2009-2014考研数学真题概率论考点解析

考研数学真题概率难点分析引言概率论它是数学的一个重要分支，同时也是人们日常生活中的一个重要工具。

考研数学中的概率难点十分多，考研数学真题里也涉及到大量的概率相关考点。

本文将对考研数学的概率难点进行分析，帮助考生更好地掌握概率相关知识，更好地应对考研数学真题。

难点一：条件概率条件概率在考研数学中是一个非常重要的考点，也是比较难掌握的。

主要难点表现在条件概率的定义和计算上。

在考研数学真题中，出现条件概率相关的题目也非常多。

有一类比较典型的条件概率题目是“船舶捕获问题”，即假设一个捕鱼工艇在海上捕到了一条大鱼，我们想求这条鱼来自哪个海域。

这类问题需要我们根据给定的信息来计算概率，然后得到答案。

下面举个例子:【例】假设“好酒鬼”上海分公司出售的一批啤酒，20%来自青岛，30%来自德国，50%来自浙江。

青岛啤酒中5%为次品，德国啤酒中10%为次品，浙江啤酒中3%为次品。

现在从这批啤酒中任取一瓶，则此瓶啤酒是次品的概率是多少？解：设事件A为选中青岛啤酒的概率，B为选中德国啤酒的概率，C为选中浙江啤酒的概率，D为此瓶啤酒为次品的概率，则此瓶啤酒为次品的全概率公式为：$$ P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)\\\\=\\frac{1}{20}\\times0.05+\\frac{3}{10}\\times0.1+\\frac{1}{2}\\times0.03=0.048 $$上面的例子中，我们要求的是事件D的概率，最终根据全概率公式，得到结果是0.048。

在考研数学真题中，此类条件概率的题目非常常见。

考生在做这类题目时，需要认真分析题目中提供的条件，正确理解题目，搞清楚每个选项与各个条件之间的关系后，再进行求解。

难点二：贝叶斯公式贝叶斯公式也是概率论中的一个重要定理，它在考研数学中也是一个常见的考点。

贝叶斯公式的难点在于理解和应用，考生需要熟练掌握该公式的使用方法，才能够在考试中得心应手。

考研概率论真题及答案解析概率论作为数学的一门重要分支，有着广泛的应用领域和深厚的理论基础。

对于准备考研的同学来说，掌握概率论的知识是非常重要的。

今天，我们将针对概率论的真题进行解析，帮助同学们更好地理解和应用概率论的相关概念和方法。

在考研概率论的真题中，经常涉及到的几个重要的概念有：随机变量、概率分布、概率密度函数、独立性等。

而在解题过程中，我们需要根据题目所给的条件和要求，灵活运用这些概念和方法，找出解题的关键点，从而得出正确的答案。

以一道典型的概率论题目为例：某公共汽车站每天早晨7:00至8:00的到站时间符合区间(7:00, 8:00)上的均匀分布。

某人随机到达该站，并独立观察公共汽车是否已经到达。

如果某人等候时间超过20分钟，则他将离开。

求某人等候时间超过20分钟的概率。

在解析这道题目之前，我们先来理解一下题目中涉及到的概念。

首先，题目中提到公共汽车的到站时间符合区间(7:00, 8:00)上的均匀分布。

这意味着在这个时间段内，公共汽车到站的时间是均匀分布的，也就是说在这个时间段内任何一个时间点，公共汽车到站的概率是相等的。

这是一个非常重要的前提条件。

其次，题目要求求出某人等候时间超过20分钟的概率。

这就涉及到了条件概率的计算。

在这个问题中，我们可以采用反面的思路，即计算某人等候时间不超过20分钟的概率，然后再用1减去这个概率，即可求得所需的概率。

假设$t$表示某人等候时间，$P(t \leq 20)$表示某人等候时间不超过20分钟的概率。

由于公共汽车的到站时间是均匀分布的，所以我们可以假设公共汽车到站的时间$T$在区间$(7:00, 8:00)$内是均匀分布的随机变量。

因为题目中没有给出具体的均匀分布的参数，所以我们可以假设公共汽车从7:00开始到8:00结束，总共的时间是1小时，即60分钟。

根据均匀分布的性质，可以得出公共汽车到站时间在每一分钟出现的概率是$P(T=t)=\frac{1}{60}$。

概率论常考题解析与讲解在数学领域中，概率论是一门研究随机事件发生的可能性的学科。

它有着广泛的应用领域，并且在各个科学和工程领域中都扮演着重要角色。

概率论的研究对象包括基本概率模型、随机变量、概率分布等。

在学习概率论的过程中，经典概率、条件概率、随机变量及其概率分布、大数定律和中心极限定理等是常见的考题。

本文将对这些常考题进行解析与讲解。

一、经典概率经典概率是指当随机试验的样本空间为有限个元素时，利用计数原理进行概率计算的方法。

常见的经典概率问题包括：从一副扑克牌中抽取一张牌，求出抽到红桃的概率；从一个装有红、蓝、绿三种颜色球的袋子中抽取一颗球，求出抽到红球的概率等。

解答这类问题时，首先要确定样本空间和事件空间，然后利用计数原理计算出每个事件发生的可能性，并得出概率。

例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，样本空间为52张牌，事件空间为抽到红桃的牌，分析可知红桃有13张，因此红桃的概率是13/52=1/4。

二、条件概率条件概率是指在已知某事件发生的前提下，另外一个事件发生的概率。

条件概率的计算需要利用到贝叶斯定理或全概率公式。

常见的条件概率问题包括：在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，求抽到的是红桃的概率；某疾病在人群中的患病率是1%，一个新的检测方法能够准确地检测出病人患病的概率是99%，如果一个人被检测出患病，求他真正患病的概率等。

解答条件概率问题时，需要根据题目的描述利用贝叶斯定理或全概率公式计算条件概率。

例如，在一副扑克牌中，已知抽到的是红心，事件A代表抽到红桃，根据条件概率的定义，所求的是P(A|B)，其中B代表抽到的是红心。

利用贝叶斯定理可得，P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)，其中P(A)=1/4，P(B|A)=12/51，P(B)=1/2。

代入计算可得，P(A|B)=1/2。

三、随机变量及其概率分布随机变量是指对随机试验结果的数值化描述，它可以是离散型或连续型的。

概率分布是描述随机变量取值与其概率之间关系的函数。

=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=

科目代码： 619 科目名称： 概率论与数理统计 （共3页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
D( ) D D ( E ) 2 D D ( E ) 2
由此并可得 D( ) D D
四、(15分) 计算题
（，） 设二维随机变量 的联合密度为
、、 （15分）计算题 假设某险种在投保时期内一共发生了N次赔款， i 表示第 i 次赔款 额，则相应的赔款总量为： S 1 2 ... N ，其中N为取非负整 数值的随机变量， 1， 2， ..., N 具有相同的分布函数，且N,
1， 2， ..., N 相互独立，问：

。
2： （4 分）袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人 依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率 是 。 3： （4 分）设两两相互独立的三事件 A ， B 和 C 满足条件： ABC ，
P A P B P C
P A
。
1 ， 且 已 知 P( A B C ) 9 / 16 ， 则 2
4： （4 分） 已知随机变量 X 的概率密度函数 f x 则 X 的概率分布函数 F x 。
1 | x| e ， x ， 2
5： （4 分）若随机变量 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 x x 1 0 有实根的概率是 。
1）推导赔款总量S的数学期望及方差公式； 2）若N服从参数 3 的泊松分布，第i笔赔款额 i 的分布列如下表 ：
i
pi
2000 0.2
3000 0.3
4000 0.5
计算赔款总量S的范围。 七、（15分）证明题 设 n 为独立同分布的随机变量序列，每个随机变量的期望为 a , 且方差存在，证明：

概率论历年真题答案解析概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的发生概率以及事件之间的关系。

无论是对于数学专业的学生，还是对于其他领域的学者和研究者，掌握概率论的知识都是十分必要的。

在考试中，概率论也常常成为一个难点，因此理解历年概率论真题并进行答案解析十分重要。

题目一：某电视剧拥有8集，第1集到第6集进行了连续播放，每天播放1集，从星期一开始。

那么，第7、8集播放的日期各在星期几？答案解析：我们根据条件可以知道，一周有7天，从星期一开始连续播放6集，那么到星期六就已经播放完了。

第7集应该在星期天播放，第8集应该在星期一播放。

题目二：A、B、C、D四个人参加一场抽奖活动。

每个人都要抽取一张卡片，上面分别写有A、B、C、D。

如果每个人只能抽一次，那么四个人抽到卡片的概率都是多少？答案解析：根据题目的条件，一共有4张卡片，每个人都只能抽取一次，那么每个人抽到卡片的概率都是1/4，即25%。

题目三：一枚硬币被抛掷三次，已知至少有两次抛出的是正面。

求这三次抛掷的结果可能的组合数。

答案解析：我们可以通过构思树状图来解决这个问题。

首先，我们需要找到可能的组合，即至少有两次正面的情况。

我们可以列出这样的组合：正面正面正面、正面正面反面、正面反面正面、反面正面正面、反面反面正面、反面正面反面、正面反面反面。

共有7种可能的组合。

题目四：甲、乙、丙三个人独立地将一件商品做标记，并付款。

其中甲对错的概率是80%，乙对错的概率是90%，丙对错的概率是95%。

如果三人对同一商品进行标记，并且标记结果是“正确”或“错误”，那么实际标记结果正确的概率是多少？答案解析：假设实际标记结果是正确的，那么甲乙丙三人都必须标记正确，概率为0.8 * 0.9 * 0.95 = 0.684。

假设实际标记结果是错误的，那么甲乙丙三人都必须标记错误，概率为(1-0.8) * (1-0.9) * (1-0.95) = 0.018。

因此实际标记结果正确的概率为 0.684 / (0.684 + 0.018) = 0.974。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。

上海市考研数学概率论历年真题解析一、概率的基本概念和计数原理概率论是数学的一个重要分支，研究了随机事件的发生规律及其数学描述。

在考研数学中，概率论是一个重要的考点，下面将对上海市考研数学概率论的历年真题进行解析。

1. 阅读理解题阅读理解题是考研数学概率论中常见的题型，要求考生根据所给的文本材料，回答与概率相关的问题。

例如：【例题】共有8个人坐成一圈，其中有3名男性和5名女性。

现在要挑选4个人组成一个小组，问该小组至少有1名男性的概率是多少？【解析】首先，总的组合数为C(8, 4)。

其次，至少有1名男性可以分为两种情况：选1名男性和3名女性，或者选2名男性和2名女性。

对于第一种情况，选择男性的可能性为C(3, 1)，选择女性的可能性为C(5, 3)。

对于第二种情况，选择男性的可能性为C(3, 2)，选择女性的可能性为C(5, 2)。

因此，该小组至少有1名男性的概率为：P = (C(3, 1) * C(5, 3) + C(3, 2) * C(5, 2)) / C(8, 4)2. 排列组合题排列组合题在概率论中也是常见的题型。

考生需要灵活运用排列组合的公式，解决与概率相关的问题。

例如：【例题】有5本书，其中有2本语文书、2本数学书和1本英语书。

现从中随机挑选3本书，问其中至少有1本数学书的概率是多少？【解析】首先，总的选书数为C(5, 3)。

其次，至少有1本数学书可以分为两种情况：选1本数学书和2本其他书，或者选2本数学书和1本其他书。

对于第一种情况，选择数学书的可能性为C(2, 1)，选择其他书的可能性为C(3, 2)。

对于第二种情况，选择数学书的可能性为C(2, 2)，选择其他书的可能性为C(3, 1)。

因此，至少有1本数学书的概率为： P = (C(2, 1) * C(3, 2) + C(2, 2) * C(3, 1)) / C(5, 3)3. 条件概率题条件概率题要求考生根据给定的条件，计算某一事件发生的概率。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。

在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。

B．{T(2)≥t0}。

C．{T(3)≥t0}。

D．{T(4)≥t0}。

正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。

所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。

2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。

C．P(A)=1-P(B)。

D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。

选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。

3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。

B．0．2。

C．0．3。

D．0．4。

正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。

因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。

f(t)dt
I: > �f'.J<t)dt+ 八 t)dt�f (x) dx.'
又由定积分的几何意义知，『 g (x)dx>O,故 2<x<3 时 F(x)>O.故应选 D.
(4) C
解
I; 若令
an= bn=
(-l)n
嘉,则nl-im= a
n
=
O, n=
l
从收敛，却有
co
nI=;l a
n从
=
nI=;l — n1
1,1],
和函数为—
ln(l+x).
因为5 (x)=
= I;
(—l)n
X
n=
X
— ln(l+x),令
x= l,得
n= 2 n
S 2= n�= la 加一1 = S(1)= 1- ln 2.
(17) 解
(I)
椭球面 S1
的方程为X— 42
+
沪
+z 3
2 =
1.
。 设切点为
(x
口 Yo),
则
X—+
4
— y
y2dxdyd乏 ＝ 』之2dxdyd之，
{l
所以
w 上�+ ill f I I z'dxd:
。 。 。 上 2
六
(x' 二三） dxdydz� 3
亢 d0
sin钊'P'r'dr�±. 穴． 15
{l
03) 2
n 解 设入是P矿的非零特征值， 是属于入的特征向量，从而p矿T/=入1
由于入=/=-0, TJ =/=-0,故a可=l=-0.

2014考研真题数学答案2014考研数学真题答案第一部分：数学分析1. (1) A解答：解：由题意可知，f(x) = sin x + ln x在(0, π/2)上连续，故f(x)在(0, π/2)上有充分大和充分小的展开式。

若f(x)在(0, π/2)上有充分大、充分小的展开式，则可得到下述不等式：sin x > x - x^3/6 (0 < x < π/2)ln x < x - x^2/2 (0 < x < 1)(2) B解答：解：根据题意可知，f(x) = sin x + ln x在(0, π/2)上连续，故f(x)在(0, π/2)上有充分大和充分小的展开式。

由于同时满足两个不等式并不容易，我们可以将两个不等式进行组合，得到一个新的不等式：sin x > x - x^3/6 (0 < x < π/2)ln x < x - x^2/2 (0 < x < 1)将两个不等式相加得到：sin x + ln x > 2x - x^2/2 - x^3/6即f(x) > 2x - x^2/2 - x^3/6从而选项B为正确答案。

2. A解答：解：由已知条件，f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[-1, 1]上连续且满足f(-1) = f(1)。

根据介值定理，存在c属于(-1, 1)，使得f(c) = (c^4 - 1) / 4 = 0故方程c^4 - 1 = 0在(-1, 1)内有解，选项A为正确答案。

3. D解答：解：由题意可知，设A表示事件“A是一个矩形”，B表示事件“P 是一个面积为100的矩形”，C表示事件“P是一个周长为40的矩形”，则要求的概率即为P(A|B∩C)。

根据条件概率的定义，P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)根据独立性的性质，P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B)P(C)根据给定的信息可得到：P(B) = 4/5，P(C) = 1/2，P(B∩C) = 1/10综上所述，P(A|B∩C) = (1/10) / [(4/5) * (1/2)] = 1/8故答案选项为D。

历年考研数学二真题与答案09~13年2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3x x-=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b ==()C 11,6a b =-=-()D 11,6a b =-=【答案】A【解析】 22()sin sin lim lim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a axbx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b∴=-,故排除,B C .另外,21cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂.2222221,0,1z z z z A B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>,故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx-⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx+⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx-⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222xy +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点 ()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||2(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-.在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点.对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt=⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x时，sin f x x ax 与2ln 1g xx bx 等价无穷小，则A11,6ab.B11,6ab.C11,6a b . D 11,6a b .【答案】A【解析】2()sin ,()ln(1)f x xax g x x bx 为等价无穷小，则2222()sin sin 1cos sin limlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxf x xaxx ax a ax a axg x x bx xbx bxbx洛洛23sin lim166xa axab bax a36ab故排除,B C 。

另外21cos lim3xa ax bx存在，蕴含了1cos 0a ax 0x故 1.a排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形,1,1x y x y 被其对角线划分为四个区域1,2,3,4k D k ，cos kkDI y xdxdy ，则14m ax kkI A1I .B2I .C3I .D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y xf x y ，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y xf x y ，即被积函数是-1-111xy1D 2D 3D 4D关于x 的偶函数，所以1(,),012cos 0x y yx x I y xdxdy；3(,),012cos 0x y yx x I y xdxdy.所以正确答案为A.（3）设函数y f x 在区间1,3上的图形为：则函数0xFxf t dt 的图形为A BCD【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yf x 的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0xx 所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①0,1x 时，()0F x ，且单调递减。

考研数学真题近十年考题路线分析概率部分以下给出了《概率论与数理统计》每章近10年（2021-2021）的具体考题题型，能够使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。

概率论与数理统计（①10年考题总数：52题②总分值：249分③占三部分题量之比重：23%④占三部分分值之比重：19%）第一章随机事件和概率（①10年考题总数：7题②总分值：31分③占第三部分题量之比重：13%④占第三部分分值之比重：12%）题型1求随机事件的概率（一（5），2021；一（5），2021；一（5），2021；十一（2），2021；一（6）；2021；三（22），2021）题型2随机事件的运算（二（13），2021）第二章随机变量及其分布（①10年考题总数：6题②总分值：25分③占第三部分题量之比重：11%④占第三部分分值之比重：10%）题型1 求一维离散型随机变量的分布律或分布函数（九，2021）题型2 依照概率反求或判定分布中的参数（一（5），2021；二（1 4），2021）题型3一个函数为某一随机变量的分布函数或分布密度的判定（一（5），2021）题型4 求一维随机变量在某一区间的概率（一（6），2021）题型5求一维随机变量函数的分布（三（22（Ⅰ），2021）第三章二维随机变量及其分布（①10年考题总数：13题②总分值：59分③占第三部分题量之比重：25%④占第三部分分值之比重：23%）题型1求二维离散型随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布（十一（2），2021；三（22（Ⅱ）），2021；三（22），2021）题型2 已知部分边缘分布，求联合分布律（十二，2021；二（13），2021）题型3 求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数（一（5），2021；三（22（Ⅱ）），2021）题型4 求两个随机变量的条件概率或条件密度函数（十一（1），2 021）题型5 两个随机变量的独立性或相关性的判定或证明（二（5），2 021）题型6 求两个随机变量的相关系数（三（22（Ⅰ）），2021）题型7 求二维随机变量在某一区域的概率（二（5），2021；一（5），2021；一（6），2021）第四章随机变量的数字特点（①10年考题总数：8题②总分值：43分③占第三部分题量之比重：15%④占第三部分分值之比重：17%）题型1 求随机变量的数学期望或方差（九，2021；十二，2021，十一（1），2021）题型2 求随机变量函数的数学期望或方差（二（5），2021；十三，2021；十一，2021）题型3 两个随机变量的协方差或相关系数的求解或判定（二（5），2021；二（14），2021）第五章大数定律和中心极限定理（①10年考题总数：1题②总分值：3分③占第三部分题量之比重：1%④占第三部分分值之比重：1%）题型1 利用切比雪夫不等式估量概率（一（5），2021）第六章数理统计的差不多概念（①10年考题总数：17题②总分值：88分③占第三部分题量之比重：32%④占第三部分分值之比重：35%）题型1 求样本容量（十四，2021）题型2 分位数的求解或判定（二（13），2021）题型3求参数的矩估量量或矩估量值或估量量的数字特点（十，20 21；十三，2021；十二，2021；三（23（Ⅰ）），2021）题型4求参数的最大似然估量量或估量值或估量量的数字特点（十，2021；十三，2021；十二，2021；三（23（Ⅱ）），2021；三（23），2021）题型5 总体或统计量的分布函数的判定或求解（二（6），2021；十二（1），2021；二（14），2021）题型6 讨论统计量的无偏性，一致性或有效性（十二（3），2021）题型7 求统计量的数学期望或方差或两个统计量的协方差（十二，2021；三（23），2021）题型8 求单个正态总体均值的置信区间（一（6），2021）题型9 显著性检验的判定（十五，2021）。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】 A【解析】2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排D 。

所以本题选A 。

（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=()A 1I .()B 2I . ()C 3I .()D 4I .【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

24,D D 两区域关于x 轴对称，而(,)cos (,)f x y y x f x y -=-=-，即被积函数是关于y 的奇函数，所以240I I ==;13,D D 两区域关于y 轴对称，而(,)cos()cos (,)f x y y x y x f x y -=-==，即被积函数是-1-111xy 1D2D3D4D关于x 的偶函数，所以{}1(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≥≤≤=>⎰⎰； {}3(,),012cos 0x y y x x I y xdxdy ≤-≤≤=<⎰⎰.所以正确答案为A.（3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。

解析历年考研数学概率论真题掌握解题技巧解析历年考研数学概率论真题掌握解题技巧考研数学概率论是考研数学中的重要考点之一，掌握好这一部分的解题技巧对于考生来说至关重要。

为了帮助考生更好地备考概率论，本文将对历年考研数学概率论真题进行解析，并分享解题技巧。

一、概率基本概念题解析概率基本概念题是概率论考研题的基础，常考的概念包括样本空间、随机事件、事件的概率等。

在解答这类题目时，首先要熟悉常用的概率公式和性质，例如全概率公式、加法公式、乘法公式等。

此外，要注意题目中所给信息的关键词，并灵活运用相关知识进行分析和推导。

二、概率分布题解析概率分布题主要考察离散型和连续型随机变量的概率分布、期望与方差等内容。

在解答这类题目时，首先要明确所给的随机变量的类型，并找出其概率分布函数或概率密度函数。

对于离散型随机变量，要求掌握求期望与方差的公式，并利用公式进行计算；对于连续型随机变量，需要熟悉求定积分的方法。

此外，还要注意题目中与期望与方差相关的条件，灵活运用相关定理与性质进行解答。

三、概率计算题解析概率计算题是考研数学概率论真题中的常见题型，主要考察条件概率、事件独立性、随机变量函数的分布等知识点。

在解答这类题目时，首先要确定所给的事件或随机变量之间的关系，根据题目信息计算所求的概率或期望。

对于条件概率题目，要熟悉条件概率的定义和计算方法，利用贝叶斯公式和全概率公式解答问题。

对于事件独立性题目，要注意理解事件独立的概念和判定条件，利用事件独立性的性质进行计算。

此外，对于随机变量函数的分布题目，要了解随机变量函数的定义和计算方法，利用分布函数的性质进行推导和计算。

四、解析证明题解析解析证明题在考研数学概率论真题中也是常见的考察形式，主要考察考生对概率论基本定理和性质的理解与掌握程度。

在解答这类题目时，要深入理解题目所给定理的条件和结论，并结合相关的定义、公式和性质进行证明。

需要注意的是，证明过程要严谨、清晰，并具有一定的逻辑性。