公开课抛物线中的三角形面积

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

抛物线内接三角形面积公式及其应用
计算抛物线内接三角形的面积，是各类考试中的经典问题。

本文介绍了一种仅用顶点横坐标表示的抛物线内接三角形的面积公式，对公式给出了完整的证明，并尝试用它来解决了一些2018年中考问题，取得了很好的效果。

关键词：抛物线内接三角形面积公式
定理：设抛物线y=ax^2+bx+c内接三角形△ABC，三个顶点的坐标分别为
(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则△ABC的面积为S△ABC=|a(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)|/2
可以看出，这个公式只用到抛物线的二次项系数，以及三个顶点的横坐标，公式本身简洁对称，形式优雅，非常容易记忆。

抛物线焦点三角形的面积引言抛物线是一个非常重要的数学概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨抛物线焦点三角形的面积。

什么是抛物线焦点三角形抛物线焦点三角形是指以一个抛物线的两个焦点和抛物线上一点为三个顶点的三角形。

它具有一些特殊的性质，其中最重要的就是其面积的计算方法。

抛物线的基本性质在进一步研究抛物线焦点三角形之前，我们先了解一下抛物线的基本性质：1.抛物线是一个平面曲线，具有轴对称性。

2.抛物线有两个焦点，定义为F1和F2。

3.抛物线上任意一点P到焦点F1和F2的距离之和是一个固定值，等于抛物线的焦距。

抛物线焦点三角形的性质抛物线焦点三角形具有以下重要性质：1.抛物线焦点三角形的三个顶点分别为两个焦点F1和F2以及抛物线上的一点P。

2.抛物线焦点三角形的高是从点P到抛物线的准线的垂直距离。

3.抛物线焦点三角形的底是由两个焦点F1和F2之间的距离。

抛物线焦点三角形的面积计算抛物线焦点三角形的面积可以通过高和底的长度计算得出。

具体计算方法如下：1.首先，我们需要计算抛物线焦点之间的距离，也就是底的长度。

2.然后，我们需要确定抛物线焦点到抛物线准线的垂直距离，也就是高的长度。

3.最后，我们可以使用三角形的面积计算公式：面积 = 0.5 * 底 * 高计算出抛物线焦点三角形的面积。

抛物线焦点三角形面积的计算示例为了更好地理解抛物线焦点三角形面积的计算方法，我们以一个具体的示例进行说明：假设抛物线的焦点F1和F2的坐标分别为(0, 0)和(2, 0)，而抛物线上的点P的坐标为(1, 1)。

现在我们来计算抛物线焦点三角形的面积。

1.首先，计算底的长度。

根据坐标的差值，我们可以得到底的长度为2。

2.其次，计算高的长度。

高的长度是点P到准线的垂直距离。

我们可以通过焦点到准线的距离和点P到准线的距离的差值来计算。

由于抛物线的准线是 x 轴，所以点P到准线的距离等于点P的 y 坐标值，即1。

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

抛物线三角形面积最大值公式在数学中，我们经常需要研究最大化或最小化某个量的问题。

本文将探讨一个有趣的数学问题：如何求解抛物线上的三角形面积的最大值，并给出相应的公式。

问题引入考虑一个抛物线y=ax2+bx+c，我们希望找到一条直线y=mx+n和抛物线所围成的三角形的最大面积。

解决方法为了求解这个问题，我们首先需要确定直线和抛物线的交点。

令二者相交时的x值为x0，则有：ax02+bx0+c=mx0+n化简可得：mx0=ax02+bx0+c−n整理后可得：ax02+(b−m)x0+(c−n)=0这是一个一元二次方程，我们可以根据二次函数的性质求解出x0。

接下来，我们需要计算三角形的面积。

设两条线与x轴围成的三角形面积为S，则有：$$ S = \\frac{1}{2}(\\text{底边} \\times \\text{高}) = \\frac{1}{2}|x_1-x_2|\\times|y_1-y_2| $$求解最大值我们的目标是求解三角形面积的最大值。

根据前面的讨论，我们将三角形的面积公式代入：$$ S = \\frac{1}{2}|x_0-x_1|\\times|y_0-y_1| $$其中，x0为抛物线和直线的交点x坐标，(x1,y1)为抛物线上的点。

将直线方程y=mx+n代入上式，求解最大值问题可以转化为对S的求导问题，即求 $\\frac{dS}{dx_0}=0$。

通过对 $\\frac{dS}{dx_0}$ 求导，并令导数为零，可以得到抛物线三角形面积的最大值。

这个最大面积对应的x坐标即为我们要找的交点x0。

结论通过以上推导和计算，我们得到了抛物线上与给定直线围成的三角形面积的最大值公式。

这个公式可以帮助我们在解决相关数学问题时快速找到最优解。

希望本文的内容能对读者有所启发，也希望读者能在实际问题中灵活运用这些数学知识。

抛物线中的三角形问题在数学中，抛物线是一种二次曲线，其形状类似于开口朝上的弧线。

抛物线与三角形之间有着紧密的联系，本文将探讨抛物线中的三角形问题。

一、抛物线的定义与性质抛物线是指平面上满足平方差关系的点的集合。

一般来说，抛物线可以由二次方程的图像表示，常见的抛物线方程形式包括标准型、顶点型等。

根据方程的不同形式，可以得到抛物线的不同性质，如焦点、顶点、对称轴等。

二、抛物线中的三角形问题抛物线与三角形之间存在着丰富的几何关系，其中一些经典问题如下：问题一：抛物线上的三点确定一个三角形，该三角形的面积如何计算？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，并选取抛物线上三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。

根据三点确定一个三角形，可以利用三角形的高度与底边长度来计算面积。

首先，我们可以通过求解方程组得到顶点的坐标(xv, yv) = (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是抛物线的函数。

然后，利用向量的几何性质，求出三角形的高度h，再计算底边长度d，最后利用面积公式S = 0.5 * d * h计算出面积。

问题二：给定一个抛物线和一个点P，如何确定在抛物线上选择两个点形成的三角形，使其面积最大？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，设点P的坐标为(xp, yp)。

对于以点P为顶点的抛物线上的任意一条直线，其倾斜角为θ，直线的方程可以表示为y = tanθ * x + C，其中C是常数。

当直线与抛物线相交时，可将两个方程联立求解，得到交点的坐标(x1, y1)和(x2,y2)。

然后，利用这两个交点与点P形成的三角形面积公式S = 0.5 *|x1y2 - x2y1 - x1yp + xpy1 + x2yp - xpy2|，求解出最大的面积。

问题三：已知一个抛物线，如何确定两个定点，使其与抛物线上的另一个点形成的三角形周长最小？解析：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。

抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。

接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。

我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。

由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。

因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。

我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。

这就是抛物线内接三角形的面积公式。

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。

求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。

抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。

因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。

在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。

最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。

抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。

海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。

彭赛列闭合定理抛物线内三角形面积彭赛列闭合定理是数学中的一个重要定理，它给出了一个关于抛物线内三角形面积的有趣结果。

这个定理的证明非常巧妙，但为了遵守要求，我将以一种生动的方式来描述它。

假设我们有一个抛物线，它的形状非常优美。

我们站在抛物线上的某个点上，放眼望去，可以看到一条直线，它穿过了抛物线，形成了一个三角形。

我们感到非常好奇，想知道这个三角形的面积是多少。

为了解决这个问题，我们需要运用彭赛列闭合定理。

这个定理告诉我们，如果我们从抛物线上的两个点出发，沿着抛物线的切线走到第三个点，然后再回到起点，这样形成的三角形面积是一个常数。

想象一下，我们站在抛物线上，向左走到一个点，然后沿着切线走到另一个点，再从那个点回到起点。

我们可以选择不同的点进行这个实验，每次得到的三角形都有相同的面积。

这就是彭赛列闭合定理的精髓所在。

这个定理的证明非常复杂，但它的结果非常有趣。

它告诉我们，无论我们选择抛物线上的哪两个点，最终得到的三角形面积都是相同的。

这个常数就是抛物线的焦距。

这个定理的意义深远。

它不仅在数学中有重要的应用，还在物理学、工程学等领域起着重要的作用。

它帮助我们理解抛物线的性质，为我们解决实际问题提供了一个强大的工具。

通过这个故事，我们可以看到彭赛列闭合定理的美妙之处。

它告诉我们，无论我们站在抛物线上的哪个点，我们总能找到一个三角形，它的面积是相同的。

这个定理不仅仅是一个数学定理，更是一个关于美的故事。

它让我们感受到了数学的魅力，也让我们对世界充满了好奇和探索的欲望。

无论我们是数学爱好者还是普通人，都可以从中体会到数学的魅力和美妙之处。