北京市海淀区清华附中2019-2020年九年级(上)月考数学试卷(10月份) 解析版

C17级数学统练试卷03一、选择题（8小题，每題2分，共16分)1.抛物线y =3(x - 2)2 + 5和顶点坐标是（）A. (-2,5)B. (-2,-5)C. (2,5)D. (2,-5)2.二次函数y=x2 - ax + b中，若a + b=0，则它的图象必经过点（）A. (-1, 1)B.(1, 1)C.(1, -1)D.(-1, -1)3.若x=1是方程ax2 + bx + c = 0的解，则（）A. a + b + c = 1B. a - b + c = 0C. a + b + c = 0D. a - b - c = 04.用配方法解方程x2 - 4x +1 = 0，配方后所得的方程是（）A. (x - 2)2 = 3B. (x + 2)2 = 3C. (x - 2)2 = -3D. (x + 2)2 = -35.关于x的一元二次方程x2 - 3x + m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m<B. m≤C. m>D. m≥6.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE:EC=2:3，则S∆DEF : S∆ABF = （）A. 2:3B.4:9C.2:5D.4:257.如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图，等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10 米，如果小明的眼晴距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（）A.10米B.11.7 米C.10米D.(5 + 1.7)米8.如图所示，二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)的图象经过点(-1,2)与x轴交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2 < X1 < -1， 0 < X2 < 1 ，下列结论：(1)4a - 2b + c < 0；(2)2a - b < 0； (3)a-2b>0；(4)b2 >4a (c-2)，其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D.4个二、填空題（8小题，每題2分，共16分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是____________.10.如果点P1(2,y1)、P2(3,y2)在抛物线y = - x2 + 2x上，那么y1__y2（填">"、 <"或"="）11.请写岀一个开口向下，对称轴为直线x=1的抛物线解析式，y = ____________。

【全国百强校】北京市清华附中2019届九年级（上）月考数学试题（10月份）学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．B．C．D．2. 一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4 B．2，3，4 C．2，﹣3，4 D．2，3，﹣43. 若要得到函数y＝(x+1)2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象( ) A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4. 如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB 的长是（）A．4 B．6 C．8 D．105. 点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＜y2＜y36. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°7. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：28. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题9. 点(,2)关于原点对称的点的坐标是__________.10. 请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式_____．11. 二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝_____．12. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是________.13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．14. 如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_____．15. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点A．现有下列结论：①b＞0；②4a+2b+c＜0；③AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是_____．16. 下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q 两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_____．三、解答题17. 用适当的方法解方程x2﹣5x+6＝0．18. 已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．19. 将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．求证：BE＝CD．20. 已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．22. 设二次函数y1＝x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．23. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．24. 如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．25. 如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a，当CE＝时，S△FGE＝S△FBE；当CE＝时，S△FGE＝3S△FBE．26. 已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为；（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．27. 已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△AEC,△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝；（2）猜想线段FA，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为．28. 在平面直角坐标系xOy中，中心为点C正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的仿射点Q的定义如下：设射线CP交正方形的边于点M，若射线CP上存在一点Q，满足CP+CQ＝2CM，则称Q 为点P关于正方形的仿射点如图为点P关于正方形的仿射点Q的示意图．特别地，当点P与中心C重合时，规定CP＝0．（1）当正方形的中心为原点O，边长为2时．①分别判断点F（2，0），G（，），H（3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；②若点P在直线y＝﹣x+3上，且点P关于该正方形的仿射点Q存在，求点P的横坐标的取值范围；（2）若正方形的中心C在x轴上，边长为2，直线y＝与x轴、y 轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于该正方形的仿射点Q 在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．。

北京市清华附中九年级（上）统练数学试卷（4）一、选择题（本题共16分每小题2分1．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位2．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜53．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD 与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）A．B．2C．D．24．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣25．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）A．饕餮纹B．三兔纹C．凤鸟纹D．花卉纹6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°7．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y18．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．10．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．14．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB ＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．16．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．三、解箸题（本题共68分，第17-22颗，每小题5分；第23-26题，每题6分；第27，28题，每题7分1）17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．21．如图，抛物线y＝（p＞0），点F（0，p），直线11：y＝﹣p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，AA1⊥l1，BB1⊥l1．垂足分别为A1、B1．连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1P＝b，则△A1OB1的面积＝（只用a，b表示）．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．24．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．25．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y＝﹣3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．27．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．2．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5【分析】先利用配方法将y＝x2﹣4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y＝2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△＞0列出不等式，求出a的取值范围．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选：D．3．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD 与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）A．B．2C．D．2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝x+1．当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点E的坐标为（0，1）．当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，1），点Q的坐标为（1+，1），∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．故选：B．4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝﹣B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴，解之得，故选：D．5．彩陶、玉器、青铜器等器物以及壁画、织锦上美轮美奂的纹样，穿越时空，向人们呈现出古代中国丰富多彩的物质与精神世界，各种纹样经常通过平移、旋转、轴对称以及其它几何构架连接在一起，形成复杂而精美的图案，以下图案纹样中，从整体观察（个别细微之处的细节忽略不计），大致运用了旋转进行构图的是（）A．饕餮纹B．三兔纹C．凤鸟纹D．花卉纹【分析】根据旋转的性质与特点判断即可．【解答】解：A、图中利用的是对称，错误；B、图中利用的是旋转，正确；C、图中利用的位似，错误；D、图中利用的是平移，错误；故选：B．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可求得∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等边三角形，∴α＝∠ACA′＝60°．故选：C．7．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．8．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y ＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则．解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共8小题）9．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．10．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．11．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155 °．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．12．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．13．如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为：4π．14．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB ＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为y＝．【分析】连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠D，∠PBD＝90°，求得∠PAC＝∠PBD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接PO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴＝，∵⊙O的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴＝，∴y＝，故答案为：y＝．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，求出∠APC＝120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA＝PC，由等边三角形的性质得出AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD ＝∠ABC＝30°，求出PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故答案为：．16．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．三．解答题（共12小题）17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值【分析】（1）函数的图象与x轴有两个公共点，则方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，求得：m＞﹣且m≠0，m＞且m≠0，m取其内的最小整数，故m＝1，即可求解；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣＝，n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，即：n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，∴n2﹣3n﹣3＝1﹣n，1﹣3﹣3＝﹣5，解得：n＝1﹣．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）（1）求抛物线的对称轴；（2）若AB＝4，求该抛物线的解析式；（3）若AB≤4，直接写出a的取值范围．【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣，即可求解；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），即可求解；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，即可求解．【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1；（2）AB＝4，函数对称轴为：x＝1，则点A坐标为（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a+2a﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（3）函数对称轴为：x＝1，设AB＝2m≤4，则点A（1﹣m，0），同理将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得：，而0＜m≤2，即：﹣1≤≤8，解得：a≤﹣3或a≥．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．【分析】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt △CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．21．如图，抛物线y＝（p＞0），点F（0，p），直线11：y＝﹣p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线的距离相等，过点F的直线与抛物线交于AB两点，AA1⊥l1，BB1⊥l1．垂足分别为A1、B1．连接A1F，B1F，A1O，B1O，若A1F＝a，B1P＝b，则△A1OB1的面积＝ab（只用a，b表示）．【分析】利用AA1⊥l，BB1⊥l可得AA1∥BB1，证明∠AFA1+∠BFB1＝90°，确定△∠A1FB1是直角三角形，则可求△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab．【解答】解：∵AA1＝AF，B1B＝BF，∴∠AFA1＝∠AA1F，∠BFB1＝∠BB1F，∵AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1∥BB1，∴∠BAA1+∠ABB1＝180°，∴180°﹣2∠AFA1+180°﹣∠BFB1＝180°，∴∠AFA1+∠BFB1＝90°，∴∠A1FB1＝90°，∴△A1OB1的面积＝△A1FB1的面积＝ab；故答案为：ab．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．【分析】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB＝＝8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝＝3，即⊙O的直径长为3．23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．24．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【分析】（1）由F为弧BC中点，且EF为圆的直径，利用垂径定理的逆定理得到EF与BC垂直，再由直径所对的圆周角为直角，得到一对直角相等，根据圆心角与圆周角的关系得到一对同位角相等，即可得证；（2）由CN与FB平行，以及等边对等角得到内错角相等，进而得到AE与FB平行，可得出AE与CN平行，得AENC 为平行四边形，得到AC＝EN＝2，利用垂径定理的逆定理得到BC与EF垂直，由AB＝6，得到半径为3，利用勾股定理求出BD的长，再证明三角形OFH与三角形OBD全等，即可求出FH的长．【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴∠BAC＝∠BOC＝∠BOF，∴AC∥EF；（2）解：如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是▱AENC，∴AC＝EN＝2，∵OC＝OB，∠COF＝∠BOF，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝2，又∵MD是△BCE的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB＝∠OBF＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH为公共角，∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．25．在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象记为G1，函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象记为G2，其中m为常数，且m≠0．图象G1、G2合起来得到的图形记为G，直线y＝﹣3上有两点A、B关于y轴对称，且点A的横坐标为m．（1）当点（1，3）在G上时，求m的值．（2）当点A在G上时，求线段AB的长．（3）设图形G上最高点的纵坐标为y0，当2≤y0≤时，直接写出m的取值范围．（4）当图形G与线段AB恰有两个公共点时，m＝ 4 ．【分析】（1）直接代入求值即可；（2）根据题意，建立方程求解即可；（3）分两种情况：①图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m﹣2），根据题意解不等式组即可，②图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，最高点坐标为（1，﹣m+1），解不等式组即可；（4）分两种情况：两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，分别求解即可．【解答】解：（1）把点（1，3）代入y＝﹣x2+2x﹣m，则﹣1+2﹣m＝3，∴m＝﹣2．（2）当m≥2时，﹣m2+m+m＝﹣3，解得：m1＝3，m2＝﹣1（舍去）；∴AB＝2m＝6．当m＜2时，﹣m2+2m﹣m＝﹣3，解得：m1＝（舍去），m2＝；∴AB＝﹣2m＝﹣1；（3）当图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+x+m（x≥2）的图象上时，则最高点坐标为（2，m﹣2）∴2≤m﹣2≤，解得：4≤m≤；当图形G上最高点落在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，∵y＝﹣x2+2x﹣m＝﹣（x﹣1）2﹣m+1，∴最高点坐标为（1，﹣m+1）∴2≤﹣m+1≤，解得：≤m≤﹣1综上所述，m的取值范围为：≤m≤﹣1或4≤m≤；（4）∵图形G与线段AB恰有两个公共点，A（m，﹣3），B（﹣m，﹣3）∴分两种情况：两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上或分别在G1，G2上，当两个公共点均在函数y＝﹣x2+2x﹣m（x＜2）的图象上时，则﹣22+2×2﹣m＝﹣3，解得：m＝3，但此时，线段AB的端点B刚好在G1上，即线段AB与图形G有三个公共点，不符合题意．当线段AB与G1，G2上各有一个交点时，∴﹣m+1＝﹣3，解得m＝4，综上所述，m＝4；故答案为：4．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原点坐标代入y＝ax2﹣4ax+3a﹣2可计算出对应a的值；（2）①②把抛物线解析式配成顶点式可得到抛物线的对称轴和抛物线的顶点的纵坐标；（3）设A（m，0），B（n，0），利用抛物线与x轴的交点问题，则m、n为方程ax2﹣4ax+3a﹣2＝0的两根，利用判别式的意义解得a＞0或a＜﹣2，再利用根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝，然后根据完全平方公式利用n﹣m≤4得到（m+n）2﹣4mn≤16，所以42﹣4•≤16，接着解关于a的不等式，最后确定a的范围．【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝ax2﹣4ax+3a﹣2得3a﹣2＝0，解得a＝；（2）①y＝a（x﹣2）2﹣a﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝2；②抛物线的顶点的纵坐标为﹣a﹣2；（3）设A（m，0），B（n，0），∵m、n为方程ax2﹣4ax+3a﹣2＝0的两根，∴△＝16a2﹣4a（3a﹣2）＞0，解得a＞0或a＜﹣2，∴m+n＝4，mn＝，而n﹣m≤4，∴（n﹣m）2≤16，即（m+n）2﹣4mn≤16，∴42﹣4•≤16，即≥0，解得a≥或a＜0．∴a的范围为a＜﹣2或a≥．27．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）【分析】（1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）①根据题意画图；②在AB上截取AG＝EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE＝2，∴EC＝3．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF．∴△AGE∽△ECF，∴，即，∴FC＝；（2）①依题意补全图形：②证明：在AB上截取AG＝EC，连接EG．∵AB＝BC，∴GB＝EB．∵∠B＝90°，∴∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°．∵∠DCB＝90°，CP是正方形ABCD外角平分线，∴∠ECP＝135°．∴∠AGE＝∠ECP．在△AGE和△ECP中，，∴△AGE≌△ECP．∴AE＝PE．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点“例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）点（﹣1，3）的”可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'是7，求“可控变点”Q的横坐标：（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣16≤y'≤16，直接写出实数a的取值范围．【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案（3）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解答】解（1）∵﹣5＜0∴y'＝﹣y＝2即点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2）（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上，∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是7∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3，当x2﹣16＝7时，解得x＝﹣故答案为：3或﹣（3）由题意得∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16∴x＝4当x＝﹣5时，x2﹣16＝9当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0）∴x＝∴实数a的取值范围≤a≤4。

北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y=3B．x+=2C．x2﹣2x+1=0D．x﹣1=02．（3分）把抛物线y=（x+3）2+1向上平移2个单位，抛物线的解析式为（）A．y=（x+3）2﹣1B．y=（x+3）2+3C．y=（x+5）2+1D．y=（x﹣3）2+1 3．（3分）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°6．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1 8．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=65°，则∠P为（）A．75°B．60°C．50°D．45°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 10．（3分）由四个直径相等的半圆围成的道路如图①所示，小张在道路上匀速行走，他从点C出发，沿箭头所示的方向经过点D再走到点A，共用时40秒，有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小张的走路过程，设小张走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（3分）请写出一个开口向下且对称轴为y轴的抛物线的解析式．12．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．14．（3分）点P（1，y1）和点Q（2，y2）分别为抛物线y=x2﹣3上的两点，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）．15．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D 对应的刻度值为60°，则∠BCD的度数为．16．（3分）如图所示，已知P是⊙O外一点，求作经过点P且与⊙O相切的直线．小明的作法如下：连接OP，取OP的中点M，以M为圆心，MO为半径作两段圆弧，分别与⊙O 交于A、B两点，连接PA、PB，PA、PB所在的直线即为所求，小明的作法的依据是：．三、解答题（共12小题）17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．18．（5分）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：AB=CE．19．（5分）在直径为650mm的圆柱形油桶内装进不足半桶油后其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（6分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）在图中做出△ABC的外接圆⊙M，并标注出外接圆的圆心M．22．（6分）二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）求二次函数解析式；（2）在同一直角坐标系中作出二次函数的图象；（3）当自变量x取值范围是时，一次函数值大于二次函数值．23．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．24．（6分）已知关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6=0与x2﹣2x﹣3=0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2﹣6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；（2）已知方程①：x2+ax+b=0和方程②：x2+2ax+b=0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，弦AD的延长线交直线BC于点C．（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的长；（2）若点E是线段BC的中点，求证：DE是⊙O的切线．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，a）、B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及实数a的值；（2）记抛物线在点A、B之间的部分图象为G（包含A、B两点），直线y=kx+3与G有公共点，结合图形直接写出实数k的取值范围．27．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形F上的点的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为该点的“坐标差”，而该图形上所有点的“坐标差”的最大值称为该图形的“特征值”．（1）①点A（0，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）②线段MN：y=2x+1（﹣1≤x≤2）的“特征值”为；（直接出错答案）（2）若二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的公共点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（3）直接写出圆心为（2，3），半径为2的圆的“特征值”为．28．（8分）在△ABC中，∠C=60°，AC=BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．（1）①依题意补全图1；②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．（2）若AB=6，AD=2，求BE的长（直接写出答案）北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．C；2．B；3．C；4．B；5．B；6．D；7．A；8．C；9．D；10．B；二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．y=﹣x2+1；12．x1=0，x2=2；13．1；14．＜；15．60°；16．直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线；三、解答题（共12小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．0＜x＜3；23．；24．；25．；26．；27．1；1；1+2；28．；。

2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2+1D．y＝﹣x2﹣12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠05．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．38°D．15°6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．27．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，AB⊥CD于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，△PMC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：．11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB 绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是．14．（2分）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是．15．（2分）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是（填序号）．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．18．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝寸，CD＝寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC＝25°．求∠P的度数．20．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝xcm，DE＝ycm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为cm（结果保留一位小数）．23．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．24．（6分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，①求抛物线y＝nx2﹣4nx+5n的对称轴；②求n的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A＝α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2+1D．y＝﹣x2﹣1【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：把抛物线y＝x2向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是y＝x2+1．故选：A．2．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．55°C．65°D．70°【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°．故选：D．3．（3分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．4．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．5．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．40°B．30°C．38°D．15°【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．【解答】解：由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝30°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣30°﹣30°＝40°，故选：A．6．（3分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．2【分析】由题意可得OP⊥AB，AP＝BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．【解答】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB＝AB在Rt△APO中，AP＝＝∴AB＝2故选：A．7．（3分）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A．8分B．7分C．6分D．5分【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C．8．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，AB⊥CD于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，△PMC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】△PMC的面积＝△PCD的面积﹣△OCD的面积．把特殊值CM＝2时，计算出△PMC的面积，然后利用排除法进行解题．【解答】解：如图所示：当CM＝2时，点M与圆心O重合．在直角△CEO中，∠CEO＝90°，CE＝，OC＝2，则由勾股定理得到：OE＝＝，所以，S△OCD＝CD×OE＝×2×＝2．∴S△OCE＝1，S△OAC＝，∴S△PMC＜S△OAC，即S△PMC＜1．观察选项，只有A符合题意．故选：A．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣1，2）．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接得到答案．【解答】解：∵点P（1，﹣2），∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：y＝x2（答案不唯一）．【分析】设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据a＞0时开口向上，可取a＝1，将（0，0）代入得出c＝0，即可得出二次函数表达式．【解答】解：设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵图象为开口向上，且经过（0，0），∴a＞0，c＝0，∴二次函数表达式可以为：y＝x2（答案不唯一）．故答案为：y＝x2（答案不唯一）．11．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB 绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为（0，1）．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），∴∠AOA′＝90°，∴∠BOB′＝∠AOA′＝90°，∴B′（0，1），故答案为：（0，1）．13．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是2．【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故答案为：2．14．（2分）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．．【分析】直接利用基本作图方法分别分析得出答案．【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．15．（2分）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是①③（填序号）．【分析】如图，连接OC，设OB交CD于K．利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可；【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．故答案为①③．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于m（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为3．【分析】（1）根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；根据勾股定理求出OC，即可得出结果．【解答】解：（1）∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，∴OP＝AB＝OB＝m；故答案为：m；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；作CM⊥x轴于M，如图所示：则∠OMC＝90°，∴OC＝＝5，∴OP＝5﹣2＝3；故答案为：3．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；（2）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．【分析】（1）在网格中画旋转90°的图形，要运用网格里的垂直关系，要检查各对应点与原点的连线是否互相垂直且相等即可；（2）利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案即可，注意本题答案不唯一．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图所示：18．（5分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO＝OB＝x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．【解答】解：根据题意得：AB＝1寸，CD＝10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO＝OB＝x寸，则AO＝（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO＝90°，∴AO2+CA2＝CO2．∴（x﹣1）2+52＝x2．解得：x＝13，∴⊙O的直径为26寸．19．（5分）如图，AC是⊙O的直径，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠BAC＝25°．求∠P的度数．【分析】先根据切线长定理得到P A＝PB，则利用等腰三角形的性质得∠P AB＝∠PBA，再根据切线的性质得∠CAP＝90°，于是利用互余计算出∠P AB＝65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∵P A为切线，∴CA⊥P A．∴∠CAP＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠P AB＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠P＝180°﹣2∠P AB＝50°．20．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+16x（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．【分析】（1）设AB边的长度为x米，CB的长为（16﹣x）米，利用矩形的面积公式列出矩形面积y与x的关系式；（2）利用配方法求得函数的最大值即可．【解答】解：（1）y＝（16﹣x）x＝﹣x2+16x；（2）∵y＝﹣x2+16x，∴y＝﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x＝8时，y的最大值为64．答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠1＝∠2＝∠F＝30°，求出AD＝DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD＝60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF＝xcm，DE＝ycm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为 3.5cm（结果保留一位小数）．【分析】（1）先求出OF＝1，利用勾股定理求出DF，进而求出∠ODF＝30°，进而判断出DE过点O 即可得出结论；（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；（3）先作出图形，进而求出OD＝2，进而利用锐角三角函数求出DM，即可得出DE＝2即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，（为了说明点C和点O重合，DE没画成过点O）连接OD，当x＝1时，AF＝1，∵OA＝2，∴OF＝OA﹣AF＝1，∵DF⊥AB，∴∠DFO＝90°，在Rt△OFD中，OD＝2，OF＝1，根据勾股定理得，DF＝＝，∴tan∠ODF＝＝＝，∴∠ODF＝30°，在Rt△CFD中，∠ACD＝60°，∴∠CDF＝30°，∴∠CDF＝∠ODF，∴DE过点O，∴DE是⊙O的直径，∴DE＝2OD＝4，∴y＝4，故答案为4.00；（2）描点，连线，得出函数图形如右图所示，（3）如图2，∵点F和点O重合，∴OD＝OA＝2，过点O作OM⊥DE于M，∴DE＝2DM，∵∠ACD＝60°，∴∠ODE＝90°﹣∠ACD＝30°，在Rt△OMD中，cos∠ODE＝，∴DM＝OD•cos∠ODE＝2×cos30°＝，∴DE＝2DM＝2≈3.5，故答案为：3.5．23．（5分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．（1）求∠A的度数；（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．【分析】（1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD＝＝，即可得出∠CAD＝30°，进而得出α的度数．【解答】解：（1）将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，∴CB＝CB′∵点B′可以恰好落在AB的中点处，∴点B′是AB的中点．∵∠ACB＝90°，∴CB′＝AB＝BB′，∴CB＝CB′＝BB′，即△CBB′是等边三角形．∴∠B＝60°．∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°；（2）如图，过点C作CD⊥AA′于点D，点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD＝AC．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，sin∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，∵CA＝CA′，∴∠A′＝∠CAD＝30°．∴∠ACA′＝120°，即α＝120°．24．（6分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．【分析】（1）本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答；（2）中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）；（3）根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．【解答】解：（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．（3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．理由如下∠HEF＝∠HEG+∠GEF＝48°+33.88°＝81.88°，∠EHF＝50°，∠EFB＝48.12°，∴△EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，设此外接圆为⊙O，直线EG与⊙O交于点E，M，则∠故点G在⊙O内，从而⊙O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，①求抛物线y＝nx2﹣4nx+5n的对称轴；②求n的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出A（0，﹣3），B（0，3），即可确定C点坐标；（2）求出对称轴为x＝2，顶点为（2，n）；根据n的范围，分3种情况①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无交点；②当n＝3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，若抛物线经过点B （0，3），则n＝，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点（3，3），则n＝，此时抛物线与线段BC有两个公共点．【解答】解：（1）由题意可求A（0，﹣3），∴B（0，3），∴l为y＝3，∴C（3，3）；（2）y＝nx2﹣4nx+5n＝n（x﹣2）2+n，∴对称轴为x＝2，顶点为（2，n），①当n＞3时，抛物线最小值为n＞3，与线段BC无交点；②当n＝3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与直线BC有两个交点，若抛物线经过点B（0，3），则n＝，∵抛物线对称轴x＝2，∴抛物线经过点（4，3），∵点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点（3，3），则n＝，∵抛物线对称轴x＝2，∴抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；综上所述：当n＜时，抛物线与线段BC有一个公共点．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤r，则称P为⊙O（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D（1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是B，C；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．【分析】（1）先求出r＝3，再分别求出OA，OB，OC，OD，再判断即可得出结论；（2）先求出OE，用圆的“近外点”满足的条件建立不等式组求解即可；（3）先判断出直线MN中OM＞ON，进而得出点M和点G是圆O的“近外点”的分界点，再分两种情况讨论计算．【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，∴r＝3，∵A（4，0），∴OA＝4＞3，∴点A不是⊙O的“近外点”，B（﹣，0），∴OB＝，而2＜＜3，∴B是⊙O的“近外点”，C（0，3），∴OC＝3，∴点C是⊙O的“近外点”，D（1，﹣1），∴OD＝＝＜2，∴点D不是⊙O的“近外点”，故答案为：B，C；（2）∵E（3，4），∴OE＝＝5，∵点E是⊙O的“近外点”，∴，∴≤r≤5；（3）如图，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＞ON，①点N在y轴坐标轴时，当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（﹣2，0），将M（﹣2，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝，即：b的最小值为，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝60°，∴ON'＝＝2，b的最大值为2，∴≤b≤2，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，﹣2≤b≤﹣，即：．27．（7分）在Rt△ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是③（填出满足条件的角的序号）；（2）若∠A＝α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据旋转的性质即可得出结论；（2）先判断出MA＝MB＝MC＝AC，进而得出∠A＝∠ABM＝α，即：∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，再判断出∠BOC＝∠BMC＝2α，判断出点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，即可得出结论；（3）先判断出∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，再判断出∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，进而判断出∠MBE+∠BED＝180°，得出BF∥DE，即可判断出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OD，OE，由旋转知，旋转角为∠BOC＝∠AOD＝∠COE，故答案为③；（2）如图2，连接BM，OB，OC，OE，在Rt△ABC中，点M是AC中点，∴MA＝MB＝MC＝AC，∴∠A＝∠ABM＝α，∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC＝∠BMC＝2α，∵OC＝OB＝OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上，∴∠BEC＝∠BOC＝α；（3）MN＝BE，理由：如图3，连接BM并延长至点F，使BM＝MF，连接FD，∵∠A＝α，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，由（2）知，∠BEC＝α，∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝90°，∵BC＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝α，∵MB＝MC，∴∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，∴∠MBE＝∠MBC+∠CBE＝90°，∴∠MBE+∠BED＝180°，∴BF∥DE，∵BF＝2BM，AC＝2BM，∴BF＝AC，∵AC＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DF＝BE，∵BM＝MF，BN＝ND，∴MN＝DF，∴MN＝BE．。

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠03．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．。

十月学科能力测评数学(清华附中初19级)2021.10姓名准考证号考场号座位号考生须知1.本试卷共6页，共两部分，28道题.满分100分.考试时间120分钟.2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.第一部分选择题一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶2.抛物线y=(x+2)2-1的顶点坐标是()A.(2，1)B.(-2，-1)C.(-2，1)D.(2，-1)3.将方程x2+2x-5=0配方后，原方程变形为（）A.(x+2)2=9B.(x-2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-1)2=64.在半径为1的⊙中，若弦AB 的长为1，则弦AB 所对的圆心角的度数为（）A.90°B.60°C.30°D.15°5.如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠CDB=20°，则∠ABC 的度数为（）A.20°B.40°C.70°D.90°6.将抛物线y=(x+1)2-2向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（）A.-1B.1C.-2D.27.⊙O 的半径为5，M 是圆外一点，MO=6，∠OMA=30°，则弦AB 的长为（）A.4B.6C.36 D.88.在平面直角坐标系xOv 中，已知抛物线:y=ax 2-2ax+4(a＞0).若A(m-1，y 1)，B(m，y 2)，C(m+2，y 3)为抛物线上三点，且总有y 1＞y 3＞y 2，结合图象，m 的取值范围是（）A.m＜1B.0＜m＜1C.0＜m＜21 D.m＜0第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.已知⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 内，写出一个OP 长的可能值.10.若一元二次方程x 2+ax+4=0有两个相等的实数根，则a 的值为.11.若a是方程3x2-5x+2=0的根，则6a2-10a=.12题13题12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为.13.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△ABC，已知∠ACA’=90°，BC=5，连接BB’，则BB’的长为.14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m.15题15.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，与x轴的一个交点是(3，0)，则方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是.16.如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD.作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE.下列四个结论中:①O到AB的距离为定值；②BE=BC；③当OE=AE时，∠ABC=67.5°或22.5°④∠BAE+2∠ACD为定值.正确的是.(填所有正确的序号)三、解答题(共68分，第17-22题，每题5分第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17.解方程:x2-5x+1=0.18.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:x...-10123...y...03430...求这个二次函数的表达式19.如图，在⊙O中，AB=CD，求证:∠B=∠C.20.已知，关于x的一元二次方程x2+ax-a-1=0.(1)求证:方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根是负数，求a的取值范围21.已知:如图，△ABC 中，AB=AC，AB＞BC求作:线段BD，使得点D 在线段AC 上，且∠CBD=21∠BAC.作法:①以点A 为圆心，AB 长为半径画圆；②以点C 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点P(不与点B 重合)；③连接BP 交AC 于点D线段BD 就是所求作的线段.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明证明:连接PC.∵AB=AC，∴点C 在⊙A 上.∵点P 在⊙A 上，∴∠CPB=21∠BAC.()(填推理的依据)∵BC=PC，∴∠CBD=.()(填推理的依据)∴∠CBD=21∠BAC.22.如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为圆上的两点，OC∥BD，OC 交AD 于点E.(1)求证:AC=CD；(2)若CE=2，AD=8，求⊙O 的半径.23.某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD 其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米(如图)，设矩形ABCD 边AB=x 米，面积为S 平方米.(1)求活动区面积S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；(2)当AB 为多少米时，活动区的面积最大?并求出最大面积.24.如图，以P 为顶点的抛物线y=21(x-m)2+k 交y 轴于点A，经过点P 的直线y=-2x+3交y 轴于点B.(1)用含m 的代数式表示k.(2)若点A 在B 的下方，且AB=2，求该抛物线的函数表达式.25.如图，已知直线PA 交⊙O 于A、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D (1)求证:CD 为⊙O 的切线；(2)若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.26.抛物线y=x 2-2mx-1+m 2与x 轴交于A，B 两点，点A 在点B 的左侧.(1)若点A 的坐标为(0，0)①求抛物线的对称轴；②当n≤x＜2时，函数值y 的取值范围为-1≤y≤0，求n 的取值范围；(2)将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到新的函数图象.当-23≤x≤-1时，新函数的函数值随x 的增大而减小，直接写出m 的取值范围.27.已知∠AOB=45°，P 为射线OB 上一定点，OP=22.M 为射线OA 上一动点，连接PM，满足∠OMP 为钝角.以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转135°，得到线段N，连接ON (1)依题意补全图1；(2)求证:∠OMP=∠OPN；(3)Q 为射线OA 上一动点，E 为MQ 中点，连接PQ.若对于任意的点M 总有ON=PQ，请问点E 的位置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE 的值.图1备用图28.在平面直角坐标系xOy 中，对于图形M 和点P，若图形M 上存在两个点E、F，使得EP+FP=2，则称点P为图形M 的“距2点”.设A(-4，0)，B(4，0)，⊙O 的半径为r (1)①点P 1(1，0)，P 2(0，1)，P 3（-1，-21）中，是线段AB 的“距2点”的是；②若P 4(3，4)是⊙O 的“距2点”，求r 的取值范围；(2)设⊙M 的半径为2，圆心M 是x 轴上的动点，C(-4，8).若折线段AC-CB 上存在点⊙M 的“距2点”，直接写出圆心M 横坐标的取值范围.。