《数列的综合应用》教案

个 性 化 教 案

授课时间 备课时间 年级

高三

学生姓名 教师姓名

课题

数列的进一步认识

教学目标 （1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式，以及非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

（2）理解与掌握“等价转化”、“变量代换”思想

（3）能在具体的问题情境中识别数列的相应关系，并能用相关知识解决相应的问题

教学重点 1、数列求和的几种常见方法

2、识别数列的相关关系，并能利用“等价转化”、“变量代换”思想解决相关数列问题

教学设计

教学内容 一、检查并点评学生的作业。检查过程中，要特别注意反映在学生作业中的知识漏洞，并

当场给学生再次讲解该知识点，也可出题让学生做，检查效果。

二、检查学生上节课或在校一周内的知识点掌握情况，帮助学生再次梳理知识。

三、讲授新内容 数列求和

数列求和的常用方法 1、公式法

（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和； （2）一些常见的数列的前n 项和：

2)

1(1+=

∑=n n k n

k )12)(1(6

1

1

2++=

∑=n n n k n

k 22

1

3)1(4

1+=

∑=n n k n

k 2、倒序相加法

如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的

前n 项和即可用倒序相加法。等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；

例：n S =1*2+2*4+3*8+……+n*n 2①

2n S =1*4+2*8+3*16+……+（n-1）*n 2+n*12+n ② ①-②得 -n S =2-（4+8+16+……+n 2）-n*12+n 即：n S =（n-1）12+n -6

4、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；

注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

例：n S =

21+61+……+n n )1(1-=1-21+21-31+……+11-n -n 1=1-n 1=n

n 1

-

5、分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；

例：n S =1+2+3+4+5+7+8+9+16+……+2n-1+n 2=(1+3+……+2n-1)+（2+4+……+n

2）

=2n +12+n -2

6、并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如(1)()n

n a f n =-类型，可采

用两项合并求解。

例：n S =2

100-2

99+2

98-2

97+……+22-2

1=（100+99）+（98+97）+……+（2+1）=5050

● 数列的综合应用

1、等差数列与等比数列综合题

● 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；

● 利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联

立方程求解。 例：在数列

{}

n a 中，

11

a =，

22

a =，且

11

(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．

（Ⅰ）设

1n n n

b a a +=-（*

n N ∈），证明

{}

n b 是等比数列；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若3

a 是6

a 与

9

a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等

差中项．

2、以等差数列为模型的实际应用

● 解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

● 解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：

从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：

例：气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n

天的维修保养费为

10

49+n 元（n ∈*

N ）,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天?

3、以等比数列为模型的实际应用

● 函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n 项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。

● 与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。这都与等比数列有关。

例：我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决

定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比