2021高职高考数学复习第八章平面解析几何：考题直通

第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。

第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。

知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。

（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。

第2课时 直线与椭圆[A 级 基础巩固]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．答案：A2．(2020·张家口市期末)椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (1，2)为中点的弦所在直线的斜率为( )A.916B.932C.964D ．－932解析：设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9，所以－9（x 1＋x 2）16（y 1＋y 2）＝y 1－y 2x 1－x 2，又M (1，2)为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝4， 所以－9×216×4＝y 1－y 2x 1－x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－932，所以弦所在的直线的斜率为－932.答案：D3．若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为3a 2＋b2>3，所以a 2＋b 2<3.又a ，b 不同时为零，所以0<a 2＋b 2<3.由0<a 2＋b 2<3，可知|a |<3，|b |<3，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为3，所以P (a ，b )在椭圆内部，所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点有2个．故选C. 答案：C4．(2020·福州市期末)已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则P 点到直线l ：x ＋y －25＝0的距离的最小值为( )A.102 B.52 C.105D.25解析：设与直线x ＋y －25＝0平行的直线方程是x ＋y ＋c ＝0，与椭圆方程联立，消元可得5x 2＋8cx ＋4c 2－4＝0，令Δ＝64c 2－20(4c 2－4)＝0，可得c ＝± 5. 所以两条平行线间的距离为|±5＋25|2＝102或3102， 所以椭圆x 24＋y 2＝1上的动点P 到直线l ：x ＋y －25＝0的距离的最小值是102.答案：A5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5，|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号)．故选C. 答案：C6．(2020·泰州市期末)已知直线y ＝x －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于A 、B 两点，则线段AB的长为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 24＋y 23＝1，得7x 2－8x －8＝0，设A 、B 横坐标为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝87，x 1x 2＝－87，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫872－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－87＝247. 答案：2477．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆E 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M 、F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆E 上知，c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca＝3－1.答案：3－18．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________．解析：不妨取直线MN ⊥x 轴，椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F (－1，0)，令x ＝－1，得y 2＝12，所以y ＝±22，所以|MN |＝2，此时|PQ |＝2b ＝2， 则|PQ |2|MN |＝42＝2 2. 答案：2 29．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，所以－23<m <23，因为x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，所以y 0＝x 0＋m ＝m3，因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，所以m ＝±355.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，O为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意，得c ＝1， 所以a 2＝b 2＋1.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b2＝1，可解得a 2＝4，b 2＝3，则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意知直线斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0. 因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝48(4k 2－1)>0，即k 2>14，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3.因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0. 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，－12k 2＋164k 2＋3>0，所以k 2<43，综上14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233.所以所求直线的斜率的取值范围为－233<k <－12或12<k <233.[B 级 能力提升]11．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53 B.23 C.23D.13解析：由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，所以|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53. 答案：A12．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53. 答案：5313.(2019·江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知DF 1＝52.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求点E 的坐标．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2＝2，c ＝1. 又因为DF 1＝52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2＝DF 21－F 1F 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32. 因此2a ＝DF 1＋DF 2＝4，从而a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2.因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16，解得y ＝±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4)． 又F 1(－1，0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，（x －1）2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0， 解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125.因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34（x －1），x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1. 将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32.因此E ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32. [C 级 素养升华]14．(多选题)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 1与过F 2的直线l 2交于点M ，设M 的坐标为(x 0，y 0)，若l 1⊥l 2，则下列结论正确的有( )A.x 204＋y 203<1B.x 204＋y 203>1C.x 04＋y 03<1 D ．4x 20＋3y 20>1解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得：a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 设A (0，3)， 则tan ∠AF 1F 2＝3， 可得∠AF 1F 2＝π3，所以∠F 1AF 2＝π3.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1与直线l 2交点M 在椭圆的内部，所以x 204＋y 203<1，A 正确，B 不正确；直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 24＋y 23＝1联立，可得7y 2－24y ＋27＝0无解．因此直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 24＋y 23＝1无交点．而点M 在椭圆的内部，在直线的左下方， 所以满足x 04＋y 03<1，C 正确． 因为x 20＋y 20＝1，0≤y 20≤1，所以4x 20＋3y 20＝4(1－y 20)＋3y 20＝4－y 20>1，因此D 正确． 答案：ACD。

第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.两条直线的位置关系该讲知识是平面解析几何部分的基础，命题热点为两点间与点到直线的距离公式的应用，判断两直线的位置关系及求解有关对称问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等偏易.交点与距离问题2021新高考卷ⅠT11；2021新高考卷ⅡT3；2020全国卷ⅡT5；2020全国卷ⅢT8对称问题2022新高考卷ⅡT15学生用书P1721.两条直线的位置关系记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2.两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点坐标与方程组1＋1＋1=0，2＋2＋2=0的解一一对应.3.三种距离公式距离类型公式将直线方程化为一般式；（2）求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等.1.下列说法正确的是（A ）A.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线不一定相交B.点P （x 0，y 0）到直线y ＝kx ＋bC.当直线l 1和直线l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2D.若两条直线垂直，则他们的斜率之积一定等于－12.设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0，则l 1与l 2的位置关系是（B）A.平行 B.相交C.重合D.不确定解析假设l 1与l 2平行或重合，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得12＋2＝0，与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交.故选B.3.已知直线l 1：3x －y －1＝0，l 2：x ＋2y －5＝0，l 3：x －ay －3＝0不能围成三角形，则实数a 的取值不可能为（A ）A.1B.13C.－2D.－1解析由题意可得，若三条直线不能围成三角形，则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行，当l 1∥l 3时，可得a ＝13，当l 2∥l 3时，可得a ＝－2；若三条直线经过同一点，由3－=1，+2=5，可得直线l 1与l 2的交点为（1，2），则（1，2）在l 3上，故可得1－2a －3＝0，解得a ＝－1.综上，实数a 的值可能为13，－2，－1.故选A.4.[易错题]直线2x ＋2y ＋1＝0与x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离d ｜2－12｜.（注意应用公式时x ，y 的系数分别对应相等）5.[教材改编]已知点A （2，1），B （3，4），C （－2，－1），则△ABC 的面积为5.解析解法一设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.｜AB｜＝（3－2）2＋（4－1）2＝10.由两点式可得AB边所在直线的方程为－1＝－23－2，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h10，所以S△ABC＝12×｜AB｜×h＝12×10×10＝5.解法二易知B ＝（1，3），B ＝（－4，－2），所以△ABC的面积为12×｜1×（－2）－3×（－4）｜＝5.（二级结论：若B ＝（x，y），B ＝（u，v），则S△ABC＝12｜x v－yu｜）学生用书P173命题点1两条直线的位置关系例1（1）[2023四川凉山州二模]已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：4x－my＋2＝0，若l1∥l2，则m＝－2.解析因为l1∥l2，所以－2＝－4，2≠4，（注意排除直线重合情况）解得m＝－2.（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＝0.解析因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A（2，1），所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.方法技巧1.判断两条直线位置关系的注意点（1）斜率不存在的特殊情况；（2）可直接利用直线方程系数间的关系得结论.2.与直线Ax＋By＋C1＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0，与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2），过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）（该直线系不含l2）.训练1（1）[2023南昌市模拟]直线l1：ax＋（a＋1）y－1＝0，l2：（a＋1）x－2y＋3＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若l1⊥l2，则a（a＋1）＋（a＋1）×（－2）＝0，解得a＝－1或a＝2，所以“a＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.（2）过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为2x＋3y＋10＝0.解析设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.命题点2交点与距离问题例2（1）[全国卷Ⅲ]点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（B）A.1B.2C.3D.2解析解法一由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d使d最大，需k＞0且k＋1最小，由基本不等式知，k＋1≥2，当且仅当k＝1时，等号成立，所以当k＝1时，d max＝2，故选B.解法二记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y ＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝2，故选B.（2）[2023合肥市期末]若直线y＝x与直线y＝1x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为35.解析由题易得k≠1，由＝1－5，＝，得x＝y＝51－，将（51－，51－）代入y＝kx＋3，得51－＝521－＋3，得k＝35.方法技巧1.求解距离问题的策略（1）点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解，但要注意方程必须为一般式.（2）两平行线间的距离：①利用两平行线间的距离公式求解；②将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.训练2（1）直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到l的距离相等，则直线l的方程是（C）A.4x＋y－6＝0B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0D.3x＋2y－7＝0或x＋4y－6＝0解析显然直线l的斜率存在，故设直线l：y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，则k－1＝3k＋7或k－1＋3k＋7＝0⇒k＝－4或k＝－32，所以l的方程为y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0或y－2＝－32（x－1），即3x＋2y－7＝0.故选C.（2）函数f（x）＝2－2+2＋2+2+2的最小值为22.解析f（x）＝2－2+2＋2+2+2＝（－1）2+1＋（+1）2+1，所以函数f（x）的几何意义为点P（x，0）与点A（1，1），点B（－1，1）的距离之和，易知点P为x轴上一动点，且当点P在原点时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值22.命题点3对称问题例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：（1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程；（3）直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析（1）设A'（x，y×23＝－1，－12－3×－22+1=0，解得＝－3313，＝413，即A'（－3313，413）.（2）在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m'上.设M关于直线l的对称点为M'（a，b），3×r02+1=0，解得＝613，＝3013，即M'（613，3013）.设m与l的交点为N，则由－1，2－3+1=0，3－2－6=0得N（4，3）.又m'经过点N（4，3），所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0.（3）解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P（1，1），N（4，3），则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上.易知P'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.解法二设Q（x，y）为l'上任意一点，则Q（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为Q'（－2－x，－4－y），因为点Q'在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.方法技巧对称问题的解题策略射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝－13x －23射出，则实数a 可以为（AD ）A.2B.－2C.23D.－23解析由题知，直线y ＝－3x ＋3a 2－4a －2与直线y ＝－13x －23关于直线x ＋y ＝0对称.在直线y ＝－13x －23上任意取一点A （x 0，y 0），其关于直线x ＋y ＝0对称的点为（-y 0，-x 0），则0＝－130－23，－0=30+32－4－2，整理得3a 2－4a －4＝0，解得a ＝−23或a ＝2，故选AD.（2）过点P （0，1）作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解析设l 1与l 的交点为A （a ，8－2a ），由题意知，点A 关于点P 的对称点o −，2−6)在l 2上，把点B 的坐标代入l 2的方程得－a －3（2a －6）＋10＝0，解得a ＝4.因为点A （4，0），P （0，1）在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.1.[命题点1]已知点A （－m －3，2），B （－2m －4，4），C （－m ，m ），D （3，3m ＋2），若直线AB ⊥CD ，则m 的值为1或－1.解析解法一∵A ，B 两点的纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行，又AB ⊥CD ，∴CD 与x 轴不垂直，∴－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而当m ＝－1时，点C ，D 的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意.当AB 与x 轴不垂直，即m ≠－1时，k AB ＝4－2－2－4－（－－3）＝2－（r1），k CD ＝3r2－3－（－）＝2（r1）r3.∵AB ⊥CD ，∴k AB ·k CD ＝－1，即2－（r1）·2（r1）r3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.解法二由题意可得B ·C＝0，所以（－m －1，2）·（3＋m ，2m ＋2）＝0，解得m ＝±1.2.[命题点2/2023武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则｜c 1－c 2｜＝（B ）A.23B.25C.2D.4解析直线x ＋2y ＋1＝0与x ＋2y ＋3＝0间的距离d 1直线3x －4y ＋c 1＝0与3x －4y ＋c 2＝0间的距离d 2＝｜1－2｜5.由菱形的性质知d 1＝d 2，所以｜1－2｜5＝255，所以｜c 1－c 2｜＝25.3.[命题点2]｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜的最小值为13.解析设点P （x ，y ），l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：3x ＋4y ＋1＝0，则点P 到l 1的距离d 1＝｜3r4－12｜5，点P 到l 2的距离d 2＝｜3r4r1｜5，则｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜＝5（d 1＋d 2），易得直线l 1∥l 2，所以当点P 位于直线l 1与l 2之间时，｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜最小，最小值为直线l 1与l 2之间的距离的5倍，即d ＝|−12−1|5×5＝13.4.[命题点2，3/2024江西景德镇一中模拟]在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 的坐标为（－4，2），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x －y ＋1＝0，∠B 的角平分线所在的直线方程为2x ＋y －2＝0，则直线BC 的方程为18x －y －38＝0.解析设点B 坐标为（a ，b ），因为点A 的坐标为（－4，2），所以AB 的中点M （K42，r22），所以－42－r22＋1＝0，即a －b －4＝0.因为点B 在直线2x ＋y －2＝0上，所以2a ＋b －2＝0.由－－4=0，2＋－2=0，解得=2，＝－2，所以B （2，－2）.设点A （－4，2）关于直线2x ＋y －2＝0的对称点为A'（m ，n ），r22－2=0，2）＝－1，解得＝125，＝265，所以A'（125，265），所以直线BC的方程为y＋2＝265+2125－2·（x－2），即18x－y－38＝0.5.[命题点3]已知直线l：x－y－1＝0.若直线l上存在一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为(103,73)；若直线l上存在一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小，则点Q的坐标为(52,32).解析如图1，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，PB，PB'，=－1，1=0，解得=5，＝－1，∴点B'的坐标为（5，－1）.易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.于是直线AB'的方程为－1－1－1＝－45－4，即2x＋y－9＝0.图1联立直线l与AB'的方程，解得＝103，＝73，即点P的坐标为（103，73）.如图2，设点C关于l的对称点C'的坐标为（m，n），连接CC'，QC，QC'，QA，1=－1，2－1=0，解得=1，=2，图2∴点C'的坐标为（1，2），∴直线AC'的方程为－12－1＝－41－4，即x＋3y－7＝0.易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜≥｜AC'｜，当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.联立直线AC'与l的方程，解得＝52，＝32，即点Q的坐标为（52，32）.学生用书·练习帮P3491.[2024山东鄄城第一中学校考]若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（A）A.（－52，12）B.（－2，12）C.[－52，－12]D.[－25，12]解析将两直线方程联立得＝+2+1，＝－12+2，得＝2－43，＝2r53，即交点坐标为（2－43，2r53）.2－43>0，2r530，解得－52＜k＜12.故选A.2.[2024天津耀华中学校考]已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（A）A.1或2B.3或4C.3D.4解析由题意得2+1＝2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，则2a－5＝±(4−7)，解得a＝1或a＝2.故选A.3.已知直线l1：x sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（A）A.35B.－35C.23D.－23解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinBossin2＋cos2＝2tG1+tan2＝35.故选A.4.[2024河北衡水模拟]已知点（a，b）在线段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，则2+ 2−2的取值范围是（B）A.[2，18]B.[2，38]C.[0，38]D.[0，210－2]解析画出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的图象如图.（a，b）是图中线段上任意一点，a2＋b2表示原点到点（a，b）的距离的平方，易知图中线段的端点分别为（－2，4），（6，－2），到原点距离的平方分别为20，40，由原点到线段的距离d＝|−10|32＋42＝2，可得2＝4，综上，a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故选B.5.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，则P点的坐标是（C）A.（1，－1）B.（－1，1）C.（135，－135）D.（－2，2）解析点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y ＝0的交点即为所求的点，直线A'B的方程为r3－2+3＝－15－1，即y＝14x－134，与x＋y＝0联立，解得＝135，＝－135.即点P坐标为（135，－135）时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值.6.m是实数，直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，O为坐标原点，则｜OQ｜的最大值是（B）A.2B.22C.23D.4解析解法一由－B－2=0，B＋+2=0，得＝2－22+1，＝－2r22+1，即点Q（2－22+1，－2r22+1）.因为m是实数，O为坐标原点，所以｜OQ−==当m＝0时，｜OQ｜max＝22，所以｜OQ｜的最大值是22.解法二易知直线l1恒过定点A（2，0），直线l2恒过定点B（0，－2），且l1⊥l2.连接AB，数形结合（如图所示）可知，点O，Q均在以AB为直径的圆上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.7.[多选/2023青岛检测]已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），则（ACD）A.直线l2过定点（－3，－1）B.当m＝1时，l1⊥l2C.当m＝2时，l1∥l2D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1解析对于A，解法一直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2－+5=0，－+2=0，解得＝－3，＝－1，即直线l2过定点（－3，－1），故A正确.解法二在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点（－3，－1），故A正确.对于B，若l1⊥l2，则有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正确.对于C ，若l 1∥l 2，则有4·[－（m ＋1）]－（－3）·（m ＋2）＝0，解得m ＝2，当m ＝2时，l 1与l 2不重合，故C 正确.对于D ，当l 1∥l 2时，由对选项C 的分析可得此时直线l 2的方程为4x －3y ＋9＝0，则l 1，l 21，故D 正确.故选ACD.8.[2024安徽合肥联考]过直线2x －y ＋4＝0与3x －2y ＋9＝0的交点，且垂直于直线−2+1＝0的直线方程是2x ＋y －8＝0.解析由3－2+9=0，2－+4=0，解得=1，=6，即交点坐标为（1，6）.因为所求直线与直线x －2y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－112＝－2，所以所求的直线方程是y －6＝－2（x －1），即2x ＋y －8＝0.9.已知△ABC 的一个顶点A （4，－1），两条角平分线所在直线的方程分别为1:－－1=0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为2x －y ＋3＝0.解析由题知，A （4，－1）不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是角B ，角C 的角平分线所在直线.设点A 关于直线l 1的对称点为A 1（x 1，y 1），关于直线l 2的对称点为A 2（x 2，y 2），则A 1，A 2均在边BC 所在的直线上.×1=－1，21－12－1=0，得1=0，1=3，所以1(0,3).因为l 2：x ＝1，所以易得y 2＝－1，由2+42＝1，得x 2＝－2，所以A 2（－2，－1）.所以BC 边所在直线的方程为－3－1－3＝－0－2－0，即2x －y ＋3＝0.10.过点A （0，73），B （7，0）的直线l 1与过点（2，1），（3，k ＋1）的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k ＝（B ）A.－3B.3C.－6D.6解析若l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2.（圆内接四边形的对角互补）易知直线l 1的斜率1=73−7=−13，直线l 2的斜率k 2＝r1－13－2＝k ，由k 1k 2＝－1，得k ＝3.11.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x －my －2＝0的距离.当θ，m 变化时，d 的最大值为（C）A.1 B.2C.3D.4解析解法一由题意可得dcos φsin φ＝∵－1≤sin（θ－φ）≤1，d1∴当m＝0时，d取得最大值3，故选C.解法二易知点P（cosθ，sinθ）在单位圆x2＋y2＝1上，直线－B－2＝0恒过定点A（2，0）.如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是单位圆的半径），所以d max＝3，此时A，B重合，直线方程为x＝2.12.[多选/2024山西吕梁统考]已知点A（－2，1），B（1，1），且点P在直线G++ 3=0上，则（ACD）A.存在点P，使得｜PA｜＝2B.存在点P，使得PA⊥PBC.存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值为29解析设P（a，－a－3）.对于A，若｜PA｜＝2，则(r2)2＋(－－3－1)2＝2，即2+ 6+8=0，解得a＝－2或a＝－4，故存在点P，使得｜PA｜＝2，A正确.对于B，当a＝－2时，直线PA的斜率不存在，又k PB＝23≠0，此时PA与PB不垂直；当=1时，直线PB的斜率不存在，又k PA＝－53≠0，此时PA与PB不垂直；当a≠－2且a≠1时，k PA＝－－4r2，k PB＝－－4－1，若PA⊥PB，则k PA k PB＝－－4r2·－－4－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0，Δ＝92－4×2×14＝－31＜0，方程无解，故不存在点P，使得PA⊥PB，B错误.对于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，则2（+2）2＋（－－3－1）2＝（－1）2＋（－－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝142－4×2×21＝28＞0，方程有解，故存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜，C正确.对于D，设A（－2，1）关于直线l的对称点为A'（a，b1，1+2+3=0，解得＝－4，＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜＝（－4－1）2＋（－1－1）2＝29，当且仅当A'，P，B三点共线时取等号，故D正确.故选ACD.13.已知点A（5，0），B（0，4），动点P，Q分别在直线y＝x＋2和y＝x上，且PQ与两直线垂直，则｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB解析设Q（x0，x0），因为直线PQ与两直线垂直，所以｜PQ｜＝2，则P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(0－5)2＋02＋(0−1)2＋(0－3)2，此式可理解为点o0，0)到A（5，0）及C（1，3）的距离之和，其最小值为｜AC｜＝5.故B+B+ |B|的最小值为5＋2.14.[新定义题]定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是真命题的是（D）A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交解析设P1（x1，y1），P2（x2，y2），若d1＝d2＝0，满足d1－d2＝0，d1＋d2＝0，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，直线P1P2与直线l重合，A，B，C错误；对于D，若d1d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，D正确.。

最新届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析几何》（第9课时）（新人教A 版）一、选择题1．(最新·德州质检)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，令x ＝0得：y ＝－a2，∴S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8，故选B.2．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( ) A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 解析：选B.法一：(特殊值法)抛物线的焦点为F (12，0)，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)，∴OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.33解析：选B.|MF 2|＝|F 1F 2|tan30°＝233c ，且|MF 2|＝b 2a ，∴b 2a ＝233c ，两边同除以a 得e 2－1＝233e ，即3e 2－23e －3＝0.又e ＞1，∴e ＝ 3.4．(最新·日照质检)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 的值是( ) A.54 B.52 C.32D.54解析：选B.将x ＝c (c 为椭圆的半焦距)代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2×b2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a ，∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，∴e 2＝a 2＋14a 2a2＝54，∴e ＝52，故选B.5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C.设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.弦长|AB |＝42×5－t 25≤4105.二、填空题6．若m ＞0，点P (m ，52)在双曲线x 24－y 25＝1上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为________．解析：点P (m ，52)在双曲线x 24－y 25＝1上，且m ＞0，代入双曲线方程解得m ＝3，双曲线左焦点F 1(－3,0)，故|PF 1|＝3＋32＋52－02＝132. 答案：1327．(最新·北京东城区检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：8 8．(最新·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 三、解答题9．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，且m ·n ＝0，椭圆离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆方程；(2)若存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝32b ＝1，解得a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1·x 2＝－1k 2＋4. ∴m ·n ＝x 1x 2b 2＋y 1y 2a2 ＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2＋44·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋34k ·－23k k 2＋4＋34＝0.解得k ＝± 2.10．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的一个顶点为B (0，－1)，右焦点到直线m ：x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率k ≠0的直线l 与C 交于M ，N 两点，使|BM |＝|BN |？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，b 2＝1，设右焦点为F (c,0)，则d ＝|c ＋22|2＝3，即|c ＋22|＝3 2.解得c ＝2，又a 2＝c 2＋b 2＝3，∴a 2＝3.∴所求椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在k 满足条件，设l 与C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减得13(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，∴k ·k OP ＝－13，即k ＝－x 03y 0.又∵BP ⊥l ，∴y 0＋1x 0＝－1k. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－32k ，y 0＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ，12.∵要使|BM |＝|BN |，需x 203＋y 20<1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k 23＋14<1，∴k 2<1且k ≠0.∴存在－1<k <0或0<k <1满足题设．一、选择题1．(最新·辽阳质检)抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54)B ．(1,1)C ．(32，94) D ．(2,4)解析：选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝x －12＋35， ∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)．2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)解析：选B.因为|EA |＝|EB |，所以只要∠AEB 为锐角即可，则点E 应在以F 为圆心，AB为直径的圆外，则|AF |＜|EF |，由题意知|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，即b 2a＜a ＋c ，所以b 2＜a2＋ac .又b 2＝c 2－a 2，可得2a 2＋ac －c 2＞0，即e 2－e －2＜0，解得e ∈(1,2)，故选B.二、填空题3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.解析：如图，由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝MB →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.答案：24．已知直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值等于________．解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，k 1k 2＝y 22－y 21x 22－x 21. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2x 22＋2y 22＝2，相减得y 22－y 21＝－12(x 22－x 21)．故k 1k 2＝－12.答案：－12三、解答题5．已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y2a2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？解：(1)∵e ＝c a ＝22，1b 2＋2a2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝2，c ＝ 2. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 24＝1.(2)设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，m ≠－1，∴⎩⎨⎧y ＝2x ＋m 2x 2＋y 2＝4⇒4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，∴Δ＝－8m 2＋64＞0⇒－22＜m ＜22，且m ≠－1，x 1＋x 2＝－22m ，①x 1x 2＝m 2－44，②∵|BD |＝1＋22|x 1－x 2|＝628－m 2，设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，∴d ＝|m |3，∴S △ABD ＝12|BD |d ＝248－m2m 2≤2，当且仅当m ＝±2时取等号．因为±2∈(－22，－1)∪(－1,22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第2课时 范围、最值问题考点1 范围问题——综合性(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ． 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点． 因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处． 由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3．当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0．因为D 为M ，N 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2．因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2＝12144＋16n2＝39＋n2．因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23， 所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3． 综上所述，332≤3d ≤3，即点B 到直线MN 距离的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤332，3．圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2－2)(1＋2k 2)＝8k 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2． 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2．当k ＝0时，直线MN 为x 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0．令y ＝0，得x ＝k 21＋2k2，所以m ＝k 21＋2k 2＝11k2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12． 综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．考点2 最值问题——应用性考向1 利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为___________．22解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22． 考向2 利用函数、导数求最值(2022·江门市高三一模)如图，抛物线C ：y 2＝8x 与动圆M ：(x －8)2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B ，C ，D 四个不同点．(1)求r 的取值范围；(2)求四边形ABCD 面积S 的最大值及相应r 的值．解：(1)联立抛物线与圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －8)2＋y 2＝r 2，消去y ，得x 2－8x ＋64－r 2＝0．若圆与抛物线有四个不同交点，则方程有两个不等正根．所以⎩⎪⎨⎪⎧64－r 2>0，64－4(64－r 2)>0，解得43<r <8，所以r 的取值范围为(43，8)．(2)设A (x 1,22x 1)，B (x 2,22x 2)，其中x 2>x 1>0，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝64－r 2，S ＝12(42x 1＋42x 2)(x 2－x 1)＝(22x 1＋22x 2)(x 2－x 1)， S 2＝8(x 1＋x 2＋2x 1x 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， S 2＝64(4＋64－r 2)[16－(64－r 2)]．令x ＝64－r 2(0<x <4)，令f (x )＝(4＋x )(16－x 2)(0<x <4)，f ′(x )＝16－8x －3x 2＝(4－3x )(x ＋4)．当0<x <43时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当43<x <4时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2 04827，S ＝8f (x )≤25669．当x ＝43时，S 取得最大值，取64－r 2＝43，r ＝4353．考向3 利用基本不等式求最值(2022·唐山三模)在直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (1,0)，C 为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于P ，Q ，R ，且|CP |＝1，记点C 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)不过原点O 的直线l 与曲线E 交于M ，N ，且直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，求△OMN的面积的最大值．解：(1)依题意可知，|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |， 所以曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 因此曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(*)Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)>0．则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，故MN 的中点T ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 4k 2＋3，3m 4k 2＋3．而直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，得3m 4k 2＋3＝－12×－4km4k 2＋3， 又m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝32．故(*)式可化简为3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，故x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33．由Δ＝36－3m 2>0且m ≠0，得－23<m <23且m ≠0． 又|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132×36－3m 23＝1323×12－m 2，而点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 则△OMN 的面积为S ＝12×2|m |13×1323×12－m 2＝123|m |×12－m 2≤123×m 2＋12－m 22＝3， 当且仅当m ＝±6时，等号成立，此时满足－23<m <23且m ≠0，所以△OMN 的面积的最大值为3．最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过点T (0，p )作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交抛物线C 于A ，B 两点，l 2交抛物线C 于E ，F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求△OMN 面积的最小值．解：(1)因为x 2＝2py 可化为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp．因为当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p ＝12，所以p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y ． (2)由(1)知点T 坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0． 设直线l 1方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，联立消去y 并整理，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝(－4k )2＋32＝16k 2＋32>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－8， 所以，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4． 因为M 为AB 中点，所以M (2k,2k 2＋2)．因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，2k2＋2，所以直线MN 的方程为y －(2k 2＋2)＝2k 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋22k ＋2k·(x －2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ·(x －2k )， 整理得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k x ＋4，所以，直线MN 恒过定点(0,4)．所以△OMN 面积S ＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ≥4·2|k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k＝8，当且仅当|k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k即k ＝±1时，△OMN 面积取得最小值为8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆C 的右顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，M 在x 轴的上方，直线AM 与圆O 的另一交点为P ，直线AN 与圆O 的另一交点为Q ．(1)若AP →＝3AM →，求直线AM 的斜率；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交 1．向量AP →＝3AM →如何转化？2．如何表示三角形的面积把S 1S 2用直线AM 的斜率k 来表示 转化与化归求直线AM 的斜率，求△AMN 与△APQ 的面1．用A ，P ，M 的坐标表示．S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |，进把面积之比的最大值转化为一个变量的不积之比2．利用公式S ＝12ab ·sin C 表示并转化而用基本不等式求其最大值等式思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，将y ＝k (x －2)与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，得x A ＋x M ＝16k21＋4k2，求得点M 的横坐标为x M ＝8k 2－24k 2＋1，纵坐标为y M ＝－4k4k 2＋1．将y ＝k (x －2)与圆方程x 2＋y 2＝4联立，得(1＋k 2)·x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0，得x A ＋x P ＝4k21＋k2， 求得点P 的横坐标为x P ＝2k 2－2k 2＋1，纵坐标为y P ＝－4kk 2＋1． 由AP →＝3AM →得y P ＝3y M ， 即－4k k 2＋1＝－12k4k 2＋1． 又k <0，解得k ＝－2．(2)由M ，N 关于原点对称，得点N 的坐标为x N ＝－8k 2＋24k 2＋1，y N ＝4k4k 2＋1，所以直线AN 的斜率为k AN ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－2＝－14k． 于是|AM ||AP |＝y M y P ＝k 2＋14k 2＋1，同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1＝16k 2＋116k 2＋4．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝k 2＋14k 2＋1·16k 2＋116k 2＋4＝16k 4＋17k 2＋14(16k 4＋8k 2＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋916k 2＋1k2＋8 ≤14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋9216k 2·1k 2＋8＝2564， 当且仅当16k 2＝1k 2，即k ＝－12时等号成立，所以S 1S 2的最大值为2564．思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，由AP →＝3AM →转化为x P －x A ＝3(x M －x A )求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋4(4k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x M ＝4(4k 2－1)4k 2＋1，而x A ＝2，所以x M ＝2(4k 2－1)4k 2＋1． 将y ＝k (x －2)代入圆的方程，整理得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x P ＝4(k 2－1)k 2＋1，而x A ＝2，所以x P ＝2(k 2－1)k 2＋1．由AP →＝3AM →，得x P －x A ＝3(x M －x A )，即2(k 2－1)k 2＋1－2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(4k 2－1)4k 2＋1－2，解得k 2＝2． 又k <0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，所以k AM k AN ＝－14，即kk AN ＝－14，所以k AN ＝－14k．下同解法1(略)．思路参考：设直线AM 的方程为x ＝my ＋2，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m 2＋4)y 2＋4my ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－4mm 2＋4． 将x ＝my ＋2代入圆的方程，整理得(m 2＋1)y 2＋4my ＝0，得点P 的纵坐标为y P ＝－4mm 2＋1． 由AP →＝3AM →，得y P ＝3y M ，即m m 2＋1＝3m m 2＋4．因为m ≠0，解得m 2＝12，即m ＝±12．又直线AM 的斜率k ＝1m<0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，又k AM k AN ＝－14，由(1)知k AM ＝1m ，所以有1m k AN ＝－14，则k AN ＝－m4．又y M ＝－4m m 2＋4，y P ＝－4mm 2＋1， 所以|AM ||AP |＝y M y P ＝m 2＋1m 2＋4．同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋1＝m 2＋164(m 2＋4)．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝m 2＋1m 2＋4·m 2＋164(m 2＋4)．下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k 的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由题意知2c ＝233，解得c ＝3．因为e ＝ca ＝32， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)(方法一)显然直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P 在线段AQ 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)>0，得k 2>34．则S △OPQ ＝S △AOQ －S △AOP＝12×2×|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝44k 2－34k 2＋1． 令4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，于是S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，所以l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． (方法二)依题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，则Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34．x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由弦长公式得|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·44k 2－34k 2＋1．由点到直线的距离公式得点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ |×d ＝121＋k 2×44k 2－34k 2＋1×21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1． 设4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，所以S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立．7 2x－2或y＝－72x－2．故所求直线l的方程为y＝。

第十节 圆锥曲线中的证明、探索性问题考点1 圆锥曲线中的几何证明问题 圆锥曲线中常见的证明问题(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . [解](1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22. 又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4kx 1－2x 2－2.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .解决本题的关键是把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零；类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比．[教师备选例题](2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． [解](1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝m 2＋22＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)， 因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.1.已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解](1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2. 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以k PB ＋k QB ＝0， 即k PB ＋k QB ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1x 2＋1＝8k ＋b x 1＋1x 2＋1k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q (x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k PQ ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2， 因而直线PQ 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)． 又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将PQ 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在， 则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k QB ＝0， 即k PB ＋k QB ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝my 1＋a y 2＋my 2＋a y 1＋y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝2my 1y 2＋a ＋1y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)．法四：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228，y 2， 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以k PB ＋k QB ＝y 1y218＋1＋y 2y228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎪⎫y 1y 28＋1＝0.因为直线l 不垂直于x 轴， 所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8. 因为k PQ ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2， 所以直线PQ 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 218，即y ＝8y 1＋y 2(x －1)．故直线l 恒过定点(1,0)． 2．(2019·贵阳模拟)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． (1)若直线l 1的倾斜角为π4，求△ABM 的面积S 的值；(2)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线．[解](1)由题意，知F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 1的倾斜角为π4，∴k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1，即x ＝y ＋1. 代入椭圆方程，可得9y 2＋8y －16＝0. ∴y 1＋y 2＝－89，y 1y 2＝－169.∴S △ABM ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－892＋4×169＝8109. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0， 即x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.∵直线BN ⊥l 于点N ，∴N (5，y 2)． ∴k AM ＝－y 13－x 1，k MN ＝y 22.而y 2(3－x 1)－2(－y 1)＝k (x 2－1)(3－x 1)＋2k (x 1－1)＝－k [x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋5]＝－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 2－204＋5k 2－3×10k 24＋5k 2＋5＝0，∴k AM ＝k MN .故A ，M ，N 三点共线．考点2 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题的求解方法已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．[解](1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m 3－k3，因此x M ＝k k －3m3k 2＋9. 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k k －3m 3k 2＋9，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．本例题干信息中涉及几何图形：平行四边形，把几何关系用数量关系等价转化是求解此类问题的关键．几种常见几何条件的转化，如下： 1．平行四边形条件的转化几何性质 代数实现(1)对边平行 斜率相等，或向量平行 (2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相2.3.角条件的转化已知椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且与椭圆E ：x 22＋y 2＝1有相同的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)椭圆E 的焦点为(±1,0)，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2.设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m， 即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .假设存在定点M (s ，t )满足题意，因为Q (4,4k ＋m )，则MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m －s ，3m－t ，MQ →＝(4－s,4k ＋m －t )，所以MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－s (4－s )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －t (4k ＋m －t )＝－4k m(1－s )－⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋m ＋4k t ＋(s 2－4s＋3＋t 2)＝0恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧1－s ＝0，t ＝0，s 2－4s ＋3＋t 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝0.所以存在点M (1,0)符合题意．1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |＝8611. (1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0， 消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0，判别式Δ＝4(1＋p )2－4＝8p ＋4p 2>0恒成立， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1x 2＝1. 因为|AB |＝8611，所以2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝8611， 所以121p 2＋242p －48＝0， 所以p ＝211或p ＝－2411(舍去)．故抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设弦AB 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎫1311，－211.假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)． 因为△ABC 为正三角形， 所以CD ⊥AB ，所以x 0＝1511，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫1511，0，所以|CD |＝2211.又|CD |＝32|AB |＝12211， 与上式|CD |＝2211矛盾，所以x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形．2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 为左焦点，A 为上顶点，B (2,0)为右顶点，若7|AF→|＝2|AB →|，抛物线C 2的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)是否存在过F 点的直线，与椭圆C 1和抛物线C 2的交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得S △OPQ ＝12S △OMN ？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． [解](1)依题意可知7|AF →|＝2|AB →|，即7a ＝2a 2＋b 2，由B (2,0)为右顶点，得a ＝2，解得b 2＝3， 所以C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意可知C 2的方程为y 2＝－4x ，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y23＝1，得(3k 2＋4)y 2－6ky －9＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4， 则|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12k 2＋13k 2＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，y 2＝－4x ，得y 2＋4ky －4＝0，由根与系数的关系得y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4， 所以|y 3－y 4|＝y 3＋y 42－4y 3y 4＝4k 2＋1，若S △OPQ ＝12S △OMN ，则|y 1－y 2|＝12|y 3－y 4|，即12k 2＋13k 2＋4＝2k 2＋1，解得k ＝±63， 所以存在符合题意的直线，直线的方程为x ＋63y ＋1＝0或x －63y ＋1＝0.。