2.4等比数列学案(第1课时)

2.4等比数列(第1课时)学习目标1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:定义:通项公式:a n=a1+(n-1)d,(n∈N*).前n项和公式:S n==na1+d,(n∈N*).问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-1,1,…二、信息交流,揭示规律1.定义:如果一个数列从第2项起, ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).2.数学表达式: .结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0.3.通项公式:等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a2q2=a1q3,归纳猜测得到: .三、运用规律,解决问题【例1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-,-,….【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.四、变式训练,深化提高A. B. C. D.2A. B. C. D.2变式训练3:在等比数列{a n}中,a5=-16,a8=8,则a11等于( )A.-4B.±4C.-2D.±2五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.二、信息交流,揭示规律1.每一项与它的前一项的比等于同一常数2.=q(n∈N*)3.a n=a1q n-1三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;(3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列.【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是a n,那么:经过1年,剩留量为a1=1×0.84=0.84,经过2年,剩留量为a2=0.84a1=0.84×0.84=0.842,经过3年,剩留量为a3=0.84a2=0.84×0.842=0.843,……经过n年,剩留量为a n=0.84a n-1.因此a n构成一个等比数列{a n},其中a1=0.84,q=0.84.设a n=0.5,则0.84n=0.5两边取对数,得lg0.84n=lg0.5,于是nlg0.84=lg0.5,n=用计算器算得n≈4.答:这种物质的半衰期大约为4年.【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么两式相比得q=,代入其中一个方程,得a1=,因此,a2=a1q==8.(2)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么a9=a1q8,即=a1,解得a1=2916.四、变式训练,深化提高变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解.因此=2.选D.答案:D答案:B答案:A五、反思小结,观点提炼略。

§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析 由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一 等比数列通项公式的应用【例1】 在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一 由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明 令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解 法一 由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解 令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1， 故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析 设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案 －60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案 －25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解 不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

2. 4等比数列教案（一）授课类型：新授教学目标（一） 知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式． （二） 过程与能力目标 1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程一、情境导入：下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，…，263; ① 1，21，41，81，…； ② 1，3220,20,20，…； ③ ......1098.1,1098.1,0198.132④对于数列①，n a =12-n ;1-n n a a =2（n ≥2）．对于数列②， n a =121-n ；211=-n n a a （n≥2）．对于数列③，n a =120-n ;1-n na a =20（n ≥2）． 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数． 二、检查预习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ， )0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， )0,(≠=B A AB a n n3．｛a n ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a nn 4．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）22,1,2)4(;,83.21,32 ，…….三、合作探究（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ （4）常数列都是等比数列吗？ 四交流展示1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ； ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q=1时，{a n }为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 2.等比数列的通项公式1: )0,(111均不为q a q a a n n -⋅= 观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … … )0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a an n =-1 所以11342312--=⋅⋅n n n q a aa a a a a a ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ， 等比数列的通项公式2: )0(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，五精讲精练例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：23231218=⇒=q.316328,832122132=⨯===⨯==∴q a a q a a 点评：考察等比数列项和通项公式的理解变式训练一：教材第52页第1例2．求下列各等比数列的通项公式：;8,2 )1(31-=-=a a n n a a a 32,5 )2(11-==+且解：(1)24213±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或(2)111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。

等比数列（第一课时）导学案
一、教学目的
一、定义
1．等比数列的概念
如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示(q ≠0)．
数学符号：
二、等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

三、通项公式
1、通项公式推导
请类比等差数列的推倒方法推导等比数列通项公式 法一：递推法
由等差数列定义得 由等比数列定义得
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
d
a a +=12d a a 213+=d
a a 314+
=
法二：
等差数列（叠加法） 等比数列（ 法） ……
等式左右两端分别相加
通项公式：
2、公式变形
d
n a a n )1(1-+=d a a =-1
2d a a =-2
3d a a =-3
4d
a a n n =---21d
a a n n =--1d
n a a n )1(1-=-d n a a n )1(1-+=
四、实际应用
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项
2.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的物质是原来的25％，这种物质经过多久剩留1％？（精确到1年）
3、已知数列是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格。

从中能否得出什么结论？并证明你的结论。

4、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，求这三个数.。

等比数列(1)教学目标：1通过实例理解等比数列的概念。

2．探索并掌握等比数列的通项公式，会解决已知na 、1a 、q 、n 中的三个，求另外一个的问题。

3．培育学生的观察、归纳能力。

教学重点：1．等比数列的概念。

2．等比数列的通项公式。

教学难点：等比数列"等比"特征的理解、掌握及应用。

教学方式：启发式、归纳法教学。

一．知识引入：1.问题探索：国王为何不能兑现许诺国王为何不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏许诺？印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想取得什么样的奖赏，大臣说："陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。

并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人。

"国王以为这位大臣的要求不算多，就爽块地承诺了。

国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。

国王这才发现，即便把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏许诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？计算结果是。

用等比数列求和公式，可以算出结果为。

即共有18，446，744，073，709，551，615粒麦子，结果按每35粒重1克估算，这些麦子共重5270亿吨，以那时的生产能力计算，这些麦子需要全世界所有耕地在两千年内才能生产出来。

如此庞大数量的麦子国王能拿得出来！2.观察下列数列，写出它们的一个通项公式和递推公式，并说出它们的一路特征： 1）国际象棋棋查问题里的麦粒数的数列：1，2，4，8，…，6322）讲义54页《庄子》中"一尺之棰"的论述3）某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，平均增加率为10％，近十年的国内生产总值别离是：2000，2000×,2000×21.1，…，91.12000⨯4）某种汽车购入价是10万元，每一年折旧率为15％，这辆车每一年开始时的价值别离是：10，10×, 285.010⨯,38510⨯,…。

2．4 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简洁应用.2.把握等比中项的概念并会应用.3.把握等比数列的通项公式了解其推导过程．[学问链接]下列推断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 答案 (1)(3)(4) [预习导引]1．等比数列的概念：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项的概念：假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .3．等比数列的通项公式：已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.要点一 等比数列通项公式的基本量的求解 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)由于⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8，①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.(2)法一 由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二 由于a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是依据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q .跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4.(2)由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－25－n 或a n ＝2n －1. 要点二 等比中项的应用例2 等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法 由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解 由题意知b 2＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－24332＝⎝⎛⎭⎫326， ∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝⎛⎭⎫－322，解得a ＝23； bc ＝⎝⎛⎭⎫－243322＝⎝⎛⎭⎫－3210，解得c ＝⎝⎛⎭⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝⎛⎭⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎫327. 要点三 等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列： 证明a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1,2,3，…)． 又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1， ∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法 推断一个数列是否是等比数列的常用方法有 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式． 解 ∵S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，所以q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B A －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}． 跟踪演练4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 A解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝16.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不行能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应留意分子、分母次序不能颠倒．(3)假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2.等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来推断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B. 8 C. 16 D. 32 答案 C解析 由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.4．假如－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________． 答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25. 二、力量提升9．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.10．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B 解析∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.11．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.12．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1b 2b 3＝－3，求数列{a n }的通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a n ＝2b n ， ∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 2a na n －1＝log 2q ， ∴{b n }为等差数列，且d ＝log 2q ，而⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3，b 1·b 2·b 3＝b 1(b 1＋d )(b 1＋2d )＝－3， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝－2.∴b n ＝2n －3或5－2n .∴a n ＝22n －3或a n ＝25－2n . 三、探究与创新13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的表达式．(1)证明 法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2. ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.。

课题第2.4 等比数列（第一课时）教学目标1、知识与技能：1、掌握等比数列的定义；2、理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3、运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

2、过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念，通过对等比数列定义和通项公式的探求，引导学生运用观察、类比、分析、归纳的推理方法，提高学生的逻辑思维能力，培养学生良好的思维品质。

3、情感、态度与价值观：1、培养学生的发现意识；2、提高学生的创新意识；3、提高学生的逻辑推理能力；4、增强学生的应用意识。

教学重点和难点：本节重点是等比数列定义、通项公式的探求及运用。

本节难点是等比数列通项公式的探求。

教学方法:比较式教学法与问题引导式教学法相结合。

教学过程：一、复习回顾回顾等差数列的定义，等差中项的定义，通项公式及通项公式的探求方法。

二、新课1、引入：观察下列数列，找出规律填空，并找出它们的共同特点：（1）1，2，4，（ ），16，…；（2）3，9，（ ），81，…；（3）1， 1/2，1/4， 1/8，（ ），…；特点：q a a 12=，q a a 23=，…，q a a n n 1-=q a a =12，q a a =23，…q a a n n =-1， （类比等差数列定义让学生给出等比数列定义）2、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q 表示(0≠q ) 符号语言：q a a n n =+1 ，)1(1>=-n q a a n n 1342312a a a a a a a a q n=====Λ注意：任一项00≠≠q a n 且引导学生对定义进行认识和理解。

练习1:判断下列数列是否等比数列，不是等比数列说明理由，是等比数列的求出公比。

（1）1，-1/3，1/9，-1/27，…（2）1，2，4，8，12，16，20，…（3）数列﹛a n ﹜的通项公式为a n =132n • （4）1，1，1，…，1（5）0，0，0，…引导学生对等比数列定义再认识和进一步理解。

四周③ 2.4等比数列（1）一、学习目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

二、学习重难点学习重点：等比数列的定义及通项公式学习难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题三、学法指导通过精读教材研读学习目标，认真思考。

结合等差数列，通过类比，归纳，通过合作学习，探究学习，质疑对抗完成本节的学习内容四、知识链接1．等差数列：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 表示。

2．等差数列的通项公式：=n a 或=n a +m a3．有几种方法可以计算公差d ① d=1+n a － ② d =()1-n ③ d =()m n a a -4．等差中项：a,A,b 成等差数列⇔A=五、学习过程问题1、阅读教材48页回答下列问题：（1）、每次细胞分裂的个数组成的数列为（2）“一尺之棰，日取其半” 一尺之棰看成单位1则组成的数列为（3）病毒每一轮感染的计算机数组成的数列（4）各年末的本利和组成的数列（5）可以看到这四个数列的共同特点是什么问题2、等比数列：上面的四个数列都是等比数列，公比依次是（1） ；（2） ；（3） ；（4） .问题3、判断下列数列是否为等比数列，如果是的话那么公比是多少？（1） 0，2，4，8，16. （2）3，3，3，3，3，3.（3） 27，-9，3，-1，31 （4）5，0，5，0，5，0.问题4、（1）等比数列的公比q 能否为0，为什么？（2）等比数列的首项能否为0，为什么？（3）写出一个既是等差数列又是等比数列的数列问题5、等比中项的概念:问题6、（1）两个数的等差中项唯一，两个数的等比中项唯一吗？为什么？（2）等比中项中所对应的第一项和第三项的正负有什么关系问题7、类比等差数列通项公式的推导过程推导等比数列的通项公式（1）设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q方法一： 方法二：()q a a 11= q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,,, ； ()q a a 12=; 上面有 等式()()q a q a a 123==; 将这 个等式两边分别()()()q a q a q a a 1234===; 得到的结果是…………………………… 于是有()();11q a q a a n n ===-于是有 .（2）等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则通项公式n a = ：六、例题讲解要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1.在等比数列{}n a中（1）a4＝2，a7＝16，求a1与q及通项公式a n；（2）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，a n＝1，求n.要点二等比中项的应用例2.已知a，3，b，243，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．要点三等比数列的应用例3、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）七、达标训练【A】1．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则a2等于()A．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32【B】2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24 B．0 C．12 D．24【A 】3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )A ．4B ．8C ．6D ．32【A 】4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243【B 】5．在9和243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列 ；在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 ．【A 】6．求下列两个数的等比中项：（1）537537-+与; （2）)0,0(224224≠≠++b a b a b b a a 与【B 】7．在利用电子邮件传播的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少台计算机？八、课堂小结1.等比数列定义的理解：(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零．(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．2.等比中项的理解：当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．。