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4－1 电动机带动一个转动惯量2m kg 50J ⋅=的系统作定轴转动，在s 5.0内转速由0达到1minr 120-⋅，求电动机对转动系统作的功。
解：J 1095.3]0)602120[(5021)(J 21W 32202⨯=-⨯⨯=-=πωω4－2 如图，质量为M ，长为l 的均匀细棒在水平面内绕通过棒中心且垂直于棒的光滑固定轴转动。
棒上套有两个质量均为m ，可沿棒滑动的小物体。
开始时，两小物体分别被固定于棒两侧距中心r 处，且棒以角速度0ω转动。
求两小物体到达棒端时棒的角速度是多少？解：系统初始角动量 20021r m 2Ml 121L ωω+=物体到达棒端时系统的角动量 222)2l (m 2Ml 121L ωω+=由 21L L = 解得 02222ml6Mlmr 24Mlωω++=4－3 一细杆长为l 、质量为0m ，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。
杆原先处于平衡状态，现有一质量为m 的小球沿光滑水平面飞来，恰与杆下端完全弹性碰撞，结果使杆上摆至060=θ处，如图，求小球初速度。
解：小球和直杆系统角动量守恒 ω200l m 31mvl l mv +=系统动能守恒220220)l m 31(21mv21mv 21ω+= 直杆重力矩作功 220o0)l m 31(210)60cos 1(gl m 21ω-=--联立得 gl 6m12m 3m v 00+=4－4 一长l ，质量1m 的均匀细棒，静止平放于光滑水平面上，它可绕过其端点O 且与面垂直的光滑定轴转动。
现有一质量为2m 的小物块，在水平面内沿垂直于棒的方向与棒的另一端点A 碰撞并弹回。
若碰撞前后物块速率分别为v 、u ，求碰撞后棒转动的角速度。
解：碰撞前后角动量守恒 ul m l m 31vl m 2212-=ω解得 lm m )u v (312+=ω4－5 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的铅直光滑固定轴自由转动，圆盘质量为M ，半径为R ，对轴的转动惯量为2/mR2，圆盘以角速度0ω转动,有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上，子弹射入后，圆盘的角速度为多少？ 解：子弹与圆盘组成的系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒，有m2M M ：mR MR 21MR 2102202+=+=ωωωωω故4－6 半径为R 的定滑轮边缘绕一细绳，绳下端挂一质量为m 的物体。
第四章 刚体的转动一、简答题：1、简述刚体定轴转动的角动量守恒定律并给出其数学表达式?答案：刚体定轴转动时，若所受合外力矩为零或不受外力矩，则刚体的角动量保持不变。
2、写出刚体绕定轴转动的转动定律文字表达与数学表达式?答案：刚体绕定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
表达式为：αJ M =。
3、写出刚体转动惯量的公式，并说明它由哪些因素确定?答案：dm r J V⎰=2①刚体的质量及其分布；②转轴的位置；③刚体的形状。
二、选择题1、在定轴转动中，如果合外力矩的方向与角速度的方向一致，则以下说法正确的是 ( A )A.合力矩增大时，物体角速度一定增大；B.合力矩减小时，物体角速度一定减小；C.合力矩减小时，物体角加速度不一定变小；D.合力矩增大时，物体角加速度不一定增大2、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ( C ) A.只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关； B.取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关； C.取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置；D.只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关；3、有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动， 转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度0ω转动，此时有一质量为m 的人站住转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 ( A ) A.()2mR J J +ω B.()2Rm J J +ω C.20mR J ω D.0ω4、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? ( A )A.角速度从小到大，角加速度从大到小．B.角速度从小到大，角加速度从小到大．C.角速度从大到小，角加速度从大到小．D.角速度从大到小，角加速度从小到大．5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度( C )A.增大B.不变C.减小 (D) 、不能确定6、在地球绕太阳中心作椭圆运动时，则地球对太阳中心的 ( B ) A.角动量守恒，动能守恒 B.角动量守恒，机械能守恒 C.角动量不守恒，机械能守恒 D.角动量守恒，动量守恒7、有两个半径相同,质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，则 ( C )A.B A J J >；B.B A J J <；C.B A J J =；D.不能确定A J 、B J 哪个大。
1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。
先使小球以速度0v 。
绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。
(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O ，是有心力，以小球为研究对象，此力对O 的力矩在小球运动过程中始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即10L L =小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 100r r v v =(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 21)(21 21212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。
物体置于倾角为θ的光滑斜面上。
开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l 时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。
在物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22sin 2θ本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。
刚体的简单运动习题及答案刚体的简单运动习题及答案刚体是物理学中的一个基本概念，它指的是在运动过程中形状和大小不发生改变的物体。
在学习刚体的运动时，我们可以通过一些简单的习题来加深对刚体运动的理解。
下面，我将为大家提供一些常见的刚体运动习题及答案。
习题一：平抛运动小明站在一个高处，手中拿着一个小球，以一定的初速度将球水平抛出。
假设空气阻力可以忽略不计，请问球的运动轨迹是什么形状？答案：球的运动轨迹是一个抛物线。
在平抛运动中，刚体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上受到重力的作用，所以球的轨迹是一个抛物线。
习题二：滚动运动一个圆柱体沿着水平面滚动，它的质心速度和边缘速度哪个更大？答案：质心速度和边缘速度相等。
在滚动运动中，刚体的质心沿着运动方向做匀速直线运动，而刚体的边缘点则具有线速度和角速度的叠加效果。
由于圆柱体的每个点都有相同的角速度，所以质心速度和边缘速度相等。
习题三：转动惯量一个均匀的圆盘和一个均匀的长方体，它们的质量和半径（或边长）相同，哪个的转动惯量更大？答案：圆盘的转动惯量更大。
转动惯量是刚体旋转时惯性的量度，它与刚体的质量分布有关。
由于圆盘的质量分布更加均匀，所以它的转动惯量更大。
习题四：平衡条件一个悬挂在绳子上的物体处于平衡状态，绳子与竖直方向的夹角是多少？答案：绳子与竖直方向的夹角等于物体所受的重力与绳子张力的夹角。
在平衡状态下，物体所受的重力与绳子张力必须保持平衡，即两者的合力为零。
因此，绳子与竖直方向的夹角取决于物体所受的重力与绳子张力的大小关系。
习题五：平移运动和转动运动一个刚体在平面上做平移运动时，它的转动惯量是多少？答案：在平移运动时，刚体的转动惯量为零。
平移运动是指刚体的质心沿直线运动，此时刚体没有绕任何轴心旋转，所以转动惯量为零。
通过以上习题的解答，我们可以更好地理解刚体的运动特性。
刚体的运动涉及到平抛运动、滚动运动、转动惯量和平衡条件等方面的知识，通过解答这些习题，我们可以加深对刚体运动的理解，提高解题能力。
例 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO '转动，设大小圆柱的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和m ，绕在两柱体上的细绳分别与物体m 1和物体m 2 相连，m 1和m 2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R =0.20m ，r =0.10m ，m =4kg ，M =10kg ，m 1=m 2=2kg ，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。
1111222212122212,1122m g T m a m g T m a T R T r J a R a r J m R m r ααα⎧⎪-=⎪-+=⎪⎪-=→⎨⎪==⎪⎪=+⎪⎩2126.13/17.220.8rad s T N T N α⎧=⎪=⎨⎪=⎩例 如图，滑轮质量为M ，半径为R ，物体质量m ，弹簧屈强系数k ，斜面倾角θ均为已知。
开始时扶住物体m ，使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。
求： （1）物体下滑距离为x 时的速度为多少？（2）下滑距离x 为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？ （3）物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动） 解：（1）22221110sin 22212m v I kx m gx v R J M R ωθω⎧=++-⎪⎪=→⎨⎪⎪=⎩sin /2v m g kx dv dv dx dv a vdt dx dtdxm M θ=-====+（2）2/sin ,sin 0max M m mgx v kmg x dxdvm x x m+==→==θθ（3）kmg x v x x θsin 20max max=→==T 1m 2gm 1gT 2T 1例 如图，长为l ，质量为m 的匀质细棒的两端分别连着质量均为m 的小球A 和质量为2m 的小球B 。
整个系统绕过细棒的中点O 的水平轴自水平位置以零初速自由下摆，求：（1）系统摆到某一角位置θ 时，细棒的角速度和角加速度；（2）此时细棒对小球A 、B 的作用力。
刚体一章习题解答习题4—1 如图所示，X 轴沿水平方向，Y 轴竖直向下，在t =0时刻将质量为m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t ，质点对原点O 的力矩=M ρ ；在任意时刻t ，质点对原点的角动量=L ρ。
解：作用于质点上的重力为j mg G ρρ= 任一时刻t 质点 (也是重力的作用点) 的位置矢量为 j gt i b r ρρρ+= 据定义，该重力对原点O 点的力矩为k bmg j mg j gt i b G r M ρρρρρρρ=⨯+=⨯=)( 任一时刻t 质点的动量为j mgt m P ρϖρ==v据定义，质点对原点O 的角动量为k bmgt j mgt j gt i b P r L ρρρρρρρ=⨯+=⨯=)(习题4─2 我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O 为椭圆的一个焦点(如图)，已知地球半径R =6378km ，卫星与地面的最近距离l 1=439km ，与地面的最远距离l 2=238km 。
若卫星在近地点A 1的速度v 1=s ，则卫星在远地点的速度v 2= 。
解：卫星受到地球引力(有心力)的作用，对地心O 的角动量守恒。
因此2211)()(v v m l R m l R +=+解得3.61.823863784396378)()(1212=⨯++=⋅++=v v l R l R km/s习题4—3 光滑圆盘面上有一质量为m 的物体A ，栓在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。
开始时，物体距离圆盘中心O 的距离为r 0，并以角速度0ω绕圆盘中心O 作圆周运动，现向下拉绳，当物体A 的径向距离由r 0减少到20r 时，向下拉的速度为v ，求下拉的过程中拉力所作的功。
分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程中的任一时刻，物体的速度不是刚好沿半径为r 的切线方向，而是既有切向分量，又有法向分量。
另一方面，此习题4―1图A 1 A 1v ρvρ习题4―2图题可以考虑用动能定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度。
题4.1：一汽车发动机曲轴的转速在s 12内由13min r 102.1-⋅⨯均匀的增加到13min r 107.2-⋅⨯。
（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？题4.1解：（1）由于角速度ω =2πn （n 为单位时间内的转数），根据角加速度的定义td d ωα=，在匀变速转动中角加速度为()200s rad 1.132-⋅=-=-=tn n t πωωα（2）发动机曲轴转过的角度为()t n n t t t 0020221+=+=+=πωωαωθ在12 s 内曲轴转过的圈数为 圈390220=+==t n n N πθ 题4.2：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为)1(0τωωte --=，式中10s rad 0.9-⋅=ω，s 0.2=τ。
求：（1）s 0.6=t 时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后s 0.6内转过的圈数。
题4.2解：（1）根据题意中转速随时间的变化关系，将t = 6.0 s 代入，即得100s 6.895.01--==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ωωωτte（2）角加速度随时间变化的规律为220s 5.4d d ---===tte e t ττωωα（3）t = 6.0 s 时转过的角度为 rad 9.36d 1d 60060=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰-s tst e t τωωθ 则t = 6.0 s 时电动机转过的圈数圈87.52==πθN 题4.3：如图所示，一通风机的转动部分以初角速度0ω绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。
若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？题4.3解：（1）通风机叶片所受的阻力矩为ωM C -=，由转动定律αM J =，可得叶片的角加速度为JC t ωωα-==d d （1） 根据初始条件对式（1）积分，有⎰⎰-=ωωω00d d d t t J C t由于C 和J 均为常量，得t JC e-=0ωω当角速度由0021ωω→时，转动所需的时间为2ln CJt = （2）根据初始条件对式（2）积分，有⎰⎰-=tt JC t e00d d ωθθ即CJ 20ωθ=在时间t 内所转过的圈数为 CJ N πωπθ420==题4.4：一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为m N 1003.23⋅⨯，涡轮的转动惯量为2m kg 0.25⋅。
