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材料力学基本第十二章 简单的超静定系统

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单位力法与超静定

单位力法与超静定

[ M ( x ) M ( x )]2 U0 U 1 f A dx l 2 EI M 2 ( x) M 2 ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx l 2 EI l 2 EI l EI
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十二章 能量法与超静定
材料力学
第十二章 能量法与超静定
第十二章 能量法与超静定问题
§12-1 概述
§12-2 杆件变形能的计算 §12-3 单位荷载法 §12-4 能量法解超静定问题
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十二章 能量法与超静定
§12-1 概述
一、能量方法
能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意 方向的位移。
F
C
1
C A x
A x
a B b
x
x
a
B
b
解：在 C点加竖向单位力 BC:
M ( x ) Fx T ( x) 0 M ( x ) Fx T ( x ) Fb
M ( x) x T ( x) 0 M ( x) x T ( x ) b
AB:
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材料力学 2、三个力同时作用时
第十二章 能量法与超静定
任意截面的弯矩： M ( x ) M ( x )
变形能：
[ M ( x ) M ( x )]2 V 2 dx L 2 EI
V 1 V 2
[ M ( x ) M ( x )]2 U0 U 1 f A dx l 2 EI
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材料力学
第十二章 能量法与超静定

材料力学第12章 能量方法

材料力学第12章 能量方法

9
(2)剪切变形时的应变能及应变能密度 工程中的剪切变形，一般是与其他变形相伴存 在的，且横截面上的切应力是不均匀分布的。在计 算其应变能时，应以单元体为基础。
图12.3
10
剪切变形时的应变能密度为
可见，剪切变形的应变能密度在数值上等于三 角形OAB的面积。 杆件的剪切应变能为
11
(3)圆轴扭转时的应变能 圆轴扭转时，如果材料应力应变关系处于线弹 性范围，则扭矩MT与扭转角φ的关系也是一条直线 ，如图12.4（b）所示。仿照杆件拉伸应变能的证 明，则变形过程中扭矩所做的功在数值上等于三角 形OAB的面积。有
4
那么，在外力从F1增加到F1+dF1的过程中， 外力功的增量为 当外力从零开始逐渐增加到F值时，则外力功 为 代入 ，得
5
图12.1
6
根据功能原理公式（12.1），则应变能为
式（12.3）为等截面直杆在轴力为常量条件下 的应变能计算公式。如果杆件的轴力FN分段为常 量时，应变能应为各段应变能的总和，即
7
积分可得整个杆件的应变能Vε为 为了更全面地了解应变能，还要知道单位体积 内的应变能，即应变能密度（strainenergy dens ity）由式（a）得应变能密度vε
8
显然，应变能密度vε的数值等于如图12.1（c） 所示三角形oab的面积。这样，又可以将上式的应 变能密度和应变能式（12.5）改写为
第12章
第一节 概述
能量方法
在工程结构分析中，经常需要计算结构和构件 的变形。使用一般的方法（如积分法）进行变形计 算时，需要分析结构和构件的具体变形形式，计算 工作量大。特别是对于刚架、桁架和曲杆等变形复 杂的超静定结构，一般方法根本无法完成。工程上 通常采用能量原理完成结构和构件的变形分析。

材料力学第十四章-超静定结构

材料力学第十四章-超静定结构
材料力学第十四章-超静 定结构
欢迎来到材料力学第十四章的学习！本章将介绍超静定结构，我们将一起探 索它的特点、设计方法、力学分析以及应用领域。让我们开始学习吧！
超静定结构的定义
1 什么是超静定结构?
超静定结构是指具有多余约束的结构，其构件由多于所需的约束连接。
超静定结构的特点
1 多余约束的好处
超静定结构具有更高的稳定性和刚度，能够承受更大的荷载。
2 调整性能
通过改变约束条件，可以调整超静定结构的性能。
超静定结构的设计方法
1
力学方法
利用材料力学的知识和结构理论进行设计和分析。
2
优化设计
采用优化算法寻找最佳的结构设计。
3
经验和直觉
通过经验和直觉进行设计和改进。
超静定结构的力学分析
受力分析
通过受力分析了解超静定结构中力的传递和分布。
应力分析
通过应力分析研究超静定结构中的应力分布和变形。
超静定结构的应用领域
桥梁工程
超静定结构可以提高桥梁的稳定性和承载能力。
航空航天
超静定结构可以减轻飞行器的重量，提高性能。
建筑设计
超静定结构可以实现更大跨度和更复杂的建筑形 态。
机械设计
超静定结构可以提高机械设备的稳定性和准确性。
超静定结构的挑战与解决方案
1
挑战
超静定结构的设计和分析复杂，需要考虑多个因素。
2
解决方案
借助计算机辅助设计和模拟技术，提高设计和分析的效率。
3
创新思维
采用创新的方法和理念，寻找超静定结构的新应用。
总结与展望
通过本章的学习，我们了解了超静定结构的定义、特点、设计方法、力学分 析、应用领域以及面临的挑战。希望这些知识能够帮助您深入了解这一领域， 并为未来的设计和研究提供启示。

材料力学第十二章动载荷

材料力学第十二章动载荷
冲击物对被冲击物作用一 个惯性力Fd ,因而被冲击物 发生变形；被冲击物给冲 击物一个反作用力，使冲 击物的速度减为零。
冲击过程是一个瞬间 过程，难以求得加速 度值，工程中用能量 法来研究。
动画
静止
冲击物为刚性，冲击时冲击 物的变形及变形能不计；冲击过程中，被冲击物始终
处于弹性范围之内；
h
简化假设：
复习
能量法
能量原理：外力功=变形能
拉压： Ul
N 2l 2EA
l
N 2 (x)dx 2EA
扭转： Un
M n2l 2GIp
纯弯曲：
l
M n2 (x)dx 2GI p
U
基本
w
变
形
M 2l
变2E形I能计
M
算l
2 (x)dx 2EI
第十二章 动 载荷
12-1 概述 静载荷 ：载荷由零缓慢增加，到达某值后保持不变； 动载荷 ：引起构件加速度的载荷或冲击载荷； 动变形和动应力 ：在动载荷下产生的变形和应力。 线弹性模型 ：动载荷作用下应力应变保持线形关系。
动载荷问题分类：
惯性力问题：达朗伯原理 冲击问题：能量守衡原理 疲劳问题：（下一次讨论） 振动问题：（不讲）
12-2 惯性力问题 １．等加速度运动时的应力 静内力： 静应力： 静变形： 动内力：
动应力： 动变形：
动荷系数
动荷系数：动内力与静内 力之比； 动应力与静应力之比； 动变形与静变形之比。
由于构件在静载荷作用下 的内力、应力和变形的计 算已经掌握，所以在此基 础上计算出动荷系数，就 可以求解动内力、动应力 和动变形了。所以，解决 动载荷问题的关键是确定 动荷系数。
2．旋转运动
（薄壁圆环的 匀速转动）

超静定问题

超静定问题

ΔA ΔC w B B0 B1 ΔB 2
FN3
ΔA'
A'
F
ΔA
由位移相容 条件 ΔA ΔA ， 利用物理关系(位 移或变形计算公 式)可得补充方程：
A
FN3
FN3 l1 cos 2 E3 A3 2 E1 A1 cos
F FN3 l1
Review
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学
简单的超静定问题
5
e B
材料力学
简单的超静定问题
10
例题 6-5
3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程 M ea M B l GI p GI p 求得 M ea MB l 可由平衡方程求得为
M ea M eb M A Me M B Me l l

材料力学
简单的超静定问题
例题 6-7
材料力学
简单的超静定问题
27
例题 6-7
把图d所示外伸梁， 视为由悬臂梁AB(图 e)和简支梁BC(图f) 两部分组成。
( FN a )( 2a ) 2FN a 2 2FN a 3 BM , w A1 B a ( ) 3 EI 3 EI 3 EI 3 3 3 3 FN a 2FN a FN a FN a w A2 ＝ ( ) , w AF＝ ＋ ＝ ( ) 3 EI 3 EI 3 EI EI
材料力学
简单的超静定问题
39
现按如图a中所示各支点沉陷DB >DC > DA的情 况进行分析。此时，支座B相对于支座A 、C 沉陷 后的点A1 、C1 的连线有位移 ΔA ΔC w B B0 B1 ΔB 2
材料力学

材料力学第十二章-考虑材料塑性的极限分析精选全文

材料力学第十二章-考虑材料塑性的极限分析精选全文

M Hi 0 S A a S A 2a Fu 3a 0
极限荷载 Fu S A 容许荷载 [F ] Fu / n
§2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
S
Mx
S
Mx
S
Mx
O
外力增大
O
外力增大
O
S
S
S
只有弹性区 弹性极限状态
即有弹性区，又有塑性区 弹塑性状态
只有塑性区 塑性极限状态
弹性状态下横截面上 扭矩的最大值
max－S
残余应力
Mu Mr MS
由残余应力分布图知：
max
Mr Wz
最大残余应力发生在截面屈服区与弹性区的交界处；
中性轴上各点的残余应力为零。
作业：
2－2、5； 2－10
第十二章 考虑材料塑性的极限分 析
◆ 塑性变形·塑性极限分析的假设 ◆ 拉、压杆系的极限荷载 ◆ 等直圆杆扭转时的极限扭矩 ◆ 梁的极限弯矩·塑性铰
§2-1 塑性变形·塑性极限分析的假设
在弹性范围内进行强度计算
单向应力状态下采用正应力强度条件： max [ ] 纯切应力状态下采用切应力强度条件： max [ ]
弹性极限状态
弹塑性状态
屈服弯矩 MS ？
在完全塑性状态下
完全塑性状态
极限弯矩 Mu ？
塑性铰 卸载时塑性铰的效应会消失
弹性极限状态
弹塑性状态
完全塑性状态
弹性极限状态下横截面上的最大弯矩 MS ：
max
M Wz
MS
bh2 6
S
完全塑性状态下横截面上的最大弯矩 Mu ？
截面完全屈服时中性轴的位置如何确定？
M xS
Wp S
πd3 16

超静定(静不定)结构概述

超静定(静不定)结构概述

材料力学
我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 求解超静定系统的基本方法是：
解除多余约束，代之以多余约束反力然后 根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程 进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 超静定系统的基本静定系统或相当系统。
材料力学
（本章主要学习用力法解超静定结构）
目录
材料力学
材料力学
材料力学
超静定（静不定）结构概述
在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为：
外力超静定系统和内力超静定系统。
外力超静定：
支座反力不能全由平衡方程求出； 内力超静定：
支座反力可由平衡方程求出，但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出.
材料力学
目录
材料力学
例如
P
Pl
A
B
C
C
Байду номын сангаас
P
a
B
a
A
材料力学
目录

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量法(圣才出品)

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量法(圣才出品)

第12章能量法12.1 复习笔记由于弹性体的变形具有可逆性，因此外力在相应位移上做功在数值上等于在物体内积蓄的应变能。

利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，称为能量法。

能量法是有限元法求解固体力学问题的基础。

本章首先介绍了应变能和余能的概念及计算方法，在此基础上讨论了卡氏定理，最后介绍了能量法在求解超静定问题中的应用。

本章应重点掌握卡氏定理内容及能量法求解超静定问题的应用。

一、应变能和余能（见表12-1-1）表12-1-1 应变能和余能二、卡氏定理（见表12-1-2）表12-1-2 卡氏定理三、能量法求解超静定系统（见表12-1-3）表12-1-3 能量法求解超静定系统12.2 课后习题详解12-1 图12-2-1（a）、（b）所示各杆均由同一种材料制成，材料为线弹性，弹性模量为E。

各杆的长度相同。

试求各杆的应变能。

图12-2-1（a）图12-2-1（b ）解：（1）图12-2-1中（a ）杆的应变能为：222112212222222222231842112(2)24478Ni i i F l F l F l V EA EA EA l F F lE d E dF l Ed ==⨯+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=⨯+⋅⋅=∑επππ（2）图12-2-1中（b ）杆上距离下端x 处截面上的轴力为：F N （x ）＝F ＋fx ＝F ＋（F/l ）x ，故杆件的应变能为：2002220()d d 214d 23llN l F x V V xEAF F x F l l x EA Ed ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰εεπ12-2 拉、压刚度为EA的等截面直杆，上端固定、下端与刚性支承面之间留有空隙Δ，在中间截面B处承受轴向力F作用，如图12-2-2所示。

杆材料为线弹性，当F＞EAΔ/l时，下端支承面的反力为：F C＝F/2－（Δ/l）（EA/2）。

于是，力F作用点的铅垂位移为：ΔB＝（F－F C）l/EA＝Fl/（2EA）＋Δ/2。

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-简单的超静定问题(圣才出品)

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图 6-2-4 （2）补充方程 作铰 A 的位移图，由几何关系可得变形协调方程： Δl1/sin30°＝2Δl2/tan30°＋Δl3/sin30°③ 其中，由胡克定律可得物理关系：
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4

材料力学 第11章 超静定结构

材料力学 第11章 超静定结构

心有所信，方能行远。
本课件部分图片来源网络，仅供教学使用
材料力学
11.3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为对称结构。 若外力对称于结构对称轴， 结构将产生对称变形。 若外力反对称于结构对称轴，结构将产生反对称变形。
X
2
8EI
0
⑥求其它支反力
由平衡方程得其它支反力， 全部表示于图中。
X
1
1 qa() 28
X
2
3 7
qa()
A
q B
冯康 (1920-1993)
【人物介绍】
冯康，浙江绍兴人 ，出生于 江苏省南京市，数学家、中国有限 元法创始人、计算数学研究的奠基 人和开拓者。
1965年发表名为《基于变分 原理的差分格式》的论文，这篇论 文被国际学术界视为中国独立发展 “有限元法”的重要里程碑 。
3. 在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内 力都是超静定的。
四. 超静定结构的分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
材料力学
外力超静定
内力超静定 外力和内力超静定
材料力学
11.2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
a A
a
②选取并去除多余约束，代以多 q 余约束反力。
③建立力法正则方程
B q
A X1 X2
④计算系数dij和自由项DiP
B
用莫尔定理求得
材料力学
A x1 q
x2
B
A
x2
x1 1

12第十四章-超静定结构.

12第十四章-超静定结构.
0 i 0 j 0 i 0 j
M M M M 则： ii dx， i j dx EI EI l l
0 i 0 i
0 i
0 j
M MF iF dx EI l
0 i
14-3 对称及反对称性质的利用 • 基本概念： • 对称结构 • 对称载荷与反对称载荷 • 对称内力与反对称内力
第十四章 超静定结构
14-1 超静定结构概念
静不定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力
静不定系统和内力静不定系统。
外力静不定：支座反力不能全由平衡方程求出；
内力静不定：支座反力可由平衡方程求出，但杆件的 内力却不能全由平衡方程求出；
求解静不定系统的基本方法，是解除多余
约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处
MP图
11
1 P
1 l l 1 EI EI 1 Pl 2 Pl 2 1 EI 8 8 EI Pl 0得X 1 8
由 11 X 1 1P
Pl 2 l 3 3 Pl Pl 8 vC 2 48EI 16EI 192 EI
由 11 X 1 1P 0 得 3qa X B 0, YB 8 11qa X A 0, Y A 8
3qa X1 8
,
qa MA 8
2
逆时针
例：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，
设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中
点的挠度。
0 M1 图
力法正则方程： 11 12 21 22 n 1 n2
1n X 1 1F 2 n X 2 2 F
0 nn X n nF
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