初中数学二次根式知识点及练习题及答案(1)
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4、不会比较根式的大小5、不会利用二次根式的非负性6、对最简二次根式的条件掌握不牢八、经典例题例1、求下列各数的平方根与算术平方根( )A.36B.81121 C.2-(5) D.41【答案】A.2=36±(6)∴36的平方根为6±,即6± ∴36的算术平方根为6,即B.2981=11121±()∴81121的平方根为911±,即911±∴81121的算术平方根为911,即911 C.25=25±()∴2-(5)的平方根为5±,即5± ∴2-(5)的算术平方根为5,即D.()241=41±∴41的平方根为 ∴41【解析】一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,解答本题注意解题步骤的规范书写,不是完全平方数的正数,它的平方根只能用含有根号的形式表示.练习1、计算:(1 (2)【答案】(1)211=121(2)20.9=0.810.9±表示121的算术平方根,表示0.81的平方根,、的意义是解答本题的关键例2、如果一个正数的平方根为3a-5和2a-10,求这个正数【答案】由题意得,3a-5+2a-10=0得a=3∴3a-5=4∴这个数为24=16【解析】一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,而互为相反数的两个数相加为0,故(3a-5)+(2a-10)=0.求出a后,可知3a-5与2a-10的值,在考虑哪个正数的平方根是3a-5,2a-10的值即可。
练习1、x为何值时,下列各式有意义。
【答案】解:A.10x-≥,即1x≥有意义B.10x-≥且0x≥,即01x≤≤有意义C.10x+>,即1x>-D.230x+≥,即x都有意义【解析】a≥例3、【答案】解252736<<<<即56<<的整数部分是5【解析】处在哪两个完全平方数之间.例4、:x y【答案】解:33y-1和互为相反数3y-1∴和1-2x互为相反数3y-1+1-2x=0∴:=3:2x y∴互为相反数,则a和b互为相反数,所以本题中3y-1与1-2x 互为相反数例5、实数0.5的算术平方根等于().D.1 2【答案】C【解析】理解算术平方根的意义,把二次根式化成最简形式是解答本题的关键.例6、的算术平方根是()A. 4±B. 4C. 2±D. 2【答案】D【解析】4的算术平方根,4的算术平方根为2.例7、根据下列运算正确的是()3=2 C. (x+2y)2=x2+2xy+4y2 D. A.x6+x2=x3 B.√−8√18−√8=√2【答案】解:A、本选项不能合并,错误;3=-2,本选项错误;B、√-8C、((x+2y)2=x2+2xy+4y2,本选项错误;D、√18-√8=3√2-2√2=√2,本选项正确.故选D【解析】此题考查了完全平方公式,合并同类项,以及负指数幂,幂的乘方,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.例8、)【答案】B综合练习简单1. 式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.<1 B.≥1 C.≤-1 D.<-1【答案】B【解析】由二次根式的意义,知:x-1≥0,所以x≥1.2.如果代数式有意义,那么x的取值范围是()A.x≥0 B.x≠1 C.x>0 D.x≥0且x≠1【答案】D解:根据题意得:x≥0且x﹣1≠0.解得:x≥0且x≠1.故选D.【解析】代数式√x有意义的条件为:x﹣1≠0,x≥0.即可求得x的范围.x-13.要使式子2-x有意义,则x的取值范围是()A.x>0 B.x≥﹣2 C.x≥2 D.x≤2【答案】D解:根据题意得,2﹣x≥0,解得x≤2.【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.4. 下列计算正确的是()=√2 D.3+2√2=5√2 A.4√3-3√3=1 B.√2+√3=√5 C.2√12【答案】C【解析】 A、4√3-3√3=√3,原式计算错误,故本选项错误;B、√2与√3不是同类二次根式,不能直接合并,故本选项错误;=√2,计算正确,故本选项正确;C、2√12D、3+2√2≠5√2,原式计算错误,故本选项错误;根据二次根式的化简及同类二次根式的合并,分别进行各选项的判断即可.5. 若,则=【答案】6【解析】原方程变为:,所以,,由得:=3,两边平方,得:=7,所以,原式=7-1=6中等题1.结果是。
一、选择题1.下列计算正确的是( )A 2=±B 3=-C .(25= D .(23=-2.下列等式正确的是( )A 7=-B 3=C .5D .=3.下列各式计算正确的是( )A =B 6=C .3+=D 2=-4.下列式子中,为最简二次根式的是( )A B C D5.下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D6.化简二次根式 )A B C D7.实数a ,b ,c ,满足|a |+a =0,|ab |=ab ,|c |-c =0,a +b |+|a -c |-( )A .2c -bB .2c -2aC .-bD .b8.有意义,那么直角坐标系中点A(a,b)在( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限 9.下列各式计算正确的是( )A +=B .26=(C 4=D =10.x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件( )A B C D二、填空题11.将(0)a a -<化简的结果是___________________.12.已知112a b +=,求535a ab b a ab b++=-+_____.13.对于任何实数a ,可用[a]表示不超过a 的最大整数,如[4]=4,[3]=1.现对72进行如下操作:72[72]=8[8]=2[2]=1,类似地,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是________. 14.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____.15.已知a 73+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____.16222a a ++的最小值是______. 17.化简二次根式2a 1a+-_____. 18.化简:321x19.已知4a 2(3)|2|a a +--=_____.20.已知x 51-,y 51+,则x 2+xy +y 2的值为______. 三、解答题21.若x ,y 为实数,且y 14x -41x -12.求x y y x ++2-xy y x +-2的值. 2 【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可知:1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0,解得x =14,此时y =12.即可代入求解. 【详解】解:要使y 有意义,必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩,即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x =14.当x =14时,y =12.又∵x y y x ++2-x yy x +-22x yy x⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭2x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=-| ∵x =14,y =12,∴ x y <y x.∴+当x =14,y =12时,原式=.【点睛】(a ≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.22.已知m ,n满足m 4n=3+.【答案】12015【解析】 【分析】由43m n +=2﹣2)﹣3=0,将,代入计算即可.【详解】解:∵4m n +=3,)22﹣2)﹣3=0,)2﹣23=0,+13)=0,=﹣13,∴原式=3-23+2012=12015.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质.23.计算 (1)(4﹣3)+2(2)(3)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天出次品的数量如表:请计算两组数据的方差. 【答案】(1)6﹣3;(2)-6(3)甲的方差1.65;乙的方差0.76【解析】试题分析:(1)先去括号,再合并;(2)先进行二次根式的乘法运算,然后去绝对值合并;(3)先分别计算出甲乙的平均数,然后根据方差公式分别进行甲乙的方差. 试题解析:(1)原式=4﹣3+2=6﹣3; (2)原式=﹣3﹣2+﹣3 =-6;(3)甲的平均数=(0+1+0+2+2+0+3+1+2+4)=1.5,乙的平均数=(2+3+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.2,甲的方差=×[3×(0﹣1.5)2+2×(1﹣1.5)2+3×(2﹣1.5)2+(3﹣1.5)2+(4﹣1.5)2]=1.65; 乙的方差=×[2×(0﹣1.2)2+5×(1﹣1.2)2+2×(2﹣1.2)2+(3﹣1.2)2]=0.76.考点: 二次根式的混合运算;方差.24.先观察下列等式,再回答下列问题:111111112=+-=+;111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律,用含n 的等式表示(n 为正整数).【答案】(1)1120(2)()111n n++(n为正整数)【解析】试题分析:(1)从三个式子中可以发现,第一个加数都是1,第二个加数是个分数,设分母为n,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数,整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积.所以由此可计算给的式子;(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子.试题解析:(1)=1+14−141+=1120,1 1 20(2)1n−1n1+=1+()1n n1+ (n为正整数).a=,也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目,通过阅读找出题目隐含的条件.总结:找规律的题目,都要通过仔细观察找出和数之间的关系,并用关系式表示出来.25.观察下列一组等式,然后解答后面的问题1)1=,1=,1=,1=⋯⋯(1)观察以上规律,请写出第n个等式:(n为正整数).(2(3【答案】(1)1=;(2)9;(3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律,分母有理化,再化简计算.(3)先对两个式子变形,分子有理化,变为分子为1,再比大小.【详解】解:(1)根据题意得:第n个等式为1=;故答案为1=;(2)原式111019==-=;(3-==,<∴>.【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目,解题的关键是掌握平方差公式.26.先化简,再求值:2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y,其中x y ==. 【答案】原式x yx-=-,把x y ==代入得,原式1=-. 【详解】试题分析:先将括号里面进行通分,再将能分解因式的分解因式,约分化简即可. 试题解析:2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ()()()222=x y x y x x xx x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭=y x x y x x y ---⋅+ x yx-=-把x y ==代入得:原式1==-+考点:分式的化简求值.27.先化简,再求值:2443(1)11m m m m m -+÷----,其中2m =.【答案】22mm-+1. 【解析】分析:先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将m 的值代入计算可得.详解:原式=221m m --()÷(31m -﹣211m m --)=221m m --()÷241m m --=221m m --()•122m m m --+-()() =﹣22m m -+=22m m-+当m ﹣2时,原式===﹣1+=1.点睛:本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.28.(1|5-+;(2)已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=,求2(b a +的值.【答案】(1)5;(2)4 【分析】(1)先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算,再进行回头运算即可; (2)先根据二次根式有意义的条件确定b 的值,再根据非负数的和的意义确定a ,c 的值,然后再计算代数式的值即可. 【详解】解:(15-+5)=+5=+5=(2)由题意可知:5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得,30a +=30c-=∴+=,20ac=∴=-,2a322∴+=--=b a((534【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值,熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解,即可得出答案.【详解】解:A,故A选项错误;B,故B选项错误;C选项:2=5,故C选项正确;D选项:2=3,故D选项错误,故选:C.【点睛】此题主要考查了二次根式的性质,正确求解二次根式是解题的关键.2.B解析:B【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值,再得出选项即可.【详解】解:AB3=,故本选项符合题意;C、5=-,故本选项不符合题意;D、=-,故本选项不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简,能熟记二次根式的性质是解此题的关键.3.B解析:B【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断;根据二次根式的乘法法则对B进行判断;根据=对D进行判断.a【详解】解:A不能合并,所以A选项错误;B6=,正确,所以B选项正确;C、3不能合并,所以C选项错误;D22=--=(),所以D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则.4.B解析:B【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.【详解】=,故A不是最简二次根式;2是最简二次根式,故B正确;,故C不是最简二次根式;=D不是最简二次根式;故选:B.【点睛】本题考查最简二次根式,解题的关键是正确理解最简二次根式的定义,本题属于基础题型.5.A解析:A【分析】根据最简二次根式的定义即可得.【详解】A是最简二次根式,此项符合题意B=C 、当0x <D=不是最简二次根式,此项不符题意 故选:A . 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义,熟记定义是解题关键.6.B解析:B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围,然后再利用二次根式的性质进行化简即可 【详解】2202a aa a a +-∴+<∴<-a ∴===故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简,解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围.本题需要重点注意字母和式子的符号.7.D解析:D 【解析】 解:∵|a |+a =0,∴|a |=﹣a ,∴﹣a ≥0,∴a ≤0,∵|ab |=ab ,∴ab ≥0,∴b ≤0,∵|c |﹣c =0,∴|c |=c ,∴c ≥0,∴原式=﹣b +(a +b )﹣(a ﹣c )﹣(c ﹣b )=b .故选D .8.A解析:A 【解析】试题分析:根据二次根式的概念,可知a≥0,ab >0,解得a >0,b >0,因此可知A (a ,b )在第一象限. 故选A9.D解析:D 【分析】根据二次根式的运算法则一一判断即可. 【详解】AB、错误,212=(;C==D==故选:D.【点睛】本题考查二次根式的运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则,属于中考常考题型.10.D解析:D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A、x+3≥0,解得:x≥-3,故此选项错误;B、x-3>0,解得:x>3,故此选项错误;C、x+3>0,解得:x>-3,故此选项错误;D、x-3≥0,解得:x≥3,故此选项正确,故选D.【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件,二次根式的被开方数是非负数.分式的分母不能等于0.二、填空题11..【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】∵a<0.∴a-3<0,∴==.故答案为:.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,正确判断根号内的符号是解题的关键.解析:【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】∵a<0.∴a-3<0,∴(a-=-=故答案为:【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,正确判断根号内的符号是解题的关键.12.13【解析】【分析】由得a+b=2ab,然后再变形,最后代入求解即可.【详解】解:∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值,解答的关键是通过变形找解析:13【解析】【分析】由112a b+=得a+b=2ab,然后再变形535a ab ba ab b++-+,最后代入求解即可.【详解】解:∵112 a b+=∴a+b=2ab∴()5353510ab3===132aba b aba ab b aba ab b a b ab ab+++++-++--故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值,解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 13.255【解析】解:∵[]=1,[]=3,[]=15,所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是255.故答案为255.点睛:本题考查了估算无理数的大小的应用,主要考查学生的阅读能力和解析:255【解析】解:]=1,=3,=15,所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是255.故答案为255.点睛:本题考查了估算无理数的大小的应用,主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力.14.3b【分析】先判断a,b的取值范围,并分别判断a-b,a+b的符号,再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简,计算即可求解.【详解】解:由数轴可知:b>0,a﹣b<0,a+b<0,∴原式=|解析:3b【分析】先判断a,b的取值范围,并分别判断a-b,a+b的符号,再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简,计算即可求解.【详解】解:由数轴可知:b>0,a﹣b<0,a+b<0,∴原式=|b|+|a﹣b|﹣|a+b|=b﹣(a﹣b)+(a+b)=b﹣a+b+a+b=3b,故答案为:3b【点睛】和绝对值的性质是解题的关a键.15.-4【分析】先将a进行化简,然后再进一步分组分解代数式,最后代入求得答案即可. 【详解】解:当a=-=-=-3时,原式=a3+6a2+9a-(a2+6a+9)-7a+3=a(a+3)2-(解析:-4【分析】先将a进行化简,然后再进一步分组分解代数式,最后代入求得答案即可.【详解】-3时,解:当a原式=a3+6a2+9a-(a2+6a+9)-7a+3=a(a+3)2-(a+3)2-7a+3=7a-7-7a+3=-4.故答案为:-4.【点睛】本题综合运用了二次根式的化简,提公因式及完全平方公式法分解因式,熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.16.0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1,再和1作差,即可求解。
初中数学二次根式知识点-+典型题含答案一、选择题 1.已知21025x x -+=5﹣x ,则x 的取值范围是( ) A .为任意实数 B .0≤x≤5 C .x≥5 D .x≤52.下列计算正确的是( )A .916916+=+B .2222-=C .()2236=D .1515533== 3.计算32782-⨯的结果是( ) A .3 B .3- C .23 D .53 4.下列计算正确的是( )A .42=±B .()233-=-C .()255-=D .()233-=-5.下列计算结果正确的是( )A .2+5=7B .3223-=C .2510⨯=D .25105= 6.下列各式中,无意义的是( )A .23-B .()333-C .()23-D .310-7.二次根式23的值是( )A .-3B .3或-3C .9D .38.下列式子一定是二次根式的是 ( ) A .2aB .-aC .3aD .a 9.若ab <0,则代数式可化简为( ) A .a B .a C .﹣a D .﹣a10.下列说法中正确的是( )A 25±5B .两个无理数的和仍是无理数C .-3没有立方根.D 22-a b .11.下列二次根式中是最简二次根式的是( ) A 6B 18C 27D 12 12.下列各组二次根式中,能合并的一组是( )A 1a +1a -B 3和13C 2a b 2abD 318二、填空题13.若0a >,把4a b -化成最简二次根式为________. 14.化简322+=___________.15.已知x=3+1,y=3-1,则x 2+xy +y 2=_____.16.如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____.17.观察下列等式:第1个等式:a 12112=+, 第2个等式:a 23223=+, 第3个等式:a 332+3, 第4个等式:a 45225=+, …按上述规律,回答以下问题: (1)请写出第n 个等式:a n =__________.(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________18.)230m m --≤,若整数a 满足52m a +=a =__________.19.3x -x 的取值范围是______. 20.函数y 4x -中,自变量x 的取值范围是____________. 三、解答题21.先化简,再求值:24211326x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭,其中21x =. 2.【分析】根据分式的运算法则进行化简,再代入求解.【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.=将1x=【点睛】此题主要考查分式的运算,解题的关键是熟知分式的运算法则.22.解:设x222x=+,x=++2334x2=10∴x=10.0.【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可.【详解】设x两边平方得:x2=2+2+即x2=4+4+6,x2=14∴x=.0,∴x.【点睛】本题考查了二次根式的运算,解题的关键是正确理解题意给出的解法,本题属于中等题型.23.像2)=1=a(a≥0)、﹣1)=b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1,﹣因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:(1);+;(2)(3)的大小,并说明理由.【答案】(1(2)(3)<【解析】分析:(1=1,确定互为有理化因式,由此计算即可;(2)确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可;(3与,然后比较即可.,详解:(1) 原式;(2)原式=2+=2+(3)根据题意,-==,><,>点睛:此题是一个阅读题,认证读题,了解互为有理化因式的实际意义,以及特点,然后根据特点变形解题是关键.24.x的值,代入后,求式子的值.【答案】答案见解析.【解析】试题分析:先把除式化为最简二次根式,再用二次根式的乘法法则化简,选取的x的值需要使原式有意义.试题解析:原式==2x ==- 要使原式有意义,则x >2.所以本题答案不唯一,如取x =4.则原式=225.先观察下列等式,再回答下列问题:111111112=+-=+;111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律,用含n 的等式表示(n 为正整数).【答案】(1)1120(2)()111n n ++(n 为正整数) 【解析】试题分析:(1)从三个式子中可以发现,第一个加数都是1,第二个加数是个分数,设分母为n ,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数,整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积.所以由此可计算给的式子;(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子.试题解析:(1)=1+14−141+=1120,1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =,也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目,通过阅读找出题目隐含的条件.总结:找规律的题目,都要通过仔细观察找出和数之间的关系,并用关系式表示出来.26.计算②)21-【答案】① 【分析】 ①根据二次根式的加减法则计算;②利用平方差、完全平方公式进行计算.【详解】解:①原式=②原式=(5-2-=【点睛】本题考查二次根式的运算,熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键.27.(1|5-+;(2)已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=,求2(b a +的值.【答案】(1)5;(2)4【分析】(1)先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算,再进行回头运算即可;(2)先根据二次根式有意义的条件确定b 的值,再根据非负数的和的意义确定a ,c 的值,然后再计算代数式的值即可.【详解】解:(15-+5)=+5=+5=(2)由题意可知:5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得,30a +=30a ∴+=,20c -=3a ∴=-,2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值,熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键.28.计算(1(2)21)-【答案】(1)4;(2)3+【分析】(1)先把各根式化为最简二次根式,再去括号,合并同类项即可;(2)利用平方差公式和完全平方公式计算即可.【详解】解:(1)解:原式=4=+4=-(2)解:原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,注意先化简,再进一步利用计算公式和计算方法计算.29.已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析:(1)根据已知条件先计算出x+y=4,再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=(x+y )²,然后利用整体代入的方法计算.本题解析:∵x² +2xy+y² =(x+y)²,∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.30.02020((1)π-.【答案】【分析】本题根据零次幂,最简二次根式,整数次幂的运算规则求解即可.【详解】=-=原式11【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合,需牢记非零常数的零次幂为1,二次根式运算时需化为最简二次根式,其次注意计算仔细.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0,求出即可.【详解】==-=-,|5|5x x∴5-x≥0,解得:x≤5,故选D.【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用,注意:当a≥0,当a≤0.2.D解析:D【解析】==,5=⨯=,选项D正确.=,(243123.A解析:A【分析】先计算二次根式乘法,再合并同类二次根式即可.【详解】原式=故选:A.【点睛】本题考查二次根式的运算,熟练掌握运算法则是解题关键.4.C解析:C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解,即可得出答案.【详解】解:A,故A选项错误;B,故B选项错误;C选项:2=5,故C选项正确;D选项:2=3,故D选项错误,故选:C.【点睛】此题主要考查了二次根式的性质,正确求解二次根式是解题的关键.5.C解析:C【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可.【详解】A不能合并,故A选项错误;B.-=B选项错误;C===,故D选项错误,D故选C.【点睛】本题考查了二次根式的运算,分母有理化,熟练掌握各运算法则是解题的关键.6.A解析:A【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案.【详解】AB,有意义,不合题意;CD 、33110=10-,有意义,不合题意; 故选A.【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质,正确把握二次根式的定义是解题关键.7.D解析:D【分析】根据二次根式的性质进行计算即可.【详解】|3|3=.故选:D .【点睛】 (0)0(0)(0)a a a a a a ><⎧⎪===⎨⎪-⎩.8.A解析:A【分析】根据二次根式的定义,直接判断得结论.【详解】A A 正确;B 、0a <B错误;C 是三次根式,故C 错误;D 、0a <D 错误;故选:A .【点睛】0a ≥)是二次根式,注意二次根式的被开方数是非负数.9.C解析:C【解析】【分析】二次根式有意义,就隐含条件b <0,由ab <0,先判断出a 、b 的符号,再进行化简即可.【详解】解:若ab <0,且代数式有意义; 故由b >0,a <0; 则代数式故选:C .【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用:当a >0时,,当a <0时,,当a=0时,. 10.D解析:D【分析】根据算术平方根和平方根的概念,无理数的概念立方根的概念,和二次根式的概念逐一判断即可.【详解】255=,故A 选项错误;0ππ-+=,故B 选项错误;-33333-=,故C 选项错误;22-a b D 选项正确;故选D .【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别,无理数、二次根式和立方根的概念,题目较为综合,熟练掌握相关概念是本题的关键.11.A解析:A【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.【详解】A 6是最简二次公式,故本选项正确;B 1832C 2733D 12=23故选A .【点睛】本题考查了最简二次根式,掌握最简二次根式的定义是解题的关键.12.B解析:B【分析】先化简,再根据同类二次根式的定义解答即可.【详解】解:A、是最简二次根式,被开方数不同,不是同类二次根式;BCD故选B.【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义,解题关键是熟记同类二次根式的定义.二、填空题13.【分析】先判断b的符号,再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解:∵∴∴所以答案是:【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析:【分析】先判断b的符号,再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解:∵40,0 aab-≥>∴0b<2a bb b b=--所以答案是:【点睛】a=. 14.+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 15.10【解析】根据完全平方式的特点,可得x2+xy+y2=(x+y )2﹣xy=(2)2﹣(+1)(﹣1)=12﹣2=10.故答案为10.解析:10【解析】根据完全平方式的特点,可得x 2+xy+y 2=(x+y )2﹣xy=(2﹣1)=12﹣2=10.故答案为10. 16.﹣2b【解析】由题意得:b <a <0,然后可知a-b >0,a+b <0,因此可得|a ﹣b|+=a ﹣b+[﹣(a+b )]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b .故答案为﹣2b .点睛:本题主要考查了二次根式和绝对解析:﹣2b【解析】由题意得:b <a <0,然后可知a-b >0,a+b <0,因此可得|a ﹣=a ﹣b+[﹣(a+b )]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b .故答案为﹣2b .点睛:本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简.特别因为a .b 都是数轴上的实数,注意符号的变换. 17.【分析】(1)由题意,找出规律,即可得到答案;(2)由题意,通过拆项合并,然后进行计算,即可得到答案.【详解】解:∵第1个等式:a1=,第2个等式:a2=,第3个等式:=1-【分析】(1)由题意,找出规律,即可得到答案;(2)由题意,通过拆项合并,然后进行计算,即可得到答案.【详解】解:∵第1个等式:a 11=,第2个等式:a 2=,第3个等式:a 3,第4个等式:a 42=, ……∴第n== (2)123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-;1-.【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算,以及数字规律问题,解题的关键是掌握题目中的规律,从而进行解题18.【分析】先根据确定m 的取值范围,再根据,推出,最后利用来确定a 的取值范围.【详解】解:为整数为故答案为:5.【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小,利用解析:5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围,再根据m a +=32a ≤≤,最后利用78<<来确定a 的取值范围.【详解】 解:()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为:5.【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小,利用“逼近法”得出围是解此题的关键.19.且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得.【详解】由题意得:,解得且,故答案为:且.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件,熟练掌握分解析:3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得.【详解】由题意得:2030x x +≠⎧⎨-≥⎩, 解得3x ≤且2x ≠-,故答案为:3x ≤且2x ≠-.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件,熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键.20.x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零,可得答案.【详解】解:由y=,得4-x≥0且x-2≠0.解得x≤4且x≠2.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,利用被开方解析:x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零,可得答案.【详解】,得4-x≥0且x-2≠0.解:由y=x-2解得x≤4且x≠2.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键.三、解答题21.无22.无23.无24.无25.无26.无27.无28.无29.无30.无。
数学二次根式知识点及练习题含答案(1)一、选择题1.下列计算正确的是( )A =B .3=C 2=D 2.下列计算正确的为( ).A 5=-B =C .2+=+D 2=3.下列运算正确的是( )A =B . 3C =﹣2D =4.(2的结果正确的是( )A B .3 C .6D .35.下列运算中,正确的是( )A =3B .=-1C D .36.下列式子一定是二次根式的是 ( )A B C D7.若化简的结果为2x ﹣5,则x 的取值范围是( ) A . x 为任意实数 B .1≤x ≤4C .x ≥1D . x ≤48.设1199++S 的最大整数[S]等于( ) A .98B .99C .100D .1019.下列计算正确的是( )A =B =C 6=-D 1=10.若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为( ) A .3B .4C .6D .911.已知实数x 、y 满足2y =,则yx 值是( )A .﹣2B .4C .﹣4D .无法确定12.估计(12+6)3÷的值应在( ) A .1和2之间B .3和4之间C .4和5之间D .5和6之间二、填空题13.若0a >,把4ab-化成最简二次根式为________. 14.(1)已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________;(2)已知正整数p ,q 满足32016p q +=,则整数对()p q ,的个数是_______________;(3)△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 15.设a ﹣b=2+3,b ﹣c=2﹣3,则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____. 16.计算()623÷+=________________ .17.将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ,n )表示第m 排从左向右第n 个数,则(5,4)与(9,4)表示的两数之积是______.18.已知整数x ,y 满足20172019y x x =+--,则y =__________.19.4x -x 的取值范围是_____. 20.12a 1-能合并成一项,则a =______.三、解答题21.先观察下列等式,再回答问题: 2211+2+()1=1+1=2;12=2 12;=3+13=313;… (1)根据上面三个等式提供的信息,请猜想第四个等式;(2)请按照上面各等式规律,试写出用 n (n 为正整数)表示的等式,并用所学知识证明.【答案】(1=144+=144;(2=211n n n n++=,证明见解析. 【分析】(1)根据“第一个等式内数字为1,第二个等式内数字为2,第三个等式内数字为3”,=414+=414;(2=n 211n n n++=”,再利用222112n n n n++=+()()开方即可证出结论成立.【详解】(1=1+1=2=212+=212;=313+=313;里面的数字分别为1、2、3,= 144+= 144.(2=1+1=2,=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=.证明:等式左边==n 211n n n++==右边.=n 211n n n++=成立. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类,解题的关键是:(1)猜测出第四个等式中变化的数字为4;(2)找出变化规律=n 211n n n++=”.解决该题型题目时,根据数值的变化找出变化规律是关键.22.已知x=2,求代数式(7+x 2+(2)x【答案】2【解析】试题分析:先求出x 2,然后代入代数式,根据乘法公式和二次根式的性质,进行计算即可.试题解析:x 2=(2)2=7﹣则原式=(7﹣+(2=49﹣23.阅读下面的解答过程,然后作答:m 和n ,使m 2+n 2=a 且,则a 可变为m 2+n 2+2mn ,即变成(m +n )2例如:∵=)2+)2=)2∴请你仿照上例将下列各式化简(12【答案】(1)2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解:(1)∵22241(1+=+=,1=(2)∵2227-=-=,∴==24.在学习了二次根式后,小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如:2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究:当a b m n 、、、为正整数时,若2a n +=+),则有22(2a m n =+,所以222a m n =+,2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a b m n 、、、为正整数时,若2a n =+),请用含有mn 、的式子分别表示a b 、,得:a = ,b = ;(2)填空:13-( - 2;(3)若2a m +=(),且a m n 、、为正整数,求a 的值.【答案】(1)223a m n =+,2b mn =;(2)213--;(3)14a =或46. 【解析】 试题分析:(1)把等式)2a n +=+右边展开,参考范例中的方法即可求得本题答案;(2)由(1)中结论可得:2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩,结合a b m n 、、、都为正整数可得:m=2,n=1,这样就可得到:213(1-=-;(3)将()2a m +=+右边展开,整理可得:225a m n =+,62mn =结合a m n 、、为正整数,即可先求得m n 、的值,再求a 的值即可.试题解析:(1)∵2a n =+),∴223a m n +=++, ∴2232a m n b mn =+=,;(2)由(1)中结论可得:2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ,∵a b m n 、、、都为正整数, ∴12m n =⎧⎨=⎩ 或21m n =⎧⎨=⎩ , ∵当m=1,n=2时,223713a m n =+=≠,而当m=2,n=1时,22313a m n =+=, ∴m=2,n=1,∴(2131--;(3)∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+,62mn = , 又∵a m n 、、为正整数,∴=1=3m n ,, 或者=3=1m n ,,∴当=1=3m n ,时,46a =;当=3=1m n ,,14a =, 即a 的值为:46或14.25.小明在解决问题:已知2a 2﹣8a+1的值,他是这样分析与解的:∵=2 ∴a ﹣2=∴(a ﹣2)2=3,a 2﹣4a+4=3 ∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2(a 2﹣4a )+1=2×(﹣1)+1=﹣1 请你根据小明的分析过程,解决如下问题: (1(2)若,求4a 2﹣8a+1的值. 【答案】(1)9;(2)5. 【解析】 试题分析:(1)此式必须在把分母有理化后才能实现化简,即各分式分子分母同乘以一个因式,使得1===.(2)先对a 1 ,若就接着代入求解,计算量偏大.模仿小明做法,可先计算2(1)a - 的值,就能较为简单地算出结果;也可对这个二次三项式进行配方,再代入求值.后两种方法都比直接代入计算量小很多.解:(1)原式=1)+++⋯(2)∵1a ===,解法一:∵22(1)11)2a -=-= , ∴2212a a -+= ,即221a a -=∴原式=24(2)14115a a -+=⨯+= 解法二∴ 原式=24(211)1a a -+-+24(1)3a =--211)3=--4235=⨯-=点睛:(1得22=-=-a b ,去掉根号,实现分母有理化.(2)当已知量为根式时,求这类二次三项式的值,直接代入求值,计算量偏大,若能巧妙利用完全平方公式或者配方法,计算要简便得多.26.计算:(1(041--;(2⎛- ⎝【答案】(1;(2)【解析】试题分析:根据二次根式的性质及分母有理化,化简二次根式,然后合并同类二次根式即可解答.试题解析:(1(041--(2⎛- ⎝-0-=27.【分析】先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 【详解】. 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算,在进行此类运算时,先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.28.先化简,再求值:2443(1)11m m m m m -+÷----,其中2m =.【答案】22mm-+ 1. 【解析】分析:先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将m 的值代入计算可得.详解:原式=221m m --()÷(31m -﹣211m m --) =221m m --()÷241m m --=221m m --()•122m m m --+-()() =﹣22m m -+=22m m-+当m ﹣2时,原式===﹣1+=1.点睛:本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.29.计算:0(3)|1|π-+.【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答. 【详解】解:原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算,熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键.30.先阅读下面的解题过程,然后再解答.a ,b ,使a b m +=,ab n =,即22m +==0)a b ==±>.这里7m =,12n =, 由于437+=,4312⨯=,所以22+==,2===.. 【答案】见解析 【分析】应先找到哪两个数的和为13,积为42.再判断是选择加法,还是减法. 【详解】根据题意,可知13m =,42n =, 由于7613+=,7642⨯=,所以2213+=,====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简,解题关键在于求得13m =,42n =.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D 解析:D 【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断. 【详解】解:AB 、C 2÷=,故错误;D ,故正确.故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算.2.D解析:D 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可. 【详解】A 5=,故A 选项错误;B B 选项错误;C .++=222,故C 选项错误;D 2=,正确, 故选D . 【点睛】本题考查了二次根式的运算,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3.D解析:D 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案. 【详解】解:AB 、=,故此选项错误;C 2,故此选项错误;D,正确;故选:D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,熟练掌握计算法则是关键.4.A解析:A【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项,再合并即可.【详解】=+=解:原式333故选:A.【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算,属于基础题型,熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关键.5.D解析:D【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得.【详解】=+=,此项错误A314==-,此项错误B、23===⨯=,此项错误C2428=,此项正确D、3故选:D.【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算,熟记二次根式的运算法则是解题关键.6.A解析:A【分析】根据二次根式的定义,直接判断得结论.【详解】A A正确;a<B错误;B、0C 是三次根式,故C 错误;D 、0a <D 错误;故选:A .【点睛】0a ≥)是二次根式,注意二次根式的被开方数是非负数.7.B解析:B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|,然后根据x 的取值范围分别讨论,求出符合题意的x 的值即可.【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|,当1-x ≥0,x-4≥0时,可得x 无解,不符合题意;当1-x ≥0,x-4≤0时,可得x ≤1时,原式=1-x-4+x=-3;当1-x ≤0,x-4≥0时,可得x ≥4时,原式=x-1-x+4=3;当1-x ≤0,x-4≤0时,可得1≤x ≤4时,原式=x-1-4+x=2x-5,据以上分析可得当1≤x ≤4时,多项式等于2x-5,故选B .【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简,要注意正负号的变化,分类讨论.8.B解析:B【分析】1111n n =+-+,代入数值,求出=99+1-1100,由此能求出不大于S 的最大整数为99.【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+,∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100-=100-1100,∴不大于S 的最大整数为99.故选B.【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础. 9.B解析:B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可.【详解】与A 选项错误;===B 选项正确;321=-=,所以C 选项错误;与D 选项错误;故选答案为B .【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质,掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键.10.A解析:A根据题意得:|x2–4x,所以|x2–4x+4|=0,即(x–2)2=0,2x–y–3=0,所以x=2,y=1,所以x+y=3.故选A.11.C解析:C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值,然后可得到y的值,最后代入计算即可.【详解】y=,∵实数x、y满足2∴x=2,y=﹣2,-⨯=-4.∴yx=22故选:C.【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.12.B解析:B【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算,估算确定出范围即可.【详解】=∵1<2<4,∴1<2,即3<<4,则原式的值应在3和4之间.故选:B.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,以及无理数的估算,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.二、填空题13.【分析】先判断b的符号,再根据二次根式的性质进行化简即可.解:∵∴∴所以答案是:【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析:【分析】先判断b的符号,再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解:∵40,0 aab-≥>∴0b<2a bb b b=--所以答案是:【点睛】a=.14.(1)2a-2b+1;(2)3;(3)130°或50°. 【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴=|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵,∴,p=20解析:(1)2a-2b+1;(2)3;(3)130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,=|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵32016p q +=, ∴20163p q =-,p=2016-62016+9q, ∴p=14x 3(其中x 为正整数), 同理可得:q=14y 2(其中y 为正整数),则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有(p,q )=(14⨯81,141⨯),或(1436,144)⨯⨯ ,或(149,149⨯⨯)。
二次根式知识点梳理及经典练习知识点1:二次根式的概念1.二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.题型一:二次根式的判定【例1】下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+,其中是二次根式的是_________(填序号). [练一练]:1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、)0(≥a a2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______题型二:二次根式有意义【例2】若式子13x -有意义,则x 的取值范围是 .[练一练]:1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是( )A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mn m 1+-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限题型三:二次根式定义的运用[练一练]:A.-1 B.1 C.2 D.3题型四:二次根式的整数部分与小数知识点2:二次根式的性质常用到.注意:(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.题型一:二次根式的双重非负性【例4】若()2240a c -+-=,则=+-c b a .[练一练]:1、若0)1(32=++-n m ,则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数,且()02312=-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 B .– 3 C .1 D .– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______.4、若1a b -+互为相反数,则()2005_____________a b -=。
初中数学二次根式知识点总复习附答案(1)一、选择题1.实数a、b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简2a a b-+的结果为()A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b【答案】C【解析】试题分析:利用数轴得出a+b的符号,进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可:∵由数轴可知,b>0>a,且 |a|>|b|,()2a ab a a b b+=-++=.故选C.考点:1.绝对值;2.二次根式的性质与化简;3.实数与数轴.2.下列各式计算正确的是()A22221081081082-==-=B.()()()()4949236-⨯-=--=-⨯-=C 11111154949236+==+=D.9255116164==-【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A、C、D进行判断;根据二次根式的乘法法则对B进行判断.【详解】解:A、原式36,所以A选项错误;B、原式49⨯49,所以B选项错误;C、原式133613C选项错误;D、原式255164==-,所以D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.3.已知352x x -+-=,则化简()()2215x x -+-的结果是( ) A .4B .62x -C .4-D .26x - 【答案】A【解析】 由352x x -+-=可得30{50x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5,∴()()2215x x -+-=x-1+5-x=4,故选A.4.当3x =-时,二次根2257m x x ++式的值为5,则m 等于( )A .2B .22C .5D .5 【答案】B【解析】解:把x =﹣3代入二次根式得,原式=10m ,依题意得:10m =5,故m=52210=.故选B .5.下列式子为最简二次根式的是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】【分析】【详解】解:选项A ,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A 符合题意; 选项B ,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B 不符合题意;选项C ,被开方数含能开得尽方的因数或因式, C 不符合题意;选项D ,被开方数含分母, D 不符合题意,故选A .6.已知n 135n 是整数,则n 的最小值是( ).A .3B .5C .15D .25【答案】C【解析】【分析】解:=Q 也是整数,∴n 的最小正整数值是15,故选C .7.x 的取值范围是( ) A .x≥76 B .x >76 C .x≤76 D . x <76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.【详解】∵67x -是被开方数,∴670x -≥,又∵分母不能为零,∴670x ->,解得,x >76; 故答案为:B.【点睛】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数,解题的关键是熟练掌握其意义的条件.8.m 的值不可以是( )A .18m =B .4m =C .32m =D .627m = 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. 18m =4,是同类二次根式,故此选项不符合题意;B. 4m = ,此选项符合题意C. 32m =,是同类二次根式,故此选项不符合题意;D. 627m =3,是同类二次根式,故此选项不符合题意【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义,掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.9.a的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可.【详解】根据题意得,3a-8=17-2a,移项合并,得5a=25,系数化为1,得a=5.故选:D.【点睛】本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键.10.下列运算正确的是()A B.1)2=3-1 C D5-3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项,然后与所给结果进行比较,从而可得出结果.【详解】解:≠,故本选项错误;1)2=3-,故本选项正确;= =4,故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,熟练化简二次根式后,在加减的过程中,有同类二次根式的要合并;相乘的时候,被开方数简单的直接让被开方数相乘,再化简;较大的也可先化简,再相乘,灵活对待.11.下列各式中,属于同类二次根式的是()A B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断.【详解】A的被开方数不同,所以它们不是同类二次根式;故本选项错误;B、C、3的被开方数相同,所以它们是同类二次根式;故本选项正确;D故选:C.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义:化成最简二次根式后,被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式.12.的结果是A.-2 B.2 C.-4 D.4【答案】B【解析】=-=22故选:B13.下列各式中,不能化简的二次根式是()A B C D【答案】C【解析】【分析】A、B选项的被开方数中含有分母或小数;D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9;因此这三个选项都不是最简二次根式.所以只有C选项符合最简二次根式的要求.【详解】=,被开方数含有分母,不是最简二次根式;解:A2B 10=,被开方数含有小数,不是最简二次根式;D =,被开方数含有能开得尽方的因数,不是最简二次根式;所以,这三个选项都不是最简二次根式.故选:C .【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意:(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.14.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( )ABC D 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质化简,根据同类二次根式的概念判断即可.【详解】A =不是同类二次根式;B 2=是同类二次根式;C b ==D 不是同类二次根式;故选:B .【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.15.a =-成立,那么a 的取值范围是( )A .0a ≤B .0a ≥C .0a <D .0a >【答案】A【解析】【分析】由根号可知等号左边的式子为正,所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0,所以a≤0,所以答案选择A 项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围,等号两边的值相等是解答本题的关键.16.下列计算正确的是( )A .3=B =C .1=D 2= 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得.【详解】A 、=,错误;BC 、2==D 2==,正确; 故选:D .【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则.17.计算201720192)2)的结果是( )A .B 2C .7D .7- 【答案】C【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 201722)2)]2)⋅,然后根据平方差公式和完全平方公式计算.【详解】解:原式=201722)2)]2)+⋅=2017(34)(34)-⋅-1(7=-⨯-7=故选:C .【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.18.如图,矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2,则图中阴影部分的面积为()A.2 B.6C.236223+--D.23225+-【答案】D【解析】【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合,可得两个阴影部分的图形的长和宽,计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合,如下图所示:222323则阴影面积((=222233+=23225故选:D【点睛】本题考查算术平方根,解答本题的关键是明确题意,求出大小正方形的边长,利用数形结合的思想解答.19.下列二次根式中的最简二次根式是()A30B12C8D0.5【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可.【详解】ABC ,不是最简二次根式;D 2,不是最简二次根式; 故选:A .【点睛】此题考查最简二次根式的概念,解题关键在于掌握(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.20.若代数式x 有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≥1B .x≥2C .x >1D .x >2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x 的不等式组,解不等式组即可得.【详解】由题意得 200x x -≥⎧⎨≠⎩, 解得:x≥2,故选B.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,分式有意义的条件,熟练掌握相关知识是解题的关键.。
二次根式知识点训练及答案一、选择题1.1=-,那么x的取值范围是()xA.x≥1B.x>1 C.x≤1D.x<16【答案】A【解析】【分析】根据等式的左边为算术平方根,结果为非负数,即x-1≥0求解即可.【详解】由于二次根式的结果为非负数可知:x-1≥0,解得,x≥1,故选A.【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围.2.(的结果在()之间.A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5【答案】B【解析】【分析】的范围,再求出答案即可.【详解】(==22∵45<∴223<<(的结果在2和3之间故选:B【点睛】本题考查了无理数大小的估算,用有理数逼近无理数,求无理数的近似值.考查了二次根式的混合运算顺序,先乘方、再乘除、最后加减,有括号的先算括号里面的.3.a的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可.【详解】根据题意得,3a-8=17-2a,移项合并,得5a=25,系数化为1,得a=5.故选:D.【点睛】本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键.4.下列各式计算正确的是( )A.2+b=2b B=C.(2a2)3=8a5D.a6÷ a4=a2【答案】D【解析】解:A.2与b不是同类项,不能合并,故错误;B不是同类二次根式,不能合并,故错误;C.(2a2)3=8a6,故错误;D.正确.故选D.5.已知n n的最小值是()A.3 B.5 C.15 D.45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n是一个完全平方数,从而可求得答案.【详解】=∵n∴n的最小值为5.故选:B.【点睛】此题考查二次根式的定义,掌握二次根式的定义是解题的关键.6.把-( )A B.C.D【答案】A【解析】【分析】由二次根式-a 是负数,根据平方根的定义将a 移到根号内是2a ,再化简根号内的因式即可.【详解】 ∵10a-≥,且0a ≠, ∴a<0,∴-,∴-= 故选:A.【点睛】此题考查平方根的定义,二次根式的化简,正确理解二次根式的被开方数大于等于0得到a 的取值范围是解题的关键.7.=) A .0x ≥B .6x ≥C .06x ≤≤D .x 为一切实数 【答案】B【解析】=∴x ≥0,x-6≥0,∴x 6≥.故选B.8.-中,是最简二次根式的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个 【答案】A【解析】,不是最简二次根式;22a b -=2|a|b ,不是最简二次根式;22x y +, 是最简二次根式.共有2个最简二次根式.故选A.点睛:最简二次根式必须满足两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.9.使式子12x x ++-有意义的x 的取值范围是( )A .1x ≥-B .12x -≤≤C .2x ≤D .12x -<<【答案】B【解析】【分析】【详解】解:要使二次根式有意义,则必须满足二次根式的被开方数为非负数, 则1020x x +≥⎧⎨-≥⎩,解得:12x -≤≤ 故选:B .【点睛】本题考查二次根式的性质.10.如图,数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A .点AB .点BC .点CD .点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-<<3,由于25-<2.∴1<45故选:A.【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小,解题的关键是掌握估算无理数大小的方法.11.下列运算正确的是()A.B.C.(a﹣3)2=a2﹣9 D.(﹣2a2)3=﹣6a6【答案】B【解析】【分析】各式计算得到结果,即可做出判断.【详解】解:A、原式不能合并,不符合题意;B、原式=,符合题意;C、原式=a2﹣6a+9,不符合题意;D、原式=﹣8a6,不符合题意,故选:B.【点睛】考查了二次根式的加减法,幂的乘方与积的乘方,完全平方公式,以及分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.12.362g在哪两个整数之间()A.4和5 B.5和6 C.6和7 D.7和8【答案】C【解析】【分析】g2 1.414==362182322≈,即可解答.【详解】362182322g2 1.414==≈,∴322 6.242≈,即介于6和7,故选:C.【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算,解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及2 1.414≈.13.有意义时,a 的取值范围是( ) A .a ≥2B .a >2C .a ≠2D .a ≠-2【答案】B【解析】解:根据二次根式的意义,被开方数a ﹣2≥0,解得:a ≥2,根据分式有意义的条件:a ﹣2≠0,解得:a ≠2,∴a >2.故选B .14.计算÷的结果是( )A .2BC .23D .34【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的运算法则,按照运算顺序进行计算即可.【详解】解:÷ 1(24=⨯÷=16=⨯2=. 故选:A .【点睛】此题主要考查二次根式的运算,根据运算顺序准确求解是解题的关键.15.在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .3x >B .3x ≠C .3x ≥D .0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0,列出关于x 的不等式,求出x 的取值范围即可.【详解】在实数范围内有意义,∴x-3≥0,解得x≥3.故选:C .【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,即被开方数大于等于0.16.当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A .7y ≥-B .9y ≥C .9y <-D .7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围,代入所给函数可得y 的取值范围.【详解】解:由题意得20x -≥,解得2x ≥, 419x ∴+≥,即9y ≥.故选:B .【点睛】本题考查了函数值的取值的求法;根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键.17.如果m 2+m =0,那么代数式(221m m ++1)31m m +÷的值是( )AB .C + 1D + 2 【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简,再把m 2+m =. 【详解】 解:(221m m ++1)31m m+÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ =m 2+m ,∵m2+m=0,∴m2+m=∴原式=故选:A.【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.18.有意义的x的取值范围()A.x>2 B.x≥2C.x>3 D.x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析:分式有意义:分母不为0;二次根式有意义,被开方数是非负数.根据题意,得20{30xx-≥-≠解得,x≥2且x≠3.考点:(1)、二次根式有意义的条件;(2)、分式有意义的条件19.估计2值应在()A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算,得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解.【详解】解:2=∵91216<<<<∴34<<∴估计2值应在3到4之间.故选:A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算,熟练掌握相关知识点是解决问题的关键.20.n的最大值为()A.12B.11C.8D.3【答案】C【解析】【分析】如果实数n取最大值,那么12-n22,从而得出结果.【详解】2时,n取最大值,则n=8,故选:C【点睛】本题考查二次根式的有关知识,解题的关键是理解”的含义.。
中考数学二次根式知识点及练习题含答案一、选择题1.下列根式是最简二次根式的是( )A .4B .21x +C .12D .40.5 2.计算32782-⨯的结果是( ) A .3 B .3- C .23 D .533.下列二次根式中,是最简二次根式的是( )A .15B .8C .13D .264.已知实数a 在数轴上的位置如图所示,则化简2||(-1)a a +的结果为( )A .1B .﹣1C .1﹣2aD .2a ﹣1 5.()555=( ) A .55+B .55+C .525+D .1056.下列运算正确的是( )A 235=B 1823=C .3223=D 1222= 7.下列算式:(1257=2)5x 2x 3x =3)8+502=4257=;(4)33a 27a 63a += ) A .(1)和(3) B .(2)和(4) C .(3)和(4) D .(1)和(4)8.下列计算正确的是( )A 366=±B .422222=C .83266=D a b ab =(a≥0,b≥0)9.1272a -是同类二次根式,那么a 的值是( ) A .﹣2B .﹣1C .1D .2 10.使式子2124x x +-x 的取值范围是( ) A .x≥﹣2 B .x >﹣2 C .x >﹣2,且x ≠2 D .x≥﹣2,且x ≠211.在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2x x y y x x x x y >+=-->++中,二次根式有( )A .2个B .3个C .4个D .5个12.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,称为海伦﹣秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是a ,b ,c ,记2a b c p ++=,那么三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---如图,在ABC ∆中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别记为a ,b ,c ,若5a =,6b =,7c =,则ABC ∆的面积为( )A .66B .63C .18D .192二、填空题13.已知2216422x x ---=,则22164x x -+-=________.14.(1)已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________;(2)已知正整数p ,q 32016p q =()p q ,的个数是_______________;(3)△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________.15.已知72x =-,a 是x 的整数部分,b 是x 的小数部分,则a-b=_______ 16.如果332y x x --,那么y x =_______________________.17.化简(32)(322)+-的结果为_________.18.下列各式:2521+n ③24b 0.1y 是最简二次根式的是:_____(填序号)19.28n n 为________.20.4x -x 的取值范围是_____ 三、解答题21.计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b =0.求a 、b 的值(3)已知abc =1,求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值【答案】(1)22223a a a ----;(2)a =-3,b ;(3)1. 【分析】(1)先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-,此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭,然后根据异分母的加减法法则进行化简即可;(2)根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0,b =0,从而可求出a 、b ; (3)根据abc =1先将所求代数式转化:11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++,2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++,然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】解:(1)原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+- =22223a a a ----;(20b =,∴2a +6=0,b =0,∴a =-3,b ;(3)∵abc =1, ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++,2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++, ∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11 a ab ab a++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性,分式中一些特殊求值题并非一味的化简,代入,求值,熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.22.像2)=1=a(a≥0)、﹣1)=b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1,﹣因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:(1);(2)+;(3)的大小,并说明理由.【答案】(1(2)(3)<【解析】分析:(1=1,确定互为有理化因式,由此计算即可;(2)确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可;(3与,,然后比较即可.详解:(1) 原式;(2)原式=2+=2+(3)根据题意,-==,><,>点睛:此题是一个阅读题,认证读题,了解互为有理化因式的实际意义,以及特点,然后根据特点变形解题是关键.23.已知x=2,求代数式(7+x 2+(2)x【答案】2【解析】试题分析:先求出x 2,然后代入代数式,根据乘法公式和二次根式的性质,进行计算即可.试题解析:x 2=(2)2=7﹣则原式=(7﹣+(2=49﹣24.已知1,2y =. 【答案】1【解析】【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值,把原式根据二次根式的性质进行化简,把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可.【详解】1-8x≥0,x≤18 8x-1≥0,x≥18,∴x=18,y=12,∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值,把已知条件求出x 、y ,把要求的代数式进行正确变形是解题的关键,注意因式分解在化简中的应用.25.-10【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简,然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+.10.【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式,灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键.26.先化简再求值:(a ﹣22ab b a -)÷22a b a-,其中,b=1.【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算,然后再进行分式的乘除法运算,最后将数个代入进行计算即可.【详解】 原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+,当,b=1时,原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.27.已知x y ==求下列各式的值: (1)22x xy y -+; (2).y x x y+ 【答案】(1) 72;(2)8.【分析】计算出xy=12, (1)把x 2-xy+y 2变形为(x+y )2-3xy ,然后利用整体代入的方法计算;(2)把原式变形为2()2x y xy xy+-,然后利用整体代入的方法计算. 【详解】∵x =,y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+=(x+y )2-3xy,=2132-⨯=72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy -⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值:二次根式的化简求值,一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后,注意结果要化到最简二次根式,二次根式的乘除运算要与加减运算区分,避免互相干扰.28.观察下列各式.====…… 根据上述规律回答下列问题.(1)接着完成第⑤个等式: _____;(2)请用含(1)n n ≥的式子写出你发现的规律;(3)证明(2)中的结论.【答案】(1=2(n =+3)见解析 【分析】(1)当n=5==+(2(n(3)直接根据二次根式的化简即可证明.【详解】解:(1==+(2(n(3=(n==+【点睛】此题主要考查探索数与式的规律,熟练发现规律是解题关键.29.计算:(1;(2+2)2+2).【答案】(1-2)【分析】(1)直接化简二次根式进而合并得出答案;(2)直接利用乘法公式计算得出答案.【详解】解:(1)原式=-++-=6+.(2)原式=3434【点睛】本题考查了二次根式的运算,在进行二次根式运算时,可以运用乘法公式,运算率简化运算.30.已知长方形的长a=b=.(1)求长方形的周长;(2)求与长方形等面积的正方形的周长,并比较其与长方形周长的大小关系.【答案】(1)2)长方形的周长大.【解析】试题分析:(1)代入周长计算公式解决问题;(2)求得长方形的面积,开方得出正方形的边长,进一步求得周长比较即可.试题解析:(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)11 4.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.=周长为:428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】可以根据最简二次根式的定义进行判断.【详解】A ,原根式不是最简二次根式;BC 2=,原根式不是最简二次根式;D 、=42=⨯= 故选B .【点睛】本题考查最简二次根式的定义,熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键.2.A解析:A【分析】先计算二次根式乘法,再合并同类二次根式即可.【详解】原式=故选:A .【点睛】 本题考查二次根式的运算,熟练掌握运算法则是解题关键.3.D解析:D【分析】根据最简二次根式的特点解答即可.【详解】A ,故该选项不符合题意;B =C 、D 不能化简,即为最简二次根式,故选:D .【点睛】此题考查最简二次根式,掌握最简二次根式的特点:①被开方数中不含分母;②被开方数中不含能再开方的因式或因数,牢记特点是解题的关键.4.A解析:A【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号,再代入原式进行化简即可【详解】由数轴可知0<a <1,所以,||1a a a =+-=1,选A .【点睛】此题考查二次根式的性质与化简,实数与数轴,解题关键在于确定a 的大小5.B解析:B【分析】根据乘法分配律可以解答本题.【详解】)5=5+故选:B.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法.6.D解析:D【分析】利用二次根式的加减法对A、C进行判断;利用二次根式的性质对B进行判断;利用二次根式的除法法则对D进行判断.【详解】解:A A选项错误;B=B选项错误;C、=C选项错误;=,所以D选项正确.D2故选:D.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.7.B解析:B【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算,分别进行判断,即可得到答案.【详解】(1(2),正确;(3,错误;(4)==故选:B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算,二次根式的性质,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.8.D解析:D=,故A不正确;6=,故B不正确;根据二次根式的除法,可直接得到2根据同类二次根式的性质,可知C不正确;=(a≥0,b≥0)可知D正确.故选:D9.D解析:D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解.【详解】由题意,得7-2a=3,解得a=2,故选D.【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义,即:二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.10.C解析:C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件(分式的分母不为零,二次根式的被开方数为非负数)即可得到结果.【详解】≠,解:由题意得:2x-40∴≠±,2xx+≥,又∵20∴x≥-2.x≠.∴x的取值范围是:x>-2且2故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件,解不等式,是基础题.11.B解析:B【解析】解:当y=﹣2时,y+1=﹣2+1=﹣1,∴y=-2)无意义;当x>0无意义;x >0 共3个.故选B .12.A解析:A【分析】利用阅读材料,先计算出p 的值,然后根据海伦公式计算ABC ∆的面积;【详解】7a =,5b =,6c =.∴56792p ++==,∴ABC ∆的面积S ==故选A .【点睛】考查了二次根式的应用,解题的关键是代入后正确的运算,难度不大.二、填空题13.3【解析】设,则 可化为:,∴,两边同时平方得:,即:,∴,解得:,∴.故答案为:.点睛:本题的解题要点是:设原式中的,从而使原式结构变得简单,这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析:【解析】设24x a -====两边同时平方得:128a a +=++4=,∴3216a =,解得:12a =,===故答案为:32. 点睛:本题的解题要点是:设原式中的24x a -=,从而使原式结构变得简单,这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值,使问题得到解决.14.(1)2a -2b +1;(2)3;(3)130°或50°. 【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴=|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵,∴,p=20解析:(1)2a -2b +1;(2)3;(3)130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴222(1)4a a ab b +--+=|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵32016p q +=, ∴20163p q =-,p=2016-62016+9q,∴p=14x 3(其中x 为正整数),同理可得:q=14y 2(其中y 为正整数),则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有(p,q )=(14⨯81,141⨯),或(1436,144)⨯⨯ ,或(149,149⨯⨯)。
《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论: a ≥0,(a ≥0),(a ≥0),(a ≥0),并利用它们进行计算和化简.【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地,我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释:二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0,(a ≥0); 2.(a ≥0);3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即(a ≥0,b ≥0).5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商, 即()a a a b a b b b=÷=÷或(a ≥0,b >0).要点诠释: (1)二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式,即2()(0a a a =≥).(22a 2()a 要注意区别与联系:①a 的取值范围不同,2()a 中a ≥02a a 为任意值。
②a ≥0时,2()a 2a a ;a <0时,2()a 2a a -.要点三、最简二次根式(1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释:二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况: (1) 被开放数是分数或分式; (2)含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x 是__________时,+在实数范围内有意义?【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意,得由①得:x ≥-由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三:【变式】方程480x x y m -+--=,当0y >时,m 的取值范围是( )A .01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件,求字母x 的取值范围:(1); (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三:【变式】问题探究:因为,所以,因为,所以请你根据以上规律,结合你的以验化简下列各式:(1);(2).【答案】解:(1)==;(2)==.3.我们可以计算出①=2=;=3而且还可以计算=2==3(1)根据计算的结果,可以得到:①当a>0时=a;②当a<0时=.(2)应用所得的结论解决:如图,已知a,b在数轴上的位置,化简﹣﹣.【思路点拨】(1)直接利用a 的取值范围化简求出答案;(2)利用a ,b 的取值范围,进而化简二次根式即可.【答案与解析】解:(1)由题意可得:①当a >0时=a ;②当a <0时=﹣a ;故答案为:a ,﹣a ;(2)如图所示:﹣2<a <﹣1,0<b <1, 则﹣﹣=﹣a ﹣b +(a +b )=0.【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴,正确化简二次根式是解题关键.类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型,应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-()(89)()2132...9891 =2【总结升华】找出规律,是这一类型题的特点,要总结此类题型并加以记忆.举一反三: 2323+-a ,小数部分是b ,求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式()又因为整数部分是a ,小数部分是b 则a =13,b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。
一、选择题1.5﹣x ,则x 的取值范围是( ) A .为任意实数B .0≤x≤5C .x≥5D .x≤52.x 的取值可以是( ) AB .0C .12-D .-13.下列计算结果正确的是( ) AB.3= C=D=4.已知x 1x 2,则x₁²+x₂²等于( ) A .8B .9C .10D .115.x 的取值范围是( ) A .13x ≥ B .13x >C .13x ≤D .13x <6.) A.30 B .C.30D .7.如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是( ). A .5B .4C .3D .28.下列各式计算正确的是( )AB. C.D9.如果a ,那么a 的取值范围是( ) A .a 0=B .a 1=C .a 1≤D .a=0a=1或10.下面有四个命题:①两条直线被第三条直线所截,同位角相等;②0.1的算术平方根是0.01)=5;④如果点P (3-2n ,1)到两坐标轴的距离相等,那么n =1,其中假命题的有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题11.2==________. 12.下面是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第 5 行从左向右数第 3 个数是 ,第 n (n 3≥ 且 n 是整数)行从左向右数第 n 2- 个数是 (用含 n 的代数式表示). 13.若实数x ,y ,m 满足等式()223x y m +-=m+4的算术平方根为________.14.计算:2015·2016=________.15.=_______.16.mn =________. 17.x 的取值范围是_____.18.n 为________.19. (a ≥0)的结果是_________.20.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,称为海伦—秦九韶公式:如果一个三角形的三边长分别是a ,b ,c ,记2a b cp ++=,那么三角形的面积S =ABC 中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别记为a ,b ,c ,若4a =,5b =,7c =,则ABC 面积是_______. 三、解答题21.计算及解方程组:(1-1-)(2)2+(3)解方程组:251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】(1)2)7;(3)102x y =⎧⎨=⎩.【分析】(1)首先化简绝对值,然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可; (2)首先根据完全平方公式化简,然后根据二次根式加减法法则运算即可; (3)首先将第二个方程化简,然后利用加减消元法即可求解. 【详解】(11-1+(11=1(22+)=34-=7-=7-(3)251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得:50x y -= ③ ②-③得: 10x = 把x=10代入①得:y=2∴原方程组的解是:102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,加减消元法解二元一次方程,熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键.22.计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b =0.求a 、b 的值 (3)已知abc =1,求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】(1)22223a a a ----;(2)a =-3,b ;(3)1.【分析】(1)先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-,此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭,然后根据异分母的加减法法则进行化简即可;(2)根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0,b =0,从而可求出a 、b ; (3)根据abc =1先将所求代数式转化:11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++,2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++,然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解:(1)原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----;(20b =,∴2a +6=0,b =0,∴a =-3,b ; (3)∵abc =1, ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++,2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++,∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性,分式中一些特殊求值题并非一味的化简,代入,求值,熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.23.计算: 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简,然后进行计算. 【详解】解:原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简;特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.24.计算(1+(2+-(3)2b ÷ (4)(【答案】(1)234)7. 【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可; (2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可; (3)根据二次根式的乘除法则运算; (4)利用平方差公式计算; 【详解】(1+22=+=;(2==;(3)2b ÷2b =4=;(4)((22=-=7 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了平方差公式.25.(1|5-+;(2)已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=,求2(b a +的值.【答案】(1)5;(2)4 【分析】(1)先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算,再进行回头运算即可; (2)先根据二次根式有意义的条件确定b 的值,再根据非负数的和的意义确定a ,c 的值,然后再计算代数式的值即可. 【详解】解:(15-+5)=+5=+5=(2)由题意可知:5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得,30a +=30a ∴+=,20c -=3a ∴=-,2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值,熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键.26.2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方,再化简二次根式求解即可. 【详解】2020(1)-=1 =1. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,先把二次根式化为最简二次根式,再合并即可.27.计算:(1)-(2)【答案】(1)21 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式,然后合并即可; (2)先利用二次根式的乘除法则运算,再合并即可. 【详解】解:(1)原式==(2)原式3+21==.【点睛】本题考查二次根式的混合运算:在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质.28.已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长;(2)求与长方形等面积的正方形的周长,并比较其与长方形周长的大小关系.【答案】(1)2)长方形的周长大. 【解析】试题分析:(1)代入周长计算公式解决问题;(2)求得长方形的面积,开方得出正方形的边长,进一步求得周长比较即可. 试题解析:(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)114.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.= 周长为:428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0,求出即可. 【详解】|5|5x x ==-=-, ∴5-x≥0, 解得:x≤5,故选D . 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用,注意:当a≥0,当a≤0.2.A解析:A 【分析】根据二次根式有意义,被开方数非负列出不等式,求解,再依此选择合适的选项. 【详解】 解:由题意得: x-1≥0 解之:x≥1.1>. 故选:A . 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件.理解二次根式有意义,被开方数非负是解题关键.3.C解析:C 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可. 【详解】A 不能合并,故A 选项错误;B .-=B 选项错误;C =D5==,故D 选项错误, 故选C . 【点睛】本题考查了二次根式的运算,分母有理化,熟练掌握各运算法则是解题的关键.4.C解析:C 【详解】12x x +==12321x x ==-=,所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=,故选:C . 【点睛】对于形如2212x x +的式子,改变其中两个字母的位置后,并不改变代数式的值,通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式,如1211+x x ,1221x x x x +,12x x -等,轮换对称式都可以用12x x +,12x x 来表示,所以求轮换对称式的值,一般是先将式子用12x x +,12x x 来表示,然后再整体代入计算.5.C解析:C 【分析】根据二次根式的性质:被开方数大于或等于0,列不等式求解. 【详解】 解:依题意有当130x -≥时,原二次根式有意义;解得:13x ≤; 故选:C . 【点睛】本题考查了二次根式的基本性质(被开方数大于或等于0);解一元一次不等式,在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质(1.不等式两边同时加上或同时减去一个数,不等号的方向不变;2.不等式两边同时乘以或同时除以一个正数,不等号的方向不变;3.不等式两边同时乘以或同时除以一个负数,不等号的方向改变.)熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键.6.C解析:C 【解析】故选C .点睛:此题主要考查了二次根式的化简,解题关键是利用分数的通分求和,然后把其分母有理化即可求解,比较简单,但是易出错,是常考题.7.C解析:C 【分析】先求出两个不等式的解集,根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数,得出|m|=3或2,于是m=-3,3,-2或2,由m ≤2,得m=-3,-2或2. 【详解】 解:解不等式02x m->得x >m , 解不等式223x x --<-得x >2,∵不等式组解集为x>2,∴m≤2,则|m|=3或2,∴m=-3,3,2或-2,由m≤2得,m=-3,-2或2.即符合条件的所有整数m的个数是3个.故选:C.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质,熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键.8.D解析:D【解析】不是同类二次根式,因此不能计算,故不正确.根据同类二次根式,可知,故不正确;根据二次根式的性质,可知,故不正确;==,故正确.3故选D.9.C解析:C【解析】试题解析:∵a1,a∴1-a≥0,a≤1,故选C.10.D解析:D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:①两条平行线直线被第三条直线所截,同位角相等,故错误;②0.01的算术平方根是0.1,故错误;)=17322+=,故错误;④如果点P(3-2n,1)到两坐标轴的距离相等,则n=1或n=2,故错误,故选D.【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质,难度一般.二、填空题11.【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子,得出m、n的关系式,解方程组求m、n的值即可.【详解】设m=,n=,那么m−n=2①,m2+n2=()2+()2=34②.由①得,m=2解析:13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子,得出m、n的关系式,解方程组求m、n的值即可.【详解】设m n那么m−n=2①,m2+n2=2+2=34②.由①得,m=2+n③,将③代入②得:n2+2n−15=0,解得:n=−5(舍去)或n=3,因此可得出,m=5,n=3(m≥0,n≥0).n+2m=13.【点睛】此题考查二次根式的减法,本题通过观察,根号里面未知数的系数为相反数,可通过换元法求解.12.;.【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可;根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第(n-1)行的最后一个数,然后被开方数加上(n-2)即可求解.【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可;根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第(n-1)行的最后一个数,然后被开方数加上(n-2)即可求解.【详解】观察表格中的数据可得,第5行从左向右数第3=∵第(n-1,∴第n(n≥3且n是整数)行从左向右数第n-2个数是..【点睛】本题是对数字变化规律的考查,观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键.13.3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值,再根据非负数的性质列出关于x,y,m的方程组,求出m的值,进而可得出结论.【详解】依题意得:,解得:x=1,y=1,m=5,∴3解析:3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值,再根据非负数的性质列出关于x,y,m的方程组,求出m的值,进而可得出结论.【详解】依题意得:35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩,解得:x=1,y=1,m=5,∴==3.故答案为3.【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质,熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.14.【解析】原式=.故答案为.【解析】原式=20152015=15.【分析】设,将等式的两边平方,然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论.【详解】解:设,由算术平方根的非负性可得t≥0,则.故答案为:.【点睛】此题考查的是二【分析】t =,将等式的两边平方,然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论.【详解】t =,由算术平方根的非负性可得t ≥0,则244t =+8=+8=+81)=+6=+21)=1t∴=..【点睛】此题考查的是二次根式的化简,掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键.16.21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式,∴ ,解得,,∴故答案为21.解析:21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩,解得,73mn=⎧⎨=⎩,∴7321.mn=⨯=故答案为21.17.x>4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案.【详解】解:由题意得,x﹣4>0,解得,x>4,故答案为:x>4.【点睛】本题主要考查的是二次根解析:x>4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案.【详解】解:由题意得,x﹣4>0,解得,x>4,故答案为:x>4.【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键.18.7【分析】把28分解因数,再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可.【详解】解:∵28=4×7,4是平方数,∴若是整数,则n的最小正整数值为7,故答案为7.【点睛】本题考查了二次根式解析:7【分析】把28分解因数,再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可.【详解】解:∵28=4×7,4是平方数,n的最小正整数值为7,故答案为7.【点睛】本题考查了二次根式的定义,把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键.19.4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】==故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法,熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析:4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a,故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法,熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键. 20.【分析】根据a,b,c的值求得p=,然后将其代入三角形的面积S=求值即可.【详解】解:由a=4,b=5,c=7,得p===8.所以三角形的面积S===4.故答案为:4.【点睛】本题主解析:【分析】根据a,b,c的值求得p=2a b c++,然后将其代入三角形的面积S=【详解】解:由a=4,b=5,c=7,得p=2a b c++=4572++=8.所以三角形的面积S.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识,解题的关键是读懂题意,利用材料中提供的公式解答,难度不大.三、解答题22.无23.无24.无25.无26.无27.无28.无。