广西重点高中届高三数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）A．5 种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】由分步计数原理可知，可选方式有2×3＝6种．故选B．2．将三封信投入三个信箱，可能的投放方法共有种( )A. 3B．6 C．9 D．27【答案】D【解析】将三封信投入三个信箱，由于信投入的信箱不指定，则每封信都有3种选择，所以总的投放方法33 种.故选D.有273．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（）A.6种B.12种C.18种D.24种【答案】A【解析】∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选A.4．下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：F C表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两项构成的一个排列，按下面的方式对10个设(,)国家进行排名：首先按F由大至小排序（表格中从上至下），若F值相同，则按C值由大至小排序，若C值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是（）A ．15B ．20C ．24D ．27【答案】D【解析】分类讨论：若F 为金牌，3种排序中，中国均第1；若F 为银牌，在银牌-金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中，中国排第2或第3；若F 为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2，在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若F 为总数，则3种排列中国均第2.故在所有的排序中，中国的排名之和为3×1+（2×2+2+3）+（2×2+2+3）+3×2=27，故选D5．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.28条B.32条C.36条D.48条【答案】B【解析】方程22ay b x c =+变形得222b c y b a x -=，若表示抛物线，则0,0≠≠b a ，所以分2,1,2,3b =-四种情况：（1）当2b =-时，1,0,2,3,2,0,1,3,3,0,1,2;a c a c a c ==⎧⎪==⎨⎪==⎩或或或或或或（2）当2b =时，2,0,1,3,1,2,0,3,3,2,0,1,a c a c a c =-=⎧⎪==-⎨⎪==-⎩或或或或或或以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理，若b=1，共有9条；若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32条.7.某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方案有（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】当丁不入选时，由甲乙丙三个人担任，甲有2种选择，余下的乙和丙只有一种选择；当丁入选时，有3种结果，丁担任三个人中没有入选的人的职务时，只有一种结果，丁担任入选的两个人的职务时，有2种结果，共有()3219⨯+=种，综上可知，共有9+2=11种结果，故选B.二、填空题7．若a ，b ∈N *，且a ＋b ≤5，则复数a ＋b i 的个数为______．【答案】10【解析】按a 分类，当a 取1,2,3,4时，b 的值分别有4个、3个、2个、1个，由分类计数原理，得复数a ＋b i 共有4＋3＋2＋1＝10(个)．8．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？【答案】2n【解析】每个人都有通过或不通过2种可能，共计有22...2(2)2n n ⨯⨯⨯=个三、解答题9．某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？【解析】5个节目排好后，有6个空可插入第一个节目，共6种不同的插法，再插第二个节目时有7个空，所以共有6×7＝42种不同的插法．10．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解析】（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以共有不同的选法有7+8+9+10=34（种）.（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法有7×8×9×10=5 040（种）. （3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）.。

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题：1．已知x∈ {2 ， 3， 7} ，y∈ { － 31，－ 24， 4} ，则x·y能够表示不一样值的个数是（A）1+1=2（ B）1+1+1=3（ C）2×3=6（ D）3×3=92．某学生去书店买书，发现三本好书，决定起码买一本，则不一样的买法种数为（ A）3（B）6（C）7（D）93．某电话号码为168×××××，若后边的五个数字都由 6 或 8 构成，则这类电话号码一共有（ A）20个（B）25个（C）32个（D）60个4．此刻有 4 件不一样样式的上衣和三件不一样颜色的长裤，假如一条长裤和一件上衣配成一套，某人要配一套衣服，则不一样的选法数为（ A）7（B）64（C）12（D）815．如图：甲————乙，在少儿公园中有四个圆圈构成的连环道路，从甲走到乙，不一样的路线的走法有（）。

（ A）2种（B）8种（C）12种（D）16种6． 5 个高中应届毕业生报考 3 所要点院校，每人报且仅报一所院校，则不一样的报名方法共有（）种。

（ A）35（B）53（C）15（ D）6二．填空题：7． 5 名男生， 4 名女生，（ 1）若从中派一人出黑板报，共有种不一样的派法；（ 2）若男女各派一人共同写黑板报，共有种不一样的派法。

8．A={1 ，2， 3， 4} ，B={5， 6， 7} ，则从A到B的映照有个。

9．某镇有三家酒店，现有5 名游客住店，则不一样的投宿方法有种。

10．三位正整数所有印出，“ 0”这个铅字需要用个。

11．直线l上有 7 个点，直线上有 8 个点，则经过这些点中的两点最多有m条直线。

12．事件A发生致使事件 B 发生，若 A 发生的方式有m种， B 发生的方式有n 种，则 A、 B 接踵发生的方式有种。

参照答案基础卷1．D2．C3．C 4．C5．D6．A7． 9； 208． 819． 24310． 18011． 5812． mn专心爱心专心1。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精练）【题组一分类加法计数原理】1．（2021·南宁市银海三美学校）某小组有8名男生,4名女生,要从中选取一名当组长,不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种【答案】C【详细解析】从8名男生4名女生选取一名当组长,是男生的选法有8种,是女生选法的有4种,共有12种. 故选:C.2．（2021·四川乐山）从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】A【详细解析】由题意分两种情况讨论:一是从甲地经过乙地到丙地,因为从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,⨯=种,所以从甲地到丙地的走法有326二是从甲地不经过乙地到丙地,因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种,+=种,故从甲地到丙地的走法共有628故选:A3．（2020·三亚华侨学校）某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B【详细解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本,有4种不同选法,从3本不同的文摘杂志任选1本,有3种不同的选法,从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本,有2种不同的选法,++=种.根据分类加法原理可得,该同学不同的选法有:4329故选:B.4．（2021·山东高二）现有高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,有多少种不同的选法（）A．60 B．45 C．30 D．12【答案】D【详细解析】因为三个年级共有12名学生,由分类加法计数原理可得:从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,共有12种不同的选法.故选:D.5．（2020·博兴县第三中学高二月考）若一位三位数的自然数各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166 B．171 C．181 D．188【答案】B【详细解析】由题意可得:不超过200的数,两个数字一样同为0时,有100,200有2个,两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个,两个数字一样同为2时,有122,有1个同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个,综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,故第22个“单重数”为171,故选:B.6（2020·大名县第一中学）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只,且必须至少买一款）,因信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.【答案】13【详细解析】依题意,每款只购一只,且必须至少买一款,且消费金额不能超过170元,故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品,共四种方案②购买两款玩具样品,买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只;共六种方案;③购买三款玩具样品买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20、50和100的各一只;共3种方案;所以购买玩具的方案共有13种;故答案为:137．（2020·陕西高二期末）某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有_______________种【答案】9【详细解析】根据题意,选取的杂志可分三类:科普,文摘,娱乐新闻．++=种不同选法．故答案为:9.共4329?【题组二分步乘法计数原理】1．（2020·广东云浮·高二期末）某演讲比赛候选人中高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名,从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛,则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种【答案】A⨯⨯=种不同的选法．故选:A.【详细解析】由乘法计数原理可得共有543602．（2020·陕西高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【详细解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步计数原理可知,不同的分配方案=种.总数为328故选:C3．（2020·山东菏泽·高二期末）从A地到B地要经过C地,已知从A地到C地有三条路,从C地到B地有四条路,则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【详细解析】根据题意分两步完成任务:第一步:从A地到C地,有3种不同的走法;第二步:从C地到B地,有4种不同的走法,⨯=种,根据分步乘法计数原理,从A地到B地不同的走法种数:3412故选:C.4．（2020·陕西高二月考（理））有6位同学报名参加三个数学课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有（）A．63B．36C．36A D．36C【答案】A【详细解析】由题意知本题是一个分步计数问题,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的四个同学都有三种报法,根据分步计数原理知共有63种结果,故选:A．5．（2020·湖北车城高中高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种【答案】 B【详细解析】分步涂色,第一步对A涂色有5种方法,第二步对B涂色有4种方法,第三步对C涂色有3种方法,第四步对D涂色有3种方法,⨯⨯⨯=．∴总的方法数为5433180故选:B．6．（2020·广东佛山·高二期末）已知某体育场有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为__.【答案】12【详细解析】根据题意,某体育场有4个门,从一个门进,有4种走法,另一个门出,有3种走法,则有4312⨯=种不同的走法.故答案为:12.7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中）一电路图如图所示,从A 到B 共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【详细解析】根据电路图可知,共有22138⨯++=条不同的线路可通电.故答案为:88．（2020·浙江高三其他模拟）现有6名选手参加才艺比赛,其中男、女选手各3名,且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同,则不同的出场方式的种数为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B【详细解析】设3名男选手分别为1A ,2A ,3A ,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为1B ,2B ,3B ,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是1A ,则第二个出场的只能是2B 或3B ,若第二个出场的是2B ,则接下来的出场顺序只能是3A ,1B ,2A ,3B ,同理,若第二个出场的是3B ,则接下来的出场顺序只能是2A ,1B ,3A ,2B ,所以若1A 第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有2612⨯=（种）,故选:B【题组三 两个计数原理综合运用】1．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）现用五种不同的颜色,要对如图中的四个部分进行着色,要求公共边的两块不能用同一种颜色,共有__________种不同着色方法【答案】260【详细解析】先排I ,有5种方法;然后排II,IV ,最后排III :①当II,IV 相同时,方法有44⨯种,故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时,方法有433⨯⨯种,故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述,不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为:2602．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账,则他们结账方式的组合种数共________种．【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法,当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故答案为:20.3．（2020·广东）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲.乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 种【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法;当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故选:D4．（2020·浙江高三其他模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案有______种.【答案】144【详细解析】第一步,对区域1进行涂色,有4种颜色可供选择,即有4种不同的涂色方法;第二步,对区域2进行涂色,区域2与区域1相邻,有3种颜色可供选择,即有3种不同的涂色方法;第三步,对区域3进行涂色,区域3与区域1、区域2相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第四步,对于区域4进行涂色,区域4与区域2、区域3相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第五步,对区域5进行涂色,若其颜色与区域4相同,则区域6有2种涂色方法,若其颜色与区域4不同,则区域6只有1种涂色方法,故区域5,6共有213+=种涂色方法,由分步乘法计数原理知,不同的涂色方案的种数为4322(21)144⨯⨯⨯⨯+=.故答案为:1445．（2021·浙江诸暨中学）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款,则有________种不同的支付方式.【答案】6【详细解析】9元的支付有两种情况,522++或者5211+++,①当9元采用522++方式支付时,200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;②当9元采用5211+++方式支付时:200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;所以总的支付方式共有336+=种．故答案为:6．6．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④sin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案】12【详细解析】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为sin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数;对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种;当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种.∴一共有12种选法.故答案为:12.7．（2020·河南南阳华龙高级中学高二月考）有一项活动,需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加,则有多少种不同的选法?（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?（3）若需要1名老师、1名学生参加,则有多少种不同的选法?【答案】（1）16;（2）120;（3）39.【详细解析】（1）需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有38516++=种不同的选法;（2）需老师、男同学、女同学各一人,则分3步,第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有385120⨯⨯=种不同的选法;（3）第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8513+=种不同的选法,共有31339⨯=种不同的选法.。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理（选择题：一般）1、现有支队伍参加蓝球比赛，规定：比赛采取单循环比赛质，即每支队伍与其他支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得分，负方得分，平局双方各得分．下面关于这支队伍得分叙述正确的是A．可能有两支队伍得分都是分 B．各支队伍得分总和为分C．各支队伍中最高得分不少于分 D．得偶数分的队伍必有偶数个2、从1,2,…，9这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是（）A．6 B．9 C．20 D．253、2011年11月11日这一天被称为“百年一遇的光棍节”，因为这一天中有6个“1”，如果把“20111111”中的8个数字顺序任意排列，可以组成的八位数共有( )A．49个 B．36个 C．28个 D．24个4、抛一颗均匀的正方体骰子三次，则向上的面的点数依次成公差为的等差数列的概率是（）A． B． C． D．5、将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．36 D．726、用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（）A．250个 B．249个 C．48个 D．24个7、甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有( )A．210种 B．84种 C．343种 D．336种8、某2017年夏令营组织5名营业员参观北京大学、清华大学等五所大学，要求每人任选一所大学参观，则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有（）A．240种 B．480种 C．640种 D．1280种9、有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )A．4320 B．2880 C．1440 D．72010、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种11、4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（）A． B． C． D．12、若自然数使得作竖式加法不产生进位现象，则称为“不进位数”，例如：32是“不进位数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“不进位数”，因为23+24+25产生进位现象.那么小于1000的“不进位数”的个数为27 B．36 C．39 D．4813、张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位大人，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A．144 B．124 C．72 D．3614、将7名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排3人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．70 D．3515、某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（）A．8种 B．15种 C．种 D．种16、学校高二学生小明在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由六个子程序构成，且程序必须在程序之后，程序必须在程序之后，执行程序后须立即执行程序，按此要求，小明有多少不同的编程方法( )A．20种 B．12种 C．30种 D．90种17、育才中学高二四班要从4名男生，2名女生中选派4人参加志愿者活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法种数共有( )A．8 B．14 C．16 D．1818、某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若没办只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是( )A．24 B．48 C．72 D．14419、将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第个数为（），若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18 B．30 C．36 D．4820、（原创）将大小形状相同的个黄球和个黑球放入如图所示的的十宫格中，每格至多放一个，要求相邻方格的小球不同色（有公共边的两个方格为相邻），如果同色球不加以区分，则所有不同的放法种数为（）A． B． C． D．21、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A．从东边上山 B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山22、8把椅子摆成一排，4人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．2423、教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A．种 B．种 C．种 D．种24、把5名师范大学的毕业生分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）（同步训练）一、选择题1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有()A.24种B.9种C.3种D.26种2.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A.1B.3C.6D.93.(2022年葫芦岛期末)算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51)．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为()A.8B.10C.15D.164.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A.14B.13C.12D.105.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有()A.12种B.7种C.14种D.49种6.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为()A.6B.5C.3D.27.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有()A.36个B.42个C.30个D.35个8.某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有()A.10种B.25种C.52种D.24种9.(多选)现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是()A.从中任选1个球，有15种不同的选法B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D.若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法二、填空题10.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________11.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有______个．12.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________13.清代诗人黄伯权的《茶壶回文诗》(如图)以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶围成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学中也有这种特性的数字，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期)，数学上把20200202这样的对称数称为回文数，如两位数的回文数共有9个(11,22，…，99)，则四位数的回文数有______个，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为________．三、解答题14.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．15.现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？16.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有多少种不同的选法？参考答案及解析：一、选择题1.B解析：不同的杂志本数为4＋3＋2＝9(种)，从其中任选一本阅读，共有9种选法．2.D解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x，有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y，有3种方法．根据分步乘法计数原理，不同的点有3×3＝9(个)．3.A解析：拨动梁下下位两珠，或十位两珠，能组成的整数为2,20，共2个；从个位的梁上、梁下，十位的梁上、梁下四个位置中选两个，拨动选中的这两个位置各一珠，能组成的整数为6,51,60,15,11,55，共6个．所以不同整数的个数为2＋6＝8.故选A．4.B 解析：由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1，0,1,2，有4种可能；当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1，0,1，有3种可能；当a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．所以有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.5.D6.B7.A 解析：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个，有6种，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36(个).8.D解析：共分四步，一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24种．9.AB解析:对于A，从中任选1个球，不同的选法共有5＋6＋4＝15(种)，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，不同的选法共有5×6×4＝120(种)，故B 正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分黄黑、黄蓝、黑蓝三类，再进行各类分步选择，不同的选法共有5×6＋5×4＋6×4＝74(种)，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，不同的选法共有15×14＝210(种)，故D错误．故选AB．二、填空题10.答案：3611.答案：36 解析：第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．故不同的虚数有36个．12.答案：1 359解析：“渐升数”由小到大排列，形如30个必为1 359，所以应填1 359.13.答案：90，59解析：四位数的回文数只用排列前两位数字，后面的数字就可以确定，但是第一位数不能为0，有9种情况，第二位数有10种情况，故四位数的回文数的个数为9×10＝90.四位数的回文数的第一位数是奇数，有5种情况，第二位数有10种情况，故四位数的回文数中奇数的个数为5×10＝50，在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为59. 三、解答题14.解：(1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，满足要求的三位数共有4×3×2＝24(个)．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故三位数的偶数共有2×3×2＝12(个)．15.解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N ＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N ＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N ＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．16.解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选法共有5＋2＋7＝14(种)．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5×2×7＝70(种)．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×2＝10(种)；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有5×7＝35(种)；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有2×7＝14(种)．所以不同的选法共有10＋35＋14＝59(种)．。

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）概率（文）第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）时间：45分钟分值：75分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1 .教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层共有走法种数为（）A. 6B. 23C. 42D. 44解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择f/.23 = 8.答案B2.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、0、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A. 6种B. 9种C. 10种D. 12 种解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3X3 = 9（种）・答案B3∙ （2014・惠州月考）2012年奥运会上，8名运动员争夺3项乒乓球冠军，获得冠军的可能有（）A. 83种B. 38种D. C3种8解析把8名运动员看作8家“店” 3项冠军看作3位“客”，它们都可住进任意一家“店”，每位“客”有8种可能.根据乘法原理，共有8义8 X 8=83（种）不同的结果.答案A4.若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为A C,且满足bW4Wc,则这样的三角形有（）A. 10 个B. 14 个C. 15个D. 21 个解析当b=1时，c = 4 ;当b=2时，c=4,5 ；当b = 3时，C =4,5,6 ;当b = 4时，c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形.答案A5.（2014∙湘潭月考）25人排成5义5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（）A. 60 种B. IOo种C. 300种D. 600种解析5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C§ = 10（种）方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CleC 二5 4 3 60（种），故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10X60 = 600（种）.6.（2013・山东卷）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A. 243B. 252C. 261D. 279解析0~9能组成的三位数的个数为9×10×10 = 900（个），能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8 = 648（个），故能组成的有重复数字的三位数的个数为900 - 648=252（个），故选B.答案B二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7 .如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类,有一条公共边的三角形共有8X4 = 32（个）；第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32 + 8=40（个）.8 .有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有种.解析若选甲、乙两人，则有甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法..∙.共有2 + 1 +1 = 4（种）不同的选派方法.答案49 .用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.解析若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种.若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40（个）.答案40三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10 .某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解从O 型血的人中选1人有28种不同的因去,从A 型血的人 中选1人共有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人共有9种不 同的选法,从AB 型血的人中选1人共有3种不同的选法.⑴任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任 选1人去献血”的事情就已完成，所以用分类加法计数原理，有28 + 7 + 9 + 3 = 47(种)不同选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次 选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘 法计数原理，有28X7X9X3 = 5 292(种)不同的选法.子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B 球 必须放在与A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种?解根据A 球所在位置分三类： d小鬼放11.编号为A, B, C, D, E 的五 如图所示的五个盒⑴若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；（2）若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；⑶若A球放在4号盒子内，则8球可以放在2号、3号、5号盒子中的彳丑可一个，余下的三个盒子放球C。

高考数学复习课时作业62 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( A )A．26 B．60C．18 D．1 080解析：由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．2．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是( B )A．20 B．16C．10 D．6解析：当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( C )A．36个B．30个C．25个D．20个解析：因为a，b互不相等且a＋b i为虚数，所以b只能从{1,2,3,4,5}中选，有5种选法，a从剩余的5个数中选，有5种选法，所以共有虚数5×5＝25(个)，故选C.4．(2019·南昌二模)为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前七位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10 000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为“优惠卡”，则“优惠卡”的个数是( C )A．1 980 B．4 096C．5 904 D．8 020解析：卡号后四位不带“6”和“8”的个数为84＝4 096，故带有“6”或“8”的“优惠卡”有5 904个．5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( B )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．6．有六种不同颜色，给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有( A )A．4 320种B．2 880种C．1 440种D．720种解析：区域1有6种不同的涂色方法，区域2有5种不同的涂色方法，区域3有4种不同的涂色方法，区域4有3种不同的涂色方法，区域6有4种不同的涂色方法，区域5有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)涂色方法，故选A.7．某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有( A )A．28种B．30种C．27种D．29种解析：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有2×3＝6(种)方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有2×4＝8(种)方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3×4＝12(种)方案．综上可知，共有2＋6＋8＋12＝28(种)方案，故选A.二、填空题8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有12种行车路线．解析：由分步乘法计数原理知4×3＝12(种)．9．正整数180的正约数的个数为18.解析：180＝22×32×5，其正约数的构成是2i3j5k形式的数，其中i＝0,1,2，j＝0,1,2，k＝0,1，故其不同的正约数有3×3×2＝18(个)．10．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，则符合条件的三角形共有325个．解析：根据三边构成三角形的条件可知，c<25＋a.第一类：当a＝1，b＝25时，c可取25，共1个值；第二类：当a＝2，b＝25时，c可取25,26，共2个值；……当a＝25，b＝25时，c可取25,26，…，49，共25个值；所以三角形的个数为1＋2＋…＋25＝325.11．在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有2_880种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．故安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．12．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名(没有重名次)．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5名同学的名次排列情况可能有( C )A．27种B．48种C．54种D．72种解析：分五步完成：第一步，决出第1名的情况有3种；第二步，决出第5名的情况有3种；第三步，决出第2名的情况有3种；第四步，决出第3名的情况有2种；第五步，决出第4名的情况有1种．因此，根据分步乘法计数原理可知，5名同学的名次排列情况可能有3×3×3×2×1＝54(种)．13．某校高三年级5个班进行拔河比赛，每2个班都要比赛一场．到现在为止，(1)班已经比了4场，(2)班已经比了3场，(3)班已经比了2场，(4)班已经比了1场，则(5)班已经比了( B )A．1场B．2场C．3场D．4场解析：设①②③④⑤分别代表(1)(2)(3)(4)(5)班，①比了4场，则①和②③④⑤均比了1场；由于④只比了1场，则一定是和①比的；②比了3场，是和①③⑤比的；③比了2场，是和①②比的．所以此时⑤比了2场，是和①②比的.5个班的比赛情况可以用下图表示．14．6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是32.(用数字作答)解析：排成一行的6个球，第1个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第2个球也有2种可能，……，第5个球也有2种可能，第6个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·河北唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是( D ) A．18 B．16C．12 D．9解析：根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同四位数，故选D.16．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有27个．解析：先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个．再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此时c＝1，与等边重复；若a＝b＝2，c<a＋b＝4，则c＝1,3，有两个；若a＝b＝3，c<a＋b＝6，则c＝1,2,4,5，有四个；若a＝b＝4，c<a＋b＝8，则c＝1,2,3,5,6，有五个；若a＝b＝5，c<a＋b＝10，则c＝1,2,3,4,6，有五个；若a＝b＝6，c<a＋b＝12，则c＝1,2,3,4,5，有五个．故一共有27个符合题意的三角形．。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一.选择题1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（ ）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．302．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）Ａ．5种 Ｂ．6种 Ｃ．7种 Ｄ．8种3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（ ）条不同的线路可通电（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．44．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．125．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（ ）种不同的选择方式Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．96．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16二、填空题7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有 种不同的选法．8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线．9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．11．如图，从A →C ，有 种不同走法．12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有 种．三、解答题13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？14．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？15．已知集合{}=---，，，，，，，是平面上的点，a b MM P a b321012()，．∈（1）()，可表示平面上多少个不同的点？P a b（2）()，可表示多少个坐标轴上的点？P a b。

分类计数加法原理与分步计数乘法原理一、单选题(共11道，每道9分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )A.12B.60C.48D.72答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )2.上接第1题．A.12B.60C.48D.72答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理3.用10元，5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( )A.3B.5C.9D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理4.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )A.13种B.15种C.20种D.30种答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理5.乘积展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理6.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.11答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理7.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理9.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理10.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理11.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有( )A. B.4×3×2种C. D.1×2×3种答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理。

高中数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A．182 B．14C．48 D．91[答案] C[解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为68＝48，故选C.2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为()A．13种 B．16种C．24种 D．48种[答案] A[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A.3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是()A．24 B．81C．6 D．64[答案] D[解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D.4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法()A．720种 B．7776种C．360种 D．3888种[答案] B[解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种．5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A．8种 B．9种C．10种 D．11种[答案] B[解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3311＝9(种)不同的安排方法．6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为()A．2 000 B．4 096C．5 904 D．8 320[答案] C[解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8888＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个．7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A．26 B．24C．20 D．19[答案] D[解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：1253,1264,1267,1286，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42 B．30C．20 D．12[答案] A[解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共67＝42(种)．9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|xA，yB}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()A．34 B．43C．12 D．24[答案] C[解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B 中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有34＝12个元素．故选C.10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有()A．16种 B．15种C．14种 D．13种[答案] C[解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)．[答案] 24[解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个．12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个．[答案] 36[解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1y11.要构成三角形，需x＋y12.当y＝11时，x{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x{2,3，…，10}，有9个三角形……当y ＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)．13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)[答案] 48[解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有322＝12(种)排法；两新一老时，有2332＝36(种)排法，即共有48种排法．14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q 接通的情况有______种．[答案] 16[解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题15．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？[解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种；(2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有87＝56种．16．若x，yN*，且x＋y6，试求有序自然数对(x，y)的个数．[分析] 由题目可获取以下主要信息：(1)由x，yN*且x＋y6，知x，y的取值均不超过6；(2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决．[解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．[点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y 的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类．17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？[解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有2625241098＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数．(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？[解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B 中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成AB的映射有N＝24＝16个．(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若事件A和B互斥，事件C和D互斥，且A∩C=B∩D=∅，则下列结论正确的是：A. AC与BD互斥B. AC与BD风险集体C. AC与BD包容D. AC与BD是等可能事件2、在5名同学中，需要从他们中选出2名同学参加数学竞赛，不考虑顺序，用组合数表示这个问题的解法是：A.C52B.P52C.A52D.5×43、在一个班里有男生20人，女生15人。

从中任选2人参加某个活动，问恰好选到一男一女的概率是多少？)A.(13)B.(23)C.(37)D.(474、（7×5）×（9×3）可以用以下哪个计数原理来解释？A. 分步乘法计数原理B. 分类加法计数原理C. 排列D. 组合5、在完成一个任务的过程中，有两种方法可以完成，第一种方法有3个步骤，第二种方法有4个步骤，且每个步骤都是独立的，那么完成这个任务的不同方法共有（）种。

A. 7种B. 12种C. 15种D. 21种6、从甲地到乙地之间有3条不同的公路和2条不同的铁路连接，那么从甲地到乙地之间有多少种不同的出行方式？A. 3种B. 5种C. 6种D. 8种7、某班级举行数学竞赛，共有五道题目，其中一道为选择题，两道为填空题，两道为解答题，要求参赛选手必须在规定时间内完成所有题目。

若选择题有四个选项（包含一个错误选项），填空题有四个空格（每个空格填写一个数字），每道解答题目有五个步骤，每一步骤有三种方法，则参赛选手完成所有题目的方法总数为：A. 2,880B. 1,080C. 3,780D. 9,0008、一个班级有5名男生和6名女生，要从中选出2名男生和3名女生参加学校活动，不同的选法共有（）A. 150种B. 120种C. 90种D. 60种二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、某班共有5名男生和4名女生，从中任选2名学生参加志愿者活动。

课时分层作业(一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(建议用时：40分钟)一、选择题1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )【导学号：95032007】A．10 B．16C．20 D．24A[每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，共有6＋4＝10种不同的选法．]2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( ) A．6种B．12种C．30种D．36种B[∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．]3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )【导学号：95032008】A．40 B．16C．13 D．10C[根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得：a上任一点与直线b确定一平面，共5个；b上任一点与直线a确定一平面，共8个，由分类加法计数原理得共有5＋8＝13个．]4．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1轨道上，则5列火车的停车方法共有( )【导学号：95032009】A．96种B．24种C．120种D．12种A[先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]5．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有( )【导学号：95032010】A．24种B．14种C．10种D．9种B[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．]二、填空题6．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)14[法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个，数字2出现三次的四位数有4个．故总共有4＋6＋4＝14(个)．法二：由数字2,3组成的四位数共有24＝16个．其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．] 7．某班2018年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________.【导学号：95032011】42[将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]8．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个．17[分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．]三、解答题9．在一次中美贸易洽谈会上，我方有三名代表分别来自三个工厂，美方有4个代表也来自四个不同的工厂，见面时每人与对方代表握手一次，要求我方代表必须与对方代表签约，且只与一家代表签一次约，问这些人共握手几次？有多少不同的签约结果？【导学号：95032012】[解](1)我方代表甲与对方握手4次，乙、丙也是各握手4次，共4＋4＋4＝12次．(2)我方代表甲有4种签约的可能．同样，乙、丙也有4种可能，完成签约看成分三步完成，∴共有4×4×4＝64种签约结果．10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.【导学号：95032013】(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？[解]从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．。

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) -A基础练一、选择题1．求是中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有（）A．10种B．16种C．25种D．32种【答案】B【详解】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，=种.一共42162．（2021·北京朝阳区高二期末）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（）A．6B．14C．49D．84【答案】C++=条；【详解】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有2237+=条，由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径子模块4或子模块5中的子路径共有437´=条，故选：C共有77493．（2021·贵州高三开学考试）如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（）A．19B．21C．22D．23【答案】A【详解】对各个路线进行计算可得，由A到2B到1C到1D到E，距离共19为最短距离. 4．（2021·全国高三专题练习）天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（）A．54种B．60种C．72种D．96种【答案】A【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有333216A=´´=种情况，利用分步相乘计数原理知有33654´´=种情况，故选：A.5．（2021·湖北黄石市黄石二中高二期末）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（）A．18B．30C．36D．54【答案】C【详解】解：如图，分以下几类：棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：326´=对；棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：326´=对；底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：6212´=对；底面边与底面边之间所构成的异面直线有：326´=对；侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：6262´=对；所以共有66126636++++=对.故选：C.6．（多选题）（2021·江苏苏州中学高二月考）现安排高二年级A ，B ，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【详解】所有可能的方法有34种，A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的安排方法有339´=种，此种情况共有3927´=种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有3种，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有339´=种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若A 必去甲工厂，则B ，C 两名同学各有4种安排，共有4416´=种安排，C 正确.对于D ，若三名同学所选工厂各不同，则共有43224´´=种安排，D 正确.二、填空题7． 3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有_______种.【答案】81【详解】因为3科老师都布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有3种可能，所以4名学生都做作业的可能情况3×3×3×3=81种．8．（2021·全国高二课时练）假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.未来空气质量预报明天后天周日周一周二周三4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日优优优优良良【答案】85【详解】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数15525N =´=；若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数234560N =´´=.故这三人出游的不同方法数1285N N N =+=.9．（2021·广东深圳外国语学校高二期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662 等，那么用数字1，2，3， 4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.【答案】36【详解】根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有6530´=种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036+=个4位“回文数”．10．（2021·湖北高三期中）5400的正约数有______个【答案】48【详解】3325400235=´´，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为(31)(31)(21)48+´+´+=．三、解答题11．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？【详解】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，若选出的是高一学生，有13种情况，若选出的是高二学生，有12种情况，若选出的是高三学生，有9种情况，由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；从高二学生中选出1人，有12种情况；从高三学生中选出1人，有9种情况；由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．（3）根据题意，分三种情况讨论：若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．12．（2021·四川省眉山高二期末）数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色。