2.1.2椭圆的简单几何性质

又因为2a＝3×2b，所以a＝3，b＝1，方程为 ＋y2＝1.



②若焦点在y轴上，设方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0).




因为椭圆过P(3，0)，所以 ＋ ＝1.


又因为2a＝3×2b，所以a＝9，b＝3，


所以方程为 ＋ ＝1，





2
所以所求椭圆的方程为 ＋y ＝1或 ＋ ＝1.
率为
A.
C.
(A)
1
2
3－1
2
B.
3
2
D.
3
3
解析：设椭圆的半焦距为c，可得|＋ |＝| − |＝| |＝2| | ＝2c，
又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
可得△PF1F2为等边三角形，
即有|PF2|＝2c，则P为椭圆与y轴的交点，可得|PF2|＝ ＋ ＝a，所以2c
C. 5
D. 2 5


解析：(1)椭圆 ＋ ＝1中有a2＝25，b2＝16.


所以c2＝a2－b2＝9，得c＝3.
由方程知椭圆的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0， ±3). 故选A.
(2)由题意可得a＝2，b＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c＝ －＝ ，从而2c＝2 . 故选B.
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
短轴长＝ 2b，长轴长＝2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
对称轴 x轴和y轴 ，对称中心 (0，0)

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

2
36
+
2
27
=1.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)根据椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题
步骤为:
①确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
②确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
③写出标准方程.

离心率 e= =
7
4
.
7
焦点坐标 - 12 ,0 和
1
顶点坐标 - 3 ,0 ,
1
3
7
12
,0 ,
1
1
,0 , 0,- 4 , 0, 4 .
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探究一
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思维辨析
当堂检测
根据椭圆的几何性质求其标准方程
例2根据下列条件求椭圆的标准方程:
1
(1)椭圆的一个顶点是(0,2),离心率e= 2 ;
(2)椭圆长轴的一个端点为(-6,0),短轴的一个端点与两个焦点构成
一个正三角形.
分析(1)焦点位置不确定,应进行分类讨论;(2)焦点位置确定,可根据
题目条件求出a,b,c的值即得方程.
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探究三
思维辨析
当堂检测
= 2,
解:(1)①当椭圆焦点在 x 轴上时,依题意有 1 又 a2=b2+c2,解得
又因为 b2=a2-c2,代入得 c4-6a2c2+a4=0,即 e4-6e2+1=0,解得
e2=3-2 2(e2=3+2 2舍去),从而 e= 2-1.

B1
讲授新课
3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长．
y
b叫做椭圆的短半轴长．
B2
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
A1 b a A2 F1 O c F2 x
在Rt△OB2F2中，
B1
|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．
25 9
25 9
(3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6)
x2
y2
1或 y2
x2
1
148 37 52 13
求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量（a、b） 当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！
思考：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
k 8 9
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
y
O
x
讲授新课
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
y
O
x
讲授新课
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
y
O
x
讲授新课
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
y
O
x
讲授新课
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比

顶点坐标为(－4,0)，(4,0)，(0，－4 2)，(0,4 2).
题目类型一、椭圆的简单几何性质
例1.求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐 标和离心率： (1)4x2＋9y2＝36； (2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[解题过程] (1)将椭圆方程变形为x92＋y42＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
解析： (1)设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2 ＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
(2)方法一：若椭圆的焦点在 x 轴上， 设其标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
1．如何认识椭圆的几何性质的作用？ 椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小， 离心率决定了椭圆的扁平程度，对称性是椭圆的重要 特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特 殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确 定其性质．
[拓展] 设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．椭圆与 y 轴的
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系 数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标 准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；② 确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．

(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
(b,0)、(0,a)
e=
c a
(
0
<
e
<
1
)
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单 性质.（重点）
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.（重点） 3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.（难点）
探究点1 利用椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
【解析】建立上图 所示的直角坐标系, 设所求椭圆方程为
在 Rt BF1F2 中,
x2 a2
y2 b2
1.
待定 系数
| F2 B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
法
由 椭 圆 的 性 质 知 ,| F1B | | F 2 B | 2a , 所 以
1
1
a 2 ( | F1B | | F2 B | ) 2 2.8
中 ,F
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>b>0) 的 右焦 点 ,直 线
y=
b 2
与椭圆交于
B,C
两点,且∠BFC=90°,则该
6
椭圆的离心率是 3 .
4. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上， 离心率为 3 ，且G上一点到G的两个焦点的距离之 和为12，则2椭圆G的方程为___3x_62 __y9_2 __1__.
|
PF1
|
4 3
,|
PF2
|
14 ， 3
求椭
圆C的方程.
【解析】因为点P在椭圆C上，所以2a | PF1 | | PF2 | 6,a 3

椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2
越小，因此椭圆越扁；
y
O
x
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e

c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
A1 b a A2 F1 O c F2 x
B1
3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长．
y
b叫做椭圆的短半轴长．
B2
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
A1 b a A2 F1 O c F2 x
2.1.2椭圆的简单 几何性质
§2.1 椭 圆
1.在平面内到两定点F1、椭圆
.这两定点叫做椭圆
的 焦点 ，两焦点间的距离叫 焦距 .
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0,c>0， 且a，c为常数；（1）若 a>c ，则集合P
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
3. 综合练习：
1. 以 正 方 形ABCD的 相 对 顶 点A、C为
焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中
点，则该椭圆的离心率为（ D ）
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

|F1F2|=2c 对称轴是 x,y 轴,对称中心是(0,0) e=������������ (0<e<1)
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2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 椭圆的离心率 e 越接近于 1,则 c 就越接近于 a,从而 b= a2-c2 越小,因此椭圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 就越接近于 0,从而 b 越 接近于 a,因此椭圆越圆.
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二、利用椭圆的几何性质求标准方程
活动与探究 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点(3,0),(0,5); (2)长轴长为 20,离心率等于45; (3)焦距为 6,在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相 垂直.
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思路分析:由已知条件求 a,b,c 的值,再写出椭圆方程,但要注 意确定焦点位置.
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(2)椭圆xa22 + by22=1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0),其上存在一点 P, 使∠APO=90°,求椭圆的离心率的取值范围.
思路分析:由∠APO=90°可知:P(x,y)点在以 OA 为直径的圆上, 且 P 点又在椭圆上.
然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组,求出 P 点的横坐 标.利用 0<x<a 建立关于 a,b,c 的不等关系.
(1)确定焦点的位置; (2)构造含参数的关系式; (3)解出参数的值; (4)写出标准方程.
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三、与椭圆离心率有关的问题
活动与探究 3
(1)如图,已知椭圆xa22 + by22=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为
F,上顶点为 B.若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率
是
.
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复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
一．本节课复习内容： 椭圆的定义，标准方程以及几何性质。 二．题型： 1.求椭圆的标准方程。 方法：（1）定义法；（2）待定系数法。用待定系数法求椭 圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦 点的位置时，可分类讨论。 2.求椭圆的离心率。方法：(1)直接求出 a，c，代入 e＝ac； (2)构造 a，c 的齐次方程，解出 e； (3)特殊值法。
课前预习
高频考点
课时小结
A．4
B．5
C．8
D．10
解：由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心
率等于21，则 C 的方程是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋ y23＝1
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
y b2
2
1(a
b
0)
的
左、右顶 点分别为 A1, A2 ，且以线 段 A1A2 为直径 的圆与直线
bx ay 2ab 0相切，则椭圆 C 的离心率为( A )
6
A、 3
3
2
B、 3 C、 3
1 D、 3
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
（1）解析： ∵以椭圆焦点 F1、F2 为直径两端点的圆，恰 好过短轴的两顶点，
1．设平面上两个定点 F1(－5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足
|PF1|＋|PF2|＝10，则动点 P 的轨迹为( C )
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．无图形 2．设 P 是椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上的点．若 F1、F2 是椭圆的两个焦

2
2
2 2 x y (D) y x 1 或 1 36 20 36 20
2
2
练习3：
1 x2 y2 已知椭圆 1的离心率 e ，求k 的值 2 k 8 9
解：当椭圆的焦点在
2
x 轴上时，
2 2 c k 1． b 9 ，得 a k 8 ， 1 由 e ，得： k 4 2
x
e就越接近于1，此时椭圆就越扁。
焦点离中心越近，即c越小， e就越小，
e就越接近于0，此时椭圆就越圆。
离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
图
象
范
围
ห้องสมุดไป่ตู้
|x|≤ a,|y|≤ b
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1 ） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
B2 A1
b F1
a F2
o c
B1
A2
二、对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2 2
关于y轴对称
P（x，y）
Y
P2（-x，y）
O

离心率 e c 7 .
a4
答案：8 6
7
4
1.对椭圆的简单的几何性质的认识 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置; (2)椭圆的范围决定椭圆的大小; (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度; (4)对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴 的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.
9 25
所以椭圆的标准方程为 x2 y或2 1 x2 y2 1.
25 9
9 25
【总结】根据椭圆的简单几何性质求椭圆方程的关键. 提示：根据椭圆的几何性质求椭圆的方程关键有两点： 一是“定量”，根据与几何性质有关的条件确定a2,b2的值；二 是“定位”，即确定焦点的位置，若焦点位置不确定则需要分 类讨论.
11，……nm……1419，…, ………………………3分
∴椭圆方程为 x2 y…2 …1.………………………………5分
94
（2）假设存在点P（x,y）满足题设条件，
∴|AP|2=(x-a)2+y2.
又 x2 y2 1, y2 4(1 x2 ),
94
9
AP 2 x a 2 4(1 x2 )
【变式训练】设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求 椭圆的离心率 【解题指南】利用椭圆的定义得到a，c之间的方程，进而求出 椭圆的离心率. 【解析】由已知得|PF2|＝2c，
PF1 ＝2 2c，2 2c＋2c＝2a，
即 (2 2＋2)c＝2a，
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 x 3a 上一点，△F2PF1是底
2
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )