＝t ， AQ ＝2t ， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．1、 当0＜t≤52时； 如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ ∽△ODC ，得65t AE =，85EQ t =．∴Q 点的坐标是（685t +，85t ）．∴618855PE t t t =+-=+．∴2114121682235153S MP PE t t t t ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭．②当52＜t≤3时； 如图第26题（2）图2，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ．∴Q 点的坐标是（16－2t ，4）．∴PF ＝16－2t －t ＝16－3t ．∴()21143216322233S MP PF t t t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+． ③当3＜t ＜163时，如图第26题（2）图3，当点Q 与点M 相遇时，16－2t ＝t ，解得163t =．当3＜t ＜163时，如图3，MQ ＝16－2t －t ＝16－3t ，MP ＝4．∴()11416363222S MP MQ t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+⑶根据题（2）中S 与t 的函数关系，先分别求出①当0＜t≤52时；②当52＜t≤3时；③当3＜t ＜163时，t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．最后综合上述各情况判断得出t 为何值时， S 的最大值．①当0＜t≤52时，()22216216020153153S t t t =+=+-．∵a ＝215＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－20， ∴当0＜t≤52时，S 随t 的增大而增大．∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为856．②当52＜t≤3时， 2232812822339S t t t ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭． ∵a ＝－2＜0．抛物线开口向下，∴当83t =时，S 有最大值，最大值为1289． ③当3＜t ＜163时，632S t =-+，∵k ＝－6＜0，∴S 随t 的增大而减小．又∵当t ＝3时，S ＝14．当t ＝163时，S ＝0，∴0＜S ＜14．综上所述，当83t =时，S 有最大值，最大值为1289．⑷如图第26图（4），当NM ＝MQ 时，即416343t t -=-，△QMN 为等腰三角形．解答：（1）（3，4）；x y 34=． （2）根据题意，得OP ＝ t ，AQ ＝2 t ，分三种情况讨论： ①当0<t ≤25时，如图1，M 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 34，， 过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，可得△AEQ ∽△ODC ，∴CD QE OD AE OC AQ ==，∴4352QE AE t ==，∴AE ＝56t ，EQ ＝t 58，∴Q 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t 58568，，∴PE ＝8＋56t －t ＝8＋t 51，∴t t t t PE MP S 3161525183421212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=⋅⋅=．②当25< t ≤3时，如图2，过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ，∴Q 点的坐标是（16－2t ，4），∴PF ＝16－2－t ＝16－3 t ．∴()t t t t PF MP S 3322-3-163421212+=⋅⋅=⋅⋅=． ③当点Q 与点M 相遇时，16－2 t ＝ t ，解得t ＝316．当3< t <316时，如图3，MQ ＝16－2t － t ＝16－3t ，MP ＝4，∴()326-3-1642121+=⋅⋅=⋅⋅=t t MQ MP S ．（3）①当0 < t ≤25时，()3160-2015231615222+=+=t t t S ．∵a ＝152>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝－20，当0< t ≤25时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝25时，S 有最大值．最大值为685．②当25< t≤3时，912838-t 2-3322-22+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t t S ，∵a ＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9128．③当3< t <316时，S ＝ －6t ＋32，∵k ＝－6<0，∴S 随着t 的增大而减小，又∵当t ＝3时，S ＝14，当t ＝316时，S ＝0，所以0<S <14．综上所述，当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9128．（4）当t ＝1360时，△QMN 为等腰三角形．10、如图1，抛物线y =ax 2+bx +3经过点A （﹣3，0），B （﹣1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线y =﹣2x +9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ．F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在一点P ，使△PEF 的内心在y 轴上，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。

求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。

抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。

因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。

在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。

最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。

抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。

海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在 性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段， 并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的 解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既 要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和 数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多 方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很 好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问 题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围 绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精 心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以 帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得 以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同 方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决 问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提 高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质 之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初 三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结 合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高 频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积 及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公 式（底乘髙的一半）来求,在平面 直角坐标系中求斜三角形的面 积用这个公式难度大，那如何求 呢？那就需要运用转化的方法 把斜三角形分割成底与高分别 与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分 割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜 三角形的面积不仅可以运用分 割法，也可以转换思路，用补形 的方法把不规则图形转化成规 则图形，将斜三角形面积转化 成矩形面积减去三角形的面 积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (： 一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点 ，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点 所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的 面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我 们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点 由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需 使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化 思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点 作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设 出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确 角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是 变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基 础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ， 利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用 公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教 学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、 数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念， 是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度 学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引 领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并 在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的 过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在 学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价 值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层 面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。