03 求因数的个数和因数和公式
学习目标:
1、理解因数的意义，通过多种形式的训练，熟练掌握找全一个数的因数。
2、通过探究求一个数因数的个数的方法，总结出求一个数的因数的个数的公式。
3、能熟练掌握因数和公式，灵活运用因数和公式解决简单是实际问题。
4、逐步培养学生从具体到一般抽象归纳的思想方法，激发学生探究数学知识的兴趣。
教学重点:
通过探究求一个数因数的个数的方法，总结出求一个数的因数的个数的公式。
教学难点：
能熟练的运用求因数的个数公式以及因数和公式，解决相关的实际问题。
教学过程：
一、情景体验
师：什么叫做因数，什么叫做倍数，如何分解质因数，同学们都还记得吗？
生：一个整数被另一个整数整除，后者即是前者的因数，这个整数就是另一个整数的倍数。
师：对，比如a÷b＝c，就是说a是b的c倍数，而b、c就是a的因数。如何求一个数所有因数的个数呢？对一些数来说，因数很少，所以很容易就能一一列举出来，数一数有多少，但是有些数的因数比较多，一一列举的话比较麻烦，并且也不一定能够全部都找出来，在这种情况下，我们又该怎么办呢？今天我们就来学习一种方法，先通过分解质因数，再通过计算求出因数的个数。现在请大家分别求出8和12的因数的个数，我们先将这两个数分解质因数，可得：
8=2×2×2=23 12=2×2×3=22×31
师：通过一一列举我们可以知道8的因数有1、2、4、8共四个，而12的因数有1、2、3、4、6、12共六个，可以发现3+1=4（个），（2+1）×（1+1）=6（个），我们不妨再来探究一下72和243的因数的个数。（学生自主探究，汇报情况）生：72有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72共12因数，243有1、3、
9、27、81、243共6个因数，而72=23×32，243=35，可以发现（3+1）×（2+1）=12（个），5+1=6（个）。（结合实际课堂时间，可以多举几个例子）
师：很好，这样我们就可以总结出求一个数因数的个数的方法。（展示课件）
二、思维探索（建立知识模型）
展示例题：
例1：求360的全部因数（约数）的个数。
师：要求360全部因数的个数，需要先做什么？
生：需要先把360分解质因数。
师：很好，自己动手算一算，360分解质因数的结果是什么呢？请一个同学到黑板上板书你的过程。（学生自主完成，汇报结果）
生：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
师：对，那么全部的因数个数怎么求呢？
生：全部的因数个数有：(1+3)×(1+2)×(1+1)=24(个)。
板书：求一个因数个数的方法：
一般地，一个自然数N 可以唯一地表示成一些质因数的乘积：
k a k a a a P P P P N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=321321
那么N 的全部因数（约数）的个数就有：
()()()()k
a a a a +⨯+⨯+⨯+1111321
三、思维拓展（知识模型拓展）
展示例题：
例2：有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？
师：有8个不同的约数，也就是说这个数有8个不同的因数，根据求因数个数的公式，大家有什么想法？
生：这个自然数可以是有两个不同的质因数相乘，其中一个质因数只有一个，另一个质因数有3个，因为（1+1）×（3+1）=8。
生：也可以由三个不同的质因数相乘得到，并且每个质因数都只有一个，因为（1+1）×（1+1）×（1+1）=8。
师：同学们都太聪明了，想法非常棒，我们可不可以简单的这样表示大家的想法
呢？也就是说这个数可以是3
211P P •,也可以是131211P P P ••,对吧！（对）问题中要我们求的是最小的这个数，大家又有什么想法呢？
生：质因数要尽可能的取较小的数。
师：对，怎么确定最小的数呢？（学生思考，教师引导）要得到最小的数，也就是说分解出的质因数也要尽可能的小，如果是第一种情况，那么这个数就应该是23×3=24，对吗？（对），那么另一种情况是多少呢？
生：2×3×5=30。
师：是的，综合两种情况，要取最小的那个，所以这个数是24。
展示例题：
例3：求小于1000的只有15个约数的最大自然数。
师：问题中如何理解有15个约数？
生：可以根据公式，因为15=3×5=（1+2）×（1+4），所以可知这个自然数是：4
221P P •。 师：问题要求的是最大的自然数，也就是说这里的P 1、P 2都要在满足条件的前提
下尽可能的大，对吗？（对）思考一下，大家认为这里的P 1、P 2最大可以取什么
数呢？大家可以相互探讨一下。（学生探讨，汇报结果）
生：可以分别取7和2，此时有最大值784。
四、融汇贯通（知识模型的运用）
展示例题：
例4：在1与50之间，只有3个约数的自然数有几个？
师：和前面的问题一样，这个问题中要求的是50以内有3个约数的数有几个？思考一下，什么样的数才有3个约数呢？
生：像4、9都只有3个约数。
师：对，根据公式，因为3=3×1=（1+2）×（1+0），所以可知这个自然数是：
2
201P P •。而任何数的0次方都等于1，所以这个数一定是某个质数的平方数，那么50以内质数的平方数除了刚刚说到的4、9以外还有哪些呢？
生：还有25、49。
师：对，综上所述，50以内有3个约数的自然数的数有4、9、25、49共4个。
展示例题：
例5：求360的所有约数的和。
师：如何确定360的所有约数，要把360的所有约数都列举出来再求和吗？是不是太麻烦了呢？今天老师给大家一个求和公式，在以后求所有因数（约数）和都可以直接运用这个公式来进行计算。我们先来举个例子，比如求12的所有因数的和，先将12分解质因数：12=2×2×3=22×3，那么12的因数有哪些呢？ 生：1、2、3、4、6、12。
师：对，我们一起来探究一下，每个数的因数都有1和它本身，如果要求36所有因数的和，先将36分解质因数，得到36=22×32，那么36所有因数的和就为：（1+2+22）×（1+3+32）=7×13=91。（教师结合学生情况，用较小的数距离探究约数求和的结论公式）
师：根据得到的公式，要求出360所有约数的和，同样我们需要先将360分解质因数。（学生自主完成，汇报结果）
生：360分解质因数的结果为：360=2×2×2×3×3×5=123532⨯⨯。
师：那么和是多少呢？
生：1170。
板书：求一个因数个数的方法：
一般地，一个自然数N 可以唯一地表示成一些质因数的乘积：
k a k a a a P P P P N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=321321
那么N 的全部因数（约数）的个数就有：
⋯⋯+⋯++++⋯+++)1)(1(2221112121n n a
a a a a a P P P P P P
