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课题： 正弦定理与余弦定理的综合应用【学习目标】综合应用正弦定理和余弦定理实现边角的互化第一环节：导入学习（约3分钟）1． 正弦定理的内容：___________________________________2． 余弦定理的内容：____________________________,_________________________________________________变形为_________________________________________________________,________________________________3．三角形的面积公式：_________________,___________________________________第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟） （一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）题型1. 综合应用正弦定理和余弦定理例1.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，且ca bC B +-=2cos cos 求： （1） 角B 的大小（2） 若b=13,a+c=4,求ABC ∆的面积（1）因为:cosB/cosC=-b/2a+c=-sinB/(2sinA+sinC) 所以:2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC 就有:2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC =2cosBsinA+sin(B+C) =2cosBsinA+sinA =(2cosB+1)sinA =0在三角形ABC 中,sinA>0 所以只有:cosB=-1/2 那么:B=120(2). b=根号13,a+c=4cosB=-1/2=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2ac =(16-2ac-13)/2ac =(3-2ac)/2ac所以:3-2ac=-ac ac=3所以由a+c=4,ac=3可以解得 a=3或者a=1例2在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知22a cb -=，且sinAcosC=3cosAsinC,求b在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC ，化简并整理得：2（a 2-c 2）=b 2，又a 2-c 2=b ， ∴2b=b 2，解得：b=2或b=0（舍）， 则b 的值为2；题型2判断三角形的形状例3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c 已知（a+b+c ）（a+b-c ）=3ab ，且 2cosAsinB=sinC,确定ABC ∆的形状答案：(a+b+c)(a+b-c)=3ab(a+b)^2-c^2=3ab a^2+b^2-c^2=abcosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2 故C=60度,A+B=120度 2cosAsinB=sinC cos AsinB=√3/41/2*sin(A+B)-sin(A-B))=√3/4 因为A+B=120°，sin （A+B ）=√3/2 √3/4-sin(A-B)=√3/4sin(A-B)=0 A=B故是等边三角形（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用） 1.在ABC ∆中，A=120 ，a=7,b+c=8,求b 、c ，sinB 及ABC ∆的面积答案：由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c ）2-2bc-2bccosA ，∴72=82-2bc+bc ，化为bc=15． 联立b+c=8bc=15，解得b=5c=3或b=3c=5．当b=5，c=3时，由正弦定理可得：asinA=bsinB ， ∴sinB=bsinAa=5×sin120°7=5314，S △ABC=12bcsinA=12×5×3×sin120°=15.34； 当b=3，c=5时，由正弦定理可得：asinA=bsinB ， ∴sinB=bsinAa=3sin120°73314，S △ABC=12bcsinA=15.342.在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。
高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3. 作业：教材P11 B组1、2题.高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
高中数学必修五第一章教案1．1.1 正弦定理1．1.2 余弦定理1．角度问题1．三角形中的几何计算1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升1．2应用举例距离和高度问题1．1.1 正弦定理高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【问题导思】 正弦定理1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴a sin A ＝bsin B＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C .2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： asin A ＝b sin B ＝csin C.2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小．【思路探究】 (1)由sin B ＝12能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？(2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝12，∴B ＝30°或150°，当B ＝30°时，由A ＝60°得，C ＝90°； 当B ＝150°时，不合题意，舍去． 由正弦定理可得：b sin B ＝c sin C ＝asin A .故b ＝sin B sin A ·a ＝sin 30°sin 60°×3＝3，c ＝sin C sin A ·a ＝sin 90°sin 60°×3＝2 3.1．解答本题时首先应把已知条件sin B ＝12进行转化，把问题化归为已知两角及一边解三角形问题，要注意当B ＝150°时不合题意．2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A.322 B.322C.32D.62【解析】 因为A ＝75°，B ＝60°，所以C ＝180°－75°－60°＝45°.因为c＝3，根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c sin B sin C＝3×3222＝322.【答案】 A已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2.求A ，B ，b .【思路探究】 (1)条件中已知边c 和其对角C ，又知边a ，能否用正弦定理求得A值？(2)求得A 值后，怎样求其他元素？ 【自主解答】 由a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c >a ，∴C >A ，∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.1．解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是sin A 的值，由sin A 求A 可能有两种情况，要根据题意进行取舍．2．在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况如下：角A 为锐角角A 为钝角或直角图形关系式①a ＝b sin A②a ≥b b sin A <a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数一解两解无解一解无解(2013·青岛高二检测)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形的解的情况是( )∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin (B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．正弦定理的变形公式：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.实际题目中，我们是通过以上两个变形公式完成边化角和角化边的．(2013·淄博高二期中)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 由正弦定理，已知条件可以变形为sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．易错专练 解三角形时忽视大边对大角致误在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B . 【错解】 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝12， ∴B ＝30°或150°.1．1.2余弦定理高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【自主解答】 (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角． 由正弦定理，得sin A ＝a csin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ， 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二 由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6－2432＝6－22.1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形． 【解】 法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角． 【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？(2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？【自主解答】 由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°， 即最大内角为120°.1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．(2013·洛阳高二检测)边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 【解析】 设边长为5、7、8的对角分别为A 、B 、C . 则A <B <C .由题意cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°.【答案】 B 判断三角形的形状在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求A ，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△ABC 的形状．【自主解答】 因为(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝12，即A ＝60°.又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，且sin A ＝2sin B cosC ，所以sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，所以B ＝C ， 又因为A ＝60°，所以B ＋C ＝180°－A ＝120°，即B ＝C ＝60°， 故△ABC 为等边三角形．1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2>c 2且b 2＋c 2>a 2且c 2＋a 2>b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2<c 2或b 2＋c 2<a 2或c 2＋a 2<b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ．试判断△ABC 的形状． 【解】 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，等式两边同乘以2abc ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2，故△ABC 是以A (或B )为直角的直角三角形.正余弦定理的综合应用(12分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B .【规范解答】 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b a＝ 2.6分 (2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.8分由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.12分在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】 由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．(2013·青岛高二期中)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513 C ．0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0. 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________.1角度问题高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日方位角与方向角【问题导思】课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？【提示】老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．图1－2－171．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)．方位角的取值范围：0°～360°. 2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.俯角、仰角与坡角(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.图1－2－18(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．确定航向的角度问题一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)图1－2－19【思路探究】 (1)如图AB ，BC 已知，只要求出它们的夹角ABC 就可以用余弦定理求出AC ，∠ABC 怎样求？(2)∠CAB 怎样求？若求出∠CAB ，航向该怎样表示？【自主解答】 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137°≈113.15.由正弦定理，得BCsin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC， sin ∠CAB ＝BC sin ∠ABCAC＝54.0×sin 137°113.15≈0.3255，所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.1．本题中由于A 、C 均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB 的大小，可用方向角表示出来．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，π2]上时，用正、余弦定理皆可．如图1－2－20所示，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m ，试计算从A 到D 的方位角和距离．图1－2－20【解】 连接AC ，在△ABC 中，∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 150°≈1 289 m，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ≈860sin 150°1 289≈0.333 6， ∴∠BAC ≈19.5°，∴∠ACB ≈10.5°.在△ACD 中，∠ACD ≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.由余弦定理，得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ≈1 531 m. ∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD≈0.911 1， ∴∠CAD ≈24.3°.∴从A 到D 的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°.即从A 到D 的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)， 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin 120°， ∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12. ∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B ，画出可以求解的三角形．2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．在甲船A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】 设甲船沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C处用时为t .由题意BC ＝vt ，AC ＝3vt ，∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°，∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt . ∴2v 2t 2－avt －a 2＝0,解得vt ＝－a2(舍去)或vt ＝a . ∴BC ＝a ， 在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. 60°－30°＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a 海里． 易错辨析题：应用正余弦定理时出现增根致误图1－2－21某观测站C 在A 城的南偏西20°方向上，由A 城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C 处测得公路上距C 为31 km 的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，则这人还要走多远才可到达A 城？【错解】 如题图所示，∠CAD ＝60°，在△BCD 中，由余弦定理，得：cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝12331. 在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠BAC＝24(km)． 在△ACD 中，由余弦定理，得：CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即212＝242＋AD 2－24AD . 所以AD ＝15或AD ＝9，即这人还要走15 km 或9 km 才能到达A 城．【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．【正解】 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理，得：cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17. 所以sin β＝437. 所以sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin 60°＝ADsin α，所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)． 即这人还要走15 km 才可以到达A 城．巩固练习：图1－2－221．对右图正确的描述应为( ) A ．东偏北α° B ．东北方向α° C ．北偏东α°【答案】 C2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【解析】 如图，由题意，知AC ＝BC ，∠ACB ＝80°，∴∠CBA ＝50°，α＋∠CBA ＝60°.∴α＝10°，即A 在B 的北偏西10°.【答案】 B3．△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝7，则cos C ＝( )A ．－15 B.15C.79D.45【解析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－840＝－15. 【答案】 A4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．【解】 如图，B ，C 为两灯塔，行驶半小时后船从A 到达D ，由∠ADC ＝75°，∠ADB ＝60°，∴∠BCD ＝∠BDC ＝15°.∴BD ＝BC ＝10，∴AD ＝10×cos 60°＝5.设船速为x ，则12x ＝5，即x ＝10(海里/小时)．课堂小结：1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.布置作业：1．三角形中的几何计算高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日教学过程：步骤、内容、教学活动【问题导思】三角形的面积公式如图，在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a ，h b 和h c .1．你能用△ABC 的边角分别表示h a ，h b ，h c 吗？【提示】 h a ＝b sin C ＝c sin B . h b ＝c sin A ＝a sin C . h c ＝b sin A ＝a sin B .2．你能用边a 与高h a 表示△ABC 的面积吗？【提示】 S △ABC ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12ac sin B . 已知△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，其面积为S ，则：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B例题讲解： 三角形中的面积计算△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)AB 、AC 是不是C 的两夹边？(2)要使用三角形的面积公式应求哪个角？怎样求？【自主解答】 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ， ∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12. 因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________． 【解析】 由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32， ∴AC ＝1.由余弦定理得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝22＋12－2×2×1×12＝3. ∴BC ＝ 3.【答案】 3三角形中的证明问题在△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.【思路探究】 去掉括号再考虑用正弦定理求解．【自主解答】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 则a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B ，所以左边＝a sin B －a sin C ＋b sin C －b sin A ＋c sin A －c sin B ＝(a sin B －b sin A )＋(b sin C －c sin B )＋(c sin A －a sin C ) ＝0＋0＋0＝0＝右边，所以原式成立．1．证明本题的关键在于充分借助正、余弦定理实现边角互化．2．恒等式证明通常采用以下三种方法：(1)从等式的左边证到右边；(2)从等式的右边证到左边；(3)对等式的两边同时变形，化为同一个式子．方法的选择原则是从复杂的一边证明到简单的一边．3．证明过程中，要注意三角函数和、差、倍角公式的灵活运用．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.求证sin C sin A＝2. 【证明】 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B .化简可得s in(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. 三角形中的综合问题(2013·黄冈高二检测)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列且cos B ＝35.(1)求cos A sin A ＋cos C sin C的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值． 【思路探究】 (1)结合已知条件，用正弦定理与三角恒等公式求值．(2)用余弦定理解决．【自主解答】 (1)由已知b 2＝ac ，及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，由cos B ＝35，则sin B ＝45. cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ＝54. (2)由BA →·BC →＝3，得ac cos B ＝3，ac ＝3cos B＝5， 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ×35，得ac ＝a 2＋c 2－65ac ， a 2＋c 2＋2ac ＝215ac ＝21，∴(a ＋c )2＝21.∴a ＋c ＝21.1．本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用．解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式．2．以下结论也常常用到： (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cosC ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 【解】 (1)由已知条件得2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得 7＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 将b ＋c ＝4代入，得bc ＝3故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.解三角形中的函数思想(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小； (2)求sin A ＋sin B 的最大值．【解析】 由12bc sin A ＝2203，∴c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401.∴a ＝49. 【答案】 D3．边长为a 的等边三角形的高为________． 【解析】 高h ＝a sin 60°＝32a . 【答案】32a 4．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，求AC 边上的高． 【解】 设AC 边上的高为h ，由余弦定理知 cos B ＝32＋132－162×3×13＝1313，∴sin B ＝23913，∴S ＝12×3×13×23913＝332×2＝3 3.又S ＝12×4×h ，∴2h ＝33，∴h ＝332，∴AC 边上的高为332.课堂小结：1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日.利用正、余弦定理解三角形在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形： (1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.【思路点拨】 已知两边和其中一边的对角解三角形，可以用正弦定理，也可以用余弦定理解决，解题时一定要准确判断解的情况．【规范解答】 (1)∵a >b ，∴B 为锐角，由正弦定理，sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一 由正弦定理sin B ＝ba·sin A ＝1， ∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二 设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0， ∴c ＝433，由正弦定理sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a >c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°. (4)由正弦定理sin B ＝b a·sin A ＝3>1，无解．已知a ＝5，b ＝53，A ＝30°，解三角形． 【解】 由题可知，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝53×12＝532，∴a >b sin A ，∴本题有两解．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝53×125＝32，∴B ＝60°或B ＝120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝512＝10. 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝5.综上，B ＝60°，C ＝90°，c ＝10或B ＝120°，C ＝30°，c ＝5. 正、余弦定理在三角形中的综合应用正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．求角A 的大小．【思路点拨】 根据正弦定理，把已知中的角转化成边再求解． 【规范解答】 ∵2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )·si n C ， 由正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.∵0<A <π， ∴A ＝2π3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B . 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1，因此b ＝2.正弦定理和余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【思路点拨】 由题意图出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．【规范解答】 如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．如图1－1是曲柄连杆机结构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处．设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(连杆的端点A 移动的距离A 0A )．(精确到1 mm)图1－1【解】 在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＝BC sin C AB ＝85×sin 80°340≈0.246 2.∵BC <AB ，∴A 为锐角，得A ≈14°15′.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(14°15′＋80°)＝85°45′. 由正弦定理，得AC ＝AB sin B sin C ≈340×sin 85°45′0.984 8≈344.3(mm)． ∴AA 0＝A 0C －AC ＝(AB ＋BC )－AC ≈(340＋85)－344.3＝80.7≈81(mm)， 即活塞移动的距离约为81 mm.转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．已知△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 转化第一个已知条件，应用余弦定理求C .转化第二个已知条件，应用正弦定理判断△ABC 的形状．【规范解答】 由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝12，∴C ＝60°. 由a cos B ＝b cos A ，得2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝0，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解】 由3b ＝23a sin B ，得bsin B ＝23a 3， 根据正弦定理，得b sin B ＝asin A，1．2应用举例距离和高度问题高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线． 2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高测量中的有关概念1.坡角坡面与水平面的夹角，如图1－2－1所示，α为坡角．图1－2－12．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α，如图1－2－1所示．3．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1－2－2所示)．图1－2－24．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题图1－2－3如图1－2－3，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离．【思路探究】(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？(2)能用正弦定理求出AB 的长度吗？【自主解答】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)． 即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.如图所示，设A (可到达)，B (不可到达)是地面上两点，要测量A ，B 两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC (尽量长)，且使AB ，AC 不共线；(2)测量AC ，∠BAC ，∠BCA ；(3)用正弦定理解△ABC ，得AB ＝AC sin C sin B ＝AC sin C sin 180°－A －C.图1－2－4如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D ，E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(A ，D ，E ，B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长．(精确到1 m)。
第二章解三角形本章教材分析1.本章知识框图2.解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸,也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值.本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.本章共分三节：§1正弦定理与余弦定理,§2三角形中的几何计算,§3解三角形的实际应用举例.正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理.在实际测量中有许多应用,教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用.本章内容具有很强的实践性,教科书安排了一个利用本章知识解决测量问题的实习作业.3.本章的引言从台风问题引入,若台风中心现位于某沿海城市正东方向300 km处,正以40 km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心250 km范围内将会受其影响.如果风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间?这是我们经常听到的问题,也是我们经常关注的问题.要解决此类问题,有力工具之一便是解三角形的有关知识.这就点出了本章数学知识的实际背景,使学生初步认识学习解三角形知识的必要性.然后以一系列的实际问题引出本章要学习的数学知识.在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题.在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题,这些问题仅用锐角三角函数就不够了.例如：(1)在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离;(2)测量底部不可到达的建筑物的高度;(3)在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度;(4)测量海上航行的轮船的航速和航向.这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.在本章中,我们要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题.4.本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上.章前图有与本章内容密切相关的海港和海上灯塔的背景图以及月球环形山照片,期望能够反映解三角形的理论和知识在天文、航海等人类探索自然的实践过程中所起的重要作用.5.本章的课程目标：学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并能运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理整体设计教学分析本节的主要任务是引入并证明正弦定理,在课型上属于定理教学课.做好正弦定理的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.在初中学习过关于任意三角形中大边对大角,小边对小角的边角关系,本节内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系;这里一个重要的问题是,是否能得到这个边、角关系准确量化的表示.由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数上去.让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构.在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力.本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算,这是一种基本运算能力,学生基本上已经掌握了.若在解题中出现了错误,则应及时纠正,若没出现问题就顺其自然,不必花费过多的时间.三维目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法,会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.通过正弦定理的探究学习,培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践,并成功解决实际问题.3.通过本节学习,激发学生对数学学习的热情,培养学生独立思考和勇于探索的创新精神. 重点难点教学重点:正弦定理的证明及其基本运用.教学难点:正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时,判断解的个数. 课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(特例导入)教师可先通过直角三角形特殊性质引导学生推出正弦定理形式,如Rt △ABC 中的边角关系,若C 为直角,则有a=csinA,b=csinB,这两个等式间存在关系吗？学生可以得到Bb A a sin sin ,进一步提问,等式能否与边c 和∠C 建立联系？从而展开正弦定理的探究.思路2.(情境导入)如图1,某农场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点A 和B,某日两个观测点的林场人员分别测到C 处出现火情发生.在A 处测到火情在北偏西40°方向,而在B 处观测到火情在北偏西60°方向,已知B 在A 的正东方向10千米处.现在要确定火场C 距A 、B 多远？将此问题转化为数学问题,即“在△ABC 中,已知∠CAB ＝130°,∠CBA ＝30°,AB=10千米,求AC 与BC 的长”.这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习一些解三角形的必要知识,今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理,由此展开新课的探究学习.图1推进新课新知探究提出问题①阅读本章引言,明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题?②回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系,根据三角函数的定义,能否得到直角三角形中边、角量化的准确表示?③由②得到的关系式,对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立?④正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它?⑤利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢?活动:教师引导学生阅读本章引言,通过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要,使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性.如教师可提出以下问题:怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识,让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题.关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系,教师引导学生探究其数量关系.先观察特殊的直角三角形.如图2,在Rt △ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c,图2根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有c a =sinA,c b =sinB, 又sinC=1=c c ,则A a sin =B b sin =Cc sin =c. 从而在Rt △ABC 中,A a sin =B b sin =Cc sin . 那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨论分析.如图3,当△ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=asinB=bsinA,则.A a sin =Bb sin同理,可得C c sin =Bb sin . 从而A a sin =B b sin =Cc sin .图3(当△ABC 是钝角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成.)通过上面的讨论和探究,我们知道在任意三角形中,上述等式都成立.这就是我们今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即上述的探究过程就是正弦定理的证明方法,即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明.教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想,同时点拨学生观察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中,各边与其对应角的正弦之间的一个关系式.正弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系,描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A<∠B,由三角形性质,得a<b.当∠A 、∠B都是锐角,由正弦函数在区间(0,2π)上的单调性,可知sinA<sinB.当∠A 是锐角,∠B 是钝角时,由于∠A+∠B<π,因此∠B<π-∠A,由正弦函数在区间(2π,π)上的单调性,可知sinB>sin(π-A)=sinA,所以仍有sinA<sinB.正弦定理的证明方法很多,除了上述的证明方法以外,教师点拨学生也可以借助于向量方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理.平面几何法:如图4,在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于C′,设BC′=2R,则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′=90°,∠C=∠C′,图4∴sinC=sinC ′=R c 2. ∴Cc sin =2R.同理,可得A a sin =2R,Bb sin =2R. ∴A a sin =B b sin =Cc sin =2R. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式A a sin =B b sin =Cc sin . 这种证明方法简洁明快.在巩固平面几何知识的同时,将任意三角形与其外接圆联系在一起,且引入了外接圆半径R,得到A a s i n =B b sin =Cc sin =2R 这一等式,其变式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可以更快捷地实现边角互化.特别是可以更直观看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系,为正弦定理的应用带来更多的便利. 向量法证明:教师可引导学生回忆思考向量知识,向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如,长度和角度问题,从向量数量积的定义:a ·b =|a ||b |cosθ,其中θ为两向量的夹角.我们知道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系.向量的方法为我们探索三角函数提供了一种非常重要的思想方法,我们曾用它推导了两角差的余弦公式.如用它推导正弦定理首先需考虑通过三角函数的诱导公式sinθ=cos(90°-θ)将正、余弦转化,这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索.证明过程如下:(1)如图5,△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A,j 与的夹角为90°-C.图5 由向量的加法原则可得AC +CB =AB ,为了与图5中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j·(AC +CB )=j AB , 由分配律可得j·AC +j·CB =j·AB . ∴|j|||cos90°+|j|||cos(90°-C)=|j|||cos(90°-A).∴asinC=csinA.∴A a sin =Cc sin . 同理,可得C c sin =B b sin .∴. A a sin =B b sin =Cc sin (2)如图6,△ABC 为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A-90°,j 与CB 的夹角为90°-C. 由A =+,得A j j j ∙=∙+∙,即a·cos(90°-C)=c·cos(A-90°),∴asinC=csinA. ∴A a sin =Cc sin .图6同理,可得B b sin =Cc sin . ∴A a sin =B b sin =C c sin . (3)当△ABC 为直角三角形时,A a sin =B b sin =Cc sin 显然成立. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立.课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理,过程如下:如图7所示,以A 为原点,以射线AB 的方向为x 轴正方向建立直角坐标系,C 点在y 轴上的射影为C′.图7 因为向量与在y 轴上的射影均为|C O '|,即|C O |=|AC |cos(A-90°)=bsinA, |C O |=|BC |sinB=asinB,所以asinB=bsinA, 即A a sin =Bb sin . 同理,A a sin =Cc sin . 所以A a sin =B b sin =C c sin .若A 为锐角或直角,也可以得到同样的结论.分析正弦定理可知,应用正弦定理可解决两类解三角形问题:(1)已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出三角形的另两边,即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和角,即“两边一对角问题”.这类问题的解有时不是唯一的,需根据实际情况分类讨论.讨论结果:①—⑤略.应用示例例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩〔如图8(1)〕,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57 cm,CE=3.57 cm,BD=4.38 cm,B=45°,C=120°.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm).(1) (2)图8活动:如图8(2)所示,将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中,已知BC 的长及角B 与C,可以通过正弦定理求AB,AC 的长.解:将BD,CE 分别延长相交于一点A.在△ABC 中,BC=2.57 cm,B=45°,C=120°,A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°. 因为A BC sin =BAC sin , 所以AC=A B BC sin sin =15sin 45sin 57.2. 利用计算器算得AC≈7.02(cm).同理,AB≈8.60(cm).答:原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.点评:(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角及两角所夹的边,也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角,再利用正弦定理.(2)解三角形的实际问题中,数字计算往往较繁,可借助计算器或其他的计算工具.变式训练在△ABC 中(结果保留两个有效数字),(1)已知c=3,A=45°,B=60°,求b;(2)已知b=12,A=30°,B=120°,求a.解:(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°,B b sin =Cc sin ,∴b==AB c sin sin 75sin 60sin 3≈1.6. (2)∵A a sin =Bb sin , ∴a=120sin 30sin 12sin sin =B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生在黑板上解答,以增强其自信心.例2 台风中心位于某市正东方向300 km 处,正以40 km/h 的速度向西北方向移动,距离台风中心250 km 范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)?活动:这是本章章头引言提到的问题,教学时可引导学生动手先画图,加强直观感知,明确两解的实际情况.这样学生在运用正弦定理求边、求角时,会感到目的明确,思路清晰流畅. 如图9所示,设该市在点A,台风中心从点B 向西北方向移动,AB=300 km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A 的距离不大于250 km 时,该市受台风影响.图9解:设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动,该市位于点B 正西方向300 km 处的点A. 假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC 中,AB=300 km,AC=250 km,BC=40t km,B=45°, 由正弦定理ABC C AB B AC sin sin sin sin ==, 知sinC=25325045sin 300sin == AC B AB ≈0.848 5. 利用计算器算得角C 有两个解:C 1≈58.05°,C 2≈121.95°.当C 1≈58.05°时,A=180°-(B+C 1)≈180°-(45°+58.05°)=76.95°,所以BC 1=45sin 95.76sin 250sin sin 1=B A AC ≈344.4(km), t 1=404.344401=BC ≈8.6(h). 同理,当C 2≈121.95°时,BC 2≈79.83 km,t 2≈2.0 h.t 1-t 2≈8.6-2.0=6.6(h).答:约2 h 后将要遭受台风影响,持续约6.6 h.点评:通过本例我们发现,已知两边和其中一边的对角,解三角形时会出现两解的情况.变式训练1.在△ABC 中,已知a=60,b=50,A=38°,求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).解:已知b<a,∴B<A,因此B 也是锐角.∵sinB=6038sin 50sin=a A b ≈0.513 1, ∴B≈31°.∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.∴c=38sin 111sin 60sin sin =A C a ≈91. 点评:同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边c 的两个解.此题属于a≥b 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边、小角对小边这一边角关系来排除B 为钝角的情形.教师可点拨学生模仿例题,先画图观察.2.在△ABC 中,已知a=28,b=20,A=120°,求B(精确到1°)和c(保留两个有效数字).解:∵sinB=28120sin 20sin=a A b ≈0.618 6, ∴B≈38°或B≈142°(舍去).∴C=180°-(A+B)=22°.∴c=120sin 22sin 28sin sin =A C a ≈12. 点评:(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.本题中A 为钝角且a>b,所以有一解,可让学生画图观察.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.例3 在△ABC 中,A=45°,B ∶C=4∶5,最大边长为10,求角B 、C,外接圆半径及面积S.活动:教师引导学生分析条件B ∶C=4∶5,由于A+B+C=180°,由此可求解出B 、C,这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形,显然其解唯一,结合正弦定理的平面几何证法,由此可解三角形,教师让学生自己探究此题,对于思路有阻的学生可给予适当点拨.解:由A+B+C=180°及B ∶C=4∶5,可设B=4k,C=5k,则9k=135°,故k=15°.那么B=60°,C=75°.由正弦定理R=︒2sin7510=5(26-), 由面积公式S=21bc·sinA=21c·2RsinB·sinA=75-253. 点评:求面积时,b 未知但可转化为b=2RsinB,从而解决问题.变式训练1.在△ABC 中,(a 2+b 2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,则△ABC 是…( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析:运用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB 以及结论sin 2A-sin 2B=sin(A+B)sin(A-B), 由(a 2+b 2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,∴(sin 2A+sin 2B)sin(A-B)=(sin 2A-sin 2B)sinC=sin(A+B)·sin(A-B)·sinC.若sin(A-B)=0,则A=B.若sin(A-B)≠0,则sin 2A+sin 2B=sin 2C ⇒a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.答案:D2.在△ABC 中,若acosA=bcosB,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 答案:D3.已知△ABC 中,A ∶B ∶C=1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于( )A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.1∶3∶2D.2∶3∶1答案:C例4 如图10,在△ABC 中,=(x,y),=(u,v).求证:△ABC 的面积S=21|xv-yu|. 活动:教师引导学生从三角形面积入手,借助向量的模的运算解决.图10证明:S=21|AB |·|AC |sinA=21=21=21=21因为=(x,y),=(u,v), 所以S=2122222)())((yu xu v u y x +-++ =212yu)-(xv=21|xv-yu|. 点评:通过本例体现三角与向量的交汇,突出向量的工具性.知能训练课本本节练习1和练习2.课堂小结1.先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题,特别是两解的情况应怎样理解.2.我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想,以“直角三角形”作为问题情境,由此展开问题的全面探究;同时结合平面几何知识、结合向量的数量积与三角函数的关系,我们又探究了正弦定理的另外两种证明方法.要注意领悟这些证明方法的思想内涵,并要求学生课下继续探究正弦定理的其他证明方法.作业1.课本习题2—1 A 组3、4.2.预习下一节余弦定理.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程,使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”,切身感受创造的快乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实.本教案的设计流程清晰流畅,环环相扣,课堂容量较大,时刻注意引导并鼓励学生提出问题.一方面鼓励学生大胆地提出问题;另一方面注意妥善处理学生提出的问题,启发学生抓住问题的数学实质,将问题逐步引向深入.。
白城实验高中 高一数学 必修5 编号： 5 编制人：张晶 审批人： 冯淑君 包科领导： 张晶 2012年 月 日 班级 小组 学生姓名 评价 第一章 正、余弦定理§1.2.2应用举例——高度问题 1 §1.2.2应用举例——高度问题 2§1.2.2解三角形应用举例——高度问题【学习目标】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。
【重点难点】重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。
难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。
【想一想】现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题。
【典型例题】例1：在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为________．变式：你能从例2获得启示，解决下面的问题吗？AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.例3：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α＝45°，在塔底C 处测得A 处的俯角β＝30°。
已知铁塔BC 部分的高为28m ，求出山高CD(精确到1m)白城实验高中 高一数学 必修5 导学案 第一章 正、余弦定理§1.2.2应用举例——高度问题 3 §1.2.2应用举例——高度问题 4及时练兵1. 某人在山顶观察地面上相距2 500 m 的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西55°， 俯角为30°，同时测得B 在南偏东65°，俯角是45°，求山高(设A 、B 与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．2.一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.3.一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile ）?4. 据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是多少？。
第 5 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）【三维目标】：一、知识与技能1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。
3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。
二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。
三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．难点：根据题意建立数学模型，画出示意图【学法与教学用具】：1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。
生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。
解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材18P 例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=o ，60BDC ∠=o ，47ACD ∠=o ，72BCD ∠=o，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=o ，47ACD ∠=o ，则48DAC ∠=o.又100DC =，由正弦定理，得 ()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠oo . 在BDC ∆中，60BDC ∠=o ，72BCD ∠=o，则48DBC ∠=o .又100DC =，由正弦定理，得 ()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠oo . 在ABC ∆中，由余弦定理，得 2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯-o o3233.95≈，所以 ()57AB m ≈ 答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .例2 （教材18P 例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45o ，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105o的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1o ，时间精确到1min ）.解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=o o o o .由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠o . 化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===o ，所以21.8BAC ∠≈o ，方位角为4521.866.8+=o o o . 答：舰艇应沿着方向角66.8o 的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，图图1-3-2所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠.例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的,C D 两处，测得烟囱的仰角分别为3512α'=o 和4928β'=o，CD 间的距离是11.12m ，已知测角仪高1.52m ，求烟囱的高。
1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）教学目标：1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题.2. 能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.教学重点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用． 教学难点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．教学方法：讲练结合．教学过程：一、复习引入 （一） 主要知识：1. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===． 2. 余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩3. 推论：正余弦定理的边角互换功能． ① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = 4. 三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos ,B C A B C A +=+=-sincos ,cos sin 2222B C A B C A++== （二）总结解斜三角形的要求和常用方法：1. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角.2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角. 二、问题情境利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．三、数学运用 1．例题．例1． 如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？学生活动：问题1：四边形怎么产生的呢？ 生：OA 是定的，B 动面积变．师：是的，四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定． 问题2：如何求该四边形的面积？ 生： AOB ABC S S S ∆∆=+ 师：选什么作为自变量呢？生：四边形OACB 的面积随着()AOB α∠的变化而变化，可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 解 设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.于是，四边形OACB 的面积为AOB ABC S S S ∆∆=+21sin 2OA OB AB α=⋅)121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯+-sin αα=+2sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0απ<<，所以当32ππα-=时，56απ=，即56AOB π∠=时， 四边形OACB 的面积最大.小结：将四边形OACB 的面积表示成α的函数，利用三角函数的有界性求出四边形OACB 面积的最大值.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+的构造及逆用，应要求学生予以重视.例2 如图，有两条相交成60 角的直线XX '、YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；XX 'Y∙B QPOA ∙∙ ∙（3）什么时候两人的距离最短？解 （1）设甲、乙两人起初的位置是A ，B ，则2222cos60AB OA OB OA OB =+-⋅2213123172=+-⨯⨯⨯=， ∴．∴km ． 师：如何表示t 小时后两人的距离呢？生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变． （2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P Q 、，则4AP t =，4BQ t =， 当304t ≤≤时，2222(34)(14)2(34)(14)cos6048247PQ t t t t t t =-++--+=-+ ；当34t >时，222(43)P Q t t=-++，所以，7P Q =km ．（3）22214824748()44PQ t t t =-+=-+，∴当14t =时，即在第15分钟末，PQ 最短．答 在第15分钟末，两人的距离最短． 2． 练习：如图，已知A ∠为定角，,P Q 分别在A ∠的两边上，PQ 为定长．当,P Q 位于什么位置时，APQ ∆的面积最大？师：三角形的面积怎么表示？解 设,,,A PQ a AP x AQ y α∠====， 其中,a α为定值，PAQ∴ 1sin 2APQ S xy α=师：α为定值，要求面积的最值，就是求xy 的最值，那么x 和y 有什么关系呢？2222cos a x y xy α=+- 师：怎样得到xy 的最值呢？2222cos 22cos 2(1cos )a x y xy xy xy xy ααα=+-≥-=-1cos 0,α-> ∴2,2(1cos )a xy α≤- ∴21sin sin ,24(1cos )APQa S xy ααα=≤- 当且仅当x y =时取等号． ∴ AP AQ =时，APQ ∆的面积最大．小结：本题中用正弦定理表示APQ ∆的面积，然后用余弦定理找到x 和y 的关系式，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性．另外，本题还要利用基本不等式0,0)a b a b +≥>>．四、回顾小结通过本节学习，要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力．。
2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2aa R A A R bb R B B R cc R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩《正弦定理与余弦定理》教学设计教材分析： 这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
本章内容准备复习两课时。
本节课是第一课时。
标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。
学情分析： 学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
教学目标 知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。
（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
能力目标：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感目标：通过正余弦定理应用，激发学生学习数学的兴趣，在教学过程中激发学生的探索精神。
教学方法 探究式教学、讲练结合重点难点 1、正、余弦定理的对于解三角形的合理选择； 2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教学策略 1、重视多种教学方法有效整合； 2、重视提出问题、解决问题策略的指导。
3、重视加强前后知识的密切联系。
4、教学过程体现“实践→认识→实践”。
设计意图：学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
课题：必修⑤正、余弦定理的应用三维目标：1、知识与技能（1）通过解决各种关于三角形的基本问题，进一步理解正、余弦定理的内容和基本用法；（2）能够运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形的较为综合的问题。
2、过程与方法⑴引导学生运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角知识，通过合作探究、争辩、交流，解决各类关于三角形的问题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，还能复习巩固前面所学习的三角知识和基本方法；（2）在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角知识的工具性作用及所带来的转化思想及数形结合思想，锻炼抽象思维能力和推理论证能力；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。
3、情态与价值观（1）通过三角形函数、正余弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（2）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。
（3）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形各类基本的问题。
教学难点：运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形的较为综合性的问题。
教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：同学们，前面，我们学习了正弦定理、余弦定理，通过初步运用，我们进一步感受到了三角知识的强大威力和无限魅力……既然这两个定理都学了，我们就可以综合地运用这两个定理来解决更多类型三角问题了。
这就是我们今天要完成的任务。
请同学们回顾一下正弦定理、余弦定理所带来的三角公式：二、 创设情境 合作探究： 【引领学生在下列的设计中探索出相应的结果】1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
