专题九 实际应用问题2

2017-2018学年中考数学专题复习实际生活应用问题（二）讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年中考数学专题复习实际生活应用问题（二）讲义）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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实际生活应用问题（二）课前预习1.已知二次函数y=x2—2mx+4m—8，若x≥2 时，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是．提示：①根据开口方向向上,对称轴为直线x=m 画出大致图象；②由增减性可知，x≥2 在对称轴以右,确定x =2 和x=m 的相对位置．2.已知二次函数y=x 2+2x +m 的图象C1与x 轴有且只有一个交点，则m的值为；若y=x 2+2x+m 的函数值总为正数，则图象顶点在第象限，m 的取值范围是．提示:“函数值总为正数”能转化为函数y =x2+2x+m 与x 轴交点个数的问题吗？3.在解决“已知函数y1x2 2x 1,且 0＜x≤5,则此函数2的最大值是多少？”这一问题时，小明采用了将二次函数化成顶点式的做法：y1x2 2x 1 21（x2 4x) 121(x2 4x4 4）121（x2 4x4) 4 121（x 2)2 52∵0＜x≤5∴当x=2 时，y 最大=-5①提二次项系数②括号内配方③化简整理④观察小明的具体操作后，回答下列问题：在①，②，③，④的变形操作中错误的是．请写出正确的求解过程．试一试：你能借助二次函数图象解决这个问题吗？A 球网 边界知识点睛应用题的处理思路1. 理解题意，梳理信息结合图表理解题意，将实际场景与图象中轴、点、线对应起来理解分析．2. 辨识类型，建立模型①将所求目标转化为函数元素,借助图象特征，利用表达式进行求解；②将图象中的点坐标还原成实际场景中的数据，借助实际场景中的等量关系列方程求解．3. 求解验证，回归实际精讲精练1. 如图，排球运动员站在点 O 处练习发球,将球从 O 点正上方2 m 的 A处发出,把球看成点，其运行的高度 y （m)与运行的水平距离 x (m)满足关系式 y =a (x -6)2+h ．已知球网与 O 点的水平距离为 9 m ，高度为 2.43 m ，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m ．(1）当 h =2。

2021年九年级数学中考复习——方程专题：不等式与不等式组实际应用（二）1．列方程组或不等式解决实际问题某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周和本周的销售情况如下表：A型B型销售额时间型号上周1辆2辆70万元本周3辆1辆80万元（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于154万元，则有哪几种购车方案？2．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题：（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？（列方程组解答此问）（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案；（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．3．北流市某初中为了改善教师办公条件，计划采购A、B两种型号空调，已知采购2台A 型空调和1台B型空调需要费用24000元，3台A型空调比4台B型空调的费用多3000元．（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元？（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，B型空调的台数不多于A型空调台数的2倍，两型号空调的采购总费用不超过218000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？4．养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛，其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如表：大牛（头）小牛（头）总价（元）第一次439900第二次269000第三次678550（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第次；（2）每头大牛和小牛的原价分别为多少元？（3）如果李大叔第四次购买大牛和小牛共10头（其中小牛至少一头），仍按之前的折扣（大牛和小牛的折扣相同），且总价不低于8100元，那么他共有哪几种购买方案？5．在新冠肺炎疫情期间，为保证孩子们的身心健康发展，各级各类学校都进行了“停课不停学”活动，某校七年级开展了网上教学，并对学生的学习情况进行了调查．经过统计，我们发现：大约有二分之一的孩子是通过电脑进行学习，约四分之一的孩子是利用手机进行学习，约六分之一的孩子是利用P AD等其他电子设备进行学习，而在受访班级中，平均每个班都有不超过4名同学没有进行线上学习；若该校七年级每个班的学生总数都超过了40人，请你分析一下，该所学校七年级每个班学生人数的范围．6．便利店老板从厂家购进A、B两种香醋，A种香醋每瓶进价为5元，B种香醋每瓶进价为6元，共购进70瓶，花了390元，且该店A种香醋售价7元，B种香醋售价9元．（1）该店购进A、B两种香醋各多少瓶？（2）将购进的70瓶香醋全部售完可获利多少元？（3）老板计划再以原来的进价购进A、B两种香醋共150瓶，且投资不超过850元，仍以原来的售价将这150瓶香醋售完，且确保获利不少于398元，请问有哪几种购货方案？7．近日来，长江中下游连降特大暴雨．沿江两岸的群众受灾很严重．“一方有难、八方支援”我校某班准备捐赠一批帐篷和食品包共360个，其中帐篷比食品包多120个．（1）求帐篷和食品包各有多少个？（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆．一次性将这批帐篷和食品包运往受灾地区，已知每辆甲种货车最多可装帐篷40个和食品包10个，每辆乙种货车最多可装帐篷30个和食品包20个．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．（3）在（2）的条件下．如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？8．在六一儿童节到来之际，某校特举行书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具作为奖品，奖励在活动中获得优秀的同学．已知购买2个甲种文具、3个乙种文具共需花费45元；购买3个甲种文具、1个乙种文具共需花费50元．（1）问：购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共100个，投入资金不少于995元又不多于1050元，设购买甲种文具x个，则有多少种购买方案？（3）设学校投入资金w元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？9．随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需280万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需260万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆车的年均载客量分别为60万人次和80万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过900万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于670万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？10．基金会计划购买A、B两种纪念册共50册，已知B种纪念册的单价比A种的单价少10元，买3册A种纪念册与买4册B种纪念册的总费用310元．（1）求A、B两种纪念册的单价分别是多少元？（2）如果购买的A种纪念册的数量要大于B种纪念册数量的，但又不大于B种纪念册数量的，设购买A种纪念册m册．①有多少种不同的购买方案？②购买时A种纪念册每册降价a元（12≤a≤15），B种纪念册每册降价b元．若满足条件的购买方案所需的总费用一样，求总费用的最小值．参考答案1．解：（1）设每辆A型车的售价为x万元，B型车的售价为y万元，依题意，得：，解得：．答：每辆A型车的售价为18万元，B型车的售价为26万元．（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，依题意，得，解得：2≤m≤3.5，∵m为整数，∴m＝2或3．∴有两种购车方案：购进A型车2辆，则购进B型车5辆；购进A型车3辆，则购进B型车4辆．答：有两种购车方案：购进A型车2辆，则购进B型车5辆；购进A型车3辆，则购进B型车4辆．2．解：（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元．根据题意得．解得．答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元；（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（200﹣m）个，根据题意可得50m+40（200﹣m）≤8900．解得m≤90．∵m＞87，∴87＜m≤90．∵m为整数，∴m＝88、89、90，200﹣m＝112，111，110．∴该网店有3种进货方案：方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个；方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个；方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个；（3）分三种情况：①购进甲种书包88个，乙种书包112个时：设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，88×（60﹣50）﹣m×50+112×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，解得，m＝3，4﹣m＝1，故甲书包赠送3个，乙书包赠送1个；②购进甲种书包89个，乙种书包111个时；设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，89×（60﹣50）﹣m×50+111×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，解得，m＝3.5，∵m是整数，故此种情况不成立；③购进甲种书包90个，乙种书包110个时；设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，90×（60﹣50）﹣m×50+110×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，解得，m＝4，4﹣m＝0，故甲书包赠送4个，乙书包赠送0个．3．解：（1）设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元，依题意，得：，解得：．答：A型空调每台需9000元，B型空调每台需6000元．（2）设购买A型空调m台，则购买B型空调（30﹣m）台，依题意，得：，解得：10≤m≤12．∵a为正整数，∴a可以取10，11，12，∴共有三种采购方案，方案1：采购A型空调10台，B型空调20台；方案2：采购A型空调11台，B型空调19台；方案3：采购A型空调12台，B型空调18台．（3）方案1所需费用为：9000×10+6000×20＝210000（元）；方案2所需费用为：9000×11+6000×19＝213000（元）；方案3所需费用为：9000×12+6000×18＝216000（元）．∵210000＜213000＜216000，∴采用方案1，采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．4．解：（1）第三次购买大牛和小牛的数量较多，但花费较少，所以李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第三次；13230÷（9900+9000）＝13230÷18900＝0.7．故是打七折．故答案为：三．（2）设大牛的单价为x元，小牛单价为y元．根据题意得：，解得．故大牛的单价为1800元，小牛单价为900元．（3）设大牛买m头，小牛买（10﹣m）头．根据题意得：900m+450（10﹣m）≥8100，解得：m≥8．所以m＝8或9．当m＝8时，10﹣m＝2；当m＝9时，10﹣m＝1；所以他共有两种购买方案．方案一：大牛买8头，小牛买2头；方案二：大牛买9头，小牛买1头．5．解：设该所学校七年级每个班学生人数为x，依题意，得：，解得：40＜x≤48．答：该所学校七年级每个班学生人数的范围为40＜x≤48．6．解：（1）设该店购进A种香醋X瓶，购进B种香醋Y瓶，根据题意得…..（1分）…………..（2分）解得．答：该店购进A种香醋30瓶，购进B种香醋40瓶；（2）（7﹣5）×30+（9﹣6）×40＝60+120＝180（元）．答：70瓶香醋全部售完可获利180元；（3）设该店购进A种香醋a瓶，购进B种香醋（150﹣a）瓶，根据题意得，解得：50≤a≤52，因为a取正整数，所以a取50、51、52．购货方案为：（1）A种香醋购进50瓶，B种香醋购进100瓶．（2）A种香醋购进51瓶，B种香醋购进99瓶．（3）A种香醋购进52瓶，B种香醋购进98瓶．7．解：（1）设帐篷有x个，食品包有y个，依题意，得：，解得：．答：帐篷有240个，食品包有120个．（2）设安排甲种货车m辆，则安排乙种货车（8﹣m）辆，依题意，得：，解得：0≤m≤4．又∵m为非负整数，∴m可以取0，1，2，3，4，相对应的8﹣m为8，7，6，5，4，∴共有5种运输方案，方案1：安排8辆乙种货车；方案2：安排1辆甲种货车，7辆乙种货车；方案2：安排1辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：安排2辆甲种货车，6辆乙种货车；方案4：安排3辆甲种货车，5辆乙种货车；方案5：安排4辆甲种货车，4辆乙种货车．（3）设总运费为w元，则w＝1000m+900（8﹣m）＝100m+7200，∵k＝100＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝0时，w取得最小值，最小值＝100×0+7200＝7200．∴选择方案1，可使运费最少，最少运费是7200元．8．解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：，解得．答：购买一个甲种文具需15元，一个乙种文具需5元；（2）根据题意得：995≤15x+5（100﹣x）≤1050，解得49.5≤x≤55，∵x是整数，∴x＝50，51，52，53，54，55，∴有6种购买方案；（3）w＝15x+5（100﹣x）＝10x+500，∵10＞0，∴W随x的增大而增大，当x＝50时，W＝10×50+500＝1000（元），最小∴100﹣50＝50．答：购买甲种文具50个，乙种文具50个时需要的资金最少，最少是1000元．9．解：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，由题意得：，解得，答：购买A型新能源公交车每辆需80万元，购买B型新能源公交车每辆需100万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：5≤a≤6.5，因为a是整数，所以a＝5，6；则共有两种购买方案：①购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆：80×5+100×5＝900（万元）；②购买A型公交车4辆，则B型公交车6辆：80×4+100×6＝920（万元）；购买A型公交车5辆，则B型公交车5辆费用最少，最少总费用为900万元．10．解：（1）设A种纪念册的单价为x元，B种纪念册的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种纪念册的单价为50元，B种纪念册的单价为40元．（2）①设购买A种纪念册m册，则购买B种纪念册（50﹣m）册，依题意，得：，解得：＜m≤．又∵m为正整数，∴m可取15，16，17，18，∴共有4种不同的购买方案．②设总费用为w元，则w＝（50﹣a）m+（40﹣b）（50﹣m）＝（10﹣a+b）m+2000﹣50b．∵满足条件的购买方案所需的总费用一样，∴10﹣a+b＝0，∴b＝a﹣10．∵12≤a≤15，∴2≤b≤5．∵﹣50＜0，∴w随b的增大而减小，∴当b＝5时，w取得最小值，最小值＝2000﹣50×5＝1750，即总费用的最小值为1750元．。

人教版九年级上册期末复习专题：一元二次方程实际应用专练（二）1．2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？2．“双11”即将到来，某网上微店准备销售一种服装，每件成本为50元．市场调查发现其日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，经试销后发现，当销售价定为60元时，日销售量为800件；当销售价定为65元时，日销售量为700件．（1）试求出日销售量y（件）与销售价x（元）之间的函数关系式；（2）若该网上微店为减少库存积压利用“双11”促销这批服装，打算日获利达到12000元，问这种服装每件售价是多少元？3．某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．该产品在第x周（x为正整数，且1≤x≤8）个销售周期的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数．（1）求y与x之间的函数关系；（2）产品在第x个销售周期的销售数量为p万台，p与x之间满足：．已知在某个销售周期的销售收入是16000万元，求此时该产品的销售价格是多少元？4．随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．6．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？7．如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x的值．8．某商店分别花2000元和3000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多50千克．（1）该商品的进价是多少？（2）若该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，商品的售价定为多少元时，商店每天可以获利2210元？9．地铁东城某服装店销售一批衬衣，每件进价250元，开始以每件400元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经过两次降价后每件售价为324元，每星期能卖出172件．（1）已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；（2）喜欢研究数学的店长在降价的过程中发现，适当的降价可增加销售又可增加收入，且每件衬衣售价每降低1元，销售量会增加2件，若店长想要每星期获利11000元，为了让顾客得到更大的实惠，应把售价定为多少元？10．某商场一种商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每天可以销售300件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件48.6元，求两次下降的百分率？（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售15件，那么每天要想获得6480元的利润，每件应降价多少元？11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？12．2020年哈尔滨街头随处可见小蓝车“哈啰出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城3月份销售自行车64辆，5月份销售了100辆．（1）若该商城2020年3﹣5月的自行车销量的月平均增长率相同，求该商城自行车销量的月平均增长率是多少？（2）若自行车销量的月平均增长率保持不变，预计该商城6月份销售自行车多少辆？13．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．14．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：（1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？（2）在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？15．商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60%，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？16．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，如果如图所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？17．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米．（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？18．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？19．受疫情影响，某种蔬菜的价格快速上涨，是原价的1.5倍，同样用48元能买到的蔬菜比原来少了2千克．（1）求这种蔬菜的原价是每千克多少元？（2）政府采取增加采购渠道、财政补贴等多种措施，降低价格，方便老百姓的生活．这种蔬菜的批发价两次下调后，由每千克10元降为每千克6.4元．求平均每次下调的百分率．20．临近端午节，某超市计划购进一批粽子礼盒，每盒进价为30元，经过市场调研发现，当每盒售价为40元时，月销售量为600盒；售价每提高1元，销量将减少10盒；售价每降低1元，销量将增加10盒．假定该粽子礼盒的月销售量y（单位：盒）和销售单价x（单位：元）成一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此类商品的单件利润率不得高于100%，如果该超市想通过销售该礼盒获得10000元的月利润，则该礼盒的销售单价应定为多少元？参考答案1．解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．由题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），即2、3这两个月的月平均增长率为25%，即a的值是25；（2）设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元．根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．2．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（60，800）、（65，700）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+2000．（2）根据题意得：（x﹣50）（﹣20x+2000）＝12000，整理，得：x2﹣150x+5600＝0，解得：x1＝70，x2＝80．∵减少库存积压，∴x＝70．答：这种服装每件售价是70元．3．解：（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，，解得，，∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500；（2）根据题意得，（﹣500x+7500）（x+）＝16000，解得x＝7，此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）答：此时该产品每台的销售价格是4000元．4．解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．依题意列二元一次方程组∵经检验解得（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．依题意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）整理得：16m2﹣120m＝0m（16m﹣120）＝0解得m1＝0（舍去）m2＝7.5答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．5．解：（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x（32﹣2x）＝126，解得：x1＝7，x2＝9，∴32﹣2x＝18或32﹣2x＝14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）＝170，整理得：y2﹣18y+85＝0．∵△＝（﹣18）2﹣4×1×85＝﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．答：年平均增长率为20%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵让顾客获得最大优惠，∴y＝20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．7．解：正方体的左面、右面标注的代数式分别为x2、3x﹣2，（2分）由题意，x2＝3x﹣2．（3分）解得x1＝1，x2＝2．（5分）8．解：（1）设该商品的进价是x元，依题意，得：﹣＝50，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．答：该商品的进价是20元．（2）依题意，得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2210，整理，得：x2﹣70x+1221＝0，解得：x1＝33，x2＝37．答：商品的售价定为33元或37元时，商店每天可以获利2210元．9．解：（1）设每次降价的百分率为x，依题意，得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为10%．（2）设售价应定为y元，则每星期可售出[20+2（400﹣y）]件，依题意，得：（y﹣250）[20+2（400﹣y）]＝11000，整理，得：y2﹣660y+108000＝0，解得：y1＝300，y2＝360．∵让顾客得到更大的实惠，∴y＝300．答：应把售价定为300元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得60×（1﹣x）2＝48.6，x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件48.6元，两次下降的百分率10%；（2）每天要想获得6480元的利润，设每件商品应降价y元，且更有利于减少库存，由题意，得（60﹣40﹣y）（×15+300）＝6480，解得：y1＝8，y2＝2．答：要使商场每天要想获得6480元的利润，每件应降价8元．11．解：（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝20．答：每件衬衫应降价20元．12．解：（1）设该商城自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2＝100，解得x1＝﹣225%（不合题意，舍去），x2＝25%，答：该商城自行车销量的月平均增长率为25%；（2）100×（1+25%）＝125（辆）．答：预计该商城6月份销售自行车125辆．13．解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．14．解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120﹣x）（100+2x），当x＝20时，（120﹣x）（100+2x）＝100×140＝14000元；（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，（120﹣x）（100+2x）＝14400，整理得x2﹣70x+1200＝0，解得x1＝30，x2＝40；∵要求每箱饮料获利大于80元，∴x＝30答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元．15．解；设售价为x元，据题意得（x﹣8）（200﹣10×）＝640，化简得x2﹣28x+192＝0，解得x1＝12，x2＝16，又∵x﹣8≤8×60%，∴x≤12.8，∴x＝16不合题意，舍去，∴x＝12，200﹣10×＝160（件）．答：商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件．16．解：将小路分别平移到最左边和最上边，如图所示．设小路的宽是xm．依题意，得（16﹣2x）（12﹣2x）＝×16×12，整理，得x2﹣14x+24＝0，∴（x﹣2）（x﹣12）＝0，∴x1＝2，x2＝12（不合题意，舍去）答：小路的宽是2m．17．解：（1）依题意得，BC＝100﹣4x．则y＝（100﹣4x）x．（2）设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，解得x1＝20，x2＝5．则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5，舍去．即AB＝20，BC＝20．答：当20为何值时，矩形场地的总面积为400平方米．18．解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．19．解：（1）设这种蔬菜的原价是每千克x元，则价格上涨后的价格是每千克1.5x元，依题意，得：﹣＝2，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．答：这种蔬菜的原价是每千克8元．（2）设平均每次下调的百分率为y，依题意，得：10（1﹣y）2＝6.4，解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）．答：平均每次下调的百分率为20%．20．解：（1）依题意，得：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000．（2）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，整理，得：x2﹣130x+4000＝0，解得：x1＝50，x2＝80．当x＝50时，利润率＝×100%≈66.7%＜100%，符合题意；当x＝80时，利润率＝×100%≈166.7＞100%，不合题意，舍去．答：该礼盒的销售单价应定为50元．。

实际应用问题【专题点拨】实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景，运用方程与不等式、函数与不等式等来解决的一类实际生活中的问题，这类问题往往文字信息量大，背景复杂，要求学生具有较强的阅读、收集信息及建立模型的能力，从而解决问题．【解题策略】实际应用问题解决的关键是理解题意，从中找出等量关系、不等关系或函数关系，建立数学模型来解决，当信息量较大，可以借助图表等方式帮助理解．【典例解析】类型一：方程或不等式的应用题例题1：（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．【解析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：解得：答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．根据题意可得：720（1+a）2=2205解此方程：（1+a）2=，即：，（不符合题意，舍去）答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．变式训练1：（2016·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？类型二：方程与函数的应用题例题2：（2016广西南宁）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；（2）根据题意得（+）×40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得×（30+15）+×15=，解得：x=450，经检验x=450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天；（2）根据题意得（+）×40=，∴a=60m+60，∵60＞0，∴ａ随m的增大增大，∴当m=1时，最大，∴=，∴÷=7.5倍，答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍【点评】此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．变式训练2：（2016·浙江省绍兴市·8分）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q（m2）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．类型三：方程、不等式和函数的综合应用题例题3：（2016·湖北随州·９分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．时间x（天） 1 30 60 90每天销售量p198 140 80 20 （件）（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用．【解析】（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），∴，解得：，∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50＜x≤90时，y=90．∴售价y与时间x的函数关系式为y=．由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），∴，解得：，∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），当0≤x≤50时，w=（y﹣30）?p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．（2）当0≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．∵6050＞6000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．（3）当0≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，解得：30≤x≤50，50﹣30+1=21（天）；当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥５600，即﹣120x+6400≥0，解得：50＜x≤53，∵ｘ为整数，∴50＜x≤53，53﹣50=3（天）．综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．变式训练3：（2016·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5．（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．类型四：一次函数与反比例函数的综合应用题例题4：（2016·青海西宁·２分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【解析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k=2；（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，∴点C的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．变式训练4：（2016·重庆市B卷·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．。

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米【答案】B 【解析】【解答】以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，∵O 点到水面AB 的距离为4米，∴A、B 点的纵坐标为-4，∵水面AB 宽为20米，∴A（-10，-4），B （10，-4），将A 代入y=ax 2，-4=100a ，∴125a =-，∴2125y x =-，∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，∴C 点的纵坐标为-1，∴21125x -=-∴x=±5，∴CD=10，故答案为：B ．【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。

2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125 x 2＋ 58x B ．y ＝－125 x 2＋ 85 x C ．y ＝－ 58 x 2－ 125 x D ．y ＝－ 125 x 2＋ 85 x ＋16【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ ，将原点坐标代入可得 400160a += ，解得： 125a =- ，故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+.故答案为：B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（ ）A．1m B．2mC．（﹣4）m D．（﹣2）m【答案】C【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a（x-2）（x+2），∴2=a（0-2）（0+2），∴a=-12，∴y=-12（x-2）（x+2），当水面下降1米时，y=-1，∴-1=-12（x-2）（x+2），解得，∴水平宽度增加：（-4）m.故答案为：C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 2125y x =- ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得B 的横坐标为10，把x=10代入 2125y x =-，得y=-4，∴OD=4m，故答案为：B ．【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。

2021年九年级数学中考复习分类专题：勾股定理实际应用（二）一．选择题1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（）A．2.5米B．2.6米C．2.7米D．2.8米2．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（）A．3尺B．4.2尺C．5尺D．4尺3．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 4．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（）寸．（1尺＝10寸）A．101 B．100 C．52 D．965．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）26．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米7．如图为小平与小聪微信对话记录，根据两人的对话记录，若下列有一种走法能从科技馆出发走到小平家，则可行的是（）A．向北直走200米，再向东直走1200米B．向北直走200米，再向西直走1200米C．向北直走500米，再向东直走700米D．向北直走700米，再向西直走500米8．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺9．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A．10米B．11米C．12米D．13米10．如图，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（）A．7B．6C．7 D．7二．填空题11．如图，有一块四边形草地ABCD，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m．则该四边形草地的面积是．12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则绳长为m．13．有一根7cm木棒，能放在长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的木箱中．（判断对错）14．《九章算术》第九卷《勾股》章第十五题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？答曰三步十七分步之九．术曰：并勾股为法，勾股相乘实，实如法而一，得方一步．”如图1中直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则内接正方形DEFB边长为x 的求法是：以勾5步、股12步之和为分母（并勾股为法），以勾5步、股12步之积为分子（勾股相乘为实）求得．即x＝．我国数学家刘徽用“出入相补”原理予以证明，将图1中补成如图2的矩形，在该图形中发现一个与正方形DEFB面积相等的图形，从而建立方程求解，这个方程是．15．有一块面积为160m2的等腰三角形草地，测得它的一边长为20m．现要给这块三角形的周围围上栅栏，则栅栏的长度为．16．如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7米，如果云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，那么云梯的顶端向下滑了m．17．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为cm．三．解答题18．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．19．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？20．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆的高度．21．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？22．“武黄城际铁路”是武汉市城市圈内一条连通武汉市和黄石市的快速城际铁路，如图1，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据≈4.6）；（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）（3）“为了安全，请勿超速”．如图2，武黄城际列车通车后，在某直线路段MN限速180千米/小时，为了检测列车是否超速，铁路有关部门在铁路MN旁设立了观测点S，从观测点S测得列车从点P到达点Q行驶了1.5秒钟，已知∠SPN＝45°，∠SQN＝60°，SQ＝200米，此列车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（米），∴A′B＝2.5米，在Rt△A′BD中，BD＝＝＝2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），故选：C．2．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．解得：x＝4.2，∴折断处离地面的高度为4.2尺，故选：B．3．解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24﹣8＝16（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB＝＝17（cm），所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．故选：C．4．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，设单门的宽度AO是x寸，则AE＝x﹣1，DE＝10寸，根据勾股定理，得：AD2＝DE2+AE2，则x2＝102+（x﹣1）2，解得：x＝50.5，故AB＝101寸，故选：A．5．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D．6．解：由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB＝＝10（米），故选：A．7．解：从科技馆出发走到小平家应：向北直走200米，再向东直走1200米．故选：A．8．解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，故选：B．9．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝7米，BD为两树距离8米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米，在直角三角形AEC中，AC＝＝10米，答：小鸟至少要飞10米．故选：A．10．解：由勾股定理得，BE＝＝＝12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH为正方形，∴EG＝＝7，故选：A．二．填空题（共7小题）11．解：连结AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，∴AC＝＝5（m），S＝×3×4＝6（m2），△ABC在△ACD中，∵AD＝13m，AC＝5m，CD＝12m，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S △ACD ＝×5×12＝30（m 2）．∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC +S △ACD ＝6+30＝36（m 2）．故答案为：36m 2．12．解：设旗杆高xm ，则绳子长为（x +1）m ，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x 2+52＝（x +1）2， 解得x ＝12．∴绳子长为13m ．故答案是：13．13．解：此长方体木箱的对角线长为＝5＞7，∴木棒能放进去．故答案为：对．14．解：设正方形DEFB 的边长为x ， 由题意可得，四边形ABCH ，ADEG ，GEIH ，EFCI 都是矩形，∴S △ABC ＝S △AHC ，S △ADE ＝S △AGE ，S △EFC ＝S △EIC ，∴S △ABC ﹣S △ADE ﹣S △EFC ＝S △AHC ﹣S △AGE ﹣S △EIC ，∴S 正方形DEFB ＝S 矩形GEIH ，∴x 2＝（12﹣x ）（5﹣x ）．故答案为：x 2＝（12﹣x ）（5﹣x ）．15．解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半BD＝10，根据勾股定理即可求得其腰长AB＝＝2，此时三角形的周长是20+4；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT△ADC中，AD＝＝12，从而可得BD＝32，进一步根据勾股定理求得其底边是BC＝＝＝16，此时三角形的周长是40+16；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得AD＝＝12，BD＝AB﹣AD＝8，在RT△CDB中，BC＝＝＝8，此时三角形的周长是40+8；故答案为：20+4或40+8或40+16．16．解：（1）由题意可得：AC＝25m，AO＝7m，则OC＝＝24（m），当云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，则OB＝7+8＝15（m），故OD＝＝20（m），则CD＝（24﹣20）m＝4m．答：云梯的顶端向下滑了4米，故答案为：4．17．解：设在杯里部分长为xcm，则有：x2＝32+42，解得：x＝5，所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，故答案为：2．三．解答题（共5小题）18．解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距A点13.3km．19．解：（1）连接BD，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2+AD 2＝32+42＝52，在△CBD 中，CD 2＝132，BC 2＝122，而122+52＝132，即BC 2+BD 2＝CD 2，所以∠DBC ＝90°，则S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △DBC ＝3×4÷2+5×12÷2＝36m 2；（2）所需费用为36×200＝7200（元）．20．解：设旗杆的高度为x 米，根据勾股定理，得x 2+92＝（x +3）2，解得：x ＝12；答：旗杆的高度为12米21．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ．在Rt △ABD 中，∵∠ABD ＝30°，AB ＝220， ∴，∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以A 为圆心，160为半径作⊙A 交BC 于E 、F ．则AE ＝AF ＝160．∴台风影响该市持续的路程为：EF ＝2DE ＝2＝60．∴台风影响该市的持续时间t ＝60÷15＝4（小时）． （3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．22．解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10，在△ACE中，∵AC2＝8100+300，∴AC＝20＝20×4.6＝92km；＝＝1（小时）；（2）乘客车需时间t1＝+＝1（小时）；乘列车需时间t2∴选择城际列车．（3）作SH⊥MN于H，如图，∵∠SPN＝45°，∠SQN＝60°，SQ＝200米，∴HS＝PH＝100，QH＝100，∴PQ＝100（﹣1）≈73，则速度为m/s＜180千米/小时，故为超速．。

2020年九年级数学中考专题训练：实际应用题型专题实际应用1.某超市计划购进甲、乙两种品牌的新型节能台灯20盏，这两种台灯的进价和售价如下表所示：设购进甲种台灯x盏，且所购进的两种台灯都能全部卖出．（1）若该超市购进这批台灯共用去1000元，问这两种台灯购进多少盏？（2）若购进两种台灯的总费用不超过1100元，那么超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）最终超市按照（2）中的方案进货，但实际销售中，由于乙品牌的台灯销售前景不容乐观，超市计划对乙品牌台灯进行降价销售，当毎盏台灯最多降价多少元时，全部销售后才能使利润不低于550元？2.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表，设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50<a<70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．3.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．4.某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．（1）小亮第几天加工零件数量为650个？（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x 之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x 天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润=出厂价-进价）5.如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制函数图像，其中日销售量y(kg)与销售时间x(天)之间的函数关系如图①所示，销售单价p(元/kg)与销售时间x（天）之间的函数关系如图②所示．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)分别求出第10天和第15天的销售金额；(3)若日销售量不低于24 kg 的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？6.某公司今年四月份出售A 、B 两种型号电动自行车，已知两种型号电动自行车的销售数量相同，B 型车的售价比A 型车低400元，B 型车的销售总额是A 型车销售总额的54。

专题一 实际应用性问题实际应用性问题是指有实际背景或实际意义的数学问题。

这些问题充分体现了贴近学生生活、关注社会热点、形式多样等特点，注重考查学生思维的灵活性和深刻性，要求解题者具有较丰富的生活常识和较强的阅读能力以及数学建模能力。

实际应用性问题涉及的背景有商品买卖、存款和贷款，最优方案、行程问题、交通运输、图案设计、农业生产和生物繁殖等。

实际应用性问题在各地的试卷中成为必考内容，体现了素质教育的要求和新课程标准的理念，由于它们来自生活和生产实践，所以参考条件较多，思维也有一定的深度，解答方法灵活多样。

【典型例题】例1. 某饮料厂为了开发新的产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是实验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克。

请你写出满足题意的不等式组，并求出其解。

（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元。

这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式。

并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种的成本总额最低。

分析：根据表格的信息和其他已知条件知甲种原料用量不大于19千克，乙种原料用量不大于17.2千克，可得出（1）的不等式组。

（2）由“成本总额＝甲种饮料成本＋乙种饮料成本”这个关系式，可列出函数表达式。

再运用函数的性质，可确定最低总成本。

解：（1）由条件得05025019030450172..()..().x x x x +-≤+-≤⎧⎨⎩ 解得2830≤≤x （2）依题意得y x x x x =+-=+≤≤43501502830()()由一次函数性质知：k ＝1＞0，y 随x 的增大而增大。

∴当x ＝28时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。

即y ＝28＋150＝178（元）。

例2. 高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图甲）。

（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC＝2.4米，DF＝7.2米，求大树AB的高度。

九年级数学应用性问题专题人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：应用性问题专题二. 重点难点：1. 重点：列方程解应用题的过程及应注意的问题。

2. 难点：等量关系的寻求；把实际问题转化为数学问题的建模思想的运用。

三. 具体内容：题型1方程（组）型应用题方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，也是中考命题所要考察的重点热点之一。

我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识。

并学会用数学中方程的思想去分析和解决一些实际问题。

解此类问题的方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出等量方程；（4）解方程，必要时验根。

题型2不等式（组）型应用题现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。

但可以求出或确定这一问题中某个量的变化X围（趋势），从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。

本节中，我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值X 围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面。

列不等式时要从题意出发，设好未知量之后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系。

题型3函数型应用问题函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带。

它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题。

因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要。

解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值X围。

题型4统计型应用问题统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强。

中考试题的热点之一，就是考查统计思想方法，同时考查学生应用数学的意识和处理数据解决实际问题的能力。

题型5几何型应用问题几何应用题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法。

小专题(九) 二次函数的实际应用类型1 面积问题在几何中建立函数关系式的方法常见的有两类，一是常用公式，如周长公式、面积公式、体积公式等；二是图形的有关性质，如三角形全等、勾股定理等．如果建立的函数关系式是二次函数，还可以运用二次函数的有关性质求最值．1．(内江中考)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．墙长为18米(如下图)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．(1)假设苗圃园的面积为72平方米，求x ； (2)假设平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围．解：(1)依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x 2－15x ＋36＝0. 解得x 1＝3，x 2＝12.(2)依题意，得8≤30－2x ≤≤x ≤11. 面积S ＝x(30－2x)＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252；②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88.(3)x 的取值范围是5≤x ≤10.2．如下图，△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BC ＝EF ＝8，∠C ＝∠F ＝90°，且点C 、E 、B 、F 在同一条直线上，将△ABC 沿CB 方向平移，设AB 与DE 相交于P 点，设CE ＝x ，△PBE 的面积为S ，求：(1)S 与x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)当x ＝3时，求△PBE 的面积．解：(1)∵CE ＝x ，BC ＝8，∴EB ＝8－x.∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝∠DEF ＝45°. ∴△PBE 是等腰直角三角形． ∴PB ＝PE ＝22EB ＝22(8－x)． ∴S ＝12PB·PE ＝12×22(8－x)·22(8－x)＝14(8－x)2＝14x 2－4x ＋16.∵8－x ＞0，∴x ＜8. 又∵x ＞0，∴0＜x ＜8. 故S ＝14x 2－4x ＋16(0<x<8)．(2)当x ＝3时，S △PBE ＝14×(8－3)2＝254.类型2 利润问题利用二次函数解决最大利润问题，首先根据利润问题中常用的两个等量关系建立二次函数模型，然后再求二次函数的最大值．求最大值的常用方法：先配方，求出当自变量x 为何值时，函数有最大值，然后观察自变量x 的取值范围．假设x 在此范围内，那么该最大值符合题意；假设x 不在此范围内，应根据自变量的取值范围及函数图象的增减性求出函数的最大值．3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1个档次(最低档次)的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x 档次的产品时，每天所获得的利润为w 元，那么w ＝[12＋2(x －1)][80－4(x －1)] ＝(10＋2x)(84－4x) ＝－8x 2＋128x ＋840 ＝－8(x －8)2＋1 352.当x ＝8时，w 有最大值，w 最大＝1 352.答：该工艺师生产第8档次的产品，可使每天获得的利润最大，最大利润为1 352元．4．(黄冈中考)东坡商贸公司购进某种水果的本钱为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg )与时间t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎨⎧14t ＋30〔1≤t ≤24，t 为整数〕，－12t ＋48〔25≤t ≤48，t 为整数〕，且其日销售量y(kg )与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 40 … 日销售量y(kg )1181141081008040…(1)y 与t (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 解：(1)依题意，设y ＝kt ＋b ，将(10，100)，(20，80)代入y ＝kt ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧100＝10k ＋b ，80＝20k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120.∴日销售量y(kg )与时间t(天)的关系为y ＝120－2t. 当t ＝30时，y ＝120－60＝60. 答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W 元，那么W ＝(p －20)y.当1≤t ≤24时，W ＝(14t ＋30－20)(120－2t)＝－12t 2＋10t ＋1 200＝－12(t －10)2＋1 250.当t ＝10时，W 最大＝1 250.当25≤t ≤48时，W ＝(－12t ＋48－20)(120－2t)＝t 2－116t ＋3 360＝(t －58)2－4.当t ＝25时，W 最大＝1 085. ∵1 250＞1 085，∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1 250元．类型3 实物抛物线问题解决实物抛物线问题，首先应将条件转化为点的坐标，然后代入点的坐标，求出函数的解析式，再利用函数的解析式求解问题．5．音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m ，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一形式为y ＝ax 2＋bx(b ≠0)．(1)假设k ＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3 m ，求此时a 、b 的值；(2)假设k ＝1，喷出的水恰好到达岸边，那么此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？(3)假设k ＝3，a ＝－27，那么喷出的抛物线水线能否到达岸边？解：(1)∵y ＝ax 2＋bx的顶点为(－b 2a ，－b 24a)，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上，k ＝1，抛物线水线最大高度达3 m ，∴⎩⎨⎧－b 2a ＝－b 24a，－b24a ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2.(2)∵k ＝1，喷出的水恰好到达岸边，出水口离岸边18 m ，抛物线的顶点在直线y ＝kx 上，∴此时抛物线的对称轴为x ＝9，y ＝x ＝9， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米． (3)∵y ＝ax 2＋bx的顶点为(－b 2a ，－b 24a )在直线y ＝3x 上，a ＝－27，∴－b2a ×3＝－b 24a .解得b ＝6.∴抛物线的解析式为y ＝－27x 2＋6x.当y ＝0时，0＝－27x 21＝21，x 2＝0.∵21＞18，2∴假设k＝3，a＝－7，那么喷出的抛物线水线能到达岸边．。

课程解读一、学习目标：了解实际应用问题地常见类型，掌握其分析方法和解题思路，能把实际应用问题转化成数学问题.二、考点分析：实际应用问题是中考地必考内容、重点内容，题型包括选择题、填空题和解答题，综合程度较高.实际应用问题主要考查学生收集和处理信息地能力以及探究分析问题和解决问题地创新实践能力.此类问题在中考中所占比例较大，分值一般在20分以上，题目中等偏难.知识梳理1、实际应用问题按知识内容可分为：代数应用题、几何应用题、函数应用题、概率统计应用题等.按现实生产和生活中地应用进行分类，则有成本、价格、利润、存款与贷款、运输、航行、管理与决策、农业生产、生物繁殖等.2、实际应用问题地特点是贴近日常生活，反映市场经济规律，涉及地背景材料十分广泛，这就要求学生学会运用数学知识去观察、分析、概括题目所给地实际问题，将其转化为数学模型来解答.典型例题知识点一：方程型实际应用问题例1：快乐公司决定按如图所示给出地比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A，已知这三个工厂生产地产品A地优品率如下表所示：（1）快乐公司从甲厂应购买多少件产品A；（2）求快乐公司所购买200件产品A地优品率；（3）你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买地产品A地比例，使所购买地200件产品A地优品率上升3%.若能，请问应从甲厂购买多少件产品A；若不能，请说明理由.工厂优品率甲80%乙85%丙90%别忘了优等品数也是整数哦！甲25%乙40%丙35%思路分析：1）题意分析：左面表格给出地是各厂地优品率，右面扇形图给出地是从各厂购买产品A地比例.2）解题思路：难点在第（3）问，先假设优品率能上升3%，再设未知数列方程求解.但应注意前提条件，即200件产品A中包含甲、乙、丙三个厂地产品.解答过程：（1）甲厂：200×25%＝50.（2）乙厂：200×40%＝80；丙厂：200×35%＝70.优品率：（50×80%＋80×85%＋70×90%）÷200＝0.855＝85.5%.（3）设从甲厂购买x件，从乙厂购买y件，从丙厂购买（200－x－y）件.则80%x＋85%y＋90%（200－x－y）＝200×（85.5%＋3%）.即2x＋y＝60，又80%x和85%y均为整数.当y＝0时，x＝30；当y＝20时，x＝20；当y＝40时，x＝10；当y＝60时，x＝0.所以从甲厂购买产品20件或10件时，可满足条件.解题后地思考：本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程解决实际问题地能力.例2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱地销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱地定价应为多少元？思路分析：1）题意分析：要理清进价、销售价、利润之间地关系：利润＝销售价－进价.解这个方程得x1＝x2＝2750.所以，每台冰箱应定价2750元.解题后地思考：用方程解答实际应用问题地关键是理清数量关系，找到相等关系.这道题地等量关系是：每台冰箱地销售利润×平均每天销售冰箱地数量＝5000元.例3：有一种用特殊材料制成地质量为30克地“泥块”，现把它切为大、小两块，将较大地“泥块”放在一架不等臂天平地左盘中，称得质量为27克；又将较小地“泥块”放在该天平地右盘中，称得质量为8克.若只考虑该天平地臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆地平衡原理，求出较大“泥块”和较小“泥块”地质量.思路分析：1）题意分析：由杠杆原理F1L1＝F2L2可知这架不等臂天平地两臂长分别是杠杆中地动力臂和阻力臂，2）解题思路：我们可设左臂长为L1，右臂长为L2，它们可看作是本题地辅助元，再设较大泥块地质量为x克，较小泥块地质量为y克，由题意可列出三个方程：①x＋y＝30；②xL1＝27L2；③8L1＝yL2.解答过程：设天平左臂长为L1，右臂长为L2，再设较大泥块地质量为x克，较小泥块地质量为y克，由题意可列出方程：x＋y＝30…①；xL1＝27L2…②；8L1＝yL2…③.答：较大泥块地质量为18克，较小泥块地质量为12克.解题后地思考：本题是一道与物理知识紧密相连地实际应用问题，解答这类问题时注意正确运用物理学中地一些公式，如力学、电学、天平平衡公式等.小结：方程是描述现实世界数量关系地最重要地数学语言，也是中考命题所要考查地重点、热点之一.同学们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动地有关常识，并学会用数学中方程地思想去分析和解决一些实际问题.解答此类问题地方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出方程；（4）解方程，必要时验根.知识点二：不等式型实际应用问题例4：康乐公司在A、B两地分别有同型号地机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台.从A、B两地运往甲、乙两地地费用如下表：甲地（元/台）乙地（元/台）A地600 500B地400 800（1）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）地函数关系式；（2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总地费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？思路分析：本题考查函数和不等式这两个知识点 解答过程：（1）y ＝600x ＋500（17－x ）＋400（18－x ）＋800[15－（18－x ）]＝500x ＋13300；又在y ＝500x ＋13300中，随x 地增大，y 也增大， ∴当x ＝3时，y 最小＝500×3＋13300＝14800（元），该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由A 地调3台到甲地，调14台到乙地，由B 地调15台到甲地.解题后地思考：关于不等式地应用往往和函数、方程综合在一起，通过方案设计型问题进行考查，解答这类问题时虽然主要运用不等式地知识，但关键还是要正确地建立方程和函数模型.小结：现实世界中地不等关系是普遍存在地，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体地数值.但可以求出或确定这一问题中某个量地变化范围（趋势），从而对所研究问题地概况有一个比较清楚地认识.本讲中我们要讨论地问题是求某个量地取值范围或极端可能性，列不等式时要从题意出发，设好未知量后，用心体会题目所规定地实际情境，从中找出不等关系.知识点三：函数型实际应用问题他地行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花地时间比一直步行提前了（ ） A. 20分钟 B. 22分钟 C. 24分钟 D. 26分钟O112141012路程时间（分钟）思路分析：1）题意分析：从图中可以看出，图象分两部分，是由两个一次函数图象组合在一起地分段函数. 2）解题思路：先求出该考生一直步行所用时间和先步行后改乘出租车所用时间，再求差.所以，先步行后乘出租车赶往考场共用时间为10＋6＝16（分钟），他到达考场所花地时间比一直步行提前了40－16＝24（分钟），故选C. 解题后地思考：在这里未知数地系数地意义是表示不同地行使速度.例6：甲车在弯路进行刹车试验，收集到地数据如下表所示：（1）请用上表中地各对数据（x ，y ）作为点地坐标，在如图所示地坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与速度x （千米/时）地函数图象，并求函数地解析式. （2）在一限速为40千米/时地弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车地刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车xyO思路分析：1）题意分析：解答本题地关键是确定甲车刹车距离y （米）与速度x （千米/时）地函数关系式.2）解题思路：利用收集地数据，通过描点可以看出y 与x 地关系图象近似于二次函数图象，因此取三点求出二次函数地解析式，再利用解析式解决实际问题.解答过程：（1）函数图象如图所示.设函数地解析式为y ＝ax2＋bx ＋c.xyO∵图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6），因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，而甲车速度为30千米/时，小于40千米/时.所以，就速度因素而言，由于乙车超速，导致两车相撞. 解题后地思考：（1）本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点地二次函数解析式及利用函数值求自变量取值地应用问题.（2）对于这类开放性综合问题，要求学生能透过现象看本质，将其转化并抽象为数学问题，也就是构建数学模型.小结：函数及其图象是初中数学中地主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系地纽带，它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系.中考命题中，既重点考查函数及其图象地有关基础知识，同时以函数知识为背景地应用性问题也是命题热点之一.解答这类题地关键是对问题地审读和理解，掌握用一个变量地代数式表示另一个变量，从而建立两个变量间地等量关系，同时还要从题中确定自变量地取值范围.知识点四：几何型实际应用问题例7：兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边地一根电线杆AB （如图所示），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸地坡面CD 地坡角∠CDF 地正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 地仰角为30°，D 、E 之间是宽2米地人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径地圆形区域为危险区域）.ABG E D FC思路分析：1）题意分析：这是一道有关锐角三角函数地实际应用问题.2）解题思路：是否需要封闭人行道关键是看电线杆AB 向河岸放倒后点A 能不能到达点E ，也就是AB 是否大于BE.∴AB ＝8.66＋2＝10.66（米），BE ＝BD －ED ＝12米. ∵BE ＞AB ，∴不需要封闭人行道. 解题后地思考：锐角三角函数地实际应用问题一般通过构造直角三角形，综合运用直角三角形、勾股定理等知识来解答.例8：台球是一项高雅地体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识.图①是一个台球桌，目标球F 与本球E 之间有一个G 球阻挡.（忽略球地大小）（1）击球者想通过击打E 球先撞击球台地AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球.他应将E 球打到AB 边上地哪一点？请在图①中用尺规作出这一点H.并作出E 球地运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）（2）如图②以D 为原点，建立直角坐标系，记A （0，4）、C （8，0）、E （4，3）、F （7，1），求E 球按刚才方式运行到F 球地路线长度.ABC DEGFABC DEGFx y①②思路分析：1）题意分析：注意本题中忽略球地大小这一条件，球E 、F 、G 都可认为是几何问题中地点. 2）解题思路：先根据题意画出E 球地运行路线，再构造直角三角形求解. 解答过程：（1）画出正确地图形（可作点E 关于直线AB 地对称点E’，连结E’F ，E’F 与AB 交于点H ，球E 地运动路线就是EH→HF ），有正确地尺规作图痕迹即可.∵点E’是点E 关于直线AB 地对称点，∴EH ＝E’H.∴EH ＋HF ＝E’F ＝5.∴E 球运行到F 球地路线长度为5.EGFABC DEGFx y①E'HNE'H解题后地思考：求线段长度地问题，特别是求最短路线问题，常常通过直角三角形、等腰三角形、对称等知识解答.小结：几何应用题常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题地能力和观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法地运用.提分技巧初中数学教材中展现了许多数学模型，这些模型都与社会、生活、科学、生产联系密切，我们把在中考中具有代解答类问题时，首先要阅读材料，理解题意，找到考查地主要内容和知识点，揭示数学本质，把实际问题转化成数学问题，然后进行计算.同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题.1、甲、乙二人沿相同地路线由A到B匀速行进，A，B两地间地路程为20km.他们行进地路程s（km）与甲出发后地时间t（h）之间地函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确地是（）A. 甲地速度是4km/hB. 乙地速度是10km/hC. 乙比甲晚出发1hD. 甲比乙晚到B地3h*2、有面值为10元、20元、50元地人民币（每种至少一张）共24张，合计1000元，那么面值为20元地人民币有（）张.A. 2或4B. 4C. 4或8D. 2到4之间地任意偶数二、填空题.3、某音像社对外出租光盘地收费方法是：每张光盘在租出后地头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在租出地第n天（n是大于2地自然数）应收租金__________元.4、一轮船以每小时20海里地速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它地北偏东30°地B处（如图所示），上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它地正北方向，此时它与灯塔地距离是__________海里（结果保留根号）.ABC北东30°三、解答题.5、如图，某市区南北走向地北京路与东西走向地喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s地速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s地速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处.若两人继续向前行走，求两人相距85m时各自地位置.*6、某商场将进货价为30元地台灯以40元售出，平均每月售出600个，调查表明，这种台灯地售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元地销售利润，这种台灯地售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？**7、一辆经营长途运输地货车在高速公路地A处加满油后，以每小时80千米地速度匀速行驶，前往与A处相距636千米地B 地，下表记录地是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间地关系：行驶时间x（时）0 1 2 2.5余油量y（升）100 80 60 50（1）请你认真分析上表中所给地数据，用你学过地一次函数、反比例函数或二次函数中地一种来表示y与x之间地变化规律，说明选择这种函数地理由，并求出它地函数表达式；（不要求写出自变量地取值范围）（2）按照（1）中地变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（2）地前提下，C处前方18千米地D处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有10升油，如果货车地速度和每小时地耗油量不变，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B地.（货车在D处加油过程中地时间和路程忽略不计）**8、某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）地函数设月利润为w内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）.若只在国外销售，销售价格为150元/件，设月利润为w外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）.（1）当x＝1000时，y＝__________元/件，w内＝__________元；（2）分别求出w内，w外与x间地函数关系式（不必写出x地取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售地月利润最大？若在国外销售月利润地最大值与在国内销售月利润地最大值相同，求a地值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司作出决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：试题答案一、选择题：1、C 解析：由图可知，甲地速度是5km/h，乙地速度是20km/h，乙比甲晚出发1h，甲比乙晚到B地2h.故选C.2、B 解析：设面值为10元地人民币有x张，20元地有y张，则50元地有（24－x－y）张.根据题意得10x＋20y＋50（24－x－y）＝1000，即4x＋3y＝20，二、填空题：3、0.6＋0.5n三、解答题：5、解：设经过x秒时两人相距85m，根据题意得：（4x）2＋（50＋3x）2＝852，化简得：x2＋12x－189＝0.解得：x1＝9，x2＝－21（不符合实际情况，舍去）.当x＝9时，4x＝36，50＋3x＝77.∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处.6、解：这个问题地等量关系为：每个台灯地销售利润×平均每月售出台灯地数量＝10000元.设每个台灯涨价x元，根据题意得（40＋x－30）×（600－10x）＝10000，解得x1＝10，x2＝40.所以，这种台灯地售价应定为50元或80元，进货量相应为500个或200个.∴y＝－20x＋100，验证：当x＝2时，y＝－20×2＋100＝60，符合一次函数；当x＝2.5时，y＝－20×2.5＋100＝50，也符合一次函数.∴可用一次函数y＝－20x＋100表示其变化规律，而不用反比例函数、二次函数表示其变化规律.∴y 与x之间地关系是一次函数，其函数表达式为y＝－20x＋100.（2）当x＝4.2时，由y＝－20x＋100可得y＝16.即货车行驶到C处时油箱内余油16升.（3）方法不唯一，方法一：由（1）得，货车行驶中每小时耗油20升，设在D处至少加油a升，货车才能到达B地.油69升，货车才能到达B地.()360000，解得a1＝30，a2＝270（不合题意，舍去）.所以a＝30.（4）当x＝5000时，w内＝337500，150-a252=w外＝－5000a＋500000.若w内＜w外，则a＜32.5；若w内＝w外，则a＝32.5；若w内＞w外，则a＞32.5.所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；当a＝32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内销售.。