高考数学一轮复习 第1讲 集合的概念及运算课件(B)文

第一章 集合与常用逻辑用语
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[解析] (1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选 C．
(2)∵集合 A＝{x|x＝sin n3π，n∈Z}＝{0， 23，－ 23}，且 B⊆A，∴集合 B 的个 数为 23＝8，故选 C．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
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(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合 M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N
＝{y|y＝(12)x，x∈R}，则下列不正确的是(ABD )
A．M＝N
B．N⊆M
C．M＝∁RN
D．(∁RN)∩M＝∅
(3)已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若 A⊆B，则 m 的取值范
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(3)若 a＋2＝1，则 a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则 a＝0 或－
2，当 a＝0 时，A＝{2,1,3}，当 a＝－2 时，A＝{0,1,1}，不合题意；若 a2＋3a＋3＝1，
则 a＝－1 或－2，显然都不合题意；因此 a＝0，所以 2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得 a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1 解
A．(－1,1)
B．(1,2)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
[解析] 由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．
第一章 集合与常用逻辑用语
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6． (2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B

• (3)五个关系式A⊆B、A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB) ＝∅是两两等价的．
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}

3．集合的基本运算及其性质
(1)由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 ，叫做集合A与B的交集，记作___A__∩_B____，即A∩B ＝____{x_|_x_∈__A_且__x_∈__B__} _．
(2)由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ，叫做集合A与B的并集，记作____A_∪__B___，即A∪B ＝____{x_|_x_∈__A_或__x_∈__B__} _．
(3)设集合 A＝{(x，y)|2x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x
＋2y＝4}，满足 C⊆(A∩B)的集合 C 的个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
(4) 已 知 集 合 A ＝ {x| － 2≤x≤7} ， B ＝ {x|m ＋
(2) 已 知 集 合 A ＝ {x|x2 － x － 2<0} ， B ＝ {x| －
1<x<1}，则( B )
A．A B
B．B A
C．A＝B
D．A∩B＝∅
【解析】(2)化简集合后，直接判断集合间的关系． ∵A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}， B＝{x|－1<x<1}，∴B A.
(2) 真 子 集 ： 若 A ⊆B ， 且 A≠B ， 则 A________B
(或B A)．
(3)集合相等：若A⊆B且B⊆A，则A＝_____B.
(4) 若 A 含 有 n个 元 素 ， 则 A 的 子 集 有 ___2_n __ 个 ， A的 非 空 子 集 有 ___2_n－___1___ 个 ． A 的 非 空 真 子 集 有 ____2_n_－__2___个． (5) 不 含 任 何 元 素 的 集 合 叫 做 ____空___集___ ， 记 作 ____∅___，它是任何一个集合的子集，是任何一个 ___非__空__集__合__的__真__子__集_____．

4a≤－12，
－8≤a<0，
则 －1a>2， 所以－12<a<0.
12/11/2021
又因为 a<0，所以－12<a<0. 当 a>0 时，若 B⊆A，如图，
则 －1a≤－12，所以0<a≤2，
a4≥2，
0<a≤2.
又因为 a>0，所以 0<a≤2.
12/11/2021
综上知，当 B⊆A 时，－12<a≤2. (3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B. 由(1)、(2)知，a＝2.
12/11/2021
(2)利用 Venn 图分析集合间的关系 如图，利用 Venn 图分析集合间的关系，进行集合间的运算 更加直观．
12/11/2021
1．已知集合 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且 1∈A，则实 数 a＝____0____． [解析] 由题意可知：a＋2＝1 或(a＋1)2＝1 或 a2＋3a＋3＝1， 解得：a＝－1 或 a＝－2 或 a＝0.据元素的互异性可排除－1 和－2，所以 a＝0.
12/11/2021
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2．已知 P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合 P 中恰有 3 个元素， 则 k 的取值范围为__(5_，__6_]__． [解析] 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P＝{3，4，5}，故 k 的 取值范围为 5<k≤6.
12/11/2021
集合与集合的基本关系 (2018·南通调研)已知集合 A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合 B＝x|－12<x≤2. (1)若 A⊆B，求实数 a 的取值范围； (2)若 B⊆A，求实数 a 的取值范围； (3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理 由．

探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另 外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则， 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类； ③逐类讨论；④归纳结论.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
4 则 a
1 a
1 2
2
,
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时，若B A，如图,
则4 a
1 a
2
1
2
,
a a
2 .0
2
a
2.
综上知，当B
A时，
1 2
a
2
（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
( B)
A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2
解析 由图象得a≤1,故选B.
明年目标
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题型一 集合的基本概念
【例1】 集合A={0,2,a},B={1,a2},
若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为 （ ）
A.0
B.1
C.2
D.4
思维启迪 根据集合元素特性，列出关于a的方程
则A∩（ UB）等于 A.{x|0≤x<1}
（B） B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
解析 ∵B={x|x>1},
∴ UB={x|x≤1}. 又A={x|x>0},
∴A∩（ UB）={x|0<x≤1}。

A．1
B．－2
C．6
D．2
5．已知集合 A＝{－1，0，4}，集合 B＝{x|x2－2x－3≤0，
x∈N}，全集为 U，则图中阴影部分表示的集合是{_－__1_，__4_}_．
解析：∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}
＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于 A 且不属于 B
集合
的子集． (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简
单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求
给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表p示pt精集选 合的关系及运算．
2
第一章 集合与常用逻辑用语
知识点
考纲下载
A．1
B．3
C．5
D．9
(2)已知集合 M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若 M＝N，则(m －n)2 015＝_－__1_或__0__．
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[解析] (1)当 x＝0，y＝0 时，x－y＝0；当 x＝0，y＝1 时， x－y＝－1； 当 x＝0，y＝2 时，x－y＝－2；当 x＝1，y＝0 时，x－y＝1； 当 x＝1，y＝1 时，x－y＝0；当 x＝1，y＝2 时，x－y＝－1； 当 x＝2，y＝0 时，x－y＝2；当 x＝2，y＝1 时，x－y＝1；
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1．辨明五个易误点 (1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集 合是正确求解的两个先决条件． (2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包 含关系． (3)易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它 本身． (4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

【例2】 (2015·湖南长沙月考)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}， B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
[解题指导](1)关键点：B为不确定集合，且B⊆A； (2)讨论：B＝∅或B≠∅； (3)求解：根据两种情况列不等式组求解．
解 当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
图形语言
【名师助学】
1．本部分知识可以概括为： (1)三个性质：互异性、无序性、确定性； (2)三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法； (3)三种关系：子集、真子集、相等； (4)三种运算：交集、并集、补集．
2．常用结论： (1)几种常见集合的区分
{x|f(x) 集合
＝0}
{x|f(x) >0}
第一节 集合的概念及运算
考点梳理
考纲速览
命题解密
热点预测
1.考查集合的概念
1.集合的基 1.了解集合的含义．
、集合中元素的基
预计2016年高
本概念及其 2．研究元素与集合的
本特征、元素与集 考的考查仍将以集
关系． 从属关系及不同集合之
合、集合与集合之 合的运算为主，以
2．集合中 间的包含关系．
间的关系．
{x|y ＝f(x)}
{y|y ＝f(x)}
{(x，y)|y＝ f(x)}
集合 的意 义
方程f(x) ＝0的根
不等式 f(x)>0 的解集
函数y＝ f(x)的 定义域
函数y＝ f(x)的 值域
函数y＝f(x) 图象上 的点集
(2)有关子集、真子集的个数的结论： 一个含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有 2n－2个非空真子集． (3)集合基本运算的常用结论： a．A∩B⊆A，A∩B⊆B； b．A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A； c．A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； d．A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A； e．(∁UA)∪A＝U，(∁UA)∩A＝∅； f．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B.

)
B.[8,+∞)
C.(16,+∞) D.[16,+∞)
(2)(2022山东济南二模)已知集合A={1,2},B={2,4},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},
则C中元素的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
)
答案:(1)C (2)C
解析:(1)因为集合A中至少有3个元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故选C.
A.{2,4}
B.{2,4,6}
C.{2,4,6,8}
D.{2,4,6,8,10}
(3)(2022北京,1)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁UA=(
A.(-2,1]
B.(-3,-2)∪[1,3)
C.[-2,1)
D.(-3,-2]∪(1,3)
)
)
答案:(1)A (2)A
则m的取值范围为(
)
A.(-6,+∞)
B.[-6,+∞)
C.(-∞,-6)
D.(-∞,-6]
答案:(1)C (2)A
解析:(1)由题意知A={y|-2≤y≤2},要满足B⫋A,即B⫋[-2,2],结合选项可知B=[-
1,1].故选C.
(2)因为 A={x|3≤x≤4},B= >

2

,A⊆B,所以- <3,解得
C.-2
)
D.-4
(3)(2022江苏南京第一中学三模)非空集合A={x∈N|0<x<3},B={y∈N|y2my+1<0,m∈R},A∩B=A∪B,则实数m的取值范围为(
A.

[思考辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则 A，B，C 表 示同一个集合．( × ) (2)若 a 在集合 A 中，则可用符号表示为 a⊆A.( × )
(3)若 A B，则 A⊆B 且 A≠B.( √ ) (4)N* N Z.( √ ) (5)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( × )
集合为 C，则 C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．已知集合 P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}．若 P∪Q＝R，则实数 a 的 取值范围是________；若 P∩Q＝Q，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由 x2－2x－8＞0，得 x＞4 或 x＜－2，所以 P＝{x|x＞4 或 x＜－2}．若 P∪Q＝R，因为 Q＝{x|x≥a}，所以 a≤－2.若 P∩Q＝Q，因为 Q＝{x|x≥a}， 所以 a＞4.
2．若全集 U＝R，集合 A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如 图阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
√D．{x|－1≤x≤2}
解析：∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的
与集合中元素有关问题的求解策略
集合间的基本关系(师生共研)
(1)已知集合 M＝xx＝n2＋1，n∈Z，N＝yy＝m＋21，m∈Z，则两 集合 M，N 的关系为( )
A．M∩N＝∅
B．M＝N
C．M⊆N
√D．N⊆M
(2)已知集合 A＝{x|y＝ 4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若 B⊆A，则实数 a 的

√
集合基本运算的方法技巧
角度2 利用集合的运算求参数
例3 （1）(2023·四川南充适应性考试)已知集合 ， ,若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析： 由于 ,所以 , , ,解得 或 ,所以 ，所以 ，故选D.
√
（2）(2024·重庆第一学期考试)已知集合 , .若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析： 因为 ，所以 表示的区域为以 为球心，1为半径的球面位于正方体 的内部部分，所以 表示的区域的面积 .故选D.
√
3.（多选）集合 中有且只有一个元素，则 的取值可以是( )
A. B. C. D.
解析： 集合 表示方程 的解组成的集合.当 时， 符合题意；当 时，要使 中有且只有一个元素，只需 ，解得 .故 的取值可以是 ， , ,故选ABC.
√
2.(2023·山东济南模拟)已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为________.
0或
解析： 由题意得， ， .当 时，即 ，满足题意；当 时,即 ， ，则 ，即 .综上所述， 或 .
核心考点 师生共研
02
考点一 集合的基本概念（自主练透）
1.(2023·海南海口调研)已知集合 ,则集合 中的元素个数为( )
√
√
√
4.(2023·河北唐山模拟)已知集合 ，且 ，则 ____.
解析： 因为 ，所以 或 .若 ，解得 或 .当 时， ，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当 时，集合 ，满足题意，故 成立.若 ，解得 ，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去.综上所述， .
与集合中元素有关问题的求解步骤
√
（3）若 ,则 或 .( )
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