重庆外国语学校下期期中考试数学试题及答案

重庆市重庆实验外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分。

共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：A为有理数，不符合题意；B 、为有理数，不符合题意；C 、为有理数，不符合题意；D 、是无限不循环小数，是无理数，符合题意；故选：D ．2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．【详解】解：A 、，长度是的线段不能组成三角形，故A 不符合题意；B 、，长度是的线段能组成三角形，故B 符合题意；C 、，长度是的线段不能组成三角形，故C 不符合题意；D 、，长度是的线段不能组成三角形，故D 不符合题意．故选：B ．3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）127-0.13 0.0100100012=127-0.130.010010001 1cm,2cm,3cm5cm,6cm,10cm 2cm,5cm,8cm 3cm,3cm,6cm123+=1cm,2cm,3cm 5610+>5cm,6cm,10cm 258+<2cm,5cm,8cm 336+=3cm,3cm,6cm a b >A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】此题考查了不等式的性质，利用不等式的性质判断即可，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．【详解】解：A 、，，故A 不成立，不符合题意；B 、当时，，故B 不一定成立，不符合题意；C 、当时，，故C 不一定成立，不符合题意；D 、，，，故D 一定成立，不符合题意；故选：D ．4. 若，其中a ，b 为两个连续的整数，则的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算的大小，根据a 、b 为两个连续的整数即可求得a 、b 的值，代入代数式求解即可．【详解】解∶∵，，即，∴，∵，其中a ，b 为两个连续的整数，∴，，∴，故选：B ．5.下列命题是真命题的是（ ）A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行22a b -<-ac bc >||||a b >c a c b-<-a b > 22a b \->-0c <ac bc <1,2a b ==-||||a b <a b > a b ∴-<-c a c b ∴-<-6a b <-<b a 6161825<<<<45<<162<<6a b <<1a =2b =211b a ==【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．【详解】解：A 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意；C 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；D 、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行原命题是假命题，不符合题意；故选：A ．6. 如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（ ）．A. 3B. 4C.D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键．【详解】解：平分，过点作的垂线，,，在与中，，，ABC BF ABC ∠A BF BF P BC E PBC 26cm ,APC 25cm 3ABP 2cm 13392BF ABC ∠A BF AP PE =PEC APC △25cm 3ABP BPE APB EPB ≌△△BF ABC ∠A BF ABP EBP ∴∠=∠90APB EPB ==︒∠∠APB △EPB △ABP EBP APB EPB PB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS APB EPB ∴△≌△，则的面积等于的面积为，，故选：C ．7. A 、B 两地相距，一辆电动车和一辆自行车从两地同时出发，匀速相向而行，后在地相遇．此时，电动车电量即将耗尽，地恰有充电站，电动车在充电站速充后，按原路原速返回（电动车到充电站的时间忽略不计），自行车未停留，仍按原速原方向继续前进，在电动车再次出发后追上了自行车．设电动车的速度为，自行车的速度为，则可列方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“电动车和自行车行驶1小时的路程和为；自行车行驶的路程等于电动车行驶的路程”列方程组即可．【详解】解：根据题意，得，故选：B ．8. 如图，在中，，垂足分别是D 、E ，、交于点．已知，则的长度为（ ）AP PE ∴=PEC APC △25cm 3213cm 3APB PBE PEC PEC S S S S ∴==-=△△△△30km 1h C C 30min 10min km /h x km /h y 303010106060x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩301030106060x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩()()603000301010x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()603000103010x y x y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩30km 40min 10min 301010306060x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩ABC ,AD BC CE AB ⊥⊥AD CE H 10,6AE CE BE ===CHA. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴又，∴，故选：C ．9. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点照此规律，的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】ASA AEH CEB ≌6EH BE ==,AD BC CE AB ⊥⊥90AEH CEB ADB ∠=∠=∠=︒90EAH ECB B ∠=∠=︒-∠AEH △CEB EAH ECB AE CEAEH CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AEH CEB ≌6EH BE ==10CE =4CH CE EH =-=(0,0)O 1(1,0)P 2(1,1)P 3(1,1)P -4P 5P 6,P⋯2026P (506,1012)-(507,1012)(507,1013)(506,1013)【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答．【详解】解：观察发现：，，，，，，，，……，∴，，，（n 为自然数），∵，∴，即；故选：C ．10. 有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．①根据第三次操作后整式的个数判定；②根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；③、④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答即可【详解】解：①原整式为：，第1次操作后所得整式串为：，第2次操作后所得整式串为：，第3次操作后所得整式串为：，共有9个整式，故①错误；第1次操作后整式串共有3个整式，，1(1,0)P 2(1,1)P 3(1,1)P -4(1,2)P -5(2,2)P 6(2,3)P 7(2,3)P -8(2,4)P -9(3,4)P 41(1,2)n P n n ++42(1,21)n P n n +++43(1,21)n P n n +--+44(1,22)n P n n +--+202650642=⨯+2026(5061,25061)P +⨯+(507,1013),3x x -,3,3x x -,3,3,6,3x x x x ---n n S n 21n +n 26069x +1n n S S +-,3x x -,3,3x x -,3,3,6,3x x x x ---,3,3,6,3,3,6,92,3x x x x x x x --+---321=+第2次操作后整式串共有5个整式，，，第3次操作后整式串共有9个整式，，第4次操作后整式串共有17个整式，，……，第n 次操作后整式串共有整式个数为：，②正确；第1次操作后所得整式串为：x ，2，，所有整式之和为：，第2次操作后所得整式串为：x ，，3，，，所有整式之和为：，第3次操作后所得整式串为：x ，3，，，3，，，，，所有整式之和为：，第4次操作后所得整式串为：x ，，3，，，3，，，3，，，，，，，，，所有整式之和为：，……，第n 次操作后所得所有整式的和为：，故操作第2024次操作后所有整式之和为：，故③正确；∴．，故④正确，故选：A ．二、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案直按填在答题卡对应的横线上．11. 已知和是一个正数的两个不同的平方根，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．根据平方根的性质进行解题即可．【详解】解：由题可知，232521+==+354921+==+4981721+==+21n +3x -2x 3x -6x -3x -23x +3x -6x -3x -6x -92x -3x -26x +3x -6x -3x -6x -9x -6x -3x -29x -6x -3x -92x -123x -3x -29x +()231x n +-()232024126069x x +⨯-=+1n nS S +-()()2311231x n x n ⎡⎤⎡⎤=++--+-⎣⎦⎣⎦23233x n x n =+--+3=32m +28m +m 2-，解得．故答案为：．12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．【答案】6##六【解析】【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，∴多边形的每一个外角都等于，∴边数．故答案为：6．13. 若点向上平移4个单位后得到的点在轴上，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，先平移点，再根据x 轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵点向上平移4个单位，∴平移后的点坐标为，∵平移后的点在x 轴上，∴，解得：，故答案为：．14. 如图，在中，平分面积为 __．【答案】532280m m +++=2m =-2-120︒360︒360︒120︒18012600︒-︒=︒360606n =︒÷︒=()2,31A m m -x m 1-()2,31A m m -()2,33m m +330m +=1m =-1-ABC AD 52BAC DE AB AC DE ACD ∠⊥== ，，，，【解析】【分析】过点D 作，交的延长线于点F ，先利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．【详解】解：过点D 作，交延长线于点F ，∵平分，，∴，∵，∴面积，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15. 若满足方程组的，互为相反数，则的值为________________．【答案】【解析】【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法及相反数的性质是解本题的关键．把m 看作已知数表示出x 与y ，代入计算即可求出m 的值．【详解】解：得：，解得：，的DF AC ⊥AC 2DE DF ==DF AC ⊥AC AD BAC DE AB DF AC ∠⊥⊥，，2DE =2DE DF ==5AC =ACD 1•2AC DF =1522=⨯⨯5=5321x y m x y +=+⎧⎨-=-⎩x y m 1-0x y +=321x y m x y +=+⎧⎨-=-⎩①②-①②43y m =+34m y +=将代入②得：，解得：，∵x 与y 互为相反数，∴，即，解得：．故答案为：．16. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为______．【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论即可．【详解】解：①当为底边时，此时底边长即为4cm ；②当为腰长时，18-8=10，此时4+4<10，不能构成三角形，故答案为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．17. 如图，中，，过点作，点P ，Q 分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等．【答案】或【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P 运动到与C 点重合时，，此时．【详解】解：①当P 运动到时，如图所示：34m y +=314m x +-=-14m x -=0x y +=31044m m +-+=1m =-1-18cm 4cm 4cm4cm 4cm 4cm ABC 90,16cm,8cm C AC BC ∠=︒==A AM AC ⊥AC AM PQ AB =AP =ABC APQ △8cm 16cm8cm AP BC ==()Rt Rt HL ABC QPA ≌()Rt Rt HL ABC PQA ≌16cm AP AC ==AP BC =在和中，，∴，即；②当P 运动到与C 点重合时，如图所示：在和中，，∴），即．综上所述，的长度是或．故答案为：或．18. 若关于的不等式组有且仅有四个整数解，关于的方程有正整数解，则符合条件的整数有______个．【答案】2【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活Rt ABC △Rt QPA △BC PA AB QP =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABC QPA ≌8cm AP BC ==Rt ABC △Rt PQA △AC PA AB QP =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABC PQA ≌16cm AP AC ==AP 8cm 16cm 8cm 16cm x ()32122324m x x x -⎧≤-⎪⎨⎪--≥⎩y 5()2(2)m y y +-=-m运用所学知识解决问题．利用不等式组求出的取值范围，再根据方程有整数解，判断出的值，可得结论．【详解】解：，由①得，由②得，不等式组有四个整数解，，解得，关于的方程，，方程有整数解，，，符合条件的整数有2个．故答案为：219. 如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为______．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可．【详解】解：如图，连接，m m ()32122324m x x x -⎧≤-⎪⎨⎪--≥⎩①②14m x -≥2x ≤ 1214m -∴-≤≤-73m -≤≤-y 5()2(2)m y y +-=-93m y += 6m ∴=-3-∴m ABC DE B 1B 11,AB CB 1AB BAC ∠1CB ACB ∠1110∠=︒2∠40︒401BB ABC ∠1AB BAC ∠1CB ACB ∠1BB ABC ∠1BB平分，平分，，，，，，，，平分，平分，，平分，，沿折叠，，，故答案为：．20. 一个四位正整数，如果满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称为“优美数”．将的千位数字与百位数字对调．十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：优美数时，，则．已知s 、t 都是“优美数”，记的千位数字与百位数字分别为a ，b ，t 的千位数字与百位数字分别为x ，y ，其中，，，，，，，均为整数．若能被7整除，则______；同时，若、还满足，则的最大值为______．【答案】①. 7 ②. 10230【解析】1AB BAC ∠1CB ACB ∠112B AC BAC ∴∠=∠112B CA BCA ∠=∠1110∠=︒ 1118011070B AC B CA ∴∠+∠=︒-︒=︒140BAC BCA ∴∠+∠=︒18014040ABC ∴∠=︒-︒=︒1AB BAC ∠1CB ACB ∠1BB ∴ABC ∠120B BE ∴∠=︒ DE 1120BB E B BE ∴∠=∠=︒11240BB E B BE ∴∠=∠+∠=︒40︒m m m m m '()99m m F m '-=8228m =2882m '=()8228288282289954F =-=s 19b a ≤<≤19x ≤≤19y ≤≤a b x y ()F s a b -=()F s ()F t ()()687F s F t a b x y xy +=++-+t【分析】本题考查了新定义，整式的加减，数的整除性，关键是正确理解新定义，利用代数式的值进行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答．根据对称数定义表示出，，得到，根据能被7整除，，得到；同理得，根据条件得到，由，得到，或，，根据，均为整数，分别列举出，的值代入求解即可．【详解】解：的千位数字与百位数字分别为，，，，，能被7整除，且，；同理得，，∵，∴，，，，或，，当，时，，即，，均为整数，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；1001110s a b =+1001110s b a '=+()()9F s a b =-()F s 19b a ≤<≤7a b -=()()9F t x y =-()()99687a b x y a b x y xy -+-=++-+7a b -=19b a ≤<<8a =1b =9a =2b =x y x y 1001110t x y =+s a b 1000100101001110s a b b a a b ∴=+++=+1000100101001110s b a a b b a '=+++=+()()10011101001110891891()99999a b b a a b F s a b +-+-∴===-()F s 19b a ≤<≤7a b ∴-=1001110t x y =+1001110t y x'=+()89189991()9x y F t x y -==-()()687F s F t a b x y xy +=++-+()()99687a b x y a b x y xy -+-=++-+7a b -= 19b a ≤<≤8a ∴=1b =9a =2b =8a =1b =142x y xy ∴+=+1412122x y x x +==+++x y 1x =12152y x =+=+10011101001111051551t x y =+=⨯+⨯=2x =12142y x =+=+10011101001211042442t x y =+=⨯+⨯=4x =12132y x =+=+10011101001411034334t x y =+=⨯+⨯=当时，，此时；当，时，，即，，均为整数，当时，，此时；综上所述，的最大值为10230．故答案为：7；10230．三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21. 计算：（1；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是：（1）利用算术平方根、立方根的定义化简计算即可；（2）利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的运用，乘方法则化简计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解∶原式10x =12122y x =+=+1001110100110110210230t x y =+=⨯+⨯=9a =2b =72x y xy ∴+=+75122x y x x +==+++x y 3x =5122y x =+=+10011101001311023223t x y =+=⨯+⨯=t 2+-()20231|3|---1-()533=+--533=--1=-()1432=--+-1432=--++=22. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：（2）解不等式组，并求出它的整数解．【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），整数解为4、5、6【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】（1），由①得，，由②得，，故此不等式组的解集为，解集在数轴上表示如下：；（2）解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，它的整数解为4、5、6．23. 为了增强学生对地震安全知识的了解，某校举行防灾安全知识竞赛．竞赛结束后，组织者随机抽取了部分学生的成绩，调查发现他们的成绩（满分100分）均不低于60分．将这部分学生的成绩（用表示）分为四组：组组组组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．424131x x x x -<+⎧⎨+≥-⎩4(1)78253x x x x +≤-⎧⎪-⎨-<⎪⎩1x ≤4 6.5x ≤<424131x x x x -<+⎧⎨+≥-⎩①②2x <1x ≤1x ≤4(1)78x x +≤-4x ≥253x x --< 6.5x <4 6.5x ≤<x A (6070),x B ≤<(7080),x C ≤<(8090)x D ≤<，(90100)x ≤≤根据以上信息，解答下列问题：（1）通过计算补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为______；（3）根据以上数据，估计全校参加竞赛的6000名学生中成绩不低于80分的学生人数．【答案】（1）见解析（2）（3）人【解析】【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．（1）先根据组是100人，占小明所在学校参加竞赛学生的，求出小明所在学校参加竞赛学生人数为400人，由此可求出组的人数为80人，据此可补全频数分布直方图；（2）由组是40人，求出组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出组所对应的圆心角的度数；（3）利用样本估计总体思想即可求解．【小问1详解】解：由频数分布直方图可知：组是100人，由扇形统计图可知：组占小明所在学校参加竞赛学生的，小明所在学校参加竞赛学生人数为：（人，组的人数为： 人），补全频数分布直方图如图所示：【小问2详解】A 36︒4200C 25%B A A AC C 25%∴10025%400÷=)B ∴40020%80(⨯=∴解：由频数分布直方图可知：组40人，组人数占班级人数的百分比为：，组所对应的圆心角的度数为：；故答案为：；【小问3详解】（人，答：估计全区参加竞赛的6000名学生中有4200人的成绩不低于80分．24 如图，中，，延长到点，过点作于点E ，与交于点，若．（1）求证：；（2）若，求的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用证明即可得证；（2）利用等式性质证明，再利用证明，得出，即可求解．【小问1详解】证明：在和中，，∴，∴；【小问2详解】是.A A ∴4040010%÷=A ∴36010%36︒⨯=︒36︒10018060004200400+⨯=)ABC 90ACB ∠=︒AC F F FE AB ⊥FE BC D DE DC =BD DF =3cm,5cm AC AB ==CF 2cmASA BDE FDC ≌△△BC EF =AAS ACB AEF ≌ AB AF =BDE △FDC △90BED FCD DE DCBDE FDC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BDE FDC ≌BD FD =解：∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，又，∴．25. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．点为边上任意一点，把按某个方向平移后，点的对应点为点，点A ，B ，C 的对应点分别为．（1）在图中画出平移后的；（2）求的面积；（3）若在轴的正半轴上存在点，使得的面积等于10，求点的坐标．【答案】（1）见解析（2）19 （3）或DE DC =BD FD =BD CD FD DE +=+BC EF =ABC AFE △90ACB AEF A ABC FE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACB AEF ≌AB AF =3cm,5cm AC AB ==2cm CF AF AC AB AC =-=-=ABC (5,0),(3,8)A B --(1,3)--C (,)P a b ABC ABC (,)P a b 1(6,2)P a b +-111,,A B C 111A B C △111A B C △y Q 1QAB Q 50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭250,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】本题考查了平移，三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）根据平移的特征知，将向右平移6个单位，向下平移2个单位，根据平移的性质，即可画出平移后的；（2）利用割补法求解即可；（3）设，过作轴于M ，分Q 在下方和Q 在上方讨论，利用割补法构建关于x 的方程求解即可．【小问1详解】解∶∵把按某个方向平移后，点的对应点为点，，∴向右平移6个单位，向下平移2个单位，∴平移后的如图所示，【小问2详解】解：的面积为；【小问3详解】解：设，过作轴于M ，当Q 在下方时，ABC 111A B C △()0,Q x 1B 1B M x ⊥1AB 1AB ABC (,)P a b 1(6,2)P a b +-ABC 111A B C △111A B C △111411432821119222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=()0,Q x 1B 1B M x ⊥1AB∵，∴，解得，∴；当Q 在上方时，∵，∴，解得，∴；111AB M AB Q AMQ B MQ S S S S =++ 1118610836222x ⨯⨯=+⨯+⨯⨯54x =50,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭1AB 111AB M AB M AOQ B MOQ S S S S +=+梯形 ()1118610536222x x ⨯⨯+=⨯+⨯⨯+254x =250,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，Q 的坐标为或．26. 为了迎接“重庆市的义教优均测试”，晨光文具店计划购进A 、B 两种文具套盒，已知A 种套盒的进价比B 种套盒的进价每个便宜3元，现分别购进A 种套盒300个，B 种套盒600个，共计12600元．（1）求A 、B 两种套盒的单价；（2）文具店第二次又购进A 、B 两种套盒共1000个，且投入的资金不超过13800元．在销售过程中，A 、B 两种套盒的标价分别为20元/个、25元/个．两种套盒按标价各卖出m 个以后，该店进行促销活动，剩余的A 种套盒按标价的七折销售，剩余的B 种套盒按标价的八折销售，若第二次购进的1000个套盒全部售出后的最大利润不少于6000元，请求出m 的最小值．【答案】（1）A 种文具套盒的单价是12元，B 种文具套盒的单价是15元；（2）m 最小值为200．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设A 种文具套盒的单价是x 元，B 种文具套盒的单价是y 元，根据“A 种套盒的进价比B 种套盒的进价每个便宜3元，现分别购进A 种套盒300个，B 种套盒600个，共计12600元”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出结论；（2）设文具店第二次又购进a 个A 种文具套盒，则购进个B 种文具套盒，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过13800元，可列出关于a 的一元一次不等式，解之可得出a 的取值范围，结合两种文具套盒的每盒的销售利润，可得出当时，第二次购进的1000个套盒全部售出后获得的利润最高，利用总利润＝每盒A 种文具套盒的销售利润×销售数量+每盒B 种文具套盒的销售利润×销售数量，结合最大利润不少于6000元，可列出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【小问1详解】设A 种文具套盒的单价是x 元，B 种文具套盒的单价是y 元，根据题意得：，解得：．答：A 种文具套盒的单价是12元，B 种文具套盒的单价是15元；【小问2详解】设文具店第二次又购进a 个A 种文具套盒，则购进个B 种文具套盒，的50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭250,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1000a -（）400a =330060012600y x x y -=⎧⎨+=⎩1215x y =⎧⎨=⎩1000a -（）根据题意得：，解得：，∵（元），（元），（元），（元），，∴B 种文具套盒的销售利润高，∴当时，第二次购进的1000个套盒全部售出后获得的利润最高，此时．∵第二次购进的1000个套盒全部售出后的最大利润不少于6000元，∴，解得：，∴m 的最小值为200．答：m 的最小值为200．27. 阅读并理解下面内容，解答问题．三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．如图1，已知是的三条内角平分线．求证：相交于一点．证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D ，E ，F ．点是的平分线上的一点，，同理，，．是的平分线，点在上．相交于一点．请解答以下问题：（1）如图3，在中，为的内心，延长到点，使得1215100013800a a +-≤（）400a ≥20128-=251510-=200.7122⨯-=250.8155⨯-=81025＜，＜400a =10001000400600a -=-=810240056006000m m m m ++-+-≥（）（）200m ≥,,AM BN CP ABC ,,AM BN CP ,AM BN O O ,,OD BC OE AC OF AB ⊥⊥⊥ O BAC ∠AM OE OF ∴=OD OF =OD OE ∴=CP ACB ∠∴O CP ,,AM BN CP ∴ABC 78,45,BAC ABC P ∠=︒︒=∠ABC CA D，连接，与交于点，求的角度．（2）如图4，为的内心，连接，M 为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：（3）为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度．【答案】（1）（2）见详解（3）【解析】【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此；（2）过点P 作交于点E ，F ，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可；（3）连接并延长交于点D ，将绕点P 逆时针旋转至，连接并延长交于点M ，先证明，继而确定点F 轨迹为直线上的部分线段，当，即点F 与点M 重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可．【小问1详解】解：如图∵点P 为内心，∴，设，的CB CD =DP DP AB G APD ∠P ABC ,PB PC AB MP AC N ANM ABC ∠=∠BM CN MN+=P ABC AB AC =30ACB ∠=︒E BC PE PE P 60︒PF FA FA 12BPE PEB ∠+∠16.5︒142.5︒129BPC ∠=︒112.5APC ∠=︒SAS CPD CPB △△≌129CPD CPB ∠=∠=︒129112.516.5APD ∠=︒-︒=︒EF BC ∥,AB AC AP EF EP PF EB CF =+=+APM APF △≌△MPE FPN △≌△,,EM FN PM PF EP NP ===MN MP PN PF PE EF =+=+=AP BC PD 60︒PG FG AC EPD FPG △≌△GM AF GM ⊥FA ABC 12,34∠=∠∠=∠12,34αβ∠=∠=∠=∠=在中，，即，∴，在中，，同理可求：，∵，∴，∴，∴【小问2详解】证明：过点P 作交于点E ，F ，连接，∵，∴，，∵，∴，∴，同理可证：，∴，∵，又∵，∴，∴，ABC 180********ABC ACB BAC ∠+∠=︒-∠=-=︒22102αβ+=︒51αβ+=︒BPC △()180********BPC αβ∠=︒-∠-∠=︒-+=︒190112.52APC ABC ∠=︒+∠=︒,34,CD CB CP CP =∠=∠=CPD CPB △△≌129CPD CPB ∠=∠=︒129112.516.5APD ∠=︒-︒=︒EF BC ∥,AB AC AP EF BC ∥23∠∠=ACB AFP ∠=∠12∠=∠13∠=∠EB EP =FP FC =EF EP PF EB CF =+=+180,180BAC ABC ACB BAC AMN ANM ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ANM ABC ∠=∠ACB AMN ∠=∠AMN AFP ∠=∠∵点P 为内心，∴，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴∴，∴，∴即：．【小问3详解】解：连接并延长交于点D ，将绕点P 逆时针旋转至，连接并延长交于点M ，∵P 为内心，∴平分，∵，∴，∴由题意得：，∴，∴，∴∵，∴，ABC 45∠=∠AP AP =APM APF △≌△,PM PF =AMN AFP ∠=∠EMP NFP ∠=∠MPE FPN ∠=∠MPE FPN△≌△,,EM FN PM PF EP NP ===MN MP PN PF PE EF =+=+=EB CF MN BM ME CN NF BM CN+==-++=+BM CN MN +=AP BC PD 60︒PG FG AC ABC AD BAC ∠AB AC =AD BC ⊥903060DAC ∠=︒-︒=︒,,60PE PF PD PG EPF DPG ==∠=∠=︒EPD FPG ∠=∠EPD FPG △≌△90PGF PDE ∠=∠=︒60DAC DPG ∠=∠=︒PG AM ∥∴，∴点F 的轨迹为直线上的部分线段，∴当，即点F 与点M 重合时，取得最小值，如图，连接，∵，∴，∴，∵P 为内心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．90AMF PGF ∠=∠=︒GM AF GM ⊥FA BP AB AC =30ABC C ∠=∠=︒120BAC ∠=︒ABC BP ABC ∠1152PBE ABC ∠=∠=︒60EPF ∠=︒120BPE ∠=︒1801512045PEB ∠=︒-︒-︒=︒112022.5142.52BPE PEB ∠+∠=︒+︒=︒。

重庆外国语学校2019—2020学年(下) 半期考试高2022级·数学试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项）1.下列命题中，正确的是（ ） A. 若22a bc c<，则a b < B. 若a b >，则lg lg a b >C. 若a b >，则22a b >D. 若0a b >>，0c d <<，则ac bd >【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A ，若22a bc c<，则20c >，则a b <，故A 正确； 对于B ，当0a b >>时，lg a 和lg b 无意义， 只有当0a b >>时，则lg lg a b >，故B 错；对于C ，若a b >，当0,1a b ==-时，22a b >不成立，故C 错； 对于D ，0a b >>，0c d <<时，则0c d ->->， 所以ac bd ->-，则ac bd <，故D 错. 故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，以及特殊值法的应用．2.设向量(3,)a m →=，向量(1,2)b →=-，若向量a →与向量b →共线，则m 的值为（ ） A.32B. 32-C. 6D. -6【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】解：由题可知，(3,)a m →=，(1,2)b →=-，a →与b →共线， 则32m ⨯=-，解得：6m =-. 故选：D.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题.3.已知集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合4|05x C x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A ，B ，C 的关系为（ ）A. B A ⊆B. A B =C. C B ⊆D. A C ⊆【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系. 详解】解：由于{}{{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤，{}4|0545x C x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭，可知，A C ⊆. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力. 4.正项等比数列{}n a 中，3a 2=，46a a 64⋅=，则5612a a a a ++的值是( )A. 4B. 8C. 16D. 64【答案】C 【解析】分析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 3=2，a 4•a 6=64，利用通项公式解得q 2，再利用通项公式即可得出． 详解：设正项等比数列{a n }的公比为q，，a 3=2，a 4•a 6=64，，228112,64,a q a q ==【解得q 2=4，则5612a a a a +=+=42=16， 故选C，点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律. 5.已知α为第二象限角，sin cos αα+=cos2α=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】21312sin cos (sin cos ),221sin 2sin 232433k k ππααααπαπαα+=+=+<<+∴+=∴=-Q253cos 2424cos 292k k παππαπα=+<<+∴=Q ，故选A.6.设向量(,3)a n →=，向量(0,3)b →=，若向量23a b →→-与向量3a b →→-垂直，则n 的值为（ ）A.B. ±C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标加减法运算分别求出()232,3a b n →→-=-和()33,6a b n →→-=，由于233a a b b →→→→⎛⎫⎛⎫-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，再利用向量垂直的坐标运算，即可求出n 的值. 【详解】解：由题可知，(,3)a n →=，向量(0,3)b →=， 则()()()232,330,32,3a b n n →→-=-=-，()()()33,30,33,6a b n n →→-=-=，由于，则23180n n ⋅-=，解得：n = 故选：D【点睛】本题考查向量坐标的加减法运算和向量垂直的坐标运算，属于基础题.7.我们学校是一所有着悠久传统文化的学校，我们学校全名叫重庆外国语学校（Chongqing Foreign Language School ），又名四川外国语大学附属外国语学校，简称“重外”，1981年，被定为四川省首批办好的重点中学；1997年，被列为重庆市教委首批办好的直属重点中学之一；2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一，今年我校保送取得了非常辉煌的成绩，目前为止，包括清华大学，北京大学在内目前共保送122名同学，其中北京大学，南开大学，北京外国语大学保送的人数成公差为正数的等差数列，三个学校保送人数之和为24人，三个学校保送学生人数之积为312，则北京外国语大学保送的人数为（以上数据均来自于学校官网）（ ） A. 10 B. 11C. 13D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设北京大学，南开大学，北京外国语大学保送的人数分别为,,a b c ，由等差中项的性质，可知a b c <<且2b a c =+，结合24312a b c abc ++=⎧⎨=⎩，求出c ，即可求得北京外国语大学保送的人数. 【详解】解：由题可知，设北京大学，南开大学，北京外国语大学保送的人数分别为,,a b c ， 可知，,,a b c 成公差为正数的等差数列，即：a b c <<， 则：2b a c =+，三个学校保送人数之和为24人，三个学校保送学生人数之积为312，则：24312a b c abc ++=⎧⎨=⎩，整理得：324b =，8b ∴=，1639a c ac +=⎧∴⎨=⎩，解得：3a =或13（舍去），所以3,13a c ==，即北京外国语大学保送的人数为13. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的实际应用，涉及等差中项的性质，属于基础题.8.若数列{}n a 为等差数列，n S 为数列n a 的前n 项和，已知1020S =，3090S =，则20S 的值为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知，1020103020,,,S S S S S --L 是等差数列，即202020,20,90S S --成等差数列，利用等差中项的性质，即可列式求出20S .【详解】解：已知数列{}n a 为等差数列，1020S =，3090S =， 则232,,,n n n n n S S S S S --L 也是等差数列， 所以，1020103020,,,S S S S S --L 是等差数列， 即：202020,20,90S S --成等差数列， 由等差中项得：()20202202090S S -=+-， 解得：2050S =. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的有关性质，以及等差中项的应用，考查计算能力. 9.若x ，y R +∈，且315x y+=，则34x y +的最小值是（ ）A. 5B.245C.5D.195【答案】A 【解析】 【分析】 将条件315x y+=进行转化，利用基本不等式，即可得到式子的最小值．【详解】解：由于正数x ，y 满足315x y+=，则319412334(34)()555555y x x y x y x y x y+=++=+++1313625555≥++⨯=， 即：345x y +≥，当且仅当12355y x x y=，即2x y =，即523131y x y y +=+=， 1x ∴=，12y =时取等号， 故34x y +的最小值是5. 故选：A ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，将条件进行转化，利用1的代换是解决本题的关键．10.如图，在ABC V 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A. 1277AB AC →→+B. 1377AB AC →→+C. 121414AB AC →→+ D. 131414AB AC →→+ 【答案】B 【解析】 【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →.【详解】解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，已知14AD AB →→=，12AE AC →→=，//FN AC Q ，则MFE ABE :△△和MCF ACD :△△，则：MF ME AB AE =且MF MCAD AC=， 即：2MF ME AB AC=且14MF MC AC AB =，所以124MCMF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =，解得：37AM AC →→=，同理//FM AB ，NBF ABE :△△和NFD ACD :△△，则：NF NB AE AB =且NF NDAC AD =， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB=，所以142NBNF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =， 解得：17AN AB →→=，Q 四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+，所以1377AF AB AC →→→=+.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.11.O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B 【解析】 【分析】 先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：Q||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又Q AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC V 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 12.数列{}n a 满足()11121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）A. 1006B. 1176C. 1228D. 2368【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知()11121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，L ，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】解：由题可知，()11121n n n a a n ++=-+-，即：()11121n n n a a n ++--=-，则有：211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，L ，474691a a +=，484793a a -=.所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，L ，45472a a +=，4648184a a +=，可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ，则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++++++L ，()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++L L12111221281611762⨯=⨯+⨯+⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1054100S S ==，则n a 的通项公式为_____. 【答案】21n -【解析】 【分析】根据题意，得出525S =，10100S =，根据等差数列前n 项和列式求出1a 和d ，最后运用等差数列通项公式即可求出.【详解】解：由题可知，{}n a 为等差数列，且1054100S S ==， 则：525S =，10100S =， 即：11510251045100a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，所以()11221n a n n =+-⨯=-， 则n a 的通项公式为：21n -. 故答案为：21n -.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和利用等差数列前n 项和公式求出基本量，属于基础题.14.已知向量a r 、b r的夹角为120°，1a =r ，3b =r ，则2a b +=r r _____．【解析】 【分析】根据模的计算公式：2a b +=r r【详解】向量a r 、b r的夹角为120°，1a =r ，3b =r ，所以()22a b+=r r 42a +r4a r •2b b +=r r 4×1+4×1×3×cos120°+9＝7，所以2a b +=rr【点睛】本题主要考查了向量模的计算，属于基础题。

2018-2019学年重庆市重庆外国语学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．数列1，，，，，…的一个通项公式是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】通过观察数列的分子和分母，猜想出数列的通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为.故选D.【点睛】本小题考查观察数列给定的项，猜想数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易得出正确的选项.属于基础题.2．已知a b >，0abc ≠，,,a b c ∈R ，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．22a b< 【答案】B【解析】不等式两边同时加上同一个实数不等号不变. 【详解】若a b >，因为不等式两边同时加上同一个实数不等号不变，所以a c b c ->-. 故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64【答案】A【解析】根据等差数列性质解得8a ，再根据等差数列性质得结果. 【详解】因为79881284162168216115a a a a a a a +=∴=∴=∴=-=-=故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．在△ABC 中，cA ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A．2BC ．32D．2【答案】A【解析】因为A ＝75°，B ＝60°， 所以C ＝180°－75°－60°＝45°． 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b cB C=，所以sin sin 60sin sin 452c B b C ︒====︒．选A ．5．在ABC ∆中，若2cos 0a b C -=，则ABC ∆必定是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理进行边角互化可得sin 2sin cos 0A B C -=，进一步化简可推出B C =，三角形为等腰三角形.【详解】2cos 0a b C -=Q ，sin 2sin cos 0A B C ∴-=，又()A B C π=-+,所以sin()2sin cos 0cos sin sin cos 0B C B C B C B C +-=⇒-=， 化简得sin()0C B -=，所以B C =，ABC ∆为等腰三角形. 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属于基础题.6．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是A ．-6B ．-5C ．6D ．5【答案】C【解析】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭, 可得0a <且1-和13是210ax bx ++=的两根，从而利用根与系数的关系求解即可. 【详解】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,可得：0a <且1-和13是210ax bx ++=的两根， 所以：()01131113a b a a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，从而得：3b 2a =-=-，.所以6ab =. 故选C.. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次方程根与系数的关系，属于基础题. 7．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，且5a =，4cos 5C =，ABC ∆的面积为3，则c = A．B．CD【答案】C【解析】由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c. 【详解】 因为4cos 5C =,所以3sin 5C =， 由in 12s S ab C =，可得2b =， 根据余弦定理，22242cos 2920135c a b ab C =+-=-⨯=，所以c = ，故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.8．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0） 由题意可得31212322a a a ⨯=+，即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题． 9．等差数列{}n a 中，16170,0S S ><，当其前n 项和取得最大值时，n =( ) A ．16 B ．8C ．9D ．17【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式知若16170,0S S ><则80a >，90a <，所以8S 为最大值. 【详解】116168916()=8()02a a a S a +=+>，所以890a a +>，11717917()1702a a S a +==<，所以90a <，则80a >，可知8a 是等差数列{}n a 中大于零的最后一项，因此8S 是前n 项和里最大的. 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式及其最值，等差数列的性质，属于基础题. 10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为106m （如图所示），则旗杆的高度为（ ）A ．10m B ．30m C ．103m D ．203m【答案】B【解析】如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°−60°−15°=105°，∴∠BAC=180°−45°−105°=30°， 由正弦定理知sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，∴1062203122BC AC sin ABC sin BAC =⋅∠=⨯=∠(m) 在Rt △ACD 中,332033022AD AC =⋅=⨯= (m) 即旗杆的高度为30m. 本题选择B 选项.点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.11．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都有11n n a a a n +=++，则122017111···a a a +++等于（ ） A ．20162017B ．40322017C ．20172018D ．40342018【答案】D【解析】由题意可得：11n n a a n +-=+，则：1213211,2,23,,n n a a a a a a n -=-=-=-=L ，以上各式相加可得：()12n n n a +=，则：11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12201711111111403421223201720182018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . 本题选择D 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，若不等式2483(5)2nn n n m a -+<-⋅对任意的正整数n 恒成立，则整数m 的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】由21441n n a S n +=++知2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得12n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列，求出通项公式代入2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，转化为2352n n m -->对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当3n =时，n b 取得最大值38，即可求解.【详解】由题意，数列满足21441n n a S n +=++，则当2n ≥时，2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得22114()444n n n n n a a S S a +--=-+=+，所以222144(2)n n n n a a a a +=++=+，又由0n a >，所以12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项11a =，公差为2的等差数列，所以*21()n a n n =-∈N ，因为2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，所以2483(5)2(21)nn n m n -+<-⋅-，即(23)(21)(5)2(21)nn n m n --<-⋅-， 则(23)(5)2nn m -<-对任意的正整数恒成立，又20n >，所以2352nn m -->对任意的正整数恒成立， 设232n n n b -=，则111212325222n n n n n n n n b b +++---+-=-=， 所以12334,n b b b b b b <<>>>L ，当3n =时，n b 最大,此时最大值为38，所以538m ->，即337858m <-=，所以m 的最大整数为4，故选B . 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难题.二、填空题13．在等比数列{a n }中，已知246a a a =8，则35a a =__________ 【答案】4【解析】利用等比数列通项公式得a 2a 4a 6=34a =8，求出a 4=2，再由a 3a 5=24a ，能求出结果． 【详解】∵在等比数列{a n }中，a 2a 4a 6=8，∴a 2a 4a 6=34a =8， 解得a 4=2，∴a 3a 5=24a =4． 故答案为4． 【点睛】本题考查等比数列的等比中项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．14．在ABC V 中，60,3A a b ︒∠===，则ABC V 解的情况是_____（填“无解”、“一解”或“两解”）. 【答案】无解【解析】由正弦定理确定． 【详解】由正弦定理得sin sin 14b A B a ===>，无解． 故答案为：无解． 【点睛】本题考查用正弦定理解三角形，判断解的个数，可以由正弦定理求出角的正弦，由正弦值来判断角的个数，同时注意大边对大角的性质即可． 15．在数列{}n a 中，已知12,3m n m n a a a a +==+，则n a n=___________. 【答案】23【解析】令m =1，得11n n a a a +=+可以推出数列{}n a 为等差数列，求出通项公式即可求出na n. 【详解】令m =1，得11n n a a a +=+，即1123n n a a a +-==， 所以数列{}n a 是首项为123a =，公差为23的等差数列， 222(1)333n n n a =+-⨯=，所以23n a n =故答案为：23【点睛】本题考查等差数列的通项公式，注意递推公式的合理应用，属于基础题. 16．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，其面积为S ，若2a =，222b c a =+-，则ABC ∆周长的最大值为_________. 【答案】6【解析】由三角形面积公式化简已知等式可得222sin 3A b a bc c =+-，利用余弦定理化简即可求出角A ，再次利用余弦定理及基本不等式可求得4bc ≤，进而求得4b c +≤，即可计算周长的最大值.【详解】将1sin 2S bc A =222sin A b a c =+-，cos A A =，即tan A =(0,)A π∈，3A π∴=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b =c 时等号成立，又因为2224()3b c bc b c bc =+-=+-，所以2()4343416b c bc +=+≤+⨯=， 即4b c +≤，当且仅当b =c 时等号成立，∴ABC ∆周长的最大值为6.故答案为：6 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项；(2)设数列2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)*(N )n a n n =∈；(2)21*22(N )2n n n S n n++=+-∈.【解析】(1)由等比中项的性质列出方程求解d ，写出通项公式即可；(2)求出n b 的通项公式，利用等差数列、等比数列的前n 项和公式分部求和即可. 【详解】(1)因为139,,a a a 成等比数列，所以3129a a a =⋅，则2(12)18d d +=+，得1d =，所以1(1)1(1)n a n n n n N =+-⨯=≥∈且；(2) 因为22na n n nb a n =+=+,所以()()()()232(12)22322(123)222n n Sn n n =++++++++=++++++++L L L 21(1)2(12)222122n n n n n n ++-+=+=+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的性质及前n 项和，属于基础题. 18．设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)若2a =-，解不等式()0f x >； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x >. 【答案】(1)1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)01a <<，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U . 【解析】(1)当2a =-时，不等式为2210x x -++>，求解即可；(2)对应不等式为(1)(1)0ax x -->，求出对应方程的根，对两根的大小关系进行分类讨论求不等式的解.【详解】(1)若2a =-，则不等式()0f x >即为2210x x -++>， (1)(21)0x x -+<，解得112x -<<； (2)当0a >时，由()0f x >得2(1)10ax a x -++>，即(1)(1)0ax x -->， 方程(1)(1)0ax x --=的两根为1,1a， 当11a >即01a <<时，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当11a=即1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞； 当11a <即1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .综上所述：当01a <<，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，对对应方程的根进行分类讨论是解含参一元二次不等式的关键，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得tan C 值，结合范围()0,C π∈，即可得解C 的值．（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得ab ，再利用余弦定理化简可得a b +值，联立得,a b 从而解得ABC ∆周长．【详解】（Ⅰ）由正弦定理sin sin b c B C=，得cos sin sin B C B C =，在ABC n 中，因为sin 0B ≠sin C C =故tan C =又因为0＜C ＜π，所以3C π=．（Ⅱ）由已知，得1sin 2ab C =又3C π=，所以24ab =.由已知及余弦定理，得222cos 28a b ab C +-=，所以22=52a b +，从而()2100a b +=.即10a b +=又c =ABC ∆的周长为10+【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．20．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且112n n S a =-，其中*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明2n T <.【答案】(1)*2(N )3n n n a ∈=；(2)22223n n n T +=-<，证明见解析. 【解析】(1)首先令n =1求出首项，然后当2n ≥时，由112n n S a =-，11112n n S a --=-两式相减即可证明数列{}n a 为等比数列，直接写出等比数列的通项公式；(2)利用错位相减法及等比数列的前n 项和公式求出2223n n n T +=-，即可求得范围. 【详解】(1)112n n S a =-，令1n =得111121,23a a a =-=， 当2n ≥时，112n n S a =-，11112n n S a --=-两式相减得11111,223n n n n n a a a a a --=-=，所以{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，所以1*212(N )333n n n a n -⎛⎫=⋅=∈ ⎪⎝⎭. (2)12314124224324(1)24233333n n n n n T -⨯-⨯-⨯-⨯---=+++++L ， 012214124224324(1)242333333n n n n n T --⨯-⨯-⨯-⨯---=+++++L ， 两式相减得：12144442223333n n n n T --=++++-L 111(1)42443324413313n n n n n ---+=+⨯-=--， 所以22223n nn T +=-<. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式，错位相减法求和，属于中档题. 21．如图，D 是直角ABC V 斜边BC 上一点，3AC DC =．(Ⅰ)若60BAD ∠=o ，求ADC ∠的大小；(Ⅱ)若2BD DC =，且6AB =，求AD 的长．【答案】(Ⅰ)120(o Ⅱ【解析】(Ⅰ)由已知可求DAC 30∠=o ，在ADC V 中，由正弦定理可得sin ADC ∠=，即可解得ADC 120∠=o ．(Ⅱ)由已知在ABC V 中，由勾股定理可得DC 1=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理26AD 44ADcos θ23AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩，即可解得AD 的值． 【详解】(Ⅰ)BAD 60∠=o Q ，BAC 90∠=o ，DAC 30o ∠∴=，在ADC V 中，由正弦定理可得：DC AC sin DAC sin ADC∠∠=，AC sin ADC sin DAC DC ∠∠∴== ADC 120∠∴=o 或60o ，又BAD 60∠=o ，ADC 120∠∴=o(Ⅱ)BD 2DC =Q ，BC 3DC ∴=，在ABC V 中，由勾股定理可得：222BC AB AC =+，可得：229DC 63DC =+，DC 1∴=，BD 2=，AC =，令ADB θ∠=，由余弦定理：在ADB V 中，222AB AD BD 2AD BD cos θ=+-⋅⋅，在ADC V 中，()222AC AD CD 2AD CD cos πθ=+-⋅⋅-， 可得：26AD 44ADcos θ23AD 12ADcos θ=+-⎧⎪=++⎨⎪⎩， ∴解得：2AD 2=，可得：AD =【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知数列{}n a 满足()2112,66N n n n a a a a n ++==++∈(1)设()5log 3n n c a =+，求证{}n c 是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式；（3）设21166n n n nb a a a =--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1253()n n a n N -+=-∈；（3）51164n T -≤<-. 【解析】(1)由已知等式可得()2133n n a a ++=+，同时取以5为底的对数化简即可证明；(2)求出{}n C 的通项公式，对数式写为指数式即可得解；(3)化简可得11166n n n b a a +=---，求出n T ，由n ∈+N 利用不等式的性质求出n T 的范围. 【详解】(1)由2166n n n a a a +=++得()2133n n a a ++=+， ∴()()515log 32log 3n n a a ++=+，即12n n c c +=∴{}n c 是以2为公比的等比数列；(2)又15log 51c ==，∴12n n c -=，即()15log 32n n a -+=，∴1235n n a -+=故1253()n n a n N -+=-∈； （3）∵1211116666n n n n n n b a a a a a +=-=--+--，12a = ∴21122311111111666666459n n n n T a a a a a a +=-=--+-+--------. 因为*n N ∈，所以22252551596n n ≥=⇒-≥21101659n ∴<≤-，则51164n T -≤<-. 【点睛】本题考查等比数列的证明及等比数列的通项公式，裂项相消法求和，涉及不等式的性质，属于中档题.。

重庆市九龙坡区重庆实验外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题一、单选题1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A ．调查一批电池的使用寿命B ．调查重庆实验外国语学校初三1班同学的视力C ．为保证“神州十八号”的成功发射，对其零部件进行调查D ．对乘坐某班次客车的乘客进行安检3．下列各式中不．是多项式39a b ab −的因式的是（ ） A ．ab B ．3a + C ．3a − D ．9a −4．下列说法正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形5的值应在（ ） A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间6．某商场四月份的营业额为400万元，六月份的营业额为625万元，设该商场五、六两个月营业额的月平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()24001625x +=B ．24003400625x ⨯+=C ．4004003625x +⨯=D ．()24001625x +=7．已知点()11,A y −， ()22,B y ， ()35,C y 都在二次函数()223y x a =−−+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．321y y y >>8．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，点E 为AC 的中点，在AFC △中，90AFC ∠=︒，连接BE ，BF ，EF ，若50∠=°ACB ，24ECF ∠=︒，则EFB ∠的度数为（ ）A ．14︒B ．16︒C ．18︒D ．20︒9．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，连接,BE BE BA =，连接EC 并延长，与ABE ∠的角平分线交于点F ，若72AB CE ==，则CF 的长度为（ ）A ．B ．C ．5D ．5.510．对于实数a ，b ，定义新运算()&()ab a a b a b ab b a b ⎧−≥=⎨−−<⎩，下列结论：①2&34=；②若&&a b b a =，则0a b ==；③若12x x 、为关于x 的一元二次方程．2230x mx m −+−=的两根，且满足（1203x x <−<），则()()1221&3&36x x x x −+−=−；④若函数()()12&2y x x =−−的图象与直线y m =有三个不同的交点，则102m −<≤．其中正确的有（ ）个；A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．计算：()101π 3.143−⎛⎫+−= ⎪⎝⎭．12．若235a b −=，则代数式346a b −+的值为 ．13．若关于x 的一元二次方程²320x x m −++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．14．如图，五边形ABCDE 是正五边形，过点A 作PQ CD ∥，则∠PAB 的度数为 ．15．如图，四边形OABC 是平行四边形，()00O ，，()50A ，，()14C ，，若直线3y kx =−平分四边形OABC 的面积，则k = ．16．若关于x 的方程2422x m m x x ++=−−的解为整数，且关于y 的不等式组()5131136222y y y y m ⎧−>−⎪⎨≤−+⎪⎩有解且最多有四个奇数解，则所有满足条件的整数m 的值之和为 ．17．如图，矩形ABCD 中，点E 在CD 边上，4,1AD DE ==，将ADE V 沿AE 翻折得到AFE △，连接CF ，若CF AE ∥，则点F 到CD 的距离为 ．18．一个四位正整数abcd ，若满足()3a b d c +=−，则称这个四位正整数为“三思而行数”．例如，四位正整数5113，()51331+=⨯−，5113∴是“三思而行数”；又如，四位正整数7215，()72351+≠⨯−，7215∴不是“三思而行数”．若m 是“三思而行数”，则m 的最小值为 ；若abcd 是“三思而行数”，且11abcd d +能被13整除，则abcd 的最大值为 ．三、解答题 19．解方程： (1)2480x x −−=； (2)()3260y y y −+−=．20．先化简，再求值∶2222111112x x x x x x x −−⎛⎫÷−−− ⎪−++⎝⎭，其中²10x x +−=． 21．如图，四边形ABCD 是平行四边形．(1)尺规作图∶ 作出ABC ∠的角平分线BE ，交AD 于点E ；在线段BC 上截取．BF BA =，连接EF ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（2）所作图中，证明四边形ABFE 是菱形．请完成下面的填空，补全证明过程． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ①∴CBE AEB ∠=∠， ∵BE 平分ABC ∠， ∴CBE ABE ∠=∠ ∴AEB ∠= ② ∴AB = ③ AB BF =， AE BF ∴=，又∵AE BF ∥，∴四边形ABFE 是 ④ ， ∵BA BF =，∴四边形ABFE 是菱形．22．为丰富学生的课余生活，锻炼学生的体能体魄，我校体育教研组新编了体能操《霍元甲》，并组织了七、八年级全体学生进行学习．为了解七、八年级学生的学习情况，现从七、八年级中各随机抽取10名学生进行汇报展示，并由体育老师评分．将被抽取学生的汇报展示成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．85x ≤；B ．8590x <≤；C ．9095x <≤；D ．95100x <≤)，下面给出了部分信息：七年级10名学生成绩是：70，91，78，93，87，81，84，93，94，96 八年级10名学生的成绩在B 组中的数据是：86，87，86． 七、八年级被抽取学生的成绩统计表八年级被抽取学生的成绩扇形统计图根据以上信息，解答下列问题： (1)=a _____；b =_____；m =______；(2)根据以上数据，你认为我校七、八年级中哪个年级学生学习自编操情况更好？请说明理由（一条即可）；(3)我校七年级有1950人，八年级有 1800人，请估计七、八年级学生自编操汇报展示成绩达到优秀（90x >）等级的学生共有多少名？23．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，4590B ADC ∠=︒∠=︒，，E 为AB 中点，4AD DC ==．动点P 从点B 出发，沿着折线B C D →→运动，到达点D 停止运动，连接DE EP PD ，，．设点P 的运动路程为x ，EPD △的面积记为1y ，请解答下列问题：(1)直接写出1y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出1y 的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数212833y x =−+，直接写出当y y ≥₁₂时，x 的取值范围．24．清明至，青团香，清明节吃青团的传统习俗承载着深厚的文化内涵和象征意义．王老板4月份购进豆沙和蛋黄肉松两种口味的青团进行销售．4月份第一周，王老板卖出两种口味的青团共900盒，豆沙青团的售价为每盒10元，蛋黄肉松青团的售价为每盒18元，蛋黄肉松青团的销售额比豆沙青团的销售额多5000元． (1)4月份第一周王老板卖出两种口味的青团各多少盒？(2)4月份第二周，王老板将两种口味的青团售价进行了调整．豆沙青团每盒的售价在第一周的基础上降低2%a ，蛋黄肉松青团每盒的售价在第一周的基础上降低5%6a ，结果第二周豆沙青团卖出750盒，蛋黄肉松青团比第一周多卖出3%a ，最终4月份第二周两种口味的青团的总销售额为16500元， 求a 的值．25．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()2,0A −和点()4,0B ，与y 轴交于点()0,4C ，作直线BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，已知直线BC 上方抛物线上有一点P ，过点P 作PEy 轴与BC 交于点E ，过点P 作PF x ∥轴与y 轴交于点F ，求PE PF +的最大值和此时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y 轴交于点D ，已知点M 为新抛物线上的一点，且290ODB MDB ∠+∠=︒，请直接写出所有符合条件的点M 的横坐标．26．在ABC 中，AB AC =．(1)如图1，若120,4BAC AB ∠=︒=， 以AC 为边在AC 下方作等边，ACD ，AD 与BC 交于点O ，连接BD ，求四边形ABDC 的面积；(2)如图2，若120BAC ∠>︒，以AC 为边在AC 下方作等边ACD ，连接BD ，过点A 作AE BC ⊥于点E ，求证∶AE BD +=；(3)如图3，若135BAC ∠=︒，在AB 下方作等腰Rt ,90,BAF BAF AB AF ∠=︒=△，过点F 作FG BA P 交BC 延长线于点G ，T 为FG 中点，M 为BA 延长线上一点，将FA 绕点F 顺时针旋转至FA '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接MA '，TA '，GA '，1AF =，6AM =，当MA TA ''+最小时，直接写出TGA 'V 的面积．。

2019-2020学年重庆实验外国语学校七年级(下)期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 下列各式中正确的是( )A. B.C.D .2. 下列计算正确的是( )A. √4=±2B. ±√19=13C. (−√5)2=5D. √83=±23. 关于点P(−2,0)在直角坐标平面中所在的象限说法正确的是( )A. 点P 在第二象限B. 点P 在第三象限C. 点P 既在第二象限又在第三象限D. 点P 不在任何象限4. 下列六个数：−√4，0.3030030003，√93，π，227，其中无理数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 计算22012−22013的结果是( )A. −(12)2012B. 22012C. (12)2012D. −220126. 某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：鸭的质量/千克 0.5 11.5 22.5 33.5 4烤制时间/分40 60 80 100 120 140 160 180设鸭的质量为x 千克，烤制时间为t ，估计当x =2.8千克时，t 的值为( )A. 128B. 132C. 136D. 1407. 如图，AB//CD ，直线l 分别交AB 、CD 于E 、F ，∠1=58°，则∠2的度数是( )A. 58°B. 148°C. 132°D. 122°8.某项工作甲单独做需要4天完成，乙单独做需要6天完成，若乙先做1天，然后再由甲、乙合作完成此项工作，若设甲乙合作需x天完成，则可列的方程为()A. B.C. D.9.在平面直角坐标系中，将点(2,l)向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是()A. (0,5)B. (5,1)C. (2,4)D. (4,2)x的图象，过点A(0,1)作y轴的10.如图，直线l为正比例函数y=√33垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点B n的坐标是()A. (√3×4n,4n)B. (√3×4n−1,4n−1)C. (√3×4n−1,4n)D. (√3×4n,4n−1)11.如图，BC平分∠ABE，AB//CD，E是CD上一点，若∠C=35°，则∠BED的度数为()A. 70°B. 65°C. 62°D. 60°12.如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点M、N，下列结论：(1)点M和点N；点B和点D是关于点O的对称点；(2)直线BD必经过点O；(3)四边形ABCD是中心对称图形；(4)四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；(5)△AOM和△CON成中心对称．其中，正确的有()A. 2 个B. 3个C. 5个D. 1个二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）13.雅居乐地产在曲石投资20 000 000 000元的“原乡”生态族游度假小镇现已开盘，如果用科学记数法表示20 000 000 000，应为______ ．14.若一个整数的平方根是−a+2和2a−1，则a=______，这个正数是______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x、y轴分别交于点A、B，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作y轴的垂线，垂足为点C1，得到△BB1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作y轴的垂线，垂足为点C2，得到△BB2C2；在直线AB上截取B2B3=B1B2，过点B3作y轴的垂线，垂足为点C3，得到△BB3C3；…；第3个△BB3C3的面积是______；第n个△BB n C n的面积是______(用含n的式子表示，n是正整数)．16.化简：2(x2−y)−3(x2+y)的结果是______．17.若x轴上的点P到y轴的距离为4，则点P的坐标为______．18.如图，已知△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过点F作DE//BC交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为．19.数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x(x≥100)元，则月销量是______件，销售该运动服的月利润为______元(用含x的式子表示)．20.小宇、小明、小华和小芳四个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了表格，聪明的小华发现其中有一人把总价算错了，这个算错的人是______．小宇小明小华小芳笔记本(本)93612钢笔(支)1551020总价(元)198********三、解答题（本大题共8小题，共70.0分） 21. 计算(1)√−83−√14(2)(√7+√3)(√7−√3)−√1622. 在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示．(1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1(其中A 1、B 1、C 1分别是A 、B 、C 的对应点，不写作法)．(2)直接写出A 1、B 1、C 1三点的坐标：A 1______、B 1______、C 1______； (3)求出△ABC 的面积．23.化简求值：(a+b)2−(a+b)(a−b)−2b(2a+b)，其中a=√5，b=1．224.先化简再求值：3(a2+2b)−(2a2−b)，其中a=−2，b=1．25.快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后加速行驶比慢车提前0.5小时到达目的地，慢车没有体息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y与x之间的函数关系，请解答下列问题：(1)甲、乙两地相距______千米，快车休息前的速度是______千米/时、慢车的速度是______千米/时；(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．26.如图，已知AB//CD，直线FG分别与AB、CD交于点F、点G．(1)如图1，当点E在线段FG上，若∠EAF=40°，∠EDG=30°，则∠AED=______°.(2)如图2，当点E在线段FG的延长线上，CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，DM平分∠EDG，交AE于点K，射线AN将∠EAB分成∠EAN：∠NAB=1：2，且与DM交于点I，若∠DEA=22°，∠DIA=20°，求∠DKE的度数．27.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体，它的内径d=68cm，外径D=88cm，长ℎ=200cm.浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土(结果保留π)？怎样计算较简便？28.如图，平面直角坐标系中有A(−3,0)，B(1,0)，C三点．(1)连接AC，若C(−4,1)．①线段AC的长为______ (直接写出结果)；②如图1，点P为y轴负半轴上一点，点D为线段AB上一点，连接CD，作DE⊥CD，且DE=CD，当点D从A向B运动时，C点不变，E点随之运动，连接EP，求线段EP的中点Q的运动路径长；(2)如图2，作AF⊥AC，连接FB并延长，交CA延长线于G，GH⊥CF于H.若BF=BG，且∠C=67.5°，在平面内是否存在点M，使以B，A，H，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：根据平方根和立方根的知识点进行解答，若x3=a，则x=，x2=b(b≥0)则x=，算术平方根只能为正，据此进行判断正确答案．A、，本选项错误，B、，本选项正确，C、，本选项错误，D、，本选项错误，故选B．2.答案：C解析：解：A、√4=2，故选项错误；B、±√19=±13，故选项错误；C、(−√5)2=5，故选项正确；D、√83=2，故选项错误．故选：C．A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据平方根的定义即可判定；C、根据平方根的性质计算即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a(a≥0)，则x是a的平方根．若a>0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．3.答案：D解析：解：∵点P(−2,0)的横坐标不等于0，纵坐标为0，∴点P(−2,0)在x轴上，故点P不在任何象限．故选：D ．根据在x 轴上的点的纵坐标为0解答即可．本题考查了的的坐标，熟记在数轴上的点的坐标特点是解答本题的关键．4.答案：B解析：解：在所列实数中，无理数有√93，π这2个， 故选：B ．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．5.答案：D解析：试题分析：提取公因式后即可求得结果． 原式=22012(1−2)=−22012 故选D ．6.答案：B解析：解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．设烤制时间为t 分钟，烤鸭的质量为x 千克，t 与x 的一次函数关系式为：t =kx +b ， {k +b =602k +b =100， 解得{k =40b =20所以t =40x +20．当x =2.8千克时，t =40×2.8+20=132． 故选B ．观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此可判断烤制时间是烤鸭质量的一次函数，设烤制时间为t 分钟，烤鸭的质量为x 千克，t 与x 的一次函数关系式为：t =kx +b ，取(1,60)，(2,100)代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将x =2.8千克代入即可求出烤制时间t ．。

2020-2021学年重庆外国语学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是()A. 23B. 12C. 14D. 162.若函数f(x)=√33x3+lnx−x+3，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.已知圆锥的高为2√5，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为()A. √6B. √3C. √2D. 24.下列判断正确的是()A. 若样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为3，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x n−1的方差为11B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则m=4C. 用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件5.在三棱锥P−ABC中，E，F分别是棱PA，BC的中点，AB=4，EF=2√2，PC=4，则异面直线AB与PC所成角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(ln2)x+e x(其中e为自然对数的底数)，则f(ln2)=()A. 2+4ln2B. 2−4ln2C. 2D. −27.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花.其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是()A. 240B. 126C. 78D. 728.已知函数f(x)=a−lnx，g(x)=x2e x.若对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是()A. [1,e]B. (1e ,1+e]C. (1+1e ,e]D. (1+1e ,e +1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内10. 纵观重庆市主城九区2020年GDP 数据，整体受疫情影响轻微，重庆市全市GDP 在全国排名第5位，主城九区GDP 具体数据如表，则下列说法正确的是( )A. 重庆市主城九区2020年GDP 名义增速的众数是5%B. 重庆市主城九区2020年GDP 的极差为1743.06亿元C. 重庆市主城九区2020年GDP 的同比增量的中位数为70.28亿元D. 北碚区2020年GDP 的数值高于主城九区2020年GDP 的平均值11. 在三棱锥T −ABC 中，TA ，TB ，TC 两两垂直，T 在平面ABC 上的投影为D ，O 为三棱锥T −ABC 内任意一点，则下列选项中正确的是( )A. TA ⊥BC ，TB ⊥AC ，TC ⊥ABB. △ABC 可能是直角三角形C. 1TD 2=1TA 2+1TB 2+1TC 2D. S △ABC2=13(S △TAB 2+S △TAC 2+S △TBC 2)12. 已知f(x)=2m(x 2+1)e x−1，g(x)=(m +2)(x 2+1)2.若φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x有唯一的零点，则m 的值可能为( )A. 2B. 3C. −3D. −4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(1x +x 2)n 的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为______14. 随着移动支付的逐步普及，可供人们选择的第三方支付方式也越来越多，日益进步的支付技术让支付收款变得非常方便.如图是一张微信二维码的收款码，该收款码是边长为4的正方形，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入黑色部分的有750个，据此可估计黑色部分的面积为______ ．15. 在空间直角坐标系O −xyz 中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为A(2,2，1)，B(2,2，−1)，C(0,2，1)，D(0,0，1)，则该四面体外接球的体积是______ ．16. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2−f(−x).当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<3x.若f(a +3)−f(1−a)≤12a +12，则实数a 的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，tanC =sinA+sinBcosA+cosB ．(1)求角C ；(2)若c =2，求a +b 的取值范围．18. 已知在数列{a n }中，a 1=12，a n+1=12a n +n+12n+1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．19.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=6，AD=2√2，E，F分别是CD的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线AF，BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图2．(1)求证：平面PEF⊥平面ABEF；(2)求平面PAF与平面PBE所成锐二面角的大小．20.2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.重庆市奉节县盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200,500](单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙中恰有1个落在区间[400,450)上的概率；(2)根据频率分布直方图，估计这100个脐橙质量的中位数；(3)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元仟千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购．请你通过计算为该村选择收益较好的方案．参考数据：225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05=354.5．21.已知函数f(x)=2x+ksinx+1(a∈R)．(1)试讨论函数f(x)在区间(0,2π)上的极值点的个数；]上有唯一解，求实数k(2)设g(x)=xsinx+f′(x)+x−2，当k>2时，若方程g(x)=3在区间[0,π2的取值范围．22.已知点A(−1,0)，B(1,0)，动点P满足k PA⋅k PB=a，其中k PA，k PB分别为直线PA，PB的斜率，a为时，P的轨迹记为C2．常数，且当a=−1时，点P的轨迹记为C1，当a=−14(1)求曲线C1，C2的方程；(2)过点M(−√3,0)的直线l与曲线C1，C2交于四点P1，P2，P3，P4(其中P1，P2在x轴上方，P3，P4在x2轴下方，P1，P4∈C1，P2，P3∈C2).问：是否存在这样的直线l，使得|P1P2|，|P2P3|，|P3P4|称等差数列？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色，利用列举法能求出所选颜色中含有白色的概率．【解答】解：从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有：黄白，黄蓝，黄红，白蓝，白红，蓝红，共6种．其中包含白色的有3种，∴所选颜色中含有白色的概率为p=36=12．故选：B．2.【答案】B【解析】解：根据题意，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，函数f(x)=√33x3+lnx−x+3，其导数f′(x)=√3x2+1x−1，则f′(1)=√3，有tanθ=√3，则θ=60°，故选：B．根据题意，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为θ，求出函数的导数，进而求出f′(1)的值，由导数的几何意义可得tanθ=√3，分析可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵圆锥的底面半径r=4，高ℎ=2√5，∴圆锥的母线l=√42+(2√5)2=6，∴圆锥侧面积S=πrl=24π，设球的半径为R，则4πR2=24π，∴r=√6．故选：A．由已知圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得球的半径．本题考查圆锥侧面积与球表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，若样本数据x1，x2，⋯，x n的方差为3，则2x1−1，2x2−1，⋯，2x n−1的方差为22×3=12，故A错误；对于B：根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则−2.8=0.3m−m，解得：m=4，故B正确；对于C：用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误；对于D：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球包含1黑1红和2红2个基本事件，至少有一个红球包含1黑1红和2红2个基本事件，不是两个互斥而不对立的事件，故D错误；故选：B．根据方差的性质判断A，根据线性相关判断B，代入样本点的中心求出m，判断C，根据互斥，对立事件判断D．本题考查了方差的性质，考查线性相关，线性回归方程以及互斥，对立事件，是基础题．5.【答案】D【解析】解：取PB中点D，连接ED、FD，∵在三棱锥P−ABC中，E，F分别是棱PA，BC的中点，AB=4，EF=2√2，PC=4，AB=2，∴ED//AB，且ED=12PC=2，DF//PC，且DF=12∴∠EDF是异面直线AB与PC所成角(或所成角的补角)，∵cos∠EDF=ED2+DF2−EF22×ED×DF =4+4−82×2×2=0．∴异面直线AB与PC所成角为90°．故选：D．取PB中点D，连接ED、FD，则∠EDF是异面直线AB与PC所成角(或所成角的补角)，利用余弦定理能求出异面直线AB与PC所成角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵f′(x)=2f′(ln2)+e x，∴f′(ln2)=2f′(ln2)+e ln2，∴f′(ln2)=−2，∴f(x)=−4x+e x，f(ln2)=−4ln2+e ln2=2−4ln2．故选：B．可求出：f′(x)=2f′(ln2)+e x，然后即可求出f′(ln2)=−2，然后即可得出f(x)的解析式，从而得出f(ln2)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，有C32A32A22=36种安排方法，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，有C31A21A33=36种安排方法，③D、E两人分到同一组，有A33=6种安排方法，则有36+36+6=78种安排方法．故选：C．根据题意，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，③D、E两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：g′(x)=2xe x+x2e x=x(x+2)e x，当x∈(−1,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，且g(−1)=1e,g(1)=e,g(0)=0，又对任意的x1∈[1,e]，都存在唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，∴f(x1)∈(1e,e]或f(x1)=0，又x1∈[1,e]，故a−1≤f(x1)≤a，∴{a−1>1 ea≤e ，解得1e+1<a≤e．故选：C．先利用导数可求得g(x)的单调性及在[−1,1]上的取值情况，再根据题意可得f(x1)∈(1e,e]或f(x1)=0，由此建立关于a的不等式组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值等知识点，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】ACD【解析】解：过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直，显然成立，故选项A正确；因为任意三个不共线的点可以确定一个平面，那么空间中任意四个不共面的点连线可构成一个三棱锥，只能确定一个外切球，故选项B错误；根据线面垂直的判定，可知一条线垂直一个平面内的两条相交直线，则这条线和平面垂直，故选项C正确；过A点作直线a的垂线可作出无数条，这无数条直线都相交于A点，则这无数条直线共面，这个平面垂直a，故选项D正确．故选：ACD．由线面垂直的判定和空间中点的位置关系，逐一判断各个选项即可．本题考查了空间中线面垂直的判定以及空间中点的位置关系．10.【答案】AB【解析】解：重庆市主城九区2020年GDP名义增速分别为：4%，7%，9%，4%，5%，6%，5%，−1%，5%，故重庆市主城九区2020年GDP名义增速的众数是5%，故选项A正确；重庆市主城九区2020年GDP的最大值为2009.52，最小值为266.46，故重庆市主城九区2020年GDP的极差为2009.52−266.46=1743.06亿元，故选项B正确；重庆市主城九区2020年GDP的同比增量分别为：−9.34，12.90，30.47，37.12，42.67，57.12，70.28，85.33，161.28，故重庆市主城九区2020年GDP的同比增量的中位数为42.67亿元，故选项C错误；×(1358.47+1325.40+2009.52+1013.90+1533.16+813.25+主城九区2020年GDP的平均值为19266.46+865.48+636.41)=1091.34亿元，北碚区2020年GDP的数值为636.41亿元，所以北碚区2020年GDP的数值低于主城九区2020年GDP的平均值，故选项D错误．故选：AB．利用题中给出的统计数表中的数据，对四个选项进行逐一的分析判断即可．本题考查了统计数表的应用，读懂统计数表并能从统计数表中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：如图：∵TA⊥TB，TA⊥TC⇒TA⊥面TBC⇒TA⊥BC，同理TB⊥AC，TC⊥AB，故选项A正确；设TA=a，TB=b，TC=c，则AB2=a2+b2，BC2=c2+b2，AC2=a2+c2，在△ABC 中，由余弦定理得cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=a 2√a 2+b 2√a 2+c 2>0，同理可得cosB >0，cosC >0，∴△ABC 是锐角三角形，故选项B 错误； 过T 作TE ⊥BC 于E ，连AE ，过T 作TD ⊥AE 于D ，在RT △TBC 中，得：TE =bc√b 2+c 2，在△ABC 中，有AE =√a2b 2+b 2c 2+c 2a 2√b 2+c 2，由于AE ⋅TD =TA ⋅TE ，∴√a2b 2+b 2c 2+c 2a 2√b 2+c 2×TD =a ×bc √b 2+c 2，∴a 2b 2c 2=(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)TD 2， ∴1TD 2=1TA 2+1TB 2+1TC 2，故选项C 正确；由图S △ABC2=14BC 2⋅AE 2=14BC 2(AT 2+TE 2) =14(TB 2+TC 2)(AT 2+TE 2) =14(TB 2TC 2+TA 2TC 2+TA 2TB 2) =S △TBC 2+S △ACT 2+S △TAB 2，故选项D 错误；故选：AC ．由题可知TA ，TB ，TC 两两垂直可求出线面垂直，进而可判断A 选项； 利用余弦定理可判断B 选项；根据面积公式作辅助线求解，即可判断C 选项． 利用等量代换关系求解可判断D 选项；本题考查了三棱锥的综合应用，考查了学生的空间想象能力，及灵活运用所学知识来分析问题和解决问题的能力．12.【答案】ACD【解析】解：f(x)=2m(x 2+1)e x −1，g(x)=(m +2)(x 2+1)2．∵φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x只有一个零点，∴2m(x 2+1)−e x −(m+2)(x 2+1)2e x =0只有一个实数根，即(m +2)(x 2+1e x)2−2m ⋅x 2+1e x+1=0只有一个实数根．令t =x 2+1e x，则t′=(x 2+1)′e x −(x 2+1)e x(e x )2=−(x−1)2e x≤0，∴函数t =x 2+1e x在R 上单调递减，且x →+∞时，t →0，∴函数t =x 2+1e x的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m +2)t 2−2mt +1=0(∗)有且只有一个正实根． ①当m =2时，方程(∗)为4t 2−4t +1=0，解得t =12，符合题意；②当m =3时，方程(∗)为5t 2−6t +1=0，解得t =15或t =1，不符合题意；③当m =−3时，方程(∗)为t 2−6t −1=0，得t =3±√10，只有3+√10>0，符合题意． ④当m =−4时，方程(∗)为2t 2−8t −1=0，得t =4±3√22，只有4+3√22>0，符合题意．故选：ACD ． 通过φ(x)=e x ⋅f(x)−g(x)e x只有一个零点，化为(m +2)(x 2+1e x)2−2m ⋅x 2+1e x+1=0只有一个实数根．令t =x 2+1e x，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过①当m =2时，②当m =3时，③当m =−3时，④当m =−4时，验证函数的零点个数，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．13.【答案】20【解析】解：令x =1，可得(1x +x 2)n 的展开式的各项系数和为2n =64，∴n =6，故(1x +x 2)n =(1x +x 2)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅x 3r−6，令3r −6=3，可得r =3， 故展开式中x 3的系数为C 63=20， 故答案为：20．先利用二项式系数的性质求得n =6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于，3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：正方形的面积S =16，若在正方形区域内随机投掷1600个点，其中落入黑色部分的有750个， 据此可估计黑色部分的面积S 满足S16=7501600，即S =7510=152，故答案为：152求出正方形的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据几何概型的公式转化为面积之比是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】4√3π【解析】解：如图，设正方体的棱长为2，O为所在棱的中点，在空间直角坐标系O−xyz下，A，B，C，D四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体有同的外接球，其半径为体对角线的一半，√22+22+22=√3，等于12π×(√3)3=4√3π．故其外接球的体积为V=43故答案为：4√3π．由点的坐标确定四面体ABCD各顶点恰是正方体的四个顶点，求出正方体的对角线长，可得外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，训练了分割补形法，是基础题．16.【答案】[−1,+∞)【解析】解：∵f(x)=3x2−f(−x)，∴f(−x)=3x2−f(x)①x2，令g(x)=f(x)−32将①代入g(−x)，可得g(−x)=f(−x)−32(−x)2=[3x2−f(x)]−32x2=−[f(x)−32x2]=−g(x)，∴g(x)为R上的奇函数；又当x∈(−∞,0)时，f′(x)<3x，∴当x∈(−∞,0)时，g′(x)=f′(x)−3x<0，∴g(x)在(−∞,0)上单调递减，∴奇函数g(x)=f(x)−32x2在R上单调递减；②∵f(a+3)−f(1−a)≤12a+12，∴f(a+3)−f(1−a)−12a−12≤0，∴g(a+3)−g(1−a)=[f(a+3)−32(a+3)2]−[f(1−a)−32(1−a)2]=f(a+3)−f(1−a)−12a−12≤0，∴g(a+3)≤g(1−a)，③由②③得a+3≥1−a，解得a≥−1，即实数a的取值范围是[−1,+∞)，故答案为：[−1,+∞)．令g(x)=f(x)−32x2，结合已知可分析得到g(x)=f(x)−32x2是R上单调递减的奇函数，于是f(a+3)−f(1−a)≤12a+12可等价转化为g(a+3)≤g(1−a)，脱“g”可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=f(x)−32x2，分析得g(x)=f(x)−32x2是R上单调递减的奇函数是关键，也是难点，考查逻辑推理与数学运算能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为tanC=sinCcosC =sinA+sinBcosA+cosB，所以sinC(cosA+cosB)=cosC(sinA+sinB)；即sinCcosA−cosCsinA=cosCsinB−sinCcosB，所以sin(C−A)=sin(B−C)，故C−A=B−C或C−A=π−(B−C)，解得A+B=2C或B−A=π(舍)又因为在△ABC中，A+B+C=π，所以C=60°．(2)(法一)由余弦定理知c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab，所以4=c2=(a+b)2−3ab≥(a+b)2−34(a+b)2=14(a+b)2，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立．又因为a，b，c是△ABC的三条边，所以2<a+b≤4，所以2<a+b≤4．(2)(法二)因为c=2，C=60°，由正弦定理，csinC =4√33，所以a=4√33sinA,b=4√33sinB．所以a+b=4√33(sinA+sinB)，=4√33(sinA+sin(120°−A))=4×(√32sinA+12cosA)=4sin(A+30°)，因为A，B，C是△ABC的三个内角，且C=60°．所以A∈(0°,120°)，所以A+30°∈(30°,150°)，所以12<sin(A+30°)≤1，所以2<a+b≤4．【解析】(1)由已知结合同角基本关系及核查角公式可求A，B，C的关系，然后结合三角形内角和定理可求C；(2)法一：结合余弦定理及基本不等式，三角形两边之和大于第三边可求；法二：由正弦定理表示a，b，然后几何核查角，辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，同角基本关系，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为a n+1=12a n+n+12n+1，所以2n+1a n+1=2n a n+(n+1)，所以2n+1a n+1−2n a n=n+1，所以2n a n=(2n a n−2n−1a n−1)+(2n−1a n−1−2n−2a n−2)+⋯+(22a2−2a1)+2a1=1+2+⋯+n=n(n+1)2，所以a n=n(n+1)2n+1．(2)记b n=a nn =n+12n+1，所以S n =b 1+b 2+b 3+⋯b n−1+b n =222+323+...+n 2n +n+12n+1，①12S n=223+324+...+n 2n+1+n+12n+2，② ①−②得：12S n =12+18+116+...+12n+1−n+12n+2=12+18(1−12n−1)1−12−n+12n+2，所以S n =32−n+32n+1．【解析】(1)由已知递推式可得2n+1a n+1−2n a n =n +1，再由累加法和等差数列的求和公式，可得所求通项公式；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和，注意运用累加法和错位相减法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为E ，F 分别是CD 的两个三等分点，所以四边形ABEF 是正方形；(2分) 所以BE ⊥EF ，(2分)又因为BE ⊥PE ，且PE ∩EF =E ， 所以BF ⊥平面PEF.(4分) 又因为BF ⊂平面ABEF ， 所以平面PEF ⊥平面ABEF.(6分)(2)解：过P 作PO ⊥EF 于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ， 则PO ⊥面ABEF ，又PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，故以它们所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 易知A(2,−1,0),B(2,1,0),F(0,−1,0),P(0,0,√3),E(0,1,0)， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−√3),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，(8分) 设平面PAF 的法向量为a⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{a ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0a ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 1−y 1−√3z 1=0y 1+√3z 1=0， 取y 1=√3，则a ⃗ =(0,√3,−1)(9分) 同理PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)， 设平面PBE 的法向量为b ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{b ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0b ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 2+y 2−√3z 2=0y 2−√3z 2=0， 取y 2=√3，则b ⃗ =(0,√3,1)，(10分) 所以cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=12，(11分)所以平面PAF 与平面PBE 所成锐二面角的大小为60°，(12分)【解析】(1)证明BE ⊥EF ，结合BE ⊥PE ，推出BF ⊥平面PEF ，即可证明平面PEF ⊥平面ABEF ． (2)过P 作PO ⊥EF 于O ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，PO ，EF ，OG 所在直线两两垂直，以它们所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF 的法向量，平面PBE 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAF 与平面PBE 所成锐二面角的大小为60°．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题设知，脐橙质量在[350,400)，[400,450)的比例为3：2，由分层抽样知，应分别抽取3个和2个， 记抽取质量在[350,400)的脐橙为A 1，A 2，A 3， 质量在[400,450)的脐橙为B 1，B 2，则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，A 1B 1，A 2B 1，A 3B 1，A 1B 2，A 2B 2，A 3B 2，B 1B 2， 设“这2个脐橙中恰有1个落在区间[400,450)上”为事件A ， 则P(A)=610=35；(2)由直方图可知，脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05，同理质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为： 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05．可得中位数落在区间(350,400)内，设中位数为x ，则(x −350)×0.006+0.45=0.5， 解得：x =358.3．故估计这100个脐橙质量的中位数为358.3；(3)若按方案A 收购，各段脐橙的个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000， 于是总收益为：(225×5000+275×16000+325×24000+375×30000+425×20000+475×5000)×7÷1000=248150元；若按方案B收购，质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100000=45000个，则收益为45000×2+55000×3=255000元．∵248150<255000，∴方案B比方案A收益高．故应选择方案B．【解析】(1)由分层抽样得到抽取质量在[350,400)的脐橙与在[400,450)的脐橙个数，再由枚举法列出基本事件，由随机事件的概率公式求概率；(2)设中位数为x，则(x−350)×0.006+0.45=0.5，求解x值得答案；(3)分别计算出两种方案该村的收益，比较大小得结论．本题考查随机事件及其概率，考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=kcosx+2，①当−2≤k≤2时，因为|cosx|≤1，所以|kcosx|≤2，f′(x)=kcosx+2≥0，所以f(x)单调递增，在(0,2π)上无极值点；(1分)②当k>2时，f′(x)=kcosx+2在(0,π)上单调递减，f′(0)=k+2>0，f′(π)=−k+2<0，所以存在x1∈(0,π)，使得f′(x1)=0，则x1为f(x)的极大值点；f′(x)=kcosx+2在(π,2π)上单调递增，f′(π)=−k+2<0，f′(2π)=k+2>0，所以存在x2∈(π,2π)使得f′(x2)=0，则x2为f(x)的极小值点；所以f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(3分)③当k<−2时，f′(x)=kcosx+2在(0,π)上单调递增，f′(0)=k+2<0，f′(π)=−k+2>0，所以存在x3∈(0,π)，使得f′(x3)=0，则x3为f(x)的极小值点；f′(x)=kcosx+2在(π,2π)上单调递减，f′(π)=−k+2>0，f′(2π)=k+2<0，所以存在x4∈(π,2π)使得f′(x4)=0，则x4为f(x)的极大值点；所以f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(5分)综上所述，当−2≤k≤2时，f(x)在(0,2π)上无极值点；当k<−2或k>2时，f(x)在(0,2π)上存在两个极值点．(6分)(2)当k>2时，g(x)=xsinx+kcosx+x，则g′(x)=(1−k)sinx+xcosx+1，(7分)设ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=(2−k)cosx −xsinx ． 因为k >2,x ∈[0,π2]，所以ℎ′(x)<0，ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，(8分) 因为ℎ(0)=1>0,ℎ(π2)=1−k +1=2−k <0．所以存在唯一的x 0∈[0,π2]，使得ℎ(x 0)=0，即g′(x 0)=0，(9分) 所以g(x)在区间[0,x 0]上单调递增， 在区间[x 0,π2]上单调递减，(10分) 因为g(0)=k,g(π2)=π，又因为方程g(x)=3在区间[0,π2]上有唯一解，(11分) 所以2<k ≤3，即实数k 的取值范围是(2,3].(12分)【解析】(1)求出f(x)的导函数，对k 分类讨论，利用导数求出函数的单调性，从而可判断函数极值点的个数；(2)对g(x)求导，利用导数及零点存在定理即可求得g(x)的单调性，结合条件可得k 的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查方程有解求参数问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)设P(x,y)，由yx+1⋅yx−1=−1，化简得C 1：x 2+y 2=1(x ≠±1)；(2分) 由yx+1⋅yx−1=−14，化简得C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)；(4分) (2)由(1)知，C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)，假设存在这样的直线l ：x =my −√32，设点P i (x i ,y i )(i =1,2，3，4)则由题可知|P 1P 2|+|P 3P 4|=2|P 2P 3|， 所以|P 1P 4|=3|P 2P 3|，(5分)由{x 2+4y 2=1x =my −√32，得(m 2+4)y 2−√3my −14=0．第21页，共21页 所以y 2+y 3=√3m m 2+4,y 2y 3=−14(m 2+4)．故|P 2P 3|=√1+m 2⋅|y 2−y 3|=2(1+m 2)4+m 2，(6分) 易知|P 1P 4|=2√1−34(m 2+1)=√4m 2+1m 2+1，(7分) 故√4m2+1m 2+1=6(1+m 2)4+m 2.(8分) 令t =m 2+1≥1，则有(4t −3)(t +3)2=36t 3，令f(t)=36t 3−(4t −3)(t +3)2=32t 3−21t 2−18t +27，(10分)则f′(t)=96t 2−42t −18>0，故f(t)≥f(1)=20>0，因此(4t −3)(t +3)2=36t 3无解，(11分)所以不存在这样的直线l 满足条件．(12分)另解：由(4t −3)(t +3)2=36t 3，故(8−6t )(1+3t )(1+3t )=72≤(8+1+13)3，矛盾． 所以不存在这样的直线l 满足条件．【解析】(1)设P(x,y)，通过斜率乘积，求解切线方程即可．(2)由(1)知，C 2：x 2+4y 2=1(x ≠±1)，假设存在这样的直线l ：x =my −√32，设点P i (x i ,y i )(i =1,2，3，4)，|P 1P 2|+|P 3P 4|=2|P 2P 3|，推出|P 1P 4|=3|P 2P 3|，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式，推出√4m2+1m 2+1=6(1+m 2)4+m 2，令t =m 2+1≥1，构造函数令f(t)=36t 3−(4t −3)(t +3)2=32t 3−21t 2−18t +27，利用函数的导数推出函数的单调性，说明(4t −3)(t +3)2=36t 3无解推出结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，函数导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．。

2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在 4，π，23，0这四个数中，无理数的个数有个．( )A. 1B. 2C. 3D. 42.下列立体图形中，左视图是圆的为( )A. B. C. D.3.已知∠A =75°，则∠A 的补角等于( )A. 125°B. 105°C. 15°D. 95°4.2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为( )A. 90.2×105B. 0.902×107C. 9.02×106D. 9.02×1075.下列计算正确的是( )A. x 2⋅x 3=x 6B. (x 2)3=x 5C. x 2+x 3=x 5D. x 6÷x 3=x 36.九章算术中有这样一个问题“今有二马、一牛价过一万，如半马之价.一马、二牛价不满一万，如半牛之价.问牛、马价各几何？”译文“两匹马和一头牛的总价比一万多，且多出的部分等于半匹马的价钱；同时，一匹马和两头牛的总价比一万少，且少的部分等于半头牛的价钱，问一匹马和一头牛的价钱分别是多少？”设一匹马的价格为x 元，一头牛的价格为y 元，根据题目描述可列方程组为( )A. {2x +y =10000+0.5x x +2y =10000−0.5y B. {2x +y =10000+0.5y x +2y =10000−0.5x C. {x +2y =10000+0.5x 2x +y =10000−0.5yD. {2x +y =10000−0.5x x +2y =10000+0.5y7.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 过原点O ，与反比例函数y =−8x 图象交A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 6C. 8D. 128.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若CD=16，BE：AE=1：5，则⊙O的半径为( )A. 10B. 1055C. 1655D. 2459.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D分别作AB、AC的平行线，交AC、AB于点E、F，已知BF=2，CE=8，AD=26，四边形AEDF的面积为( )A. 415B. 815C. 43D. 8310.四个单项式依次为−(−x)、−|−1|x、−12x、(−1)2x，在每两个单项式之间添上“+”、“−”、“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为M(每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次).比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“−”、“×”就得到一个式子，记为M=−(−x)+(−|−1|x)−(−12x)×[(−1)2x]；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”、“−”、“+”就得到另一个式子，记为M=−(−x)×(−|−1|x)−(−12x)+(−1)2x；那么，下列说法中，正确的个数有个．( )①将得到的所有M化简后，总共只有三种不同结果；②对于得到的每一个M，令M=n，就得到一个关于x的方程，若所有关于x的方程M=n都有两个不相等的实数根，那么0<n<1；③当x取一个确定值时，每个M都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为y，这样，对于每一个x的确定值，y都有一个值与之对应.那么y的最小值为0．A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

2020-2021学年重庆外国语学校高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若a>b>c，且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是()A. ab>acB. ac>bcC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c22.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,m2)，若a⃗//b⃗ ，则m的值为()A. 2或−1B. −2或1C. ±2D. ±13.若集合A={x|x(x−1)<0},B={y|y=x2}，则()A. A=BB. A⊆BC. A∪B=RD. B⊆A4.在正项等比数列{a n}中，a n+1>a n，a1·a9=16，a4+a6=10，则q等于()A. 12B. 1C. 2D. 45.已知α是第二象限角，且cosα=−12，则sin2α=()A. √32B. −√32C. 12D. −126.已知向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(k,−1)，a⃗⊥b⃗ ，则k=()A. 32B. −32C. 23D. −237.若数列{a n}是等差数列，且a1+a4=45，a2+a5=39，则a3+a6=()A. 33B. 30C. 27D. 248.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1+a9=18，a4=7，则S10的值为()A. 55B. 81C. 90D. 1009.若x>1，则4x+1+1x−1的最小值等于()A. 6B. 9C. 4D. 110.如图，在△OAB中，点P在边AB上，且APPB =32，则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 35OA⃗⃗⃗⃗⃗ +25OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 25OA⃗⃗⃗⃗⃗ +35OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 35OA⃗⃗⃗⃗⃗ −25OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 25OA⃗⃗⃗⃗⃗ −35OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. 平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(1,1)、(−3,3).若动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ、μ∈R ，且λ+μ=1，则点P 的轨迹方程为( ) A. x −y =0B. x +y =0C. x +2y −3=0D. (x +1)2+(y −2)2=512. 设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1(n ∈N +)，则数列{1a n }前10项和为( )A. 119B. 229C. 1011D. 2011 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列{a n }的通项公式是a n =3n −1，则S n =________．14. 如果向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为30°，且|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=5，那么a ⃗ ⋅b ⃗ 的值等于______ ．15. 已知等比数列{a n }中，a 1=1，且2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则a 3=________．16. 在△ABC 中，点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 上的一动点，(不含端点)，若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+1μ= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等比数列{a n }满足a 2=6，6a 1+a 3=30．(I)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若a 1>2，设b n =23n ⋅a n (n ∈N ∗)，记数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n ．18. (1)设a ，b 是两个不相等的正数，且2a +b =1，试用分析法证明：2a +1b ≥9；(2)若a ，b 都是有理数，且a +b √2=(1−√2)2，求a ，b 的值．(n∈N∗)．19.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a n2a n+1}为等差数列；(1)求证：数列{1a n(2)记b n=(−1)n+1，求数列{b n}的前2018项和S2018．a n20.已知函数f(x)=sin2x−cos2x−2√3sin xcos x(x∈R)．(1)求f(2π)的值；3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．21.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且b1+b2=6，b4=a2+2a3，S5=5b3−10．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a n+1log2b n}的前n项和．22.已知递增的等差数列{a n}，首项a1=2，S n为其前n项和，且2S1，2S2，3S3成等比数列．(I)求{a n}的通项公式；(II)设b n=4a n a n+1，若数列{b n}的前n项和为T n，且T n<m5(m为正整数)恒成立，求m的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，∴ab>ac，故选A．由条件可得a>0，c<0，再利用不等式的基本性质可得ab>ac，从而得到结论．本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，判断a>0，c<0是解题的关键．2.答案：C解析：解：∵a⃗//b⃗ ，∴2×2−m2=0，解得m=±2．故选：C．利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查的是集合间的关系，是容易题．先求出集合A=(0,1)，再求出集合B=[0,+∞)，从而可判断A，B之间的关系．解：解不等式x(x−1)<0，得0<x<1，所以A=(0,1)，又因为y=x2≥0，所以B=[0,+∞),所以A⊆B．故选B．4.答案：C解析：本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于中档题．利用等比数列的性质知a 4·a 6=16，解{a 4·a 6=16a 4+a 6=10即可． 解：由等比数列的性质可知：a 1·a 9=a 4·a 6=16，又a 4+a 6=10，a n +1>a n ， 所以a 6>a 4，由{a 4·a 6=16a 4+a 6=10, 解得{a 4=2a 6=8, ∴q 2=a 6a 4=4， ∵{a n }为正项等比数列，q >0，∴q =2，故选C ． 5.答案：B解析：本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式，属基础题．根据条件求出，再利用二倍角公式即可求出结果解：α是第二象限角，且cosα=−12，所以， 则． 故选B ． 6.答案：A解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．利用a ⃗ ⊥b ⃗ ⇔a ⃗ ⋅b ⃗ =0，即可得出．解：∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴2k −3=0，解得k =32．故选：A ． 7.答案：A解析：此题考查学生掌握等差数列通项公式，是一道基础题．将已知条件转换成首项和公差，利用二元一次方程组解出首项和公差．解：设等差数列的公差为d ，由{2a 1+3d =452a 1+5d =39⇒{a 1=27d =−3∴a 3+a 6=2a 1+7d =33故选A8.答案：D解析：本题主要考查等差数列的性质及求和公式，属于基础题．利用等差数列的通项公式可得a 1及公差d ，再利用前n 项和公式即可得到S 10．解：设等差数列知{a n }的公差为d ，∵a 1+a 9=18，a 4=7，∴{2a 1+8d =18a 1+3d =7，解得{a 1=1d =2． ∴S 10=10a 1+10×92d =10×1+45×2=100．故选D ．9.答案：B解析：解：由x >1，得x −1>0，∵4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时，等号成立．故选：B ．由4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是求值条件的配凑． 10.答案：B解析：由AP PB =32可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，化简计算即可得出． 本题考查了向量的三角形法则、向量的共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：∵AP ：PB =3：2，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =25OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．11.答案：C解析：本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 由已知向量等式可知P 在AB 所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．解：由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ+μ=1，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 、A 、B 三点共线．设P(x,y)，则P 在AB 所在的直线上，∵A(1,1)、B(−3,3)，∴AB所在直线方程为y−13−1=x−1−3−1，整理得：x+2y−3=0．故P的轨迹方程为：x+2y−3=0．故选：C．12.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解：∵a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N+)，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+⋯+2+1=n(n+1)2，∴1a n =2(1n−1n+1)．∴数列{1a n}的前10项和为S n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)]=2×(1−1 11 )=2011．故选：D．13.答案：32n2+12n解析：本题考查等差数列的求和．利用求和公式即可求解．解：∵a n=3n−1，∴d=3，a1=3−1=2，∴S n =na 1+n (n−1)2d =32n 2+12n ， 故答案为32n 2+12n ．14.答案：15√32解析：解：∵|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=5，且向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为30°∴向量a ⃗ 、b ⃗ 的数量积为a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos30°=3×5×√32=15√32故答案为：15√32 由向量数量积的定义，结合题中数据直接加以计算，即可得到数量积a ⃗ ⋅b ⃗ 的值．本题给出两个向量的模与它们的夹角大小，求它们的数量积．着重考查了平面向量数量积的定义及其运算的知识，属于基础题．15.答案：14或1解析：本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于基础题．在等比数列{a n }中，a 1=1，设公比为q ，由2a 2，3a 3，4a 4成等差数列可列式求得q ，再利用等比数列的通项公式即可求解．解：∵在等比数列{a n }中，a 1=1，设公比为q ，由2a 2，3a 3，4a 4成等差数列可得2a 2+4a 4=6a 3，即2q +4q 3=6q 2，q ≠0，化简为1+2q 2=3q ，解得q =1或q =12．∴当q =1时，a 3=a 1=1；当q =12时，a 3=a 1q 2=14．16.答案：12解析：解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3μ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ−μ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3μ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵A ，D ，E 三点共线，∴−λ−μ+3μ2=1，∴λ+1=μ2.∴λ+1μ=12． 故答案为：12． 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据三点共线得出λ，μ的关系．本题考查了平面向量的基本定理，三点共线原理的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=6，可得a 1q =6，记为①，又因为6a 1+a 3=30，可得6a 1+a 2q =30，即a 1+q =5记为②，由①②可得{a 1=2q =3或{a 1=3q =2．故{a n }的通项公式为a n =2×3n−1或a n =3×2n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)及a 1>2可知a n =3×2n−1，b n =23n ⋅a n =n ⋅2n (n ∈N ∗)，所以S n =1×21+2×22+⋯+n ×2n ③，2S n =1×22+2×23+⋯+n ×2n+1④，③−④得−S n =21+22+⋯+2n −n ×2n+1=2n+1−2−n ×2n+1=(1−n)×2n+1−2． 所以S n =(n −1)×2n+1+2．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用选项的条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；18.答案：(1)证明：(2a +1b )(2a +b)=2b a +2a b +5≥2√2b a ⋅2a b +5=9(得证)(2)解：a +√2b =(1−√2)2，a +√2b =3−2√2，a −3=(−2−b)√2若−2−b ≠0，则(−2−b)√2为无理数，a −3为有理数，∴等式不成立，∴{−2−b =0a −3=0， ∴{a =3b =−2解析：(1)利用“1“的代换，结合基本不等式证明即可．(2)利用已知条件，化简利用数值相等，列出方程组，然后求解即可．本题考查不等式的证明，函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.答案：解：(1)由a n+1=a n 2a n +1，取倒数可得1a n+1−1a n =2，∴数列{1a n }是首项为1a 1=1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，1a n =1+(n −1)×2=2n −1， ∴a n =12n−1(n ∈N ∗)．即数列{a n }的通项公式为a n =12n−1(n ∈N ∗)．由于b n =(−1)n+1a n ，所以：S n =1−3+5−7+⋯+a 2017−a 2018，=−(2+2+2+⋯+2)，=−2018．解析：(1)利用定义法证明数列是等差数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式．利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n 项和的应用．20.答案：解：(1)∵函数f(x)=sin 2x −cos 2x −2√3sinxcosx =−√3sin2x −cos2x =2sin(2x +7π6)=−2sin(2x +π6)， f(2π3)=−2sin(2×2π3+π6)=2sin 3π2=2，(2)∵ω=2，故T =π，即f(x)的最小正周期为π，由2x +π6∈[π2+2kπ,3π2+2kπ]，k ∈Z 得：x∈[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z．解析：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，代入可得：f(2π3)的值．(2)根据正弦型函数的图象和性质，可得f(x)的最小正周期及单调递增区间．21.答案：解：(1){a n}为公差为d的等差数列，{b n}是首项为2，公比为q的等比数列，b1+b2=6，b4=a2+2a3，S5=5b3−10，可得2+2q=6，2q3=3a1+5d，5a1+10d=10q2−10，解得q=2，a1=d=2，即有a n=2n；b n=2n；(2)2a n+1log2b n =22(n+1)n=1n(n+1)=1n−1n+1，前n项和为1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．解析：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项；(2)求得2a n+1log2b n =22(n+1)n=1n(n+1)=1n−1n+1，由裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．22.答案：解：(I)设递增的等差数列{a n}的公差为d>0，∵首项a1=2，S n为其前n项和，且2S1，2S2，3S3成等比数列．∴(2S2)2=2S1⋅3S3，即4(4+d)2=4×3(6+3×22d)，d>0，解得d=2，∴a n=2+2(n−1)=2n．(II)∵b n=4a n a n+1=1n−1n+1，∴T n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1．∴T n=1−1n+1，∴m5>1−1n+1恒成立，∴m5≥1，即m≥5．即m的最小值是5．解析：(I)设递增的等差数列{a n}的公差为d>0，首项a1=2，S n为其前n项和，且2S1，2S2，3S3成等比数列．可得(2S2)2=2S1⋅3S3，即4(4+d)2=4×3(6+3×22d)，d>0，解得d．(II)b n=4a n a n+1=1n−1n+1，可得T n=1−1n+1，因此m5>1−1n+1恒成立，解得m的最小值．本题考查等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

等于第 1 页，共 12 页2018-2019 学年重庆外国语学校高一（下）期中数学试卷选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）数列 1， ，，， ， 的一个通项公式可能是 A. 已知 ， A.B. C.， a ， b ， ，则下列不等式成立的是D.B . 中，B . 已知等差数列 A. 64 在 中， ， ， A.B.在 中，若 ， A.等腰三角形 B.钝角三角形 D.， ，则 的值是31 C.C. 30，则 b 等于D.15 二次不等式 的解集为 C. 则 必定是 C.直角三角形 ，则 D. D.A. B. 5C. 已知 中，角 A ，B ，C 的对边为 面积为 3，则 A.已知等比数列 a ，b ， B. C. 中，各项都是正数，且 锐角三角形 ab 的值为 D.6 c ，且 ， ， 的 ，， D.成等差数列，则 等于A.6 等差数列 中， ， ，当其前 n 项和取得最大值时， A.16 B.8 某校运动会开幕式上举行升旗仪式， 排测得旗杆顶部的仰角分别为 B. 7 C.8 D. 9 C. 9 D.17 在坡度为的看台上， 同一列上的第一和最后 ， 和 ，第一排和最后一排的距离为 如图所示 ，则旗杆的高度为A. 10m数列 满足 ，且对于任意的 都有D.，则1. 2.3. 4.5. 6.7.8.9. 10.11.B.C.12.已知数列的前n 项和为，且满足，，，若不等式对任意的正整数n恒成立，则整数m的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.在等比数列中，已知，则_________________________14.在中，，，，则解的情况是____________________________________ 填“无解”“一解”或“两解”15.在数列中，已知，则__________________________________ ．16.在中，a，b，c分别为内角A，B，C 的对边，其面积为S，若，则周长的最大值为____________ ．三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.已知数列是公差不为0 的等差数列，首项，且，，成等比数列．求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前n 项和18.设函数．若，解不等式；若，解关于x 的不等式．19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知．Ⅰ 求角C 的大小Ⅱ 若，的面积为，求的周长．20. 已知数列 的前 n 项的和为 ，且 ，其中 ．求数列 的通项公式； 若数列 满足 ，求数列的前 n 项和 ，并证明 ．若 ，求 的大小； 若 ，且 ，求 AD 的长．已知数列 满足 ， 设 ，求证是等比数列；求数列 的通项公式；设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 的范围．21. 如图， D 是直角 斜边 BC 上一点， ．22.1.答案： B解析： 【分析】 本题考查了不完全归纳法求数列的通项公式，做题时要认真观察，找到规律，属于基础 题．根据数列前几项找规律，求出数列的通项公式，【解答】 解：数列 1， ， ， ， 中， 分子是连续整数，分母是连续奇数， 故数列 1， ， 故选 B ．2.答案： B解析： 解： ，，故选： B ． 由不等式的性质直接可以判断选项 B 正确 本题考查不等式性质的运用，属于基础题．3.答案： D解析： 【分析】 本题考查了等差数列的性质，属于基础题． 对等差数列 ，有 成立，代入数值计算即可． 【解答】 解：因为 是等差数列， 所以所以 ． 故选 D ．4.答案： A解析： 【分析】 本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，是基础题． 利用三角形的内角和求出 C ，然后利用正弦定理求解即可． 【解答】解： 中， ， ， ，故选： A ．5.答案： A答案与解析的一个通项公式可能是，由正弦定理可得：解析：解：，由余弦定理可得，，整理可得，，为等腰三角形．故选：A．由已知结合余弦定理即可得到b，c 之间的关系，从而可判断．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础题．6. D解析：解：不等式的解集为，，原不等式等价于，由韦达定理知，，，，．故选：D ．先对原不等式进行等价变形，进而利用韦达定理求得和的值，进而求得aba和b，则的值可求得．本题主要考查了一元二次不等式的解法，注意和一元二次方程的相关问题解决．7.答案：C解析：解：，，．的面积为3，，解得．则，解得．故选：C．利用三角形面积计算公式及其余弦定理即可得出．本题考查了三角形面积计算公式及其余弦考查了推理能力与计算能力，属于中档定理，题．8.答案：D解析：解：，，成等差数列，，，，舍去．故选：D ．根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含 有首项和公比的形式，进一步化简计算得到结果．本题主要考查了等差数列和等比数列的性质， 考查了学生综合分析的能力和对基础知识 的理解，是基础题．9.答案： B，当其前 n 项和取得最大值时， ． 故选： B ． 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质， 中档题．10.答案： B解析： 解：如图， 依题意知 ，，在 中， ，即旗杆的高度为 30m ． 故选： B ．作图，分别求得 ， 和 ，然后利用正弦定理求得 AC ，最后在直角 三角形 ACD 中求得AD本题主要考查了解三角形的实际应用． 结合了正弦定理等基础知识， 考查了学生分析和 推理的能力，属于中档题．11.答案： D解析： 解： 数列 满足 ，且对于任意的 都有 ， ，解析： 解： ，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质可得：进而得出结论．考查了推理能力与计算能力， 属于由正弦定理知． ．． ．故选： D ．数列 满足 ，且对于任意的 都有 ，可得，利用 ，可得再利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、裂项求和 方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案： B解析：解： ， ， ， 可得时， ，由 可得 ， 即有 ； 不等式 ， 当 时， 不成立， 即为 ，即为， 设 ， ， 可得 ， 即有 为 的最大值，且为 ，即有 ，即 ，可得 m 的最大值为 4． 故选： B ．将 n 换为 ，两式相减，运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，可得； ，设断单调性，可得 的最大值，解不等式可得所求最大值．本题考查整数的最大值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题．13.答案： 4解析： 解：根据题意，在等比数列 中， 已知 ，则 ，则 ， 则； 故答案为： 4．根据题意，由等比数列的性质可得 ，则 ，又由 ，即可得答 案． 本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比中项的性质，属于基础题．14.答案： 无解解析： 解：由正弦定理得： 即 ，解得 ， 因为， ，故角 B 无解． 即此三角形解的情况是无解． 故答案为：无解．．由 a ， b 及 sinA 的值，利用正弦定理即可求出 sinB 的值，求解即可．，判即有 ，此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．15.答案：解析：解：在数列中，已知，当时，，所以数列的等差数列，则．所以．故答案为：．推出数列是等差数列，求出通项公式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是基本知识的考查．16.答案：6解析：解：，，，．由余弦定理可得：，可得，即，当且仅当时取等号．周长的最大值为．故答案为：6．由，利用三角形面积计算公式、余弦定理可得A ，再利用余弦定理、结合基本不等式的性质即可得出．本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：设数列的公差为d，由题意，即：，解得：，或舍去，所以：．由可知，，，．解析：直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和．18.答案：解：，当时，即为，即，解得故不等式的解集为；由可知，，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为空集；当时，不等式的解集为．解析：将代入，直接计算即可；可知，然后分类讨论即可求解不等式．本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．19.答案：解：Ⅰ ．由正弦定理可得：，，可得：，，．Ⅱ ，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，解得：，的周长．解析：Ⅰ 由正弦定理可得，结合，可求，结合范围，可求C 的值．Ⅱ 由已知利用三角形面积公式可求 ，根据余弦定理可解得 ，即可 解得 的周长． 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于 中档题．20.答案： 解：在中，由 时， ，得 ，当 时， ， 由 ， ， 两式相减得 ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ， ；求得 ，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和，再由不等式的性质，即可得证． 本题考查数列的递推式的运用： 求通项公式， 考查等比数列的通项公式和求和公式的运 用，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案： Ⅰ ， ， ，在 中，由正弦定理可得：，，或 ，又，；Ⅱ，，解运用数列的递推式： 时， ，当 时， ，结 ．合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；两式相减得：所以证明： ， 则在 中，由勾股定理可得： ，可得： ，， ， ，令 ，由余弦定理：在 中， ，在 中， ，， 解得： ，可得： ．解析： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计 算能力和转化思想，属于中档题．Ⅰ 由已知可求 ，在 中，由正弦定理可得 ，即 可解得 ．Ⅱ 由已知在 中，由勾股定理可得 ， ， ，令22.答案： 证明：依题意，由 ，可得两边取以 5 为底的对数，可得，即 ．，数列 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列． 解：由 知， ， 即，，，可得：，由余弦定理即可解得 AD的值．，．解：由 知，解析：第题将递推式进行转化变形可得再两边取以5 为底的对数进行计算可证得数列是等比数列；第题先根据第题的结论计算出数列的通项公式，进一步可计算出数列的通项公式；第题先将数列的表达式进行变形之后运用裂项相消法计算前n 项和，然后根据逐步推导并进行不等式运算可得的范围．本题主要考查数列由递推公式求通项公式，裂项相消法计算前n项和．考查了转化和化归思想，整体思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．。