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2020版高一数学下学期期末考试试题(含解析)一、单项选择（每题5分，共60分）1. 已知，且, 则的值为（）A. 2B. 1C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】由题得2x-12=0，解方程即得解.【详解】因为，所以2x-12=0,所以x=6.故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设=,=，则.2. 正弦函数图象的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求正弦函数的对称轴方程，再给k赋值得解.【详解】由题得正弦函数图象的对称轴方程是，令k=0得.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查正弦函数的对称轴方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)正弦函数的对称轴方程为.3. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选B4. 已知向量满足，则（）A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6. 若在是减函数，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数f(x),再求函数的减区间，给k赋值即得a的最大值.【详解】由题得，令，所以函数f(x)的减区间为令k=0得函数f(x)的减区间为，所以的最大值是.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般利用复合函数的单调性原理求函数的单调性，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.7. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：，利用二倍角公式有：.本题选择A选项.8. 若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（）A. 4B. 6C.D.【答案】B【解析】【分析】先求圆心到点(0,-1)的值d，则点P到直线距离的最大值为d+r.【详解】由题得直线过定点（0，-1），所以圆心（-3,3）到定点的距离为，所以点P到直线距离的最大值为5+1=6.故答案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.9. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后得函数的图象，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】由题意得，故，∴，∴，∴，∴．∵，，∴选项A,B不正确．又，，∴选项C,不正确，选项D正确．选D．10. 已知是定义为的奇函数，满足，若，则（）A. -50B. 0C. 2D. 50【答案】C【解析】分析：首先根据函数为奇函数得到，再由得到函数的对称轴为，故函数是周期为的周期函数，且，根据周期性可求得结果. 详解：因为函数是奇函数，故且.因为，所以函数的对称轴为，所以函数是周期为的周期函数.因为，，，所以，根据函数的周期为可得所求式子的值.故选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性，考查函数的对称性，是一个综合性较强的中档题.11. 若, ，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题目条件得，而点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.12. 已知为与中较小者，其中，若的值域为，则的值（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的解析式，再通过观察函数的图像得到a,b的值，即得a+b的值.【详解】由题得，观察函数的图像可得.故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦函数余弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的分析推理能力.二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知向量，若，则________.【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
2020-2020学年高一下学期数学期末考试试卷一、选择题（1）0sin 75的值等于（ ）（A ）624+ （B ）624- （C ）324+ （D ）324- （2）201sin 440-化简为（ ）（A ）0cos 220 （B ）0cos80 （C ）0sin 220 （D ）0sin80（3）化简sin()sin cos()cos x y x x y x +++等于（ ）（A ）cos(2)x y + （B ） cos y （C ）sin(2)x y + （D ）sin y（4）下列函数中是周期为π的奇函数的为（ ）（A ）x y 2sin 21-= （B ）)32sin(3π+=x y （C ）2tan xy =（D ）)2sin(2π+=x y（5）为了得到函数13sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈的图象，只需把函数13sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点（ ）（A ）向左平行移动25π个单位长度 （B ）向右平行移动25π个单位长度 （C ）向左平行移动45π个单位长度 （D ）向右平行移动45π个单位长度（6）已知tan 2α=，tan 3β=，且α、β都是锐角，则α＋β等于（ ） （A ）4π （B ）43π （C ）4π或43π （D ）43π或45π （7）已知a ＝（2，3），b ＝（x ，－6），若a ∥b ，则x 等于（ ） （A ）9 （B ）4 （C ）－4 （D ）－9（8）已知a 、b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ） （A ）a 与b 相等 （B ）如果a 与b 平行，那么a 与b 相等 （C ）a ·b ＝1 （D ）a 2＝b 2（9）在△ABC 中，已知AB u u u r＝（3，0），AC u u u r ＝（3，4），则cos B 的值为（ ）（A ）0 （B ）53（C ）54 （D ）1（10）已知|a |＝3，|b |＝4（且a 与b 不共线），若(a k ＋b )⊥(a k －b )，则k 的值为（ ）（A ）－43 （B ）43 （C ）±43 （D ）±34（11）已知|a |＝3，b ＝（1，2），且a ∥b ，则a 的坐标为（ ）（A ）（355，655）（B ）（－355，－655）（C ）（355，－655） （D ）（355，655）或（－355，－655） （12）已知向量a ＝（1，－2），b ＝13,x ⎛⎫⎪⎝⎭，若a ·b ≥0，则实数x的取值范围为（ ）（A ）2(0,)3 （B ）2(0,]3 （C ）(,0)-∞∪2[,)3+∞（D ）(,0]-∞∪2[,)3+∞ 二、填空题（13）在三角形ABC 中，已知a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且a ＝6，b ＝32，A ＝4π，则角B 的大小为 .（14）已知3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为 .（15）若将向量)1,2(=a 绕原点按逆时针方向旋转4π，得到向量b ，则向量b 的坐标是（16）已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3π，则向量2a －3b 与a ＋5b 的夹角大小为 .三、解答题） （17）已知12cos 13θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.（18）已知函数()sin y A x ωϕ=+，x R ∈（其中A ＞0，ω＞0，||ϕ＜2π)的部分图象如图所示，求这个函数的解析式. （19）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔25000米，速度为3000米/分钟，飞行员先在点A 看到山顶C 的俯角为300，经过8分钟后到达点B ，此时看到山顶C 的俯角为600，则山顶的海拔高度为多少米. （参考数据：2＝1.414，3＝2 226xyO1.732，6＝2.449）.（20）已知|a |＝3，|b |＝2，且3a ＋5b 与4a －3b 垂直求a 与b 的夹角.（21）已知向量a ＝（3cos2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x），且[0,]2x π∈. （Ⅰ）用cos x 表示a ·b 及|a ＋b |； （Ⅱ）求函数f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值.（22）已知向量a 、b 、c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3.（Ⅰ）求向量a ＋b ＋c 的长度； （Ⅱ）求a ＋b ＋c 与a 的夹角.参考答案一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B D D B C D A D D C 二、 填空题 （13）6π（14）725 （15）)223,22( （16）2π三、 解答题 （17）解：∵12cos 13θ=-，且3,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴ 5sin 13θ=-， 则 5tan 12θ=， ∴ tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝tan 11tan θθ-+ ＝51125112-+＝－717.（18）解：（Ⅰ）根据题意，可知A ＝22， 且4T＝6－2＝4，所以T ＝16，于是 ω＝28T ππ= 将点（2，22）代入22sin 8y x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得 2222sin 28πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 即sin 4πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1， 又||ϕ＜2π，所以ϕ＝4π.从而所求的函数解析式为：22sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈（19）解：如图，过C 作AB 的垂线，垂足为D ， 依题意，AB ＝3000·8＝24000米，由∠BAC ＝300，∠DBC ＝600，则∠BCA ＝300，∴ BC ＝24000米，在直角三角形CBD 中，CD ＝BC ·0sin 60＝24000·0.866＝20784米，故山顶的海拔高度为25000－20784＝4216米. （20）解：∵ 3a ＋5b 与4a －3b 垂直，∴ （3a ＋5b ）·（4a －3b ）＝0， 即 12|a |2＋11a ·b －15|b |2＝0， 由于|a |＝3，|b |＝2，∴ a ·b ＝－4811， 则 cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅＝－811， 故a 与b 的夹角为8arccos 11⎛⎫- ⎪⎝⎭. （21）解：（Ⅰ）a ·b ＝3cos2x cos 2x －3sin 2x sin 2x＝cos2x ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2233cos cos sin sin 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22cos 2x +＝2|cos x |， ∵ [0,]2x π∈，∴ cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x .（Ⅱ）f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2(cos x ＋1)2－3，∵ [0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1.（22）解：（Ⅰ）设向量a 、b 、c 两两所成的角均为θ，则θ＝0或θ＝23π， 又|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3. 则当θ＝0时，a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝2， b ·c ＝|b |·|c |cos θ＝6， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝3，此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14＋22＝36，∴ |a ＋b ＋c |＝6； 当θ＝23π时， a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1， b ·c ＝|b |·|c |cos θ＝－3， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝－32，此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14－11＝3，∴ |a ＋b ＋c |＝3.（Ⅱ）当θ＝0，即|a ＋b ＋c |＝6时，a ＋b ＋c 与a 的夹角显然为0； 当θ＝23π，即|a ＋b ＋c |＝3时，∵ （a ＋b ＋c ）·a ＝－32，且|a ＋b ＋c |·|a |＝3， cos <a ＋b ＋c ，a >＝－32，∴ a ＋b ＋c 与a 的夹角为56π.。
数学试题一.选择题〔本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分. 在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项是正确的 , 将正确答案填写在答题卷相应位置．〕1．容量为 100 的样本数据，按从小到大的顺序分为 8 组，如下表：组 1 2 3 4 5 6 7 8号频1013x141513129数第三组的频数和频率分别是 ( )A 、 1 和 0.14B 、 1 和 1C 、14 和 0.14D 、140.14 和 143 142. 从甲、乙两班分别任意抽出 10 名学口语测验，开始 生进行英语其 测 验 成 绩 的 方 差 分 别 为 S 12=输入x13.2 ，S 22=26．26，那么m x 除以 2 的余数A 、甲班 10 名学生的成绩比乙班生的成绩整齐是10 名学否B 、乙班 10 名学生的成绩比甲班 10 名学生的成绩整齐输出〝 x 是偶 输出〝 x 是奇C 、甲、乙两班 10 名学生的成绩一结束 样整齐第 3 题图D 、不能比较甲、乙两班 10 名学生成绩的整齐程度3．右边的程序框图(如右图所示),能判断任意输入的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是A.x=0?B.m=0?C.x=1?D.m=1?4.将十进制数31转化为二进制数为A.1111B.10111C.11111D.111105.有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，假设落在阴影部分，怎可以中奖，小明希望中奖，那么他应该选择的游戏是6.A是△ABC的一个内角，且sin A+cos A=2,那么△ABC是3A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定7．在2018年第16届广州亚运会上，我国代表团的金牌数- a = 2n ，那么 nn 的最小值为a⎪ x y， 那 么 xy 的 最 小 值 是雄踞榜首。
右图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金牌数的茎叶图，那么这十二代表团获得的金牌数的平均数〔精确到 0.1〕与中位数的差为A 、22.6B 、36.1C 、13.5D 、5.28．以下说法正确的选项是A 、根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B 、方差和标准差具有相同的单位C 、从总体中可以抽取不同的几个样本D 、如果容量相同的两个样本的方差满足 S 12<S 22，那么推得总体也满足 S 12<S 22 是错的9. ：数列 { }满足 an 1= 16 ， an +1naA 、8B 、7C 、6D 、510.在函数 y = f ( x ) 的图象上有点列 (x n ，y n )，假设数列 {x n }是等差数列，数列 {y n }是等比数列，那么函数 y = f ( x ) 的解析式可能为A 、 f ( x ) = 2 x + 1B 、 f ( x ) = 4 x 2C 、 f ( x ) = log3xD 、 f ( x ) = ⎛ 3 ⎫ x ⎝ 4 ⎭二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卷上11. 不等式2 + (1 - 2) x - x 2 < 0 的解集为_________________.12. 假 设 x>0,y>0 且____；2 8+ = 1⎪x-y+3≥0y满足约束条件⎪⎨+y+15,求△ABC的面积S. 13．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20米的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是___________米。
2020版高一数学下学期期末考试试题(含解析) (I)1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（每小题5分，共60分）1. 下列不具有相关关系的是()A. 单产不为常数时,土地面积和总产量B. 人的身高与体重C. 季节与学生的学习成绩D. 学生的学习态度与学习成绩【答案】C【解析】变量间的关系有两种，一种是确定的关系，另一种是不确定的关系，叫相关关系.判断是否具有相关关系关键是看一个变量是否会受到另一个变量的影响，则A，B，D是相关关系，C中季节与学生的学习成绩无关，故不具有相关关系.故选C.2. 下列各角中，与角330°的终边相同的是( )A. 150°B. －390°C. 510°D. －150°【答案】B【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角的终边相同的角，再进行验证即可.详解：与角的终边相同的角为，令，可得，故选B.3. 某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n为A. 3B. 2C. 5D. 9【答案】D【解析】超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有种、种和种，其比例为，采用分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取种，则奶制品类应抽取的种数为，故选D.4. 1 037和425的最大公约数是()A. 51B. 17C. 9D. 3【答案】B【解析】1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1 037和425的最大公约数是17.考点：更相减损术.5. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A. xxB. 2 D. －1【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得满足条件满足条件满足条件满足条件满足条件……观察规律可知，s的取值以3为周期，由xx=3*671+2，有满足条件k＜xx，s=2，k=xx不满足条件k＜xx，退出循环，输出s的值为2，故选B．考点：程序框图．视频6. 函数的最小正周期是( )A. πB. 6πC. 4πD. 8π【答案】B【解析】分析：根据函数的最小正周期为，即可得结果.详解：函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.7. 如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：．故选A．考点：向量的线性运算．【名师点睛】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．8. 已知α是第四象限角，tanα＝，则sinα＝( )A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴si nα＝－.已知角α的某三角函数值，求α的其它三角函数值时，可先判定其符号，然后构造直角三角形求其绝对值．如cosα＝－，α为第三象限角，求sinα的值时，由于sinα<0，构造直角三角形，如图可知|sinα|＝，∴sinα＝－.9. △ABC中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】试题分析：2cos Bsin A＝sin C=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB- cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，三角形为等腰三角形考点：三角函数公式10. 若，，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，即（其中为与的夹角），即，由于，解得，故选D.考点：平面向量数量积11. 将函数y＝cos 3x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：直接根据三角函数的“平移变换”即可得结果.详解：根据函数的平移规则可知的图象向左平移单位长度得到，即，故选D.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.12. 在中，角的对边分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意得，因此的面积等于，故选C.二、填空题（每小题4分，共16分）13. 已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为______________【答案】31.【解析】分析：根据中位数相同求出的值，从而根据平均数公式可求出甲的平均数.详解：因为乙的数据是所以其中位数是，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查茎叶图的应用、中位数、平均数的求法，属于中档题.（1）中位数，如果样本容量是奇数，中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）平均数公式为.14. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为[12,13），[14,15），[15,16），[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________【答案】12.【解析】分析：由频率=，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为，所以第一组有人，第二组人第三组的频率为，所以第三组的人数为人，第三组中没有疗效的有人，第三组由疗效的有人.点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.15. 函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．【答案】.【解析】分析：由的最大值为求出，由零点与最值点求出周期，从而求得，利用特殊点可求得，从而求出函数的解析式.详解：由的最大值为求出，，，将点代入，可得，结合得到，可得，故答案为.点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象中最值点与零点先求出周期，利用周期公式求出，利用特殊点求出.16. 函数的最大值为_________．【答案】.【解析】分析：利用诱导公式与两角和的正弦即可求得，利用正弦函数的有界性即可求得最大值.详解：，又，当时，取得最大值，故答案为.三、解答题（共44分）17. 化简.【答案】.【解析】分析：直接利用诱导公式化简求解即可，化简过程注意避免计算错误，利用诱导公式时特别注意避免符号出错.详解：原式.点睛：本题主要考查诱导公式的应用，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.18. 已知，计算下列各式的值：(1) ；(2)sin2α－2sin αcos α＋1.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：由化简可得：(1) 分子、分母同除以，将代入即可的结果；(2)原式中分母转化为，分子、分母同除以，将代入即可的结果.详解：由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)方法一：原式＝＝＝.方法二：原式＝＝＝＝.(2)原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.19. 随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则：(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？(2)这3人的值班顺序中，甲在乙之前的排法有多少种？(3)甲排在乙之前的概率是多少？【答案】(1)6.(2)3.(3) P(A)= .【解析】试题分析：（1）利用列举法能求出3个人值班的顺序所有可能的情况的种数．（2）利用列举法能求出甲排在乙之前的排法种数．（3）利用列举法能求出甲排在乙之前的概率．试题解析：(1)所有不同的排列顺序共有6种．(2)甲排在乙之前的排法有3种．(3)记“甲排在乙之前”为事件A，则P(A)＝＝.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20. 在中，角的对边分别为（1）已知，求的大小；（2）已知，求的大小．【答案】(1) .（2）.【解析】试题分析：（1），解得，，再由正弦定理即可求解；（2）由余弦定理，求得，即可得到，即可求解的大小．试题解析：（1），所以在中，，由正弦定理有；（2）由余弦定理有，于是，，．21. 已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．【答案】.【解析】分析：由已知结合的范围，求出的值，同理求出的值，然后把化为，再利用两角差的正弦函数求解即可.详解：因为sin(π－α)＝，所以sinα＝.因为0<α<，所以cosα＝＝.因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝＝.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝.点睛：三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．22. 已知向量=（tan x，1），=（sin x，cos x），其中.（I）求函数的解析式及最大值；（II）若的值.【答案】(1) ；2.(2)【解析】分析：（1）运用平面向量的数量积公式求得，将切化弦后通分，即可得到函数的最大值；（2）先由求出的值，将要求的式子二倍角公式展开，把的值代入即可得结果.详解：（I）∵=（tan x，1），=（sin x，cos x），a ·b=当时，的最大值为（II）点睛：以平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及平面向量考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题ABCDB'D'DCBA人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ． 相交D ．内切 2．设a 、b 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )A ．若,a b a α⊥⊥则//b α；B ．若//,,a ααβ⊥则a β⊥；C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ 3．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =( ) A ．-3B ．31-C ．31 D ．34．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( ) A ．y ＝－2x －3 B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －35．已知等差数列的前项和为，，420S ，则( )A ．B ．C ．D ． 6．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．以上情况都有可能7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．438．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．)0,02a b ab a b +≥>>B ．()2220,0+≥>>a b ab a b{}n a n n S 37a =10a =25323540密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题C ．)20,0abab a b a b>>+D ．)220,022a b a b a b ++≤>> 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( )A ．4B ．5C ．10D ．15 10．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km. 85 B 415C ．215 D ．511．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是( )A ．平面平面B ．异面直线与所成的角为C ．二面角的大小为D ．在棱上存在点使得平面12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥体积的最大值为．以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是 .14.已知圆的方程为，若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的一般方程为 .P ABCD -ABCD 60DAB ∠=︒PAD PAD ⊥ABCD PAB ⊥PBC AD PB 60︒P BC A --60︒AD M AD ⊥PMB M ACN -248()2214x y +-=11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭l ,A B C ACB ∠l密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）A BCD -的外接球， 3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题共10分）已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的方程．18.（本题共12分）已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．（1）求与的通项公式；（2）令，求的前项和．20.（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC上移动．（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．21.（本题共12分）如图，在Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置（点A与P重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：⊥平面CB 平面EF PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．22．（本题共12分）已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A .（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC{}n a n S n 2()n S n n *=∈N {}n b 1q >11b a =22b 4b 33b {}n a {}n b nn na cb ={}n c n T密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题13. A>B 14.15. []24π,π 16. (8，0).17．解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-．∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220xy Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5AB =2212212114522DED E F ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+-=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=． 18．解：（1）∵，，∴，…3分，，由于，∴，∴…6分（2）由（1）得，，① ∴，② ①②得，∴…12分20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ∆中，PC EF // ……3分. 又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂ ……4分 ∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC ……6分（2）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥，又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面⊂.∴BC AF ⊥ …… 9分 又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ … 11分 又PBC PE 平面⊂ ∴PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立． ……12分 21．解：（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥， ∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BEPE E =，∴EF ⊥平面PBE ，又⊂EF 平面CBEF ，⊥平面CB 平面EF PBE …4分0324=--y x 111a S ==221(1)n n S S nn --=--21()n a n n *=-∈N 234232b b b +=23232q q q +=1q >2q =12()n n b n -*=∈N 1212n n n c --=0121135212222n n n T --=++++123111352321222222n n n n n T ---=+++++-1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-123662n n n T -+=-<密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy ∆+=⋅⋅∠=≤= 当且仅当2x y ==时，PEB S ∆的面积最大，此时，2BE PE ==． (6)分由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)2622EFCB PO PE S =⋅=⨯==⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= (9)分∵01cos 60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC ∆中，2221417OC BO BC =++=∵PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为51……12分22．解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ……2分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即：23421k kk --=+，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． ……5分（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k kN k k --++．又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx k y x k=--=--(也可以通过直线与圆联立消去y,得到 22221(286)8210.+-+++++=（）x k k k x k k 2122286+=1+++k k x x k 而求出M 坐标).得22224342(,)11+++++k k k k M k k222222224342223(1)()(1)()112121k k k k k k AM AN k k k k +++-⋅=-+-+-++++2222213116121k k k k k ++=+=++为定值．故AM AN ⋅是定值，且为6．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 四 总分 得分第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用符号表示“点A 在平面α外，直线l 在平面α内”，正确的是（ ） A.A α⊄，l α∈ B. A α⊄，l α⊂ C. A α∉，l α⊂ D. A α∉，l α∈2. 若0a b >>，c R ∈，则（ ） A.a cbc +>+B. a c b c -<-C.11a b> D. 22a b <3. 已知向量(),2a t =，()2,1b =，若a b ⊥，则t 的值为（ ） A. -4B. -1C. 1D. 44. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且2222a b c bc =+，则A =（）A. 135︒B. 120︒C.60︒D. 45︒5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ）A. 16B. 32C. 48D. 646. 在ABC △中，已知sin sin A B =，则ABC △的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形7. 已知圆锥SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60︒，圆台轴截面的面积为203，则圆锥SO 的体积为（）A.483πB. 723πC. 1443πD.2163π8. 已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n n n na ab a -+=，n N +∈，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A. 11B. 10C. 9D. 8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A.2n S n =B.223n S n n =-C.21n a n =-D.35n a n =-10. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =30A =︒，则B =（）A. 30︒B. 45︒C. 135︒D. 150︒密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11. 若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A.1ab B.11ab ≥C.222a b +≥D.112a b+≥ 12. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，a α⊥，则b α⊥B. 若a b ⊥，//b α，则//a αC. 若//a b ，//a α，则//b αD. 若αβ⊥，a α⊂，b αβ=，a b ⊥，则a β⊥三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 13.已知变量x ，y 满足约束条件010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为______.14. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，n N +∈，11a =，22a =，则5a =______. 15.ABC △为等腰直角三角形，且2A π∠=，4AB =，若点E 为BC 的中点，则AE AB ⋅=______.16. 正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A BC D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为______，线段AP 长度的取值范围为_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a=，2b =.（1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 18. 已知球O 的半径为5. （1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，n N +∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记11n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=.（1）求A ； （2）若3a =1c =，求ABC △的面积.21. 如图所示，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD .密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：平面//ABF 平面CDE ；（3）若2DE DB ==，3BCD π∠=，求点D 到平面BCE 的距离.22. 在①5CA CB ⋅=-，②ABC △的面积为33一个，补充在下面问题中，并解决该问题： 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++，______，且1b =.（1）求ABC △的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =.若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n nn n a c b a a -+=-，2n ≥.证明：116n S <.注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.高一数学参考答案评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：CABDB6-8：ABB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. AC 10. BC 11. BCD 12. AD 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 13. 1 14. -2 15.8 16.3，6262-+⎣⎦四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）因为向量a 与b 的夹角为3π，所以cos ,a b ab a b⋅=112cos12132π=⨯⨯=⨯⨯=， 所以()2a b a b+=+密线学校班级姓名学号密封线内不得答题2221427a b a b=++⋅=++=（2）设向量a b+与向量a的夹角为θ，所以()cosa b aa b aθ+⋅=+⋅22a a ba a ba b a a b a+⋅+⋅==+⋅+⋅2771==⨯18. 解：（1）因为球O的半径为5R=，所以球O的表面积为24100S Rππ==.（2）设两个半径分别为13r=和24r=的平行截面的圆心分别为1O和2O，所以22153164OO=-==，所以2225493OO=-==，所以1212347O OO OOO=+=+=，或1122431OOO OO O=-=-=，所以两个截面之间的距离为1或7.19. 解：（1）当2n≥时，21nS n n-=-，所以()2212n n na S S n n n n n-=-=+--=，因为当1n=时，112a S==，适合上式，所以2na n=，n N+∈.（2）由（1）可得()121na n+=+，所以11122(1)nn nca a n n+==⋅+11141n n⎛⎫=-⎪+⎝⎭，所以11111111141242341nTn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111414(1)nn n⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，n N+∈.20. 解法一：（1）因为ABC△中，()2cos cosb c A a C-=，由正弦定理可得，(2sin sin)cos sin cosB C A A C-=⋅，得2sin cos sin cos cos sinB A AC A C⋅=⋅+⋅，得2sin cos sinB A B⋅=，因为sin0B>，所以1cos2A=，因为0Aπ<<，所以3Aπ=.（2）由余弦定理得222222cosa b c bc A b c bc=+-=+-，因为3a=1c=，所以220b b--=，即()()120b b+-=，所以1b=-或2b=，因为0b>，所以2b=，所以ABC△的面积为1133sin2122bc A=⨯⨯=.解法二：（1）同解法一.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）由正弦定理得sin sin c aC A=， 因为3sin sin 3A π==3a =1c =，所以sin 1sin 2c A C a ==，因为a c >，所以A C >，即3C π<，所以6C π=，所以2B AC ππ=--=，所以ABC △为直角三角形，所以ABC △的面积为11331222ABC S ac ===△.21. 证明：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC DE ⊥， 因为BDDE D =，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE .（2）因为DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， 所以//DE AF ，因为DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， 所以//AF 平面CDE ； 因为四边形ABCD 是菱形， 所以//AB CD ，因为CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ； 因为ABAF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面//ABF 平面CDE .（3）因为CD BC =，3BCD π∠=，所以BCD △为等边三角形，因为2DB =，所以BCD △的面积为343BCD S ==△ 因为DE ⊥平面ABCD ，所以三棱锥E BCD -的体积为11232333E BCD BCD V DE S -=⋅=⨯=△ 因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以DE BD ⊥，DE CD ⊥，因为2DE BD CD ===，所以22BE CE ==所以BCE △的面积为()21222172BCES =⨯-=△设点D 到平面BCE 的距离为d ， 所以1723333E BCD D BCE BCE V V d S --==⋅==△， 所以2217d =，所以点D 到平面BCE 的距离为2217. 22. 解：（1）选择条件①，过程如下： 因为sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B +=++，所以1b ca c a b+=++，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=.因为5CA CB ⋅=-，所以cos 5ab C =-，所以22252a b c ab ab +-⋅=-， 所以22210a b c +-=-，因为1b =，代入222b c a bc +-=和22210a b c +-=-， 得221a c c -+=和2211a c -=-，联立解得133a =12c =，所以ABC △的周长为13133（1）选择条件②，过程如下： 因为sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B +=++，所以1b ca c a b+=++，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=.因为ABC △的面积为33113sin sin 332234bc A c c π=== 所以12c =，把1b =，12c =代入222b c a bc +-=得133a =所以ABC △的周长为13133（2）因为1cos 2A =，所以12a =，所以12b =，设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为23b a =，37b a =，所以222q d =+，2226q d =+， 联立以上两式消d 得2320q q -+=，所以1q =或2q =，因为数列{}n a 为公差不为0，所以0d ≠，所以1q ≠，所以2q =，1d =. 所以()111n a a n d n =+-=+，112n n n b b q -==， 当2n ≥时，11111212n n n n n n a nc b a a n n -+⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 又因为113c =适合上式，所以11212n nn c n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，n N +∈. 故212111111222233412n n n S n n ⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 令212222n nn T =+++， 则2311122222n n n T +=+++， 作差得23111111222222n n n n T +=++++-，所以222nnn T +=-， 设111111233412n K n n =-+-++-++1122n =-+，所以321222n n n n n S T K n +=-=-++，因为n N +∈，所以202n n +>，所以3122n S n <++，因为1123n ≤+，所以3111226n +≤+，所以116n S <.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(2)(2)()1a a z a a i a R a ++++∈=-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1a ≠B ．0a =C ．0a =或2a =-D ．2a =- 2．如果α的终边过点(2sin,2cos )66ππ-，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．33．若向量()1,1a =，()2,5b =，()3,c x =，满足条件()824a b c -⋅=，则x 等于（ ）A ．6B ．2C ．4D ．34．关于直线m ﹑n 与平面α﹑β，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）①//m α，//n β且//αβ，则//m n ；②m a ⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③m a ⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥；④//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 5．在ABC 中，2()||BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形6．设函数6cos y x =与5tan y x =的图像在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图像于点B ，则线段AB 的长度为（ ） A 5B 35C 145D ．257．已知ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量sin (3,sin )A m B =，co s ()s 3B n A =．若1cos m n ⋅=+()A B +，则C =（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．75B ．3053C ．3203D ．40039．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-10．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC的外接圆的面积为3π，且2cos A 22cos cos 13sin sin B C A C -+=，则ABC 的最大边长为（）A ．2B ．3C 3D ．2311．在四面体P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P -ABC 外接球表面积为（ ） A ．12πB ．25πC ．809πD ．32411π12．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形．点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点），则ABC 周长的最小值是（）A 61+B 62+C 261+D 262+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z C ∈，且221z i --=，则22z i +-的最小值为_________． 14．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=_________．15．已知ABC 中，D是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．已知：平面l αβ⋂=，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分10分）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题已知函数()3sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值；（2）若32()()263f αππα=<<，求sin()3a π+的值．18．（本小题满分12分）如图．甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a =． （1）若25c=，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||2b =，且()(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 21．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos sin 3b A C a =+． （I ）求A 的值：（Ⅱ）若3a =，点D 在边BC 上．且2BD DC =，求AD 的最大值．22．（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDD CCBCC DB二、填空题：13．3 14．3 15．3216．543三、解答题：17．解析：（1）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==． 又()f x 的图像关于直线3x π=对称， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯． 因为22ππϕ-≤<，所以0k =． 所以2236πππϕ=-=-．（2）由（1）得3()3sin(2)226f ααπ=⋅-=， 所以1sin()64πα-= 由263ππα<<，得062ππα<-<， 所以22115cos 1sin 1664ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15sin sin cos 36264ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】解法一：如图，连接12A B ，由已知，22102A B =1220210260A A == ∴1222A A AB =，12218012060A A B ∠=︒-︒=︒ 又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒． ∴122A A B 是等边三角形，1212102AB A A ==．由已知，1120A B =．1211056045B A B ∠=︒-︒=︒在121A B B 中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B B AB AB AB AB =+-⋅⋅︒，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22220(102)220102200=+-⨯⨯=．∴12102B B =10260302=/h ）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结2A B ．由已知1220A B =．12202260A A ==112105B A A ∠=︒， ()cos105cos 4560cos45cos60sin 45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=-2(13)4-=()sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+2(13)4=在211A A B 中，由余弦定理，得22221111211122cos105A B AB A A AB A A ︒=+-⋅⋅222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯100(423)=+．∴2110(13)A B =+.由正弦定理，得1112111221sin sin A B A A B B A A A B ∠=⋅∠ 2(13)210(13)+==+．∴12145A A B ∠=︒，即122604515B A B ︒︒︒∠=-=．2(13)cos15sin105︒︒+==． 在122B A B 中，由已知，22102A B =由余弦定理,得22212212221222cos15B B A B A B A B A B ︒=+-⋅⋅． ∴12102B B =，2222(13)10(13)(102)210(13)1022004=++-⨯⨯=乙船速度的大小为1026030220⨯=/h ． 答：乙船每小时航行302海里．19．解：（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =，若||25c =，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅=．则由22||(2)2c λλ=+=，可得2λ=±，∴()4,2c =，或()4,2c =--．（2）∵5||2b =，且2a b +与a b -垂直， ∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅=，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题化简可得52b a ⋅=-，即55cos 5θ⨯=-， ∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．20．证明：（1）设AC BE O ⋂=，连结OF ，EC ，由已知可得：//AE BC ，AE AB BC ==， 四边形ABCE 是菱形，O 为AC 中点， 因为F 为PC 中点，所以//OF AP ，//AP 平面BEF ，OF ⊂平面BEF所以AP ∥平面BEF ．（2）由题意知，//ED BC ，ED BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形． 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ．所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形． 所以BE AC ⊥．又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC ．21．（1）由已知及正弦定理得sin cos 3s s n n i i A C C A B =+． 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠， ∴tan 3A =0A π<<，即3A π=．（2）解法一：设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得3322sin sin 3a A R π===⨯ 如图所示，取BC 的中点M ，在RtBOM 中，322BC BM ==， 222233(3)()2OM OB BM =-=-=在RtDOM中，12OM BD BM=-=， 222231()()122OD OM DM =+=-=． 31AD OD OD O R A +=+=≤，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 31．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解法二：在ABC 中，由正弦定理得：sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan 3A =又因为0A π<<，所以3A π=；由正弦定理得：in 23s b B =，in 23s c C =，在ABD 中，222224cos 24BA BD AD c AD B BA BD c +-+-==⨯在ABC 中，2222292c 6os BA B BC BC AC c b BA c+-+-==⨯所以222244946c D c b c c+-+-=， 整理得22221233AD b c =+-， 所以22221(23)3)233AD B C =+- 228sin 4sin 2B C =+- 44cos22cos2B C =--144cos22cos(2)3B B π=-+-43sin23cos2B =+- 43sin(2)3B π=+-，当sin(2)13B π-=， 即512B π=时，2AD 取得最大值423+所以AD 31．22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，可得：10OB= 所以，圆锥的高为：515387515c 8m V =，侧面积为：275cm S π=． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA 中可得25cm MA =，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O 到直线AM 的距离减OB 长．解得：2cm ．。
2020年高一数学第二学期期末试卷及答案（共七套）2020年高一数学第二学期期末试卷及答案（一）一.选择题1.两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A. 4B.C.D.2.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A. 1B.C.D.3.下列命题正确的是（）A. 两两相交的三条直线可确定一个平面B. 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线4.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D.6.如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）A. （﹣3，﹣1）∪（1，3）B. （﹣3，3）C. [﹣1，1]D. [﹣3，﹣1]∪[1，3]7.若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（）A. 4B. 16C. 4或16 D. 2或48.已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A. B. C.D.9.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 710.点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N 的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 811.m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. m⊥l，n⊥l，则m∥nB. α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC. m∥α，n∥α，则m∥nD. α∥γ，β∥γ，则α∥β12.曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题13.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．14.若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．15.若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．16.直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．三.解答题17.已知△ABC三边所在直线方程：l AB：3x﹣2y+6=0，l AC：2x+3y﹣22=0，l BC：3x+4y﹣m=0（m∈R，m≠30）．（1）判断△ABC的形状；（2）当BC边上的高为1时，求m的值．18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．答案解析部分一.<b >选择题</b>1.【答案】D【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d= = = ．故答案为：D【分析】根据两条直线平行的一般式的系数关系可求出m=2，进而得到两条直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式可得结果。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.0sin 585的值为（ ）A ．22B ．22-C ．32-D ．322.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3.下列各式中，值为32的是（ ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151-D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ）A ．23B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++•+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34B ．537C.253737 D ．53737 8.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ）A ．18B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ） A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+u u u r u u u r u u u r ，AP AB λ=u u u r u u u r ，则λ=（ ）A ．56B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA u u u r 和OB uuu r 满足cos OA α=u u u r ，sin OB α=u u u r ，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC u u u r 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，标准差是2，则xy = ．15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -u u u r u u u r u u u r g 的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-.（I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值（II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式（II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.。
密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-<<，那么A ∪B =（ ）A ．{}21x x -<<-B ．{}12x x -<<C ．{}21x x -<<D．{}23x x -<<2．已知角α的终边经过点(,4)P m ，（0m < ），且1cos 5m α= ，则sin cos αα-=（ ）A ．15B ．75C ．15-D ．13．已知函数221log (),0(),03x x a x f x x -⎧+<=⎨≥-⎩，若f [f (2)]=1，则a =（ ）A ．-2B ．-7C ．1D ．5 4．在等差数列{}na 中，35712aa a +=-，则19a a +=（） A ．8B ．12C ．16D ．205．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA ，则（ ）A ．21,33x y ==B ．12,33x y ==C ．23,55x y == D ．13,44x y == 6．已知1sin(3)3πα+=-，则2cos ()24απ-值为（ ）A ．13B ．326+C ．326-D ．237．在等比数列{a n }中，已知其前n 项和，则a 的值为( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．28．已知⊙C 1：()()22111x y ++-=，⊙C 1与⊙C 2关于直线10x y --=对称，则⊙C 2的方程为 A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=9．若定义在R 上的偶函数f (x )在（0, +∞）上单调递增，且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ） A ．（-∞, -2）∪（0, 2） B ．（2, +∞） C ．（-2, 2）D ．（-∞, -2）10．已知点P 为直线250x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：()()22122x y -++=的两条切线，切点分别为A 、B ，则四边形P ACB 面积的最小值为（ ） A ．6B ．26C ．6D ．1212n n S a +=+密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能12．设{}max ,p q 表示,p q 两者中较大的一个．已知：定义在[]0,2π上的函数{}()max 2sin ,2cos f x x x =满足关于x 的方程()()2212()0f x m f x m m +-+-=有6个不同的解，则m 的取值范围为( ) A ．()2,2B ．()2,12+ C ．()1,2-D ．()12,22+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．直线l 过点（-1, 2）且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是 ． 14．已知函数221,0()log (1),0x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，记()1f x <的解集为 ．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，E 为CD 中点．则PE 与平面PAC 所成角的正切值为 ． 16. 在数列{a n }中，12,a=12(1)n n a a n +-=+，则数列1{}na 的前n 项的和n S = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 已知2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 18．(本小题满分12分) 如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线与圆A相交于,M N两点．（1）求圆A的方程；（2）当||219MN =时，求直线l 的方程．19．(本小题满分12分) 已知数列{}na 中，14nn a a +=，2116a =，递增等差数列{}nb 满足11b =，2b 是1b 与6b 的等比中项．（1）求数列{},{}nna b 的通项公式；（2）求数列{}nn ab +的前n 项的和n S ．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC //AD ，BC =CD =12AD . （1）求证：CD ⊥PD ；A BCD EP密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）求证：BD ⊥平面P AB ；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使CM //平面P AB . 若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ) （A >0,0<ω<1，|φ|<π2)，x ∈R ）的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝1 20°． （1）求A ，ω，φ的值；（2）若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．21．(本小题满分12分) 已知函数()22xxf x k -=+⋅，x R ∈．(其中e为自然对数的底数)（1）若1k =，且()3f m =，求(2)f m 的值； （2）若1k =-，求不等式22(2)(3)0f xx f x x -+-->的解集；（3）若1k =-，且2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1~12 DBBA ADCB AACA 13．3210x y +-= 14．(,1)-∞ 15．3516．1n n + 17．（1）,T π=[,]()36k k k Z ππππ-+∈； （2）4m ≤-．18．（1）22(1)(2)20x y ++-= ； （2）2x =-或3460x y -+=． 19．（1）1(),324n nn a b n ==- ； （2）21333()42n nn nS -=-⋅+．20．略． 21．（1）2,,63A ππωϕ=== ； （226 ．22．（1）7； （2） (,1)-∞； （3）5m ≥-PABCD密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．求17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．32．已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()2b a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．43．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A ．8B ．12C ．10D ．14 4．已知变量x ，y 之间具有良好的线性相关关系，若通过10组数据(,)(1,2,...,10)i i x y i =得到的回归方程为5y bx =+，且10120i i x ==∑，1018ii y==∑，则b =（ ）A ．2.1B ．2C ．-2.1D ．-25．在三角形ABC 中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，且10a b +=，则向量AB 在向量AC 的投影是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．46．将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ）A.πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a +++＝（）A ．12B ．28log 5+C ．5D ．188．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） A 433+B 433- C 334+D 334- 9．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10. 已知函数的最大值为2，其图密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A ．函数在上单调递增B ． 函数的图象关于直线对称C ． 当时，函数的最小值为2-D ．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位 11．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<12．已知函数()()231cos sin 0,R 222xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 .14. 若向量(21)a x =+，，(26)b x =+，，又a b ，的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为 ． 15．函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =-⋅++-在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________.16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论： ①0<q<1； ②a 1a 99－1<0； ③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98. 其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1243102a a a a +=-=，.等比数列{}n b 满足2337b a b a ==，. ( I )求数列{}n a 的通项公式; (II)设n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .满足22cos c a b A =+.（1）求B ；（2）若5a c +=，3b =，求ABC 的面积.19．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满,2BE EC DF FC==，记AB a=，AD b =，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题； （1）用,a b 来表示向量BF ⃗⃗⃗⃗ ；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）若3,2ab ==，且3BF =，求DE ；20．（本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示: （1）求出样本的平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用 分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率． 21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来源:学*科*网] （2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nT ；22．（本小题满分12分）已知向量(sin 3cos ,1)m x x =-，2(2sin ,4cos )n x x =，函数()f x m n =⋅．（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(A)=1，a =3,求b+2c 的取值范围．参考答案1．A由诱导公式可得17171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 2．C根据题意，得()24,3a b m -=-，由()2b a b ⊥-，得()430m m --=.解得1m =或 3.m =故选C.[来源:]3．B 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d =+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =． 4． C因为10101112,2010i i i i x x x ===⇒=⨯=∑∑10101118100.8i i i i y y y ===⇒=⨯=∑∑，所以根本点的中心为(2,0.8)，把样本点的中心代入回归直线方程，得0.825 2.1b b =+⇒=-，故本题选C.5. ．A 由题意，利用正弦定理可得::2:3:4a b c =，则设2a k =，3b k =，4c k =，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由105a b k +==，所以2k =，故有4a =，6b =，8c =，由余弦定理可得2227cos 28b c a A bc +-==， 所以，向量AB 在向量AC 的投影是7cos 878AB A ⋅=⨯=.故选：A. 6．B 解：将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+7. D由题意，向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==， ∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a +++()2129log a a a =()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦925log a =29log 4=18=故选：D. 8．B 解：∵cos （α6π+）35=（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）45=， ∴sin α＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6π-cos （α6π+）sin 6π4331433552-=-⨯=， 故选：B ．9．A由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 10. D 当时，，在为减函数，故A错，故函数图像的对称中心为，故B 错；当时，，故，故C 错；因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故，所以，令，则即，因，故，.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题，故向右平移个单位后可以得到，故D 正确；11．C根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==，故sin 22A =，三角形有两解，故2sin 1222A <=<，解得222a <<故选：C. 12．D1cos 3131()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点 (1)(,2)(2,2),66k k k Zππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤；[来源:学科网]（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k =，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k的取值范围是5511(0,][,]12612，选D . 13.221192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：214.5{|2}4x x x >-≠且15．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦令3sin cos 2),[0,]()[,],2]4444t x x x x x t πππππ=+=+∈∴+∈∴∈. 221sin cos 12sin cos sin cos 2t t x x t x x x x -=+⇒=+⋅⇒⋅=.所以2221111()1(1)2222t f t t t t t -=-+-=-+-=--.13(0),(2)2,(0)(2)22f f f f =-=∴<，当2]t ∈，所以有max min 1()(1)0,()(0)2f t f f t f ====-， 所以函数的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．①②③④密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．（Ⅰ）22n a n =+；（Ⅱ）22324n n S n n +=++-. 解: (I)在等差数列{}n a 中，由题意可知12102a d d +=⎧⎨=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩22n a n ∴=+.(II)在等比数列{}n b 中，由题意可知121816b q b q =⎧⎨=⎩解得142b q =⎧⎨=⎩11422n n n b -+=⨯=∴,1222n n c n +∴=++,2341426282...222n n S n -∴=+++++++++()23146...2222...2n n +=++++++++ ()2314622222n n +=++++++++22324n n n +=++-.18．（1）π3B =；（243.（1）由题知2sin sin 2sin cos C A B A =+，则()2sin sin 2sin cos A B A B A +=+， 则2sin cos sin A B A =，在ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，则π3B =. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B=+-，从而得()22293a c ac a c ac =+-=+-，又5a c +=，所以163ac =，所以ABC 的面积为143sin 23S ac B ==. 19．（1）见解析；（27（1）∵在ABCD 中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=- 111333BF BC CF AD CD AD AB b a =+=+=-=-（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =- ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵3,2AB AD ==且3BF =∴222213223cos 339BAD =-⨯⨯⨯∠+⨯ ∴1cos 2BAD ∠= ∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE=20．（1）41.5岁；（2）35（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =． 平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； （3）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，从第1，2组密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,a a b b b ．设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105．21．（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =； 当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-， 上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯； 22．（1）()222sin 23sin cos 4cos f x x x x x =-+222cos 23sin cos x x x =+-3cos23sin2x x =+2cos 233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,4． （2）f (A )=1，则cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则A=3πsin 2aA R=，223R ∴= 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin 3cos )R B B =()0221sin B θ=+．其中锐角0θ满足：03tan θ=ABC 为锐角三角形， 62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+， 由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 27πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭()0sin 17B θ<+≤，432221b c ∴<+≤ 故答案为: (43,221].密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1．下列各角中与1°角终边相同的是（ ） A ．360°B ，361°C ．362°D ．363°2．关于x 的不等式()()110x x -+≤的解集是（ ） A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-3．设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．11ab<4．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB BC=，那么四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形5．已知函数()cos3f x x =的图象向右平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()cos 312g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 34g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()cos 312g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 34g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．下列函数中，最小正周期是π，且在区间,2n π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan 2xy =D ．cos 2y x =7．已知实数x ，y 满足约束条件2602000x y x y x y --≤⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥，则z x y =+的最大值为（ ） A ．0B ．18C ．2D ．38．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（ ）A ．64里B ．32里C ．16里D ．8里9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若452a a +=，则8S 等于（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在线段CD 上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（）A ．2,2⎡⎤-⎣⎦ B ．2,4⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．2⎡⎣11．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin cos sin A B C <，则ABC △一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D.等边三角形12．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,c a b ，(),m a c b =+，(),2n a c b a=-，若m n ⊥，则()2sin22tanA B -的取值范围为（ ）A ．(0,526-B ．[)2,0-C ．2,526⎡--⎣ D ．()2,0-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）13．已知O 为坐标原点，()1,2OA =，()1,3AC =-，则OC =______．14．若关于x 的不等式4x xm +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数m的取值范围是 ______．15．已知函数()sin f x x =，[]0,x π∈，实数[)0,1k ∈，则关于x 的方程()f x k =所有根之和为______．16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16，…其中第一项是1，接下来的两项是1，2，再接下来的三项是1，2，4，依此类推．若该数列的前n 项和是2 的整数次幂，且3100n <<，则n 的所有取值的和为 ______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：113a b ==，4212a b ==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18．(12分）已知向量a ，b 满足：2a =，()1,1b =． （1）若//a b ，求a 的坐标；（2）若()6a a b ⋅+=，求a 与b 的夹角的余弦值．19．(12分）已知角,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且角α的终边与单位圆的交点为525⎛ ⎝⎭． （1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．20．(12分）如图，某海港一天从0~12时的水位高度y （单位：密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题米）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数()()sin 0,0y A t b ωϕωϕπ=++><<．（1）求该函数的解析式；（2）若该海港在水位高度不低于6米时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12时，轮船最佳进港时间总共多少小时？21．(本题10分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量BA与AC 的夹角的余弦值为13。
高一数学下册期末考试卷数学试题共3页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(每小题5分,共50分)1.已知()(),3,1,2,1-==b a ,则=-b a2 ( )A.()1,3-B. ()1,3--C. ()1,3D. ()1,3- 2.为了得到函数)(),32sin(R x x y ∈+=π的图象,只需将x y 2sin =,)(R x ∈的图象上所有的点( )A.向右平移6π个单位长度B.向左平移6π个单位长度C.向右平移3π个单位长度D.向左平移3π个单位长度3.不等式:2)1(52≥-+x x 的解集是( ) A.]3,21[- B.]3,1()1,21[ C.]3,1()1,21[ - D.]21,3[-4.“1||<x ”是“13<<-x ”成立的( )条件.A.既不充分也不必要B.充要C.必要不充分D.充分不必要5.若0x >，则xx 22+的最小值是( )A.3B.22C.21D.1 6.已知01,0<<-<b a ,则有( )A.a ab ab >>2B.a ab ab >>2C.2ab a ab >>D.2ab ab a >>7.已知)43,2(),4,0(,31)sin(,53sin ππβπαβαα∈∈=+=,则βsin =( )A.15264- B. 15264+ C.15232+ D.215- 8. △ABC 中, ∠B=90°,AB =(2,3),),1(k AC =,则k =( ) A.311 B.311- C.32 D.32- 9. 不等式a a x x 4232-<--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.()()+∞⋃-∞-,51,B.()()+∞⋃-∞-,41,C.()[)+∞⋃∞-,51,D.()+∞,510. (原创)已知R ∈θ,则θθ22cos 1sin 1+++的最大值是( ) A.21+ B.22 C.5 D.6二.填空题.(每小题5分,共25分) 11.︒480sin = .12.不等式112<+x 的解集是 .13.已知点(1,1),(2,5)A B --,点C 在直线AB 上,且5AC CB =,则C 点的坐标是 . 14.定义运算bc ad dc b a -=,如果:1cos 1sin )(xx x f -=,并且m x f <)(对任意实数x 恒成立,则实数m 的范围是 .15.(原创)平面上三点A,B,C 满足AC AB AC AC AB AC AB ⋅==-=-2,1||||,2||,则ABC S ∆= .三.解答题.(共75分) 16.(13分)已知2tan =θ.(1)若θ为第三象限的角,求θsin 的值;(2)求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.17.(13分)已知函数1)cos (sin cos 2)(+-⋅=x x x x f . (1)求)(x f 的最小正周期;(2)当]2,0[πα∈,且2)(=αf 时,求α的值.18.(13分)△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且满足cos 2A =AB AC ⋅=3. (1)求bc 的值;(2)若1c =,求a 的值. 19.(12分)已知向量)2cos ,2(),sin 1,sin 1(x b x x a =-=,其中2,0(π∈x ]. (1)试判断a 与b 能否平行? 并说明理由; (2)求b a x f ⋅=)(的最小值.20.(12分)已知二次函数c bx ax x f ++=2)(满足条件0)1(=-f ,当R x ∈时4)1()(2+≤≤x x f x 恒成立.(1)求)1(f ;(2)求)(x f 的解析式; (3)若),0(,21+∞∈x x ,且21121=+x x ,求证:1)()(21≥⋅x f x f .21.(12分)在直角坐标平面XOY 上的一列点),(),...,3(),,2(),,1(332211n n a n A a A a A a A ,…简记为}{n A ,若由j A A b n n n ⋅=+1构成的数列}{n b 满足),,2,1(,1N n n b b n n ∈=>+ (其中j 是与y 轴正方向相同的单位向量),则称}{n A 为“和谐点列”.(1)试判断:)21,(),...21,3(),21,2(),1,1(12321-n n n A A A A …是否为“和谐点列”? 并说明理由. (2)若}{n A 为“和谐点列”,正整数q p n m ,,,满足:q p n m <<<≤1,且p n q m +=+. 求证:p n m q a a a a +>+.2019年重庆一中高2018级期末考试数 学 答 题 卷 2009.7数学试题答案2019.7二.填空题.(每小题5分,共25分)11.12. {|10}x x -<< 13. 3(,4)214. m > 15. 32三.解答题.(共75分)16.(1)tan cot 2θθ==又2211cot sin θθ+=∴22sin 3θ= ∵θ为第三象限的角 ∴sin θ=(2)原式cos sin 1tan 3sin cos 1tan θθθθθθ--===++.17.解:()2cos (sin cos )1sin 2cos 2)4f x x x x x x x π=⋅-+=-=-(1)22T ππ==(2)())4f παα=-=∴sin(2)14πα-=∵[0,]2πα∈ ∴32[,]444ππαπ-∈-∴242ππα-= ∴38απ=.18.解:(1)223cos 2cos 12(1255A A =-=⨯-= 而3||||cos 35AB AC AB AC A bc ⋅=⋅⋅==∴5bc =.(2)由(1)知5bc =,而1c = ∴5b =, 由余弦定理可得:a ==.19.解:(1)若//a b ,则11cos 220sin sin x x x⋅+⋅=∵(0,)2x π∈ ∴sin 0x ≠ ∴cos22x =- 这与|cos |1x ≤矛盾.∴a 与b 不能平行.(2)22cos 22cos 212sin 1()2sin sin sin sin sin sin x x x f x x x x x x x-+=-===+ ∵(0,]2x π∈ ∴sin (0,1]x ∈.∴1()2sin sin f x x x =+≥=(当且仅当12sin sin x x =即4x π=时取等号)∴min ()f x =.20.(1)∵2(1)()4x x f x +≤≤∴当1x =时. 2(11)1(1)14f +≤≤=. ∴(1)1f =.(2)由(1)知1a b c ++=, 又(1)0f -= ∴0a b c -+=从而1212b ac ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 又x R ∈时,()f x x ≥恒成立.即2(1)0ax b x c +-+≥ 故20(1)40a b ac >⎧⎨∆=--≤⎩∴116ac ≥ ∴0c >而12a c +=≥ ∴116ac ≤ ∴116ac = ∴14a c ==. ∴2111()424f x x x =++.(3)∵1212112,,(0,)x x x x +=∈+∞ ∴12122x x x x +=⋅∴12x x +≥ (当且仅当121x x ==时取等号)∴122x x ≥ ∴121x x ≥.又12121212(1)(1)1314x x x x x x x x +⋅+=+++=+≥. ∴221212(1)(1)()()144x x f x f x ++⋅=⋅≥ (当且仅当121x x ==时取等号)21.(1)∵1111(,),(1,)22n n n n A n A n +-+ ∴11(1,)2n n n A A +=- 又∵(0,1)j = ∴112n n n n b A A j +=⋅=-∴1112n n b ++=-, 12n nb =- 显然1n n b b +> ∴{}n A 为“和谐点列”.(2)证明:∵11(,),(1,)n n n n A n a A n a +++∴11(1,)n n n n A A a a ++=-. 又因为(0,1)j =∴1n n n b a a +=-.∵1m n p q ≤<<<,且m q n p +=+.∴0q p n m -=->.∴112112.......q p q q q q p p q q p a a a a a a a a b b b ---+---=-+-++-=+++. ∵{}n A 为“和谐点列” ∴1n n b b +>∴12......()q q p p p p p b b b b b b q p b --+++≥+++=-⋅. 即()q p p a a q p b -≥-.同理可证:121...()n m n n m n a a b b b n m b ----=+++≤-⋅. ∵1p n b b ->, n m q p -=-.∴1()()p n q p b n m b -->-.∴q p n m a a a a ->-.∴q m n p a a a a +>+.。
