1、4圆的极坐标方程

极坐标系的圆方程在数学中，极坐标系是一种以极坐标来描述平面上点的坐标系统。

极坐标系使用极径（r）和极角（θ）来表示点的位置，极径表示点与原点之间的距离，极角表示点与正极轴之间的逆时针角度。

在极坐标系中，有一种特殊的曲线形状，即圆。

圆是一个平面上所有到一个指定点（圆心）距离相等的点的集合。

在极坐标系中，我们可以使用极径和极角的方程来表示圆的形状。

对于一个以原点为圆心半径为r的圆，其极坐标系的方程可以表示为：r = a其中，a为圆的半径。

这个方程表示了圆上所有点与圆心的距离都等于半径a。

对于一个以某个点（r0，θ0）为圆心半径为r的圆，其极坐标系的方程可以表示为：r = r0这个方程表示了圆上所有点与点(r0，θ0)的距离都等于半径r0。

在极坐标系中，圆的方程可以帮助我们更直观地理解圆的形状。

与直角坐标系不同，极坐标系中的圆方程直接将圆的形状与半径和极角联系起来，更符合我们对圆的直观认识。

通过圆的极坐标方程，我们可以轻松地得到圆上任意一点的坐标。

假设我们已知圆的半径a和圆心坐标（r0，θ0），我们可以使用以下公式计算圆上任意一点的极坐标（r，θ）：r = aθ = θ0这个公式表示得到的点的极径始终等于圆的半径a，极角始终等于圆心的极角θ0。

通过这个公式，我们可以逐个计算圆上的点，从而绘制出圆的形状。

总结起来，极坐标系的圆方程可以帮助我们更直观地理解圆的形状。

通过指定圆的半径和圆心的极坐标，我们可以得到圆上任意一点的极坐标，并进而绘制出完整的圆形。

希望本文对你理解极坐标系中的圆方程有所帮助！。

圆的极坐标方程推导过程圆是一种非常重要的几何图形，在数学中有许多种不同的描述方法。

其中，极坐标方程是一种非常常用的描述方法，也是较为简单的一种方法。

极坐标方程是指把数轴上某点与原点的连线与正半轴的夹角和原点到该点的距离作为点（r，θ）的坐标，来代替笛卡尔坐标系中的x和y坐标。

本文将以“圆的极坐标方程推导过程”为主题，向大家介绍极坐标方程是如何推导出来的。

1. 先来说说极坐标的定义极坐标是圆心为原点的极轴坐标系的点的表示方法。

由于使用极坐标系统，将点（x，y）表示为(r，θ)对于许多问题更为方便。

r是点到原点的距离，也就是极半径；θ是点与x正半轴正方向成的角度，也称为极角。

因此，方程可以表示为(r，θ)，其中r是极径，θ是极角。

2. 如何推导圆的极坐标方程？我们都知道，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。

在极坐标系中，我们希望能够用(r，θ)来表示点，因此需要将该式用极坐标表示。

为了推导方程，我们首先观察圆。

圆心到圆上任意一点之间都是半径，因此我们可以得到：r²=x²+y²然后，我们可以将x和y用极坐标来表示，有：x=r*cosθy=r*sinθ将其代入上面的式子，得到：r²=r²*cos²θ+r²*sin²θ然后，我们就可以将r²约掉，得到：1=cos²θ+sin²θ这个方程等同于：1=sin²θ+cos²θ这个方程等同于：sin²θ+cos²θ=1这就是我们熟知的三角恒等式！因此，我们可以得到：r²=x²+y²x=r*cosθy=r*sinθ这就是圆的极坐标方程，其中，r表示极径，θ表示极角。

3. 总结通过以上推导，我们可以了解到圆的极坐标方程是如何推导出来的。

圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。

对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。

2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。

3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。

4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。

对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。

例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。

又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。

极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。

极坐标圆的5种表示方法是什么在数学中，极坐标表示法是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个极坐标对$(r, \\theta)$表示，其中r是点到原点的距离，$\\theta$是从正半轴逆时针旋转到该点所需的角度。

极坐标可以用来描述圆形，而圆形又是极坐标中的特殊情况。

下面将介绍极坐标圆的5种不同表示方法。

1.基本极坐标方程表示：圆的标准极坐标方程为r=a，其中a是圆的半径。

在这种表示方法中，圆心在极点的极坐标就是半径a。

这种表示方法简单直观，直接给出了圆的半径，但没有给出圆心的位置。

2.参数方程表示：圆可以用参数方程表示为$x = a\\cos(t)$和$y =a\\sin(t)$，其中a是圆的半径，t为参数。

参数方程表示方法将圆与正弦和余弦函数联系起来，可以通过参数t的变化来描述圆上的点。

3.复数表示：圆也可用复数形式表示为$z =a\\operatorname{cis}(\\theta)$，其中a是圆的半径，$\\theta$是极坐标中的角度。

这种表示方法通过欧拉公式将圆与复数联系起来，揭示了极坐标与复数的内在联系。

4.三角函数表示：圆可以用三角函数表示为$x = a\\cos(\\theta)$和$y= a\\sin(\\theta)$，其中a是圆的半径，$\\theta$是极坐标中的角度。

这种表示方法更侧重于三角函数的表达，展示了圆和三角函数之间的关系。

5.参数方程组合表示：圆还可以用参数方程组合表示为$x = a\\cos(t) +h$和$y = a\\sin(t) + k$，其中(ℎ,k)表示圆心坐标。

这种表示方法将圆心的位置也包含在内，通过参数方程和圆心坐标共同描述了整个圆。

综上所述，极坐标圆可以通过不同方法进行表示，每种方法都从不同角度展示了圆的特点和性质，更全面地揭示了极坐标下圆的美妙之处。

通过学习不同的表示方法，可以更深入地理解圆的几何性质和数学特征。

经过原点的圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用极径 r 和极角θ 来描述一个点的位置。

对于经过原点的圆，也可以用极坐标方程来表示它的形状。

下面我们将详细介绍经过原点的圆的极坐标方程。

对于经过原点的圆，其任意一点到原点的距离都是相等的，假设这个距离为r，那么我们可以得出以下关系：r = const这是因为对于圆上的任意一点，它到原点的距离都是r，所以r 是一个恒定值，即距离圆心的距离是固定的。

在极坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ)，其中 r 表示到原点的距离，θ表示与极轴的夹角。

对于经过原点的圆，它的每一个点到原点的距离都是相等的，所以它的极坐标方程可以表示为：r = a （其中 a 为一个常数）这个常数 a 就是圆的半径，在极坐标系中表示到原点的距离。

所以经过原点的圆的极坐标方程可以简化为：r = a例如，当 a = 1 时，极坐标方程就变成了 r = 1，表示了一个半径为 1 的圆。

在极坐标方程中，我们可以通过改变常数 a 的值来控制圆的半径，从而改变圆的大小。

当 a 的值增大时，圆的半径也增大，反之亦然。

当 a 的值等于 0 时，极坐标方程就变成了 r = 0，表示了一个点，也就是原点。

除了极坐标方程，我们还可以使用直角坐标系中的方程来描述经过原点的圆。

直角坐标系中的圆方程为：x^2 + y^2 = a^2在直角坐标系中，经过原点的圆的方程是通过 x 轴和 y 轴上的点到原点的距离相等来描述的。

当 a 的值增大时，圆的半径也增大，反之亦然。

当 a 的值等于 0 时，直角坐标系中的圆方程就变成了 x^2 + y^2 = 0，表示了一个点，也就是原点。

总结起来，经过原点的圆的极坐标方程简化为 r = a，其中 a 为圆的半径，表示了每一个点到原点的距离，也可以使用直角坐标系中的方程 x^2 + y^2 = a^2 来描述。

通过改变常数 a 的值，我们可以控制圆的大小。

这就是经过原点的圆的极坐标方程的详细解释和表达方式。

数学公式知识：圆的参数方程及其性质圆是数学中重要的几何图形之一，圆的参数方程及其性质是圆的基本知识点之一，对于学习圆的相关知识具有重要的意义。

本文将对圆的参数方程及其性质进行详细的讲解。

一、圆的参数方程圆的参数方程可以用参数方程表示，参数方程是由一些变量表示的函数方程。

对于圆而言，其参数方程一般表示为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)其中，x和y分别表示圆上一点的坐标，r表示圆的半径，t为参数，可以取遍(0,2π)的任意值。

利用这个参数方程我们可以方便地计算圆上任意一点的坐标。

由于t可以取遍(0,2π)的任意值，所以我们可以通过调节参数t的取值，来得出圆上不同位置的点的坐标。

同时，圆的参数方程还可以表示为：x=a+r*cos(t)y=b+r*sin(t)其中，a和b分别是圆心的坐标。

二、圆的参数方程的性质1.圆的对称性对于任意一个圆，其参数方程的基本形式是x = rcos(t)，y = rsin(t)，这个参数方程描述了圆上所有的点，通过任意传统的平移和几何反演操作都能够得到。

因此，我们可以发现，圆的参数方程具有对称性。

2.圆的直径和半径的表示由于圆上任意两点之间的距离都相等，因此圆的直径和半径的长度可以用参数方程来表示。

圆的直径的长度为2r，因此，圆的直径的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)x=-r*cos(t) y=-r*sin(t)圆的半径的长度为r，因此，圆的半径的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)圆的切线和法线在圆上的位置是固定的，在某个点切线垂直于半径，并且在该点的切线与法线相交。

圆的参数方程可以很方便地表示切线和法线的位置。

圆的切线的参数方程为：x=r*cos(t) y=r*sin(t)x=-r*sin(t) y=r*cos(t)圆的法线的参数方程为：x=-r*sin(t) y=r*cos(t)x=-r*cos(t) y=-r*sin(t)4.圆的极坐标方程圆还可以用极坐标方程来表示，圆可以被描述为一组方程，如r = a(cos(t) + i sin(t))，其中a为半径，t为参数。

极坐标方程所有公式一、极坐标系简介极坐标系是一种常用的二维坐标系统，通过角度和半径参数来描述平面上的点。

在极坐标系中，每个点可以用一个有序对(r, θ)表示，其中 r 代表点到坐标原点的距离（称为极径），θ 表示该点与指定方向的连线（通常为正 x 轴）之间的夹角（称为极角）。

可以将极坐标系与直角坐标系相互转换，极坐标系的公式可以用于描述很多几何和物理问题。

二、极坐标方程表达形式极坐标方程可以通过不同的表达形式来描述。

下面是常见的几种极坐标方程形式：1. 极径与极角的显式函数：以极径 r 和极角θ 作为变量，表示为r = f(θ)。

这种形式下，极径 r 是极角θ 的函数。

常见的例子有圆形方程 r = a（a 为常数）和椭圆方程 r = a(1 - e·cosθ)（a 和e 为常数）。

2. 极径与极角的参数方程：将极角θ 表示为 t 的函数，极径 r 表示为 t 的函数，表示为 r = f(t)，θ = g(t)。

通常通过引入一个或多个参数 t 来描述曲线。

常见的例子有直线参数方程 r = a + bt （a 和 b 为常数），和螺旋线参数方程 r = at，θ = b t（a 和 b 为常数）。

3. 函数关系：将极径 r 和极角θ 表示为函数之间的关系，即F(r, θ) = 0。

这种形式下，极坐标方程可以看作是一个隐式方程。

常见的例子有椭圆方程 r^2 = a2·sin2(θ) + b2·cos2(θ)（a 和 b 为常数）和心形线方程r = a(1 + cosθ)（a 为常数）。

三、主要极坐标方程公式1. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为常数。

这表示了以坐标原点为中心，半径为a 的圆。

2. 椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e·cosθ)，其中 a 和 e 为常数，a 表示椭圆的主轴长度，e 表示离心率。

当 e = 0 时，椭圆退化为圆。

1.3 曲线的极坐标方程 1.4 圆的极坐标方程 1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆 1.4.2圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2处且过极点的圆学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点)1．曲线C的直角坐标方程在给定的平面直角坐标系下，如果二元方程F(x，y)＝0满足下面两个条件，则称它为曲线C的方程：(1)曲线C上任一点的坐标(x，y)都满足方程；(2)所有适合方程的(x，y)所对应的点都在曲线C上．2．曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．3．常见曲线的极坐标方程[提示]由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．1．极坐标方程θ＝π(ρ∈R)表示()A．点B．线段C．圆D．直线[解析]当ρ≥0时，方程θ＝π表示极角为π的射线，当ρ<0时，方程θ＝π表示上述射线的反向延长线．∵ρ∈R，∴θ＝π表示直线．[答案] D2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线[解析]由题设，得ρ＝1，或θ＝π，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．[答案] C3．直线θ＝π2和圆ρ＝2cos θ的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．无法确定[解析]由ρ＝2cos θ知表示曲线圆心为(1,0)，半径为1的圆．又θ＝π2过极点且与极轴垂直．∴直线θ＝π2与圆相切．[答案] B4．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．[解析]由ρ·cos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos2θ＝3.又0≤θ<π2，则cos θ>0.∴cos θ＝32，θ＝π6，故ρ＝2 3.∴两曲线交点的极坐标为(23，π6)．[答案](23，π6)【例1】 求圆心在C (2，3π2)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin 5π6)是否在这个圆上．[思路探究] 解答本题先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．[解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ， 即ρ＝2r cos(3π2－θ)， ∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0,0)，A(4，3π2)的坐标满足上式．∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2，∴点(－2，sin 5π6)在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系(本题无需作)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．1．在极坐标系中，分别求方程．(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；(2)圆心为C(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．[解](1)设M(ρ，θ)为所求圆上任意一点．结合图形，得|OM|＝2.∴ρ＝2.0≤θ<2π.(2)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，结合图形．在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°.∠AOM ＝π－θ，|OA |＝4. ∵cos ∠AOM ＝OM OA ， ∴OM ＝OA ·cos ∠AOM .即ρ＝4cos(π－θ)，故ρ＝－4cos θ为所求．【例2】 求过点A (1,0)，且倾斜角为4的直线的极坐标方程．[思路探究] 画出草图―→设点M (ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验[解] 法一 设M (ρ，θ)为直线上除点A 以外的任意一点．则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 |OM |sin ∠OAM ＝|OA |sin ∠OMA，即ρsin 3π4＝1sin (π4－θ)，故ρsin(π4－θ)＝22， 即ρ(sin π4cos θ－cos π4sin θ)＝22， 化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4(ρ≥0)和5π4<θ<2π(ρ≥0)．法二 以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . ∵直线的斜率k ＝tan π4＝1， ∴过点A (1,0)的直线方程为y ＝x －1.将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1，∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4(ρ≥0)和5π4<θ<2π(ρ≥0)．法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．2．若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？[解]由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin(π4－θ)＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1(其中ρ≥0,0≤θ<π4)．【例3】 在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．[思路探究]着眼点⎩⎨⎧极坐标方程化直角坐标方程把交点直角坐标化为极坐标[解] 曲线ρ＝2sin θ化为： x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1， 又ρcos θ＝－1化为x ＝－1. 联立⎩⎨⎧x 2＋(y －1)2＝1，x ＝－1，得交点(－1,1)．∴交点的极坐标为(2，34π)． [答案] (2，34π)1．(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)；(2)对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．2．本题也可消去ρ，由二倍角公式求θ，进而求出极径ρ.3．如果将例题中的曲线方程改为“曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1”，试求曲线交点的极坐标．[解]曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程x＋y＝1，曲线ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程y－x＝1.两直线x＋y＝1与y－x＝1的交点为(0,1)，∴交点的极坐标为(1，π2).取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．[思路探究] 建立点P 的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP |的最小值．[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ， 即(x －32)2＋y 2＝(32)2，知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆．直线l 的直线坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．4.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧︵AB ，︵BC ，︵CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧︵AB ，曲线M 2是弧︵BC ，曲线M 3是弧︵CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．[解] (1)由题设可得，弧︵AB ，︵BC ，︵CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.(教材P16练习T2)把圆的极坐标方程ρ＝sin θ化为直角坐标方程，并说明圆心和半径．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.课时分层作业(三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A ．(12，π3)B ．(－12，2π3)C ．(12，－π3)D ．(12，－2π3)[解析] 点(12，－23π)的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos(－23π)＝－12.[答案] D2．过极点倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( )A ．θ＝π3B ．θ＝π3，ρ≥0C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0[解析] 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π.∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．[答案] D3．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[解析] 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x＝5，化简得y 2＝5x ＋254. ∴该方程表示抛物线．[答案] D4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin(θ＋π3)D ．ρ＝4sin(θ－π3)[解析] 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．[答案] B二、填空题5．点Q是圆ρ＝4cos θ上的一点，当Q在圆上移动时，OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是__________________．[解析]ρ＝4cos θ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是________．[解析]直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是5 5.[答案]5 5三、解答题7．已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋π4)＝22，求极点到直线的距离．[解]∵ρsin(θ＋π4)＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x＋y＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d＝|0＋0－1|2＝22.8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[解] (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N (233，π2)．(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标(0，233)．又P 为MN 的中点，∴点P (1，33)，则点P 的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．9．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求|PQ |的最大值．[解] ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.。

用极坐标表示圆
极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。

而圆，作为几何图形中最基本的形状之一，也可以用极坐标来表示。

在极坐标系中，圆心为原点，极径表示点到圆心的距离，而极角表示点与正极轴的夹角。

在极坐标系中，圆的方程可以表示为r = a，其中a为圆的半径。

这个方程可以解释为，圆上的每个点到圆心的距离都等于圆的半径。

通过对极径和极角的变化，我们可以描述圆上的任意一个点。

极坐标系中的极径可以是正数、零或负数。

当极径为正数时，表示点在圆上；当极径为零时，表示点在圆心；当极径为负数时，表示点在圆的内部。

而极角的取值范围通常为[0, 2π)，表示点与正极轴的夹角。

使用极坐标来表示圆，可以使我们更加直观地理解圆的性质和特点。

例如，在极坐标系中，圆的方程r = a可以表示为一个简单的数学形式，而不需要使用复杂的代数表达式。

此外，极坐标系还可以方便地描述圆的对称性和变换。

除了圆，极坐标还可以用来表示其他几何图形，如椭圆、双曲线等。

在极坐标系中，这些图形的方程可以表示为不同的形式，从而展示它们的特点和性质。

通过学习极坐标系，我们可以更深入地理解几何图形的本质和变化。

极坐标可以用来表示圆和其他几何图形，通过极径和极角的变化来描述点的位置。

使用极坐标系，我们可以更加直观地理解圆的性质和特点，同时也可以方便地描述其他几何图形。

通过学习极坐标系，我们能够加深对几何学的理解，并应用于实际问题的解决中。