山东师范大学2007年数学分析考研试题

2.()Lx y ds +=⎰ 其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 （ A ）A. 1+B. 1C.D. 03.()Ly x dy -=⎰.，其中L 为直线,AB(1,1),(2,2)A B （ D ）A. 1B. 2C.12D. 0 4 Syzdxdy =⎰⎰ ,其中S 是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。

( D )A. 2πB. πC. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y +=　（ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3精品文档二、填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）1. 22()Dx y dxdy +=⎰⎰8π, 其中22:4D x y +≤ 2.Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰8. 其中:02,0V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。

4. 设L 是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰ π5. 格林公式建立了区域D 上二重积分与D 的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系。

设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为LPdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y∂∂-∂∂⎰⎰。

(本题共2小题，每题10分, 共20分）1．计算DI dxdy =⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。

解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。

。

3分先对x 后对y 积分：11112yxI dy dx dx dy ===⎰⎰⎰⎰ 。

6分2. 计算xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω 是三个坐标面与平面 x精品文档+ y + z =1所围成的区域解 画出区域 D ： 0101y x x ≤≤-≤≤ 。

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试题类别：B
4. 试述守恒量的概念及其性质
5. 给出氢原子的能级简并度并与一般中心力场中运动粒子的能级简并度进行比较
6. 试述旋量波函数的概念及物理意义
10分，共30分）
1. 一维粒子波函)(x ψ数满足定态Schrödinger 方程，若)(1x ψ、)(2x ψ都是方程的
解，则有无关）（与常数x =ψψ-ψψ''1221
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)(2ˆ)(2ˆ2
2222r V r
L r r r r H ++∂∂∂∂-=μμ ，证明
1题10分，第2、3题各15分，共40分）
子能量本征函数为n ψ。

试利用递推公式
⎪⎪⎭
⎫
ψ+
-+112n n n
求谐振子坐标在能量表象中的矩阵表示
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0=t 时氢原子的波函数为]322[10
1)0,(121211210100-ψ+
ψ+ψ+ψ=
ψr 。

忽略自旋和跃迁。

（1）写出系统能量、角动量平方2L 及角动量z 分量z L 的可能测值（表示成基本物
理的函数即可）；
（2）上述物理量的可能测值出现的几率和期望值； （3）写出t 时刻的波函数。

3. 有一两能级体系，哈密顿量为'ˆˆˆ0H H H +=，在0ˆH 表象中，'ˆˆ0H H 和表示为 2121
0,01
10
'ˆ,0
0ˆE E b H E E H >⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=
'ˆH
为微扰，b 表示微扰程度，试求H ˆ的本征值和本征态。

2007考研数学三真题及答案一．选择题〔此题共10分小题，每题4分，总分值40分，在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内〕（1） 当0x +→ 〕A .1-.ln(1B 1C .1D -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，以下命题错误的选项是： ( )A .假设0()limx f x x →存在，那么(0)0f = .B 假设0()()lim x f x f x x→+-存在，那么(0)0f =.C .假设0()limx f x x →存在，那么'(0)f 存在 .D 假设0()()lim x f x f x x→--存在，那么'(0)f 存在（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰那么以下结论正确的选项是：〔 〕.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，那么二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于〔 〕.A 10arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，那么商品的价格是〔 〕.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为〔 〕 .A 0 .B 1 .C 2 .D 3〔7〕设向量组线性无关，那么以下向量组线相关的是( )〔A 〕12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++〔C 〕1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++〔8〕设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭那么A 与B 〔 〕〔A 〕合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，那么此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，那么在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) 〔A 〕()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上〔11〕3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. 〔12〕设函数123y x =+，那么()(0)_________n y =. 〔13〕设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =那么z zy x y∂∂-=∂∂________. 〔14〕微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.〔15〕设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭那么3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔17〕〔此题总分值10分〕设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点〔1，1〕附近的凹凸性. 〔18〕〔此题总分值11分〕 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤〔19〕〔此题总分值11分〕设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：〔Ⅰ〕存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； 〔Ⅱ〕存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= 〔20〕〔此题总分值10分〕将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解〔22〕〔此题总分值11分〕设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.〔Ⅰ〕验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； 〔Ⅱ〕求矩阵B. 〔23〕〔此题总分值11分〕设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他〔Ⅰ〕求{}2P X Y >；〔Ⅱ〕求Z X Y =+的概率密度()Z f z . 〔24〕〔此题总分值11分〕设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. 〔Ⅰ〕求参数θ的矩估计量θ；〔Ⅱ〕判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.参考答案一、选择题〔此题共10分小题，每题4分，总分值40分，在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内〕 （1） 当0x +→B 〕A.1-.ln(1B1C.1D -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，以下命题错误的选项是： (D)A .假设0()limx f x x →存在，那么(0)0f = .B 假设0()()lim x f x f x x→+-存在，那么(0)0f =.C .假设0()limx f x x →存在，那么'(0)f 存在 .D 假设0()()lim x f x f x x→--存在，那么'(0)f 存在（3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰那么以下结论正确的选项是：〔C 〕.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，那么二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于〔B 〕.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，那么商品的价格是〔D 〕.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为〔D 〕 .A 0 .B 1 .C 2 .D 3〔7〕设向量组线性无关，那么以下向量组线相关的是 (A) 〔A 〕12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++〔8〕设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭那么A 与B 〔B 〕〔A 〕合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，那么此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，那么在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) 〔A 〕()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y二、填空题：11-16小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上〔11〕3231lim(sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+. 〔12〕设函数123y x =+，那么()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=. 〔13〕设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=那么''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y ∂∂-=-+∂∂. 〔14〕微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为221ln x y x=+. 〔15〕设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭那么3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔17〕〔此题总分值10分〕设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点〔1，1〕附近的凹凸性. 【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的〔18〕〔此题总分值11分〕设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的局部，即 {}1(,)0,0D Dx y x y =≥≥利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法那么可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故1111122200111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是， 2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d r ππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，那么2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t t θθθ-===+++，代入即得1211222000011221001122(1)cos sin122(1)22221)Ddt dtd t ut t tdu duduu uπθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y dσ=⨯+=+⎰⎰〔19〕〔此题总分值11分〕设函数()f x，()g x在[],a b上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a＝()g a，()f b＝()g b，证明：〔Ⅰ〕存在(,),a bη∈使得()()f gηη=；〔Ⅱ〕存在(,),a bξ∈使得''()''().f gξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f xg x在(,)a b内某点(,)c a b∈同时取得最大值，那么()()f cg c=，此时的c就是所求点()()f gηηη=使得.假设两个函数取得最大值的点不同那么有设()max(),()max()f c f xg d g x==故有()()0,()()0f cg c g d f d->-<，由介值定理，在(,)c d内肯定存在()()f gηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a bηη内分别存在一点''1212,,()()f fξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f gξξξ∈=存在，使得.〔20〕〔此题总分值10分〕将函数21()34f xx x=--展开成1x-的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的根底解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为11101110122001101440000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)T k - 〔22〕〔此题总分值11分〕设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.〔Ⅰ〕验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； 〔Ⅱ〕求矩阵B. 【详解】：〔Ⅰ〕可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数. 矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T Tk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.〔Ⅱ〕由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有 令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-，那么1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦〔23〕〔此题总分值11分〕设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 〔Ⅰ〕求{}2P X Y >；〔Ⅱ〕求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：〔Ⅰ〕{}2(2)D P X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那局部区域；求此二重积分可得{}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰ 1205()8x x dx =-⎰ 724= 〔Ⅱ〕{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3z z xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰ 当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰ 于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他〔24〕〔此题总分值11分〕设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他. 其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. 〔Ⅰ〕求参数θ的矩估计量θ； 〔Ⅱ〕判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：〔Ⅰ〕记EX μ=，那么1022(1)xxEX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰ 1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为122X θ=-； 〔Ⅱ〕只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而 22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n ==+=+，而 1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，22251()481212DX EX EX θθ=-=-+， 于是222533131(4)1233nn n E X n n n θθθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题 (2)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题 (3)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题 (5)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题 (6)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题 (7)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题 (8)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题 (10)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题 (12)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题 (14)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (16)山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (16)山东大学2009年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (22)山东大学2010年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)山东大学2011年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (34)山东大学2012年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)山东大学2014年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)山东大学2015年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)山东大学2016年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)山东大学2017年招收硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)Ⅰ历年考研真题试卷山东大学2007年招收硕士学位研究生入学考试试题科目代码：651科目名称：数学分析（答案必须写在答卷纸上，写在试卷上无效）1.求()sin 0lim cot xx x →2.求222222222222(),: 1.Vx y z x y z dxdydz V a b c a b c ++++=⎰⎰⎰3.求211.n n n x ∞-=∑()0,1x ∈4.证明：20lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰5.()()0,()f a f b f x ''==有二阶导数，证明：存在,ξ满足24()()().()f f b f a b a ξ''≥--6.22220(,)0,0.x y f x y x y +≠=+≠⎩，证明：(,)f x y 在（0，0）连续，有有界偏导数,x y f f ''在（0，0）不可微。

山东师范大学政法学院马克思主义哲学2005——2009世界政治经济与国际关系2005——2009西方哲学史2005——2009政治学原理2005——2009中国马克思主义2008——2009马克思主义发展史2007——2009近现代中国社会发展史2007——2009公共管理学2007——2009行政管理学2007——2009毛泽东思想和邓小平理论2005——2006中国马克思主义2007思想政治教育2007，2009思想政治教育学原理2008法学基本理论2007——2008中外法律思想史2007——2009环境法学理论2007——2009教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）音乐学院舞蹈基础与作品分析2007——2008西方音乐史2008——2009中国音乐史2008中外音乐史2005和声2008作品分析与和声2005——2007音乐基础理论2009信息科学与工程学院C语言程序设计2005——2008高等数学B（含线性代数）2005——2009信号与系统2007，2009离散数学2005——2009数据结构2005——2009数据库系统2005——2006物理与电子科学学院高等数学A 2005——2009量子力学1998——2001，2005——2009电动力学1999——2000，2005——2006普通物理A（含电磁学、光学）1999——2002，2005——2009普通物理B 2005——2009物理光学2008——2009电子线路基础2008——2009数字电子技术基础2005——2007数字信号处理2005——2007信号与系统2007，2009——2008教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）文学院古文阅读2005——2009汉语（含古代汉语和现代汉语）2005——2009美学2005——2009外国文学史2005——2009文学理论与写作2006——2008语言学理论与写作2005——2009中国古代文学（含中国文学史、中国古代文学作品）2005——2009中国现当代文学2005——2009现当代文学专业试题1998——2002新闻史论2007——2009新闻实务（含新闻写作、编辑、评论）2008影视学概论2007——2008电影学概论2005——2006教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）外国语学院二外德语2006——2008二外俄语2005——2008二外法语2005——2008二外日语2005——2008基础英语1986，1998，2005——2009（1986，1998有答案）英语语言文学1986（1986有答案）综合考试A（含英美概况、文学常识、现代汉语）2005——2009二外英语2005——2008基础日语2006——2009日语综合考试B（含日本概况、文学常识、现代汉语）2005——2009基础俄语2005——2009俄语综合考试C（含俄语语言文化知识、19世纪俄国文学、现代汉语）2005——2009体育学院体育学综合（含学校体育学、体育心理学、人体生理学，三门各占三分之一）2007——2008人体生理学2005——2006体育社会学2005学校体育学(含体育心理)2005——2006教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）数学科学学院高等代数与解析几何2005——2009高等代数2000数学分析2000——2001，2005——2009计算方法2000教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）生命科学学院动物学2005——2009微生物学2007——2009高等数学A 2005——2009食品卫生学2007——2009普通生态学2005——2009生物化学2005——2009细胞生物学2005——2009分子生物学2007——2009植物生理与遗传2005——2009植物学2005——2009教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）历史文化与社会发展学院历史学专业基础（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）山东省可持续发展中心西方经济学2005——2009资源与环境学2005，2007——2009人口资源与环境学院地理信息系统2005——2009高等数学A2005——2009环境学概论2005——2009经济地理2005——2007旅游学基础2005——2009区域经济学2005——2009人文地理学2005——2009自然地理学1993，1997——2000，2005——2009土地管理学2008——2009美术学院美学基本原理2005——2009艺术学与中外美术史2005——2009经济与管理学院西方经济学2005——2009中外政治思想史2007——2009教育科学学院教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）心理学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）化学、化工与材料学院分析化学2005——2009高等数学A2005——2009无机化学2005——2009物理化学2005——2009有机化学2005——2009教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）大学外语教育学院教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）传播学院传媒技术基础2007——2009传媒学理论2007——2009数字电视技术与写作2007——2009计算机与写作2005——2006教育技术理论（含教育技术学导论、教学设计、教育科学研究方法）2005——2009 软件设计（含C语言程序设计、网络技术基础）2005——2009文学艺术基本理论2005——2008管理学院离散数学2005——2009数据结构2005——2009政治学原理2005——2009中外政治思想史2007——2009齐鲁文化研究中心马克思主义哲学2005——2009中国哲学史2007——2009历史学专业基础（全国统考试卷）2007——2008社会科学教育学院马克思主义发展史2007——2009思想政治教育2007，2009思想政治教育学原理2008。

2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。

第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理例 1 设函数)(x f 定义在[]b a ,上, []b a x ,0∈∀,极限)(limx f x x →都存在.证明)(x f 在[]b a ,上有界.分析函数f 在每点[]b a x ,∈处由函数极限的局部有界性,);(x x U δ∃,在其中f 有界,于是[]{}b a x x U H x ,),;(∈=δ成为[]b a ,的一个无限开覆盖.然后可用有限覆盖定理得结论成立.读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理.另外,本例可应用致密性定理,通过反证法来证明.证 因为)(x f 在[]b a ,上每点存在极限,由函数极限的局部有界性,[]b a x ,0∈∀,);(x x U δ∃与0〉x M ,使得x x M t f x U t ≤∈∀)(),;(δ.所有这种领域的集合[]{}b a x x U H x ,);(∈=δ成为[]b a ,的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在[]b a ,的有限开覆盖(){}.1;~H n i x U H i x i ⊂≤≤=δ若取i x Mn i M max 1≤≤=,则因H ~覆盖了[]b a ,,对[]b a ,中每一x ,它必属于H ~中某一领域()xk k x U δ;,于是.)(M M x f k x ≤≤注1 上面的证明与闭区间上连续函数的有界性的证明有相似之处(见后面2ξ). 注 2 有限覆盖定理的作用在于当[]b a ,能被有限个领域覆盖时,可以在有限个．．．),2,1(n i M i x =中求得一个最大的M .例2 设{}n x 是有界发散数旬,则存在{}n x 的两个子列趋向于不同的极限.分析 由致密性定理, {}{}1lim ,ξ=⊂∃∞→k nk xk n n x x ,为了得到另一个收敛子列,必须利用数列{}n x 本身不收敛于1ξ的条件.证 因为{}n x 是有界数列,由致密性定理,存在收敛子列{}{},n n x x k ⊂∃记1lim ξ=∞→k n x k由于{}n x 不收敛于1ξ,因此在1ξ的某一领域);(1δξU 之外必有{}n x 中的无穷多项,对这无穷多项再次应用致密性定理,在其中又存在另一收敛子列{}{},'n n x x k ⊂∃记2lim 'ξ=∞→kn x k .显然δξξ≥-21,即21ξξ≠.例3 设{}n a 为收敛数列,证明{}n a 的上、下确界中至少有一个属于{}n a证 证法 1 设2lim a nan =∞→.若{}n a 是常数数列,则结论是显然的;若{}n a 不恒为常数,不妨设a a ≠1对210aa -=ε,0N ∃,当0N n 〉时);(0εa U a n ∈,而领域);(0εa U 外必有{}n a 中的有限项(至少);(0εa U a n ∉).在这有限项中必存在{}n a 的最大项或最小项,于是{}n a 的上、下确界中至少有一个属于{}n a .证法 2 因为{}n a 为收敛数列,所以{}n a 为非空有界集,由确界原理,存在{}{}n n a a i n f ,s up==ηξ.若ηξ=,则{}n a 为常数列,于是{}n a ∈ηξ,.若ηξ≠,且{}{},,n n a a ∉∉μξ,则存在两个子列使{}{}kkn n a a ''',使ξ=∞→kn x k 'lim ，η=∞→kn x k ''lim ，即{}n a 存在两个子列收敛于不同的极限，这与{}n a 为收敛数列相矛盾。

(1 + \[xj = 1 + 5x^ +10% + 10Q + 5x 2+ ,因此有f(l + Vxpx = x + —+5x 2+4/ +-X 3+-x ?+C v 73 3 7解法二利用换元积分法，令\ + 4x =t ,则x = （，-l ）2, dx = 2（t - l ）dt,于是有f(l + 0 dx = 2 (f _ 1)出=2 W6 -t> A= ；（f 伺+C说明 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求 J （l + V7）'°°dx）,处理起来不会增加任何困难；但若仍用解法一去计算，那将是十分繁琐的; 更何况当不定积分变为J （1+五）"dx, a 为任意实数时，只能用解法二来计算。

注意 第（2）题的两种解法所得结果在形式上虽不相同，但它们之间至多相差一个常 数，可被容纳在积分常数C 之内。

例2用第一换元积分法求下列不定积分： （1） \—e xdx ；第八章不定积分1基本积分公式与换元积分法例1求下列不定积分: X 4 + X 2 +1 Jax ； ⑴ 1 x 4+x 2解(1)由于x 4+ x 2+1 x 4+x 2+/ 1 =l +±-^-X 2+ 1) X 2 X 2 +1因此得到 4X + X x 4 +x 22+1 j c - r dx c dx dx = J dx + J —-— J ----------------- --X X +1 =x ------arctan x + Cx(2) 解法一山于(2) J sin nx cos mxdx ；(令-2)解(1) x = asint,\t\^ — ,dx = a cos tdt, ez >- 0 ,于是 1 123 . ?7, f a sin cos t , Q s 小 \,dx = J --------- dt = — J(1 - cos 2t )dt= J―SeC—dt = \ esc tdt xy/x 2+1 tanfsecfa 2 t — — sin 2/)+ C*(3) arctan Vx . —— - !—— dx ； (4) J(2)Jsin nxcos mxdx = ? j[sin(n + m)x + sin(n 一 m)x\dx-----cos(n + m)x n + m ---- cos(n 一 m)x + C n — m(4)-3 /故=J —7 丁-2 3.x 3-2A -3 - 2 +2A'3-2?.Y 3-2用。

山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题答案及评分标准课程编号：4081102 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适用专业：应用数学\信息计算 试题类别：(A)一、单项选择题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.若1()(0),d f t dt x dx => 则()f x '等于 ( A )A. 4x -B. 4xC.D. 2. 使得瑕积分11pdx x ⎰收敛的p 的值为 （ B ） A. 0p > B. 1p < C. 1p = D. 1p >3. 已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑ 则级数1n n a ∞=∑等于 （ C ）A. 3B. 7C. 8D. 9 4. 若级数1(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛, 则此级数在4x =处 ( B )A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不确定5. 设011,0,2()()cos ,1222,1,2n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪-<<⎪⎩∑, 其中 102()cos (0,1,),n a f x n xdx n π==⎰ 则5()2S -等于 ( D )A.12 B. 12- C. 34- D. 34二、填空题：（本题共8小题10个空格，每空2分，共20分）1. 实数完备性的六个基本定理为: 单调有界定理, _确界原理, 聚点定理, 区间套定理, 有限覆盖定理, 柯西收敛准则;2. 数列{}1(1)n+-的上﹑下极限分别为_2____, ____0____;3. 计算不定积分2sin xdx =⎰sin 224x x C -+;4. 设21,1A dx x +∞-∞=+⎰ 则A =1π; 5. 级数11(2)(12)n n n ∞=+++∑的和为13; 6. 级数ln(1)(1)1nn n x n ∞=+-+∑的收敛域为[0, 2)____; 7. 函数2()x f x e-=展成x 的幂级数为46212!3!x x x -+-+ 8. 使得级数21(1)(1)nxn n n ∞=-++∑条件收敛的x 的值为102x <≤; 三、判断下列反常积分的敛散性, 若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共4小题，共20分） 1．1sin xdx x+∞⎰解: 对1,u ∀≥ 有1sin cos1cos 2uxdx u =-≤⎰;而1x单调趋于0 ()x →+∞ , 故由狄利克雷判别法推知 无穷积分1sin xdx x+∞⎰是收敛的. 3’ 由于 2sin sin 1cos 2,[0,),22x x xx x x x x≥=-∈+∞其中 12cos 21cos 22x tdx dt x t+∞+∞=⎰⎰满足狄利克雷判别法的条件, 是收敛的, 而112dx x +∞⎰是发散的. 5’因此无穷积分1sin xdx x+∞⎰是条件收敛的. 6’ 2.20+∞⎰解: 由于122l i m 1,x x →+∞= 由于1,12p λ==, 3’因此由比较判别法知20+∞⎰是发散的. 4’3.10⎰解: 此瑕积分的瑕点为0x =. 当取314p =<时, 有314410004ln lim lim lim(4)0x x x x x x x λ+++→→→-==-==,所以瑕积分10⎰收敛. 4’因为xx ln 在(0,1]上恒为负, 从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的, 因此瑕积分10⎰是绝对收敛的. 6’4.1⎰解: 此瑕积分的瑕点为0,1x x ==. 且1110=+⎰⎰. 2’由于1lim(1)1,x x -→-=知积1,从而积分是1 于是积分1⎰是发散的. 4’ 四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 级数11(1)n p n nn∞+=-∑当p 为何值时是绝对收敛, 条件收敛或发散的?解: (1) 当1p >时, 由于11l i m 11p nn pnn +→∞= 因此级数11(1)n p n nn∞+=-∑是绝对收敛的. 3’(2) 当01p <≤时, 考虑函数1()(0)p xf x xx +=>. 由于111ln (),p x x f x e p x x +-⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦ 因此当x 充分大时, ()0f x '>. 从而当x 充分大时, 1()p xf x x+=单调递增, 由此推出, 当n 充分大时,11p nn+ 单调递减. 又因为 11lim0n p nn→∞+=,所以级数11(1)n p n nn∞+=-∑是收敛的.另一方面, 11lim ,n p nn n→∞+⋅=+∞ 因此级数非绝对收敛. 从而当01p <≤时, 级数是条件收敛的. 7’(3) 又显然当0p ≤时, 11lim 0n p nn→∞+≠, 从而级数是发散的. 9’综上所述, 得: 当1p >时, 级数绝对收敛; 当01p <≤时, 级数条件收敛; 当0p ≤时,级数发散. 10’2. 设 2231()ln(1),1,2,.n u x n x n n =+= 证明函数项级数1()n n u x ∞=∑在[0,1]上一致收敛, 并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证明： 对每一个n ， 易见)(x u n 为]1,0[上增函数， 故有 ),1ln(1)1()(23n nu x u n n +=≤ .,2,1 =n又当1≥t 时， 有不等式,)1ln(2t t <+ 所以 ,1)1ln(1)(223nn n x u n <+≤.,2,1 =n 以收敛级数∑21n 为∑∞=1)(n n x u 的优级数， 推得∑∞=1)(n n x u 在]1,0[上一致收敛. 4’由于每一个)(x u n 在]1,0[上连续, 根据和函数的连续性定理与逐项可积定理知,∑∞=1)(n nx u的和函数)(x S 在]1,0[上连续且可积. 6’又由 ,122)1(2)(222nnx n x x n n x x u n=⋅≤+=' .,2,1 =n 即收敛级数∑21n 也是∑∞='1)(n nx u 的优级数， 推得∑∞='1)(n n x u 也在]1,0[上一致收敛. 9’由逐项可微定理知 )(x S 在]1,0[上可微. 10’ 五、(本题共两小题，每小题7分，共14分)1. 求函数0sin ()xtf x dt t=⎰在0x =处的幂级数展开式, 并确定它收敛于该函数的区间. 解: 因为()x x f sin =在()+∞∞-,内能展开为麦克劳林级数()()21sin 121!n nn x x n +∞==-+∑。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =（ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（4）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，3（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．πC ．2π，1D ．2π（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（7）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ②():1()f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p AB A =；:UUq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ）A ．2500，2500B ．2550，2550C ．2500，2550D ．2550，2500`（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD =D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（ ） A ．212⎛⎫⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭秒第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．（13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．（14）设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 ．（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． （19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥． （Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ；1A1D1C1B（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．2007年高考山东卷 理科试题全解全析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

第六章 微分中值定理及其应用§1拉格朗日中值定理和函数的单调性例 1 设函数),()(b a x f 在内可导，在[a,b]上连续，且导函数)(x f '严格递增，若)()(b f a f =证明，对一切),(b a x ∈均有)()()(b f a f x f =〈证人 用反证法，若)()()(),(00b f a f x f b a x =≥∈∃在区间],[],,[00b x x a 上分别应用拉格朗日中值定理，b x x a 〈〈〈〈∃200121,,,ξξξξ使得0)()()(,0)()()(002001≤--='≥--='x b x f b f f a x a f x f f ξξ这与)(x f '为严格递增相矛盾。

例 2 设函数)(x f 在],[+∞a 内可导，并且0)(〈a f ，试证：若当),(+∞∈a x 时，有0)(〉〉'c x f 则存在唯一的),(+∞∈a ξ使得0)(=ξf ，又若把条件c x f 〉')(减弱为)(0)(〈+∞〈〉'x a x f ，所述结论是否成立？分析 因为0)(〈a f ，若可以找到某点a x 〉，使得0)(〉x f 则由)(x f 的严格递增性，并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的ξ，使得0)(=ξf证 a x 〉∀在],[x a 上应用拉格朗日中值定理，x a 〈〈∃ξξ,，使得))(()()(a x f a f x f -'=-ξ于是)()())(()()(a x c a f a x f a f x f -+〉-'+=ξ由于0〉c ，因此当x 充分大时总可使得不妨设0)(,11〉〉〉c x f a x ，所以],[)(+∞a x f 在上严格递增；在],[1x a 上应用连续函数的)()()(〉-+〉a x c a f x f介值定理，则1,x a 〈〈∃ξξ,且ξ是唯一的。