和差问题28

第4讲和差问题【学习目标】1、深入了解和差问题；2、提高用数学解决实际问题的能力。

【知识梳理】1、概念：知道两个数的差与这两个数的和，要求两个数各是多少，就是和差问题。

2、公式：（1）大数=（和+差）÷2；（2）小数=（和-差）÷2。

【典例精析】【例1】小张与小王两位同学今年的年龄和是 28 岁，小张比小王大 2 岁，小张今年____岁，小王今年____岁．【趁热打铁-1】华华和英英共有50本漫画书，如果华华给英英5本，则两人的漫画书就一样多，那么原来华华有漫画书____本，英英有漫画书____本．【例2】把一个减法算式的被减数、减数、差加起来和是180，已知减数比差大26，被减数、减数和差各是多少？【趁热打铁-2】丽丽沿着学校长方形操场四周跑了3圈，共跑了1440米．已知这个长方形操场的长宽相差60米，那么操场的面积是____平方米。

【例3】甲乙两所学校共有学生864人。

新学期开学前，由甲校调入乙校32人，这时甲校还比乙校多48人．原来甲校有____个学生．【趁热打铁-3】小苹和小明共有91本故事书，小明给小苹8本以后，小苹比小明多3本，原来小苹有____本故事书．【例4】一些少先队员收集到65千克废金属（包括铜、铁、铝三种），其中铜和铁之和比铝多1千克，而铜比铁多15千克，那么收集到的铜有____千克．【趁热打铁-4】五年级一共有4个班，217人．前两个班的人数总和比后两个班少13，一班比二班多4人，四班比三班少5人，那么一班和四班相差____人．【例5】学校图书馆的书中有420本不是故事书，有400本不是科技书。

已知故事书和科技书一共700本，图书馆里故事书和科技书各有多少本？【趁热打铁-5】老师桌上有一大叠作业本，其中有162本不是一班的，143本不是二班的，一班和二班的共有87本，那么二班的作业本共有____本．【例6】甲筐苹果个数比乙筐苹果多64个，从甲筐中取出____个苹果放入乙筐，可使乙筐苹果比甲筐苹果多12个．【趁热打铁-6】小军有54支铅笔，小红有28支铅笔，小军送给小红____支铅笔后，小军的铅笔数量只比小红多2支．【例7】菜场上有三种蔬菜，其中茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克，茄子、黄瓜共重60千克。

和差问题和差知两个数的和与两个数的差，求两个数各是多少的应用题。

为了解决这类应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。

有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们把暗藏起来的差叫“暗差”。

和差问题的数量关系式是：（和—差）÷2=小数（和＋差）÷2=小数和—小数=大数小数+差=大数一、解法深度点拨解决和差问题常用的方法是假设法，即在解题的过程中，可以将其中的小数增加到与大数相同的大小，则可以先求出大数，再求出小数;也可以将其中的大数减少到与小数相同的大小，则可以先求出小数，再求出大数。

同时还可以结合线段图进行分析。

二、例题名师精解例1 两筐水果共重150千克，第二筐比第一筐多10千克，两筐水果各多少千克?题例赏析这是一道典型的有关和差问题的题，根据题意第二筐和第一筐的和是150千克，差是10千克，我们用线段图表示如下:根据上图可知，假设第一筐增加10千克，第一筐和第二筐的质量就一样了，即第一筐、第二筐质量之和加上差就是第二筐质量的2倍。

这样，我们就可以求出第二筐的质量。

思路点拨第二筐重多少千克? (150+10)÷2=80(千克)第一筐重多少千克? 150-80=70(千克)或80-10=70(千克) 同样假设第二筐减少10千克，第二筐就和第一筐的质量一样了，即第一筐、第二筐质量之和减去差就是第一筐质量的2倍。

这样我们就可以求出第一筐的质量。

第一筐重多少千克? (150-10)÷2=70(千克) 第二筐重多少千克? 150-70=80(千克)或70+10=80(千克) 视角延伸和差问题的解题关键在于使两个不相等的数进行变化，化为相等的两个数。

从本例中我们发现小数加上差等于大数，两倍的大数等于和加上差;大数减去差等于小数，两倍的小数等于和减差。

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁?题例赏析题中没有给出小强和爸爸的年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28(岁)。

28 基本的和差问题经典例题例 植数节，中心小学四年级、五年级学生共植树106棵，五年级比四年级多植树24棵，问：四年级、五年级各植树多少棵？解法一 根据已知条件，画出下图.24棵106棵五年级四年级由上图可知，四年级植树()10624282241-÷=÷=（棵），五年级植树412465+=（棵）. 答：四年级植树41棵，五年级植树65棵.解法二 根据已知条件，画出下图24棵106棵四年级五年级由上图可知，五年级植树()106242130265+÷=÷=（棵），四年级植树652441-=（棵）. 答：四年级植树41棵，五年级植树65棵.画龙点睛一般地 ，我们可以用以上方法解决如下的问题：“已知两个数的和与差，求这两个数”. 由下图差小数大数大数小数和和差可得，()()=2 2.÷=+÷小数和-差，大数和差 举一反三1.苹果和桔子共重150千克，苹果比桔子多8千克. 苹果和桔子各重多少克？解法一 桔子重()150********-÷=÷=（千克），苹果重71879+=（千克）. 答：苹果重79千克，桔子重71千克.解法二 苹果重()150********+÷=÷=（千克），桔子重79871-=（千克）. 答：苹果重79千克，桔子重71千克.2.小明参加期中考试，语文和数学的平均分为97分，语文比数学少了6分，问：语文和数学各得了几分？解：因为语文和数学的平均分为97分，所以语文和数学的分数之和为972194⨯=.又因语文比数学少了6分，所以语文得了()19462188294-÷=÷=（分），数学得了946100+=（分）.答：语文得了94分，数学得了100分.3.甲、乙两筐香蕉共重64千克，从甲筐中取出5千克香蕉放进乙筐，结果甲筐的香蕉还比乙筐的香蕉多2千克. 求甲、乙两筐原来各有香蕉多少千克？解：从甲筐中取出5千克香蕉放进乙筐，两筐香蕉仍然共重64千克. 因为后来甲筐香蕉比乙筐的香蕉多2千克，所以后来乙筐的香蕉重()642262231-÷=÷=（千克），甲筐的香蕉重31233+=（千克）.由此得，甲筐原来的香蕉重33538+=（千克），乙筐原来的香蕉重31526-=（千克）.答：甲、乙两筐原来的香蕉分别重38千克和26千克.融会贯通4.小张同学的期终考试成绩如下：语文和数学的平均成绩是94分，数学和外语的平均成绩是88分，外语和语文的平均成绩是86分. 问：小张同学的语文、数学、外语各得多少分？ 解法一：因为语文和数学的平均成绩是94分，所以语文和数学的分数之和为942188.⨯=同理可得数学和外语的分数之和为176，外语和语文的分数之和为172.于是，语文、数学、外语的分数之和为()1881761722268.++÷=所以，语文、数学、外语的分数分别为2681769226817296,26818880.-=-=-=，解法二：因为语文和数学的平均成绩是94分，所以，语文的分数+数学的分数=942188.⨯=同理可得，数学的分数+外语的分数=176，外语的分数+语文的分数=172. 由数学的分数+外语的分数=176和外语的分数+语文的分数=172可得，数学的分数-语文的分数176172 4.=-=所以，语文的分数为()188********,-÷=÷=数学的分数为1889296-=，外语的分数为1769680.-=。

第28讲和差问题一、知识要点：已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。

掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。

解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。

用数量关系表示：（和＋差）÷2=大数（和－差）÷2=小数二、精讲精练例1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。

两人各考了多少分？练习一1、两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。

两筐水果各重多少千克？2、小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。

两人分别高多少厘米？例2 某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。

两个车间各有车床多少部？练习二1、红星小学一年级新108人，分成甲、乙两个班。

如果从甲班转3个学生到乙班去，两班学生就一样多。

甲、乙两班各有学生多少人？2、甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这时两箱水果同样多。

两箱原来各有水果多少千克？例3哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。

哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？练习三1、一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。

上、下层各放书多少本？2、姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。

那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？例4把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。

三段绳子各长多少米？练习四1、某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。

三个车间各有工人多少人？2、某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。

和差问题参考答案一.学会补不足、减多余。

例1．参加体验夏令营的学生共有64人,其中男生比女生多22人。

男、女生各有多少人？方法一：〔补不足：方法二〔减多余：给女生补上22人,则男女生一样多。

把男生减去22人,则男女生一样多。

男生：<64＋22>÷2＝43<人> 女生：<64－22>÷2＝21<人>女生：64－43＝21<人> 或43－22＝21<人> 男生：64－21＝43<人> 或21＋22＝43<人>例2．两个数的和为36,差为22,则较大的数为多少？较小的数为多少？方法一：〔补不足：方法二〔减多余：给较小数补上22,则两个数相等。

把较大数减去22,则两个数相等。

较大数：<36＋22>÷2＝29 较小数：<36－22>÷2＝7较小数：36－29＝7 或29－22＝7 较大数：36－7＝29 或7＋22＝29练习题：1.甲、乙两车间共有工人120人。

甲车间比乙车间少30人,甲、乙两车间各有多少人？解法1：减多余。

甲：<120－30>÷2＝45<人>乙：120－45＝75<人> 或45＋30＝75<人>解法2：补不足。

乙：<120＋30>÷2＝75<人>甲：120－75＝45<人> 或75－30＝45<人>2.小燕今年8岁,小冬今年13岁。

当两人的年龄和是41岁时,两人各是多少岁？解法1：减多余。

年龄差：13－8＝5<岁>小燕：<41－5>÷2＝18<岁>小冬：41－18＝23<岁> 或18＋5＝23<岁>解法2：补不足。

年龄差：13－8＝5<岁>小冬：<41＋5>÷2＝23<岁>小燕：41－23＝18<岁> 或23－5＝18<岁>解法3：求经过的年数。

和差问题已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。

一般关系式有：（和－差）÷2＝较小数（和＋差）÷2＝较大数例：甲乙两数的和是24，甲数比乙数少4，求甲乙两数各是多少？（24＋4）÷2＝28÷2＝14 →乙数（24－4）÷2＝20÷2＝10 →甲数答：甲数是10，乙数是14。

差倍问题已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。

基本关系式是：两数差÷倍数差＝较小数例：有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。

原来两堆煤各有多少吨？分析：原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×2吨，由基本关系式列式是：（40－5×2）÷（3－1）－5＝（40－10）÷2－5＝30÷2－5＝15－5＝10（吨）→第一堆煤的重量10+40＝50（吨）→第二堆煤的重量答：第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。

还原问题已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。

还原问题是逆解应用题。

一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。

由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。

例：仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。

第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。

第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×2吨。

以下类推。

列式：[（19＋12）×2－12]×2＝[31×2-12]×2＝[62-12]×2＝50×2＝100（吨）答：这个仓库原来有大米100吨。

和差问题所谓和差问题，一般是指知道两个数的和与这两个数的差，分别求出这两个数的应用题。

这两个数一个大些，我们称它为大数，一个小些，称它为小数。

我们可以用线段图来表示两个数之间的关系：从线段图我们可以知道：大数=（和+差）÷2 小数=（和－差）÷2根据以上的关系式，我们可以正确解答这类应用题。

例1、甲、乙两个数的和是70，甲比乙多16，甲、乙各是多少？根据题目已知条件，可以求出：甲（大数）：（70+16）÷2=43（人）乙（小数）：70-43=27（人）或（70-16）÷2=27（人）检验：43-27=16，43+27=70 解答正确！例2、某校二年级有学生106人，分成了两个班。

如果一班调2个学生到二班去，两个班学生人数就相等，原来一班和二班各有学生多少人？分析：要求一班和二班原来有学生多少人，必需先知道他们的和与他们的差，题目已经共有106人，所以得先求原来两班相差多少人。

根据已知条件“如果一班调2个学生到二班去，两个班学生人数就相等”就可以知道，原来一班与二班相差的人数，想一想：一班与二班原来相差多少人呢？知道了“和”与“差”，我们就可以用和差问题的方法正确解答：差：2×2=4（人）一班（大数）：（106+4）÷2=55（人）二班（小数）：106-55=51（人）或（106-4）÷2=51（人）最后还要检验：55-2=53 51+2=53 解答正确！例3、甲、乙两筐苹果共90千克，从甲筐取出8千克放入乙筐，甲筐比乙筐还多4千克，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？分析：这道题目只知道了甲、乙两筐苹果共90千克，但没有直接告诉我们原来两筐苹果的质量差，只是说“从甲筐取出8千克放入乙筐，甲筐比乙筐还多4千克”。

从这个条件我们可以知道，原来甲、乙两筐苹果的差，想一想：原来甲、乙两筐苹果相差多少呢？知道了“和”与“差”，我们就可以用和差问题的方法正确解答：差：8×2＋4=20（千克）甲（大数）：（90+20）÷2=55（千克）乙（小数）：90-55=35（千克）或（90-20）÷2=35（千克）检验：略例4、学校四、五、六年级共植树120棵，四年级比五年级少植8棵，六年级比五年级多植8棵，三个年级各植树多少棵？分析：这题也是和差问题，它从2个数扩展到3个数。

1)果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？2)甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？3)用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？4)某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？5)甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？6)甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？7)两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？8)今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？9)小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？10)甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？11)姐妹二人将自己平时积蓄的零用钱共450元存入银行。

已知姐姐存款比妹妹多50元，姐妹二人各存款多少元？12)学校田径运动队中共有学生56名，如果减少6名男同学，则男同学的人数比女同学的人数多2人。

运动队中男同学有多少人？女同学有多少人？13）甲、乙、丙三个同学共有存款250元，已知甲比乙少40元，乙比丙多10元。

甲、乙、丙各有存款多少元？14）山坡上种有一些梨树和柿子树共249棵。

已知梨树的棵数比柿子树的棵数多45 棵，梨树和柿子树各种了多少棵？15）买一台电视机和一台电冰箱共用4680元，一台电冰箱比一台电视机价格便宜640 元。

如果买2台电冰箱和3台电视机共用多少元？16）粮站原来存有大米和面粉共294袋。

现在运走面粉72袋，运走大米38袋，余下的大米和面粉的袋数同样多。

和差问题应用题及答案例1 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克呢？分析这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）。

解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

练习：三年级图书比四年级图书多50本，并且三年级图书数是四年级的3倍，三年级和四年级各有图书多少本？例2 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）。

不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的。

所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁。

根据和差问题的解题思路就能解此题。

解：①爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）②小强的年龄：58-43＝15（岁）答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

练习：果园里栽的`梨树比苹果树多240棵，梨树的棵数比苹果树的5倍多20棵。

果园里有苹果树和梨树各多少棵？例3 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们。

可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩。

解：①语文和数学成绩之和是多少分？94×2＝188（分）②数学得多少分？（188+8）÷2＝196÷2=98（分）③语文得多少分？（188-8）÷2=180÷2=90（分）或98-8=90（分）答：小明期末考试语文得90分，数学得98分。

第二十五周和倍问题专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。

要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。

解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。

数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。

如图所示：二年级共360本三年级由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。

练习一1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。

小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。

二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。

练习二1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？3，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？思路导航：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。

第二十五周和倍问题专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。

要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。

解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。

数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数例题1 学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。

如图所示：二年级共360本三年级由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍，则二年级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2=240本。

练习一1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。

小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。

二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？例题2 小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的枝数。

练习二1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？3，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？例题3 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？思路导航：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋1=8份。

和差问题(经典)知识点1：和差问题公式和差应用题是指已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少。

解答这类问题需要用到以下公式：①（和－差）÷2=小数②小数＋差=大数和－小数=大数或：①（和＋差）÷2=大数②大数－差=小数和－大数=小数解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数。

对于某些复杂的应用题，如果没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

知识点2：题目类型1、已知和与差的具体数据。

2、已知和，未知差（暗差），需要求出差。

3、已知和，未知差（暗差），但是稍微复杂。

4、已知差，未知和。

需要求出和。

5、已知和，涉及三个量的问题。

例1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级同学各植树多少棵？解答：根据公式①和②，可以列出以下方程组：①（x+y）÷2=y-20②x+y=128通过解方程，可以得到：三年级：（128-20）÷2=54（棵）四年级：（128+20）÷2=74（棵）因此，三年级同学植树54棵，四年级同学植树74棵。

例2：两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。

两筐原来各有多少个梨？解答：根据公式①和②，可以列出以下方程组：①（x+y）÷2=x-10②x+y=120通过解方程，可以得到：第一筐：（120+20）÷2=70（个）第二筐：（120-20）÷2=50（个）因此，第一筐有70个梨，第二筐有50个梨。

练1：XXX四（1）班和四（2）班共有学生108人，从四（1）班转3人到四（2）班，则两班人数同样多。

两个班原来各有学生多少人？练2：某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。

两个车队原来各有汽车多少辆？乙仓库有大米371袋，甲仓库有大米429袋。

和差倍问题：和差问题综合习题及答案和差问题综合例23、登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125人．原来第一组人数较多，所以从第一组调了20人到第二组，即使这样第一组人数仍比第二组多5人．原来第一组有多少名专家？（★★）答案：85．例24、一辆公共汽车出发时有48人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多8人．到达第二站时，又有人下车，这次下车的比留下的少8人．请问：最后有几个人留在了车上？（注：每个车站都无人上车）（★★）答案：14．例25、小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子．一开始小悦有18枚棋子，冬冬则有22枚．玩了若干局之后，小悦反而比冬冬多了10枚棋子．请问：此时小悦有多少枚棋子？（★★）答案：25．例26、今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？（☆☆）答案：15，43．例27、小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？（☆☆）答案：90，98．例28、甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？（☆☆☆）答案：21，9．例29、三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？（☆☆☆）答案：甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克．例30、公园里柳树和杨树共43棵，松树和柏树共42棵，并且杨树比松树多2棵，比柳树少7棵，那么公园里有柏树多少棵？（★★★）答案：26．练习：1、甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？（☆☆）答案：甲校原有学生645人，乙校原有学生600人．2、甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？（☆☆）答案：甲队原有1287人，乙队原有693人．3、甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？（☆☆）答案：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人．4、某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？（☆☆）答案：今年的产值是101万元，去年的产值是91万元．。

和差问题参考答案一.学会补不足、减多余。

例1．参加体验夏令营的学生共有64人，其中男生比女生多22人。

男、女生各有多少人？方法一：（补不足）：方法二（减多余）：给女生补上22人，则男女生一样多。

把男生减去22人，则男女生一样多。

男生：(64＋22)÷2＝43(人) 女生：(64－22)÷2＝21(人)女生：64－43＝21(人) 或43－22＝21(人) 男生：64－21＝43(人) 或21＋22＝43(人)例2．两个数的和为36，差为22，则较大的数为多少？较小的数为多少？方法一：（补不足）：方法二（减多余）：给较小数补上22，则两个数相等。

把较大数减去22，则两个数相等。

较大数：(36＋22)÷2＝29 较小数：(36－22)÷2＝7较小数：36－29＝7 或29－22＝7 较大数：36－7＝29 或7＋22＝29练习题：1.甲、乙两车间共有工人120人。

甲车间比乙车间少30人，甲、乙两车间各有多少人？解法1：减多余。

甲：(120－30)÷2＝45(人)乙：120－45＝75(人) 或45＋30＝75(人)解法2：补不足。

乙：(120＋30)÷2＝75(人)甲：120－75＝45(人) 或75－30＝45(人)2.小燕今年8岁，小冬今年13岁。

当两人的年龄和是41岁时，两人各是多少岁？解法1：减多余。

年龄差：13－8＝5(岁)小燕：(41－5)÷2＝18(岁)小冬：41－18＝23(岁) 或18＋5＝23(岁)解法2：补不足。

年龄差：13－8＝5(岁)小冬：(41＋5)÷2＝23(岁)小燕：41－23＝18(岁) 或23－5＝18(岁)解法3：求经过的年数。

年数：(41－8－13)÷2＝10(年)小燕：8＋10＝18(岁)小冬：13＋10＝23(岁)3.一个两位数，十位数字与个位数字的和是9，十位数字比个位数字大5。

和差问题、和倍问题、差倍问题一、和差问题：已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题。

基本数量关系是：（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数例1：有甲乙两堆煤，共重52吨，已知甲比乙多4吨，两堆煤各重多少吨？分析：根据公式，我们要找出两个数的和与差，就能解决问题。

由题意：堆煤共重52吨知：两数和是52；甲比乙多4吨知：两数差是4。

甲的煤多，甲是大数，乙是小数。

故解法如下：甲：（52+4）÷2=28（吨）乙：28-4=24（吨）例2：两只笼子里共有15只鸡，从甲笼提出3只后，甲笼比乙笼还多2只，两只笼子原来各有多少只鸡？分析：从题意知：甲比乙多5只，所以，两数和是15，两数差是5.甲是大数。

甲：（15+5）÷2=10（只）乙： 15-10=5（只）练习：1、两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨，两堆石子各有多少吨？2、黄茜和胡敏两人今年的年龄是23岁，4年后，黄茜比胡敏大3岁，问黄茜和胡敏今年各是多少岁？二、和倍问题已知两个数的和，又知两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少，这类问题称为和倍问题。

解决和倍问题的基本方法：将小数看成1份，大数是小数的n倍，大数就是n份，两个数一共是n+1份。

基本数量关系：小数=和÷（n+1）=和÷（倍数+1）大数=小数×倍数或和-小数=大数例1 ：甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书是乙班的3倍，甲乙两班各有图书多少本？分析：从题目中知，乙班的图书数较少，故乙是小数，占1份，甲占(3+1)份。

乙：160÷(3+1)=40（本）甲：160-40=120（本）例2：果园里有梨树和桃树共165棵，桃树棵数比梨树棵数的2倍少6棵，梨树和桃树各多少棵？分析：由题意，桃树增加6棵，桃树正好是梨树的2倍，这时总数就是：165+6=171，这样就转化成标准和倍问题，将梨树看成1份，一共是3份。

和差问题应用题及答案和差问题应用题及答案小学和差问题的应用题到底有着怎样的难度？以下是小编整理的和差问题应用题及答案，欢迎参考阅读！例1 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克呢？分析这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142（千克）。

解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）②第一筐重多少千克？71＋8=79（千克）或150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）÷2＝79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。

练习：三年级图书比四年级图书多50本，并且三年级图书数是四年级的3倍，三年级和四年级各有图书多少本？例2 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）。

不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的。

所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁。

根据和差问题的解题思路就能解此题。

解：①爸爸的年龄：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（岁）②小强的年龄：58-43＝15（岁）答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

练习：果园里栽的梨树比苹果树多240棵，梨树的棵数比苹果树的5倍多20棵。

果园里有苹果树和梨树各多少棵？例3 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们。

可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩。

和差问题意义:已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题简称和差问题。

解题规律为：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差就是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。

因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。

和差公式: 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2例1、两数之和是28、之差是6，这两数各是多少？解：大数：（28+6）÷2=17小数：（28-6）÷2=11 答：这两数各是17和11.例2、一批锡铝合金共重500㎏，其中铝比锡重100㎏，问两种金属各多少？解：锡：（500-100）÷2=200kg铝：500-200=300Kg 答：其中锡重200kg、铅重300kg.（提示：解和差问题时，通常先用公式求一个数，再用减法求另一个数）练习1、○＋△＝84，○－△＝48，○＝？△＝？练习2 、某日，白天比黑夜长6小时，问这一天白天、黑夜各有几小时？请你分析一下，这三个题目中数量关系的共同特征是什么？(已知两个数的和与差，求这两个数.)类似上述三道题的数学问题，称“和差问题”.和差问题的基本数量关系式如下：(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数你能独立解答问题11.1、11.2、11.3吗？分析与解答和差问题的思路很多，现列举且分述如下：题眼法.题眼，就是析题解题的关键处或突破口.分析题意时，抓题眼“两数和”及“两数差”.如果“和”或“差”未直接告诉，则应先予以确定并分清哪个是大数，哪个是小数，然后利用数量关系式便可求解.问题11.4 分数单位相同的甲、乙两数，相加结果为1，甲数比乙数分析该题求甲、乙两分数各是多少.据条件知，所求两分数之和为1、之差为1/3，乙数是小数，甲数是大数.运用数量关系式求解.将等高不等底的两直角梯形纸板，粘接成(无重叠部分)一块长5分米、宽3分米的长方形纸板.已知小梯形纸板上下底的和比大梯形上下底的和少4分米，大、小梯形两纸板面积分别是多少平方分米？分析与提示该题求大、小梯形两纸板面积分别是多少.如果知其面积“差”与面积“和”，便可运用和差问题的数量关系式直接求解.据条件，面积和间接知道(即求长方形面积)，而面积差不易求，此思路暂时不通.据条件又知大、小两梯形上下底和的差，大、小两梯形上下底和的“和”，即为长方形的2个长，从而可分别求出大、小两梯形上、下底的和；大、小两梯形的高，就是长方形的宽，由此，根据梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2的公式，可分别求出大、小两梯形纸板的面积.至此，你能列式求解吗？小李和小王共储蓄2000元，如果小李借给小王200元，两人储蓄的钱恰好相等，问两人各储蓄多少元？请思考：两人储蓄钱的和是2000元，储蓄钱的差是200元吗？请自己列式解答问题11.1、11.2、11.3、11.5、11.6各题.有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？分析该题求两种面值的人民币各有多少张.已知总张数17张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？我们可用“假设法”思考.假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17＝85(元)，比实际的49元多出85－49＝36(元).多的原因是把1元的人民币假设为5元的人民币了.用数量关系式表示为：根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数.17－9＝8(张)验算：1×9＋5×8＝49(元).答：1元人民币9张，5元人民币8张.也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法.解法2(49－1×17)÷(5－1)你能说出解法1与解法2的综合算式每一步的意义是什么吗？自己求出解法2的结果，且与解法1相对照，答案一样吗？请你观察、比较、分析且归纳问题11.6与问题11.7的数量关系及其解答方法有什么异同？问题11.6与问题11.7都属和差问题.但问题11.6中已知或未知的数量是同类量，可运用和差问题的数量关系式求解；而问题11.7含三种有联系的不同类量(票面值、总值、钱的张数)，且所求两数的差难以确定，解答时须通过假设分析法(从假定的条件入手分析题意)，将和差问题转化为“两个差问题”(利用两个相关联的差求未知数)求解.100名师生参加植树，老师每人栽3棵，学生每2人栽1棵，总共植树100棵.问老师和学生各有多少人？请你按问题11.7的解析法，解答本题.提示：可假设老师每人植树的棵树与学生同样多(学生每2人植一棵.即每人植1÷2＝0.5棵)，或假设学生每人植树与老师每人植树同样多.对较复杂的和差问题还可以用图解法，即把数学题的条件和问题用示意图表示出来，使其数量关系具体化、形象化，以帮助我们理解题意，找到合理的解题途径. 两缸金鱼共46尾，若甲缸再放入5尾，乙缸取出2尾，这时乙缸仍比甲缸多3尾，甲、乙两缸原有金鱼多少尾？分析这题的数量关系比较复杂，可先画线段图(图11－1)，使其数量关系明朗化.从图11－1可以看出，甲、乙两缸原有金鱼尾数相差5＋3＋2＝10(尾).用数量关系式表达为：现在知甲、乙两缸原有金鱼尾数之差，原题又告诉原两缸金鱼尾数之和，此时有如下求解方法：46—28＝18(尾).答：甲缸原有金鱼18尾，乙缸原有28尾.从图11－1也可以看出，甲缸放入5尾，乙缸取出2尾后，原两缸金鱼总尾数同时发生了变化，即为46＋5—2＝49(尾).原题告诉甲、乙两缸放入或取出金鱼后，乙缸仍比甲缸多3尾.现在知放入或取出后，两缸金鱼尾数之和及相差数.此时又有另一种求解方法：解法2(1)甲缸放入5尾后金鱼的尾数：［(46＋5－2)－3］÷2＝23(尾).(2)甲缸原有金鱼的尾数：23－5＝18(尾).(3)乙缸原有金鱼的尾数：23＋3＋2＝28(尾).答：略.请你再观察图11－1，自己寻找新的解法.用144分米长的铁丝围成一个长方体框架(如图：11－2).一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，经顶点B、C，到达D.已知蚂蚁每分钟爬行6分米，经BC比AB多用1分钟，经CD比BC少用2分钟.这个长方体框架的长、宽、高各是多少分米？分析已知蚂蚁每分钟爬行6分米.经BC比AB多用1分钟，可知BC比AB长6分米(6×1＝6)；经CD比BC少用2分钟，可知CD比BC短12分米(6×2＝12). 又知长方体框架棱长和为144分米，AB、BC、CD分别为长方体的长、宽、高.可知AB、BC、CD长度和为144÷4＝36(分米).现以线段图表示AB、BC、CD长度间数量的关系.如图11－3.由图11－3知AB、CD的长度均与BC有直接联系.如以BC的长为标准，则：3条线段总长＋6＋12(分米)相当于BC的3倍.由此可求BC的长，AB、CD的长也将迎刃而解了.至此，你能列式求解了吗？同学们，解析和差问题的思路还很多.解题时，应根据题意灵活选用较简捷的解析方法.练习111.长方形操场的长与宽相差40米，某同学沿操场边跑了3圈，共1200米.这个操场的长和宽各是多少米？2.某粮食仓库存大米和面粉共2000袋，现从仓库往粮店运粮，每天运时大米比面粉多30袋，10天以后，仓库所剩的大米和面粉的袋数相等.仓库原有大米和面粉各多少袋？3.玲玲在邮电局买面值为40分和80分的纪念邮票共9张，付钱6元，她买的两种面值的邮票各是多少张？4.实验小学五年级4个班共200名学生，一班比二班多2人，二班比三班少4人，四班与一班人数同样多，四个班各有多少名学生？5.两车站相距110千米，甲、乙两轿车分别从两站同时相向而行，经1小时可以相遇；如果同向而行，甲车经11小时可以追上乙车.两车每小时各行多少千米？。

温馨提示：图片放大更清晰48名学生参加聚会，第一个到会的男生和全部女生握手，第二个到会的男生只差一名女生没握过手，第三个到会的男生只差2名女生没握过手，……最后一个到会的男生同9名女生握过手，这48名学生中共有()名女生。

小升初数学通用版《和差问题》精准讲练答案：28解析：根据题意知道，女多男少所有的女生全部提前到达，在门口列队迎接男生到来第一个到来的男生和所有女生握过手后把一名女生领了进去；第二个到来的男生也和第一名男生一样和站在门口的所有女生握手后把个女生领了进去，同样最后一名到来的男生同最后剩下的9名女生握手后，把一名女生领进去；最后会剩下8名女生，可见女生比男生多8名；再根据和差问题公式求得女生人数即可。

根据题意可知，女生比男生多（9－1）名；[48＋（9－1）]÷2＝[48＋8]÷2＝56÷2＝28（名）所以，这48名学生中共有28名女生。

有两匹马和一副鞍，白马配鞍售价800元，黑马配鞍售价600元，两匹马售价1000元，那么一副鞍售价______元。

有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克。

问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？答案：根据题意画线段图如下：大桶：（24＋4）÷2＝28÷2＝14（千克）小桶：14－4＝10（千克）答：原来大、小两个油桶各装油14千克、10千克。

解析：两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，据此解题即可。

兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？一、填空题1．在国家出台“双减”政策后，曾经背着沉甸甸的书包在课后忙着补习的小小身影，如今可以在运动场上体验各式各样的体育活动，即将参加1分钟仰卧起坐比赛的小建和小雷每天课后都在练习，今天小建先做了3分钟，然后两人各做了5分钟，一共做仰卧起坐136个。

小学奥数21类难题之“和差问题”应用题（专项训练30题）【和差问题含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。

【数量关系】大数=(和+差)÷2小数=(和-差)÷2【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

例：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?解:直接套用公式甲班人数=(98+6)÷2=52(人)乙班人数=(98-6)÷2=46(人)30道和差问题练习题1.两个足球队进行友谊赛，红队和蓝队的球员总数是45人，红队比蓝队多3人，问两队各有多少人？-解：红队人数=(45+3)÷2=24人，蓝队人数=(45-3)÷2=21人。

2.学校图书馆买了一些故事书和科普书，总共有90本，故事书比科普书多8本，问两种书各有多少本？-解：故事书本数=(90+8)÷2=49本，科普书本数=(90-8)÷2=41本。

3.两个果园一共收获了120千克苹果，如果从第一个果园拿走20千克苹果到第二个果园，两个果园的苹果就一样多，问两个果园原来各有多少千克苹果？-解：原来第一个果园苹果=(120+20)÷2=70千克，第二个果园苹果=(120-20)÷2=50千克。

4.甲乙两个工厂合作生产了一批玩具，总共生产了200个，甲工厂比乙工厂多生产10个，问两个工厂各生产了多少个？-解：甲工厂生产数=(200+10)÷2=105个，乙工厂生产数=(200-10)÷2=95个。

5.两个班级进行植树活动，一共植了72棵树，如果从第一班拿走6棵树给第二班，两班植的树就一样多，问两个班级各植了多少棵树？-解：第一班植树数=(72+6)÷2=39棵树，第二班植树数=(72-6)÷2=33棵树。

6.两个游泳池，一个游泳池的水量是另一个的2倍，如果从这个游泳池中取出30吨水放到另一个游泳池，两个游泳池的水量就相等了，问两个游泳池原来各有多少吨水？-解：大游泳池水量=(30×2+30)÷2=45吨，小游泳池水量=(30×2-30)÷2=15吨。